李小樂 陳龍祥

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

引言

遙操作系統(tǒng)在航空、航天、醫(yī)療和海洋開發(fā)等領域有著廣泛的應用前景[1-3].典型的遙操作系統(tǒng)由操作者、主端系統(tǒng)、通信信道、從端系統(tǒng)和從端環(huán)境幾部分組成，操作者通過操控主端系統(tǒng)產生指令信號，該指令信號通過通信信道遠距離傳輸給從端系統(tǒng)，從端系統(tǒng)接收指令后跟蹤主端系統(tǒng)的運動與從端環(huán)境交互，并將從端環(huán)境的相關信息反饋給主端系統(tǒng).因此遙操作控制系統(tǒng)一方面要保證主從端控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，另一方面要求主端系統(tǒng)能夠及時感受到從端環(huán)境的變化.遠距離操控所面臨的主要問題是從端系統(tǒng)與主端系統(tǒng)的通信過程中存在時間延遲，通信時滯對遙操作控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和透明性造成了嚴重的不利影響[2-4].

為了消除時滯對遙操作系統(tǒng)的影響，常見的穩(wěn)定性控制方法有無源性控制[4]、監(jiān)督控制[5, 6]、基于事件的控制方法[7]、模型預測控制[8]、Lyapunov函數(shù)[9, 10]、局部自主控制[11]等.這些方法能夠保證遙操作系統(tǒng)的穩(wěn)定性和透明性，但是大部分都無法明確給出主從端系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂速度[12].為平衡主從端系統(tǒng)跟蹤誤差收斂速度和系統(tǒng)穩(wěn)定性的矛盾，許多學者對有限時間內遙操作系統(tǒng)的控制設計進行了研究[13, 14]，由于遙操作系統(tǒng)的控制目標相互沖突，有限時間控制設計方法往往只能獲得某種程度上的控制性能最優(yōu).考慮到多目標優(yōu)化控制設計方法可以根據(jù)所需要的控制目標獲得對應控制增益的Pareto最優(yōu)解集[15]，操作者可以根據(jù)需要選擇合適的控制增益實現(xiàn)遙操作任務，這對提高遙操作系統(tǒng)的控制性能有很好的意義，而且目前對于遙操作系統(tǒng)的控制尚未見多目標優(yōu)化相關研究報道.

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性，將多目標優(yōu)化方法引入遙操作系統(tǒng)雙邊控制設計.第一節(jié)以旋轉運動柔性梁為對象建立雙邊遙操作系統(tǒng)動力學模型；第二節(jié)采用Lyapunov穩(wěn)定性理論得到保證遙操作閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的控制增益需要滿足的條件；第三節(jié)采用基于胞映射的多目標優(yōu)化方法獲取保證系統(tǒng)實現(xiàn)控制目標的Pareto最優(yōu)解集；第四節(jié)進行數(shù)值仿真并分析得出結論.

1 遙操作旋轉運動柔性梁系統(tǒng)動力學模型

考慮如圖1所示的遙操作旋轉運動柔性梁系統(tǒng)，主端和從端均為在水平面內作回轉運動的旋轉運動柔性梁，系統(tǒng)信號傳輸中存在時滯，其中τm(t)為自主端到從端的信號傳輸時滯，τs(t)為自從端到主端的信號傳輸時滯.假定在旋轉梁基座O處施加控制扭矩，以實現(xiàn)系統(tǒng)的大范圍運動.同時在柔性梁根部施加控制力矩以控制柔性梁大范圍運動中產生的彈性振動.忽略重力和摩擦的影響，基于Hamilton原理和假設模態(tài)離散化方法，主端和從端旋轉運動柔性梁的一次近似動力學方程分別表示為[16]：

圖1 遙操作旋轉運動柔性梁系統(tǒng)

(1)

(2)

(3)

(4)

其中,uh0、ue0分別表示外部操作者和外界環(huán)境施加在主從端關節(jié)上的等效力矩；kh、ke和ch、ce分別表示主端與操作者、從端與外界環(huán)境間相互作用力的等效剛度和等效阻尼系數(shù).

