韓艷鏵 李偉康 張勇

(1.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 211106)(2.南京航空航天大學(xué) 無人機(jī)研究院， 南京 210016)(3.南京航空航天大學(xué) 中小型無人機(jī)先進(jìn)技術(shù)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

引言

基于交會(huì)對(duì)接的在軌維護(hù)技術(shù)對(duì)于航天工程意義重大，是當(dāng)前和今后航天領(lǐng)域重要研究課題.脈沖法制導(dǎo)，因其原理和算法相對(duì)簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)，在推力作用時(shí)間遠(yuǎn)小于航天器慣性滑行時(shí)間條件下，制導(dǎo)誤差很小，故在空間交會(huì)對(duì)接領(lǐng)域頗受重視[1-5].空間交會(huì)對(duì)接任務(wù)中，能量和時(shí)間是寶貴資源，吸引眾多學(xué)者開展了最優(yōu)制導(dǎo)的研究[6-11].其中，文獻(xiàn)[6] 針對(duì)同時(shí)受時(shí)間與燃料約束的航天器多軌道間機(jī)動(dòng)問題，研究了兩類變軌機(jī)動(dòng)方式四種特殊情況的邊界問題；文獻(xiàn)[7]研究了時(shí)間最優(yōu)多脈沖交會(huì)問題中最優(yōu)交會(huì)時(shí)間和脈沖數(shù)隨各因素的變化規(guī)律，并根據(jù)最優(yōu)交會(huì)時(shí)間隨各因素變化曲線較為“平緩”的事實(shí)，提出可以利用較少的特征點(diǎn)通過插值方法快速求解最優(yōu)交會(huì)的策略；文獻(xiàn)[8]研究了多脈沖燃耗最省圓軌道調(diào)相問題，以線性近似模型的精確最優(yōu)解作為真實(shí)非線性動(dòng)力學(xué)情形下優(yōu)化解的迭代初值，以提高收斂速度；文獻(xiàn)[10]針對(duì)燃料受限多脈沖時(shí)間最優(yōu)軌道控制，提出一種解析法和數(shù)值法相結(jié)合的方法，解決了最優(yōu)控制間接法微分方程兩點(diǎn)邊值問題協(xié)態(tài)變量的初值猜測(cè)問題，能夠得到充分接近真實(shí)最優(yōu)解的近似解，然后用數(shù)值法求解，并以深空探測(cè)變軌控制作了仿真驗(yàn)證.

無論是脈沖制導(dǎo)還是連續(xù)推力制導(dǎo)，凡涉及最優(yōu)策略往往計(jì)算量較大，難以在線實(shí)現(xiàn)，基于小參數(shù)攝動(dòng)的近似優(yōu)化制導(dǎo)在航天領(lǐng)域應(yīng)運(yùn)而生，譬如文獻(xiàn)[12-13]將大氣標(biāo)高與地球半徑之比作為小參數(shù)，用正則攝動(dòng)法研究了攔截彈道導(dǎo)彈的時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)律.采用攝動(dòng)法得到的近似優(yōu)化解與真實(shí)最優(yōu)解非常接近，但計(jì)算量大大減輕，容易在線實(shí)現(xiàn).

空間平臺(tái)裝載多個(gè)服務(wù)航天器(譬如空間機(jī)器人，下文簡(jiǎn)稱服務(wù)器)，平時(shí)在軌駐留，接到任務(wù)指令后機(jī)動(dòng)到目標(biāo)星附近，與目標(biāo)星形成近距離繞飛關(guān)系，然后發(fā)射服務(wù)器到目標(biāo)星，與目標(biāo)星交會(huì)對(duì)接，執(zhí)行維護(hù)任務(wù).完成任務(wù)后，平臺(tái)繼續(xù)在軌待命為下一次任務(wù)做準(zhǔn)備.本文研究這種場(chǎng)景下空間平臺(tái)發(fā)射服務(wù)器動(dòng)力學(xué)以及服務(wù)器分離后與目標(biāo)星的最優(yōu)交會(huì)制導(dǎo)問題.從國內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)來看，專門針對(duì)服務(wù)器與目標(biāo)星近距離相對(duì)飛行特點(diǎn)，引入小參數(shù)正則攝動(dòng)的方法進(jìn)行雙脈沖優(yōu)化制導(dǎo)的研究還未見諸報(bào)道.