考慮方程(3)和方程(4)，并對方程(1)和方程(2)進行線性化，得到遙操作系統(tǒng)的線性化動力學方程為：

(5)

(6)

2 控制器設計和穩(wěn)定性分析

如圖1所示，遙操作系統(tǒng)通信網絡中存在時滯，旋轉運動柔性梁遙操作系統(tǒng)中主端與從端之間的誤差可定義為：

em=ym(t)-ys(t-τs(t))

(7)

es=ys(t)-ym(t-τm(t))

(8)

控制設計的目的是使得從端系統(tǒng)盡可能快地跟蹤主端系統(tǒng)的運動，并同時抑制柔性結構的振動，考慮誤差(7)和誤差(8)，如圖2所示設計主端控制律和從端控制律分別如下：

圖2 閉環(huán)遙操作系統(tǒng)控制示意圖

(9)

(10)

其中，Kdi、Kpi和Kvi為控制增益，且Kli=dig(kl1,kl2,…,kln)>0(1=d,p,v).

Kpmys(t-τs)+Kvmps(t-τs)+uh0

(11)

Kpsym(t-τm)+Kvspm(t-τm)-ue0

(12)

(13)

(14)

由于擾動方程(13)和方程(14)的零解與遙操作閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解完全等價，因此下面考慮采用Lyapunov-Krasovskii泛函對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析，同時設計相應的控制律.選取如下Lyapunov-Krasovskii泛函[9]：

V=V1+V2+V3

(15)

其中：

其中，P為對稱正定矩陣.

將V1關于時間t沿擾動方程(13)和方程(14)求導得：

(16)

方程(16)利用不等式關系2aTb≤aTM-1a+bTMb，有

PXm(t-τm)

(17)

將V2關于時間t沿擾動方程(13)和方程(14)求導，可得：

(18)

將V3關于時間t沿擾動方程(13)和方程(14)求導得：

(19)

整理方程(17)～方程(19)，可得：

(20)

(21)

(22)

3 多目標優(yōu)化控制設計

方程(21)和方程(22)所得到的控制增益能夠保證遙操作閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，但無法判斷所給出的控制增益的控制效果，而且在直接求解控制增益上有一定的困難.控制設計要求從端系統(tǒng)較好地跟蹤主端系統(tǒng)的運動，同時能夠有效地抑制柔性結構的振動，這兩個目標之間存在一定的矛盾.為協(xié)調這一矛盾，同時獲得具體的最優(yōu)控制增益集，下面基于方程(21)和方程(22)采用基于胞映射的多目標優(yōu)化控制設計方法[15]進行控制設計.

由于方程(21)和方程(22)具有相同的形式，為減少多目標優(yōu)化計算時間，假定主端和從端具有相同的控制增益，Kvi中對角線元素相同均為kv，考慮一階模態(tài)，則所設計的控制增益向量為：

K=[kp1,kp2,kd1,kd2,kv]T

(23)

其中，元素kp1，kp2，kd1，kd2分別為方程(9)和(10)中Kpi和Kdi的對角線元素，且控制增益滿足約束關系方程(21)和方程(22).

遙操作系統(tǒng)多目標優(yōu)化設計問題可表述為：

(24)

其中，ts,θ為主端柔性梁的振動趨向于0所需時間，eIAE為主從端大范圍運動誤差絕對值的積分，即

(25)

其中，Tss為系統(tǒng)大范圍運動趨近穩(wěn)定狀態(tài)的時間.

4 數(shù)值仿真

為驗證所設計控制器的有效性，進行數(shù)值仿真驗證.考慮主端旋轉運動梁與從端旋轉運動梁參數(shù)相同的情況，旋轉關節(jié)半徑為0.03 m，對轉軸轉動慣量為0.000765 kg·m2，柔性梁尺寸為0.7 m×0.0395 m×0.0018 m，材料密度為2150 kg/m3，彈性模量為28.0 GPa.

首先采用基于胞映射的多目標優(yōu)化控制設計，此時假定從端環(huán)境自由，外界操作者施加在主端關節(jié)上的力矩為0.04 N·m，操作者與主端相互作用力的等效剛度為0.1 N·m/rad，從而保證主端大范圍運動角度為0.4 rad時操作者施加在主端的力矩為零.為便于優(yōu)化，最大時滯量hm=0.5 s和hs=0.4 s為優(yōu)化過程中遙操作系統(tǒng)的信號傳輸時滯，時滯變化率均為零.選取參數(shù)空間如下：

Q={K∈R5|[-0.0275,-17.8275,1.51, 1.51,-0.0375]≤pK≤p[0.1275, 20, 2.51, 202, 0.1875]}

(26)

將參數(shù)空間劃分為3×5×4×8×3個胞，對多目標優(yōu)化控制目標(24)的約束條件為：

[ts,θ,eIAE]≤p[17 s,0.7 rad]

(27)

同時控制增益之間的關系需要滿足方程(21)和方程(22).

通過優(yōu)化在給定區(qū)間內得到的Pareto最優(yōu)解集共8組，表1給出某一項指標最優(yōu)時所獲得的控制增益.圖3給出了多目標優(yōu)化所得到的最優(yōu)解與對應目標函數(shù)之間的關系.利用表1和圖3，可以根據(jù)需要選擇合適的控制增益參數(shù)對遙操作系統(tǒng)進行有效的控制.由于將方程(21)和方程(22)引入多目標優(yōu)化設計，原本1440個單元需要約2880min的計算量減少僅需計算208個單元為416min，極大地節(jié)省了多目標優(yōu)化的時間.

表1 極端控制設計所對應控制增益

圖3 Pareto解集與控制目標關系圖

為更好地說明控制的有效性，K=[0.1081,-1.2780,2.3433,21.5590,0.15]為圖3中框點對應的控制增益，其控制目標為[ts,θ,eIAE]=[8.2220 s,0.4066 rad].相比控制增益中不考慮Kvi的情況，所對應的控制目標為[ts,θ,eIAE]=[8.2780 s,0.4172 rad]，本文所設計的控制器取得了更好的控制效果.

然后考慮外部操作者施加在主端關節(jié)上的等效力矩uh0的不同對控制效果的影響.假定系統(tǒng)運動工況與多目標優(yōu)化時相同，即從端環(huán)境自由，操作者與主端相互作用力的等效剛度為0.1 N·m/rad.圖4給出了外界操作者施加在主端關節(jié)上的等效力矩分別為0.04 N·m，0.06 N·m，0.08 N·m以及0.10 N·m時的控制響應.由圖4可以看出，所設計的控制器能夠保證遙操作系統(tǒng)的控制效果，但隨著主端關節(jié)處施加力矩的增大，主從端系統(tǒng)響應的跟蹤時間及相對誤差也會增加，可見隨主端受驅動運動角速度的增大，受時間延遲影響，從端在控制下跟蹤的難度會隨之加大.

圖4 主端不同操作力矩時系統(tǒng)主從端響應

下面考慮不同工況下控制效果的有效性，在0～20s內系統(tǒng)處于自由狀態(tài)，即主從端系統(tǒng)初始位置不同，主端操作者和從端環(huán)境無外部施加力，主端關節(jié)初始轉角為0，從端關節(jié)轉角為0.3rad；20～40s內從端與外界環(huán)境間作用力中ke=0.1 N·m/rad，40～60s內從端環(huán)境受到等效力矩ue0=0.02 N·m.圖5給出了信號傳輸時滯量為常時滯τm=0.5 s，τs=0.4 s時主從端系統(tǒng)關節(jié)轉角和柔性梁末端變形跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線.圖6給出了信號傳輸時滯量為時變時滯τm=(0.25+0.125sin (0.02t)) s，τs=(0.2+0.1sin(0.02t)) s時主從端系統(tǒng)跟蹤情況.由圖5和圖6可以看出，在受到時滯和從端外部環(huán)境的影響時，本文所提出的方法能夠使得從端系統(tǒng)有效地跟蹤主端系統(tǒng)的運動.