平臺(tái)繞飛目標(biāo)星的橢圓相對(duì)軌道的尺度一般在數(shù)十米至數(shù)百米，以保證平臺(tái)上的光學(xué)等導(dǎo)航設(shè)備可實(shí)時(shí)測(cè)得相對(duì)于目標(biāo)星的飛行狀態(tài)信息.繞飛過程中平臺(tái)的姿控系統(tǒng)維持其發(fā)射筒軸線始終瞄準(zhǔn)目標(biāo)星.服務(wù)器從發(fā)射筒分離后，自身的小型火箭發(fā)動(dòng)機(jī)給其施加首末兩次速度脈沖：首次脈沖修正其飛行速度，保證服務(wù)器憑慣性飛達(dá)目標(biāo)星，末次脈沖將其相對(duì)速度減為零，實(shí)現(xiàn)與目標(biāo)星的軟對(duì)接，如圖1所示.

圖1 平臺(tái)繞飛并瞄準(zhǔn)目標(biāo)星示意圖

圖2給出了服務(wù)器在平臺(tái)中的裝載幾何.一個(gè)平臺(tái)可以裝載多個(gè)服務(wù)器，形成一個(gè)矩陣，滿載服務(wù)器的列數(shù)和行數(shù)分別為nx和ny.安裝有機(jī)械手的一面表示發(fā)射方向.圖中：lr的意義如圖所示；dr表示服務(wù)器的直徑，并且定義每個(gè)服務(wù)器的質(zhì)心到其底部的距離為lcg；dy表示服務(wù)器與所在發(fā)射筒底部之間的間隙；dx表示發(fā)射筒壁的厚度.假設(shè)平臺(tái)本體質(zhì)心在其幾何中心.

圖2 平臺(tái)裝載服務(wù)器示意圖

服務(wù)器雙脈沖交會(huì)對(duì)接制導(dǎo)的性能指標(biāo)是能耗最省，即兩次脈沖速度幅值的平方和最小，構(gòu)成一個(gè)非線性規(guī)劃問題.文本采用小參數(shù)攝動(dòng)法，快速求解出最優(yōu)雙脈沖的一階近似解，并以此為迭代初值，用非線性規(guī)劃方法快速可靠地收斂到最優(yōu)真解.

1 發(fā)射過程平臺(tái)-服務(wù)器兩體動(dòng)力學(xué)

首先建立目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系OAxAyA：原點(diǎn)固定于目標(biāo)星，xA軸正方向沿著目標(biāo)星繞地速度方向，yA軸垂直于xA軸且背離地心方向?yàn)檎?再建立平臺(tái)本體系OBxByB：原點(diǎn)在平臺(tái)質(zhì)心，yB軸沿平臺(tái)上的發(fā)射筒軸線方向，且以發(fā)射方向?yàn)檎?，xB軸垂直于yB軸，且在圖2中向右為正.以上兩坐標(biāo)系在下文中分別簡(jiǎn)稱為A系和B系.以目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系的yA軸表示平臺(tái)姿態(tài)偏航角的參考方向，且以右手規(guī)則定義偏航角的正負(fù)，在圖1和2中即逆時(shí)針偏航為正.

相應(yīng)于兩個(gè)坐標(biāo)系，定義基矢量組(下文簡(jiǎn)稱基組)如下

A?(a1,a2)

(1)

B?(b1,b2)

(2)

其中a1,a2和b1,b2分別是坐標(biāo)系A(chǔ)和 B的x,y兩軸上的單位矢量，指向與相應(yīng)的坐標(biāo)軸正向一致.

兩個(gè)基組之間的過渡關(guān)系如下：

B=ATAB

(3)

其中

(4)

η是平臺(tái)的姿態(tài)偏航角.

我們知道，A系以角速度n旋轉(zhuǎn)，其中n是目標(biāo)星繞地圓軌道的角速度.根據(jù)近距離航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)的C-W方程理論，n也是平臺(tái)繞飛目標(biāo)星的平均角速度，故嚴(yán)格說來A系是非慣性系.但在建立平臺(tái)發(fā)射服務(wù)器的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，因?yàn)榘l(fā)射過程耗時(shí)與A系的旋轉(zhuǎn)周期T=2π/n相比是很小的數(shù)，或等價(jià)地說，非慣性系A(chǔ)的旋轉(zhuǎn)角速度n很小，可視A系為慣性系，由此引起的建模誤差極小.

設(shè)平臺(tái)質(zhì)心相對(duì)于A系原點(diǎn)的位矢為

rp?A(x,y)T

(5)

從平臺(tái)左下角數(shù)起，服務(wù)器所在列數(shù)的遞增方向是從左往右，所在行數(shù)的遞增方向是從下往上.

第i列j行的服務(wù)器若固定在平臺(tái)上，則其質(zhì)心相對(duì)于平臺(tái)質(zhì)心的位矢為

(6)

根據(jù)圖2不難算出

(7)

平臺(tái)與所有固定的服務(wù)器形成一個(gè)剛體，稱作總剛體，記作Σ.

設(shè)平臺(tái)和單個(gè)服務(wù)器的質(zhì)量分別為mp和mr，則根據(jù)多體系統(tǒng)質(zhì)心的定義，總剛體質(zhì)心相對(duì)于平臺(tái)質(zhì)心的位矢為

(8)

其中

(9)

是總剛體的質(zhì)量.

(10)

下面計(jì)算總剛體關(guān)于自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

設(shè)平臺(tái)關(guān)于自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jp，則根據(jù)平行移軸定理，平臺(tái)關(guān)于總剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(11)

第i列j行的服務(wù)器質(zhì)心相對(duì)于總剛體質(zhì)心的位矢

(12)

設(shè)單個(gè)服務(wù)器關(guān)于自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jr，則根據(jù)平行移軸定理，其關(guān)于總剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(13)

總剛體關(guān)于自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(14)

總剛體質(zhì)心相對(duì)于A系原點(diǎn)的位矢

(15)

將相關(guān)各式代入上式得

rΣ=A(xΣ,A,yΣ,A)T

(16)

其中

(17)

式(16)對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)，得總剛體質(zhì)心相對(duì)于A系原點(diǎn)的加速度

aΣ?A(axΣ,A,ayΣ,A)T

(18)

其中

(19)

式中

(20)

表示平臺(tái)的姿態(tài)偏航角速率.

設(shè)第u列w行的服務(wù)器正在發(fā)射筒里發(fā)射滑行，其沿發(fā)射筒軸向的滑行位移為s(相對(duì)于初始固定時(shí)的位置)，其質(zhì)心相對(duì)于平臺(tái)質(zhì)心的位矢為

(21)

根據(jù)圖2不難算出

(22)

其相對(duì)于慣性系原點(diǎn)的位矢

(23)

將相關(guān)各式代入上式得

ruw=A(xuw,A,yuw,A)T

(24)

其中

(25)

式(24)對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)，得運(yùn)動(dòng)服務(wù)器質(zhì)心相對(duì)于A系原點(diǎn)的加速度

auw?A(axuw,A,ayuw,A)T

(26)

其中

(27)

下面分析系統(tǒng)中的主動(dòng)力.

設(shè)平臺(tái)受到的主發(fā)動(dòng)機(jī)推力為

F?B(Fx,Fy)T

(28)

并假設(shè)其過平臺(tái)質(zhì)心.

姿態(tài)控制力矩為

M?b3M

(29)

其中

b3?b1×b2

(30)

平臺(tái)對(duì)正在發(fā)射滑行的服務(wù)器的推力為

f?B(0,f)T

(31)

根據(jù)前文給出的基組間的過渡關(guān)系，上式變換到A系下

(32)

總剛體受到的主動(dòng)力為

FΣ=F-f

(33)

將相關(guān)各式代入該式并變換到A系下

(34)

總剛體受到的主動(dòng)力矩為

MΣ=M+MF+Mf

(35)

其中MF和Mf分別表示F和-f關(guān)于總剛體質(zhì)心的力矩，計(jì)算公式如下

(36)

(37)

其中

(38)

將相關(guān)各式代入式(35)得

(39)

定義廣義坐標(biāo)

q?(q1,q2,q3,q4)T?(x,y,η,s)T

(40)

凱恩方法中的投影因子(偏速度和偏角速度)為

(41)

(42)

(43)

其中

ω?b3ω=a3ω

(44)

根據(jù)凱恩方法，把系統(tǒng)中所有主動(dòng)力(矩)、慣性力(矩)分別投影在四個(gè)廣義坐標(biāo)曲線的切線方向：

(i=1,2,3,4)

(45)

將相關(guān)各式代入式(45)得

(46)

2 服務(wù)器與目標(biāo)星交會(huì)對(duì)接最優(yōu)雙脈沖制導(dǎo)

我們知道，當(dāng)目標(biāo)星在繞地圓軌道上且追蹤星與其距離較近時(shí)，追蹤星相對(duì)于目標(biāo)星的運(yùn)動(dòng)滿足C-W方程

(47)

該方程是在A系建立的，其中n是目標(biāo)星繞地圓軌道的角速度，如果追蹤星與目標(biāo)星形成繞飛關(guān)系，則n也是追蹤星環(huán)繞目標(biāo)星的平均角速度.

式(47)的解析解為

(48)

和

(49)

其中，(x0,y0)表示追蹤星初始相對(duì)位置坐標(biāo)，(vx0,vy0)表示其初始相對(duì)速度.

若初始狀態(tài)滿足

(50)

則追蹤星在以目標(biāo)星為中心的相對(duì)橢圓軌道上繞飛.

(51)

該速度能保證服務(wù)器精準(zhǔn)飛達(dá)目標(biāo)星.

在服務(wù)器飛達(dá)目標(biāo)星瞬間，再給其施加速度脈沖(Δvxf,Δvyf)，使其相對(duì)速度減為零，與目標(biāo)星軟對(duì)接.

本文的任務(wù)是，尋求最優(yōu)的速度雙脈沖(Δvx0,Δvy0)和(Δvxf,Δvyf)，保證服務(wù)器與目標(biāo)星精準(zhǔn)交會(huì)和軟對(duì)接的前提下，所需能耗最省，即兩次速度脈沖幅值平方和最小.用最優(yōu)控制語言描述，即

(52)

其中

(53)

引入拉格朗日乘子μ1～μ4，則上述約束優(yōu)化問題解的必要條件如下

(54)

當(dāng)小參數(shù)n=0時(shí)，優(yōu)化問題式(52)退化為

(55)

很容易得到優(yōu)化問題式(55)的解，稱為原優(yōu)化問題的零階近似解，如下

(56)

其中右上角標(biāo)0表示“零階近似”

令方程組(54)中頭四式中的n=0，并將上述零階近似優(yōu)化解代入得

(57)

從中解得原優(yōu)化問題拉格朗日乘子的零階近似解如下

(58)

式(54)在變量Δvx0,Δvy0,Δvxf,Δvyf,tf,μ1～μ4的零階近似解上和小參數(shù)n=0取值點(diǎn)上作一階攝動(dòng)(即一階微分，用δ表示)，得

(59)

這是一個(gè)線性方程組，很易從中解出δΔvx0,δΔvy0,δΔvxf,δΔvyf,δμ1～δμ4,δtf，然后對(duì)式(56)表示的零階近似優(yōu)化解進(jìn)行修正，得到一階近似優(yōu)化解，如下

(60)

3 仿真計(jì)算

仿真入口參數(shù)如表1所示.

表1 仿真入口參數(shù)

另外，本文所研究的是共面軌道內(nèi)的交會(huì)制導(dǎo)問題，設(shè)目標(biāo)星、平臺(tái)、服務(wù)器所在軌道共面，其升交點(diǎn)赤經(jīng)均為115°，軌道傾角均為45°.目標(biāo)星圓軌道的半徑為6.7710×106(m)；平臺(tái)所在橢圓軌道的半長(zhǎng)軸、偏心率、近地點(diǎn)角距分別為6.7720×106(m)、2.2153×10-4、60°，發(fā)射服務(wù)器瞬間其真近點(diǎn)角為0°；服務(wù)器在獲得首次速度脈沖后所在橢圓軌道的半長(zhǎng)軸、偏心率、近地點(diǎn)角距分別為6.7716×106(m)、2.1755×10-4、20.24°，并且此刻服務(wù)器的真近點(diǎn)角為39.76°.

不失一般性，本仿真以圖2中發(fā)射第1列第2行服務(wù)器為例.仿真結(jié)果如圖3～10所示.

圖3 發(fā)射過程平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 發(fā)射過程平臺(tái)速度

圖5 發(fā)射過程平臺(tái)姿態(tài)偏航角

圖3～圖6中的點(diǎn)劃線表示假設(shè)平臺(tái)未發(fā)射服務(wù)器，圍繞目標(biāo)星作相對(duì)橢圓運(yùn)動(dòng)，并且時(shí)刻保持發(fā)射筒軸線瞄準(zhǔn)目標(biāo)星時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，實(shí)線表示平臺(tái)發(fā)射服務(wù)器，兩體干擾下的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，兩種曲線分別用“undisturbed”和“disturbed”標(biāo)識(shí).

圖6 發(fā)射過程平臺(tái)姿態(tài)偏航角速率

圖7 服務(wù)器在平臺(tái)發(fā)射筒中的滑行位移

圖3～圖6顯示，由于發(fā)射過程服務(wù)器對(duì)平臺(tái)的反作用力，在服務(wù)器分離瞬間，平臺(tái)的實(shí)際軌跡相對(duì)于未受擾的軌跡沿y軸負(fù)方向偏離了0.13(m)，平臺(tái)的x軸向相對(duì)速度增加了0.03(m/s)，y軸向相對(duì)速度減小了0.19(m/s)，姿態(tài)偏航角增加了3.91°，姿態(tài)偏航角速率增加了4.29(deg/s).考慮到平臺(tái)相對(duì)于目標(biāo)星的環(huán)繞橢圓的幾何尺度和相對(duì)環(huán)繞速度，可認(rèn)為服務(wù)器發(fā)射過程對(duì)平臺(tái)位置坐標(biāo)影響甚微，但對(duì)平臺(tái)繞飛速度以及姿態(tài)的影響不容忽視.

圖8 服務(wù)器在平臺(tái)發(fā)射筒中的滑行速率

圖9 服務(wù)器分離后在交會(huì)軌道上的位置坐標(biāo)

圖10 服務(wù)器分離后的交會(huì)軌道和速度脈沖

計(jì)算表明，首次速度脈沖與服務(wù)器離開平臺(tái