圖5 主從端旋轉柔性梁關節(jié)轉角和梁末端跟蹤曲線(τm=0.5 s，τs=0.4 s)

圖6 時變時滯下主從端旋轉柔性梁關節(jié)轉角和梁末端跟蹤曲線(τm=(0.25+0.125sin (0.02t)) s，τs=(0.2+0.1sin (0.02t)) s)

考慮從端與剛性墻壁接觸的情況，假定主從端機械臂初始時均處于θm=θs=0.4 rad位置，主端操作者在柔性梁末端y0方向施加大小為0.005 N的力使系統(tǒng)開始運動，當從端柔性梁末端運動到y(tǒng)0=0.4 m處梁末端與剛性墻壁發(fā)生接觸，為保證接觸后柔性梁與墻壁不再發(fā)生分離，通過仿真定義該接觸為Fe=20×(y-y0) N，其中y為從端梁末端在y0方向上位移[18]，然后將接觸力當作外力考慮，等效為控制力矩施加于方程(5)和方程(6)中，仿真中信號傳輸時滯量為τm=0.5 s，τs=0.4 s.圖7給出了遙操作系統(tǒng)與剛性墻壁發(fā)生碰撞時主從端關節(jié)轉角和末端變形跟蹤情況.由圖中可以看出，大約6s從端機械臂與墻面發(fā)生接觸，由于傳輸時滯和主端受到恒定力的影響，主端繼續(xù)運動，當從端信號返回主端后，主端在控制力的作用下停止移動，從端與剛性壁的接觸情況及時反饋到主端系統(tǒng).仿真結果可以看出系統(tǒng)穩(wěn)定后主從端系統(tǒng)保持固定有界的跟蹤誤差且柔性部件的彈性振動得到有效的抑制，反映了所設計控制器的有效性.

圖7 與剛性墻壁發(fā)生接觸，主從端旋轉柔性梁關節(jié)轉角和梁末端跟蹤曲線

最后考慮主從端結構參數(shù)存在差異的情況，假定其他參數(shù)相同的情況下，改變從端柔性機械臂尺寸為0.9 m×0.0295 m×0.0018 m，此時主從端柔性梁一階固有頻率分別為13.10 Hz及7.92 Hz.首先對主從端剛度不同的遙操作系統(tǒng)進行多目標優(yōu)化控制設計.多目標優(yōu)化中參數(shù)空間、空間劃分及優(yōu)化目標與方程(26)和方程(27)相同.通過優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集共11組，圖8給出了多目標優(yōu)化所得到的最優(yōu)解與對應目標函數(shù)之間的關系，從圖3和圖8中可以看出，當主從端結構參數(shù)出現(xiàn)差異時，與主從端結構參數(shù)相同的遙操作系統(tǒng)相比，Pareto解集中控制系統(tǒng)跟蹤時間和跟蹤誤差都會增加，因此更需要選擇合適的控制增益對遙操作系統(tǒng)進行控制.然后利用圖8框點處所對應的控制增益K=[0.1081,-1.2780,2.0100,21.5590,0.15]進行主從端結構不同工況下的數(shù)值仿真，由圖9所示主從端跟蹤情況可以看出，當主從端梁柔性存在差異時，本文所提出的控制方法能夠使得從端系統(tǒng)有效地跟蹤主端系統(tǒng)的運動.

圖8 Pareto解集與控制目標關系圖

圖9 主從端旋轉柔性梁關節(jié)轉角和梁末端跟蹤曲線(主從端參數(shù)不同時)

5 結論

基于穩(wěn)定性理論，本文采用多目標優(yōu)化控制方法對遙操作旋轉運動柔性梁系統(tǒng)進行雙邊控制研究.首先利用Lyapunov穩(wěn)定性理論獲得保證遙操作閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，然后采用多目標優(yōu)化控制設計獲得有效控制遙操作系統(tǒng)的控制增益.研究表明穩(wěn)定性條件能夠有效地減少多目標優(yōu)化的計算時間，而基于胞映射的多目標優(yōu)化方法能夠在所給參數(shù)空間獲得滿足控制目標的Pareto最優(yōu)控制增益集，能夠更有效地對遙操作系統(tǒng)進行控制.考慮時滯變化和從端剛性接觸的仿真結果表明本文所獲得的控制增益能夠保證從端系統(tǒng)對主端系統(tǒng)進行有效的跟蹤，而且從端環(huán)境的變化能夠及時有效地反饋到主端系統(tǒng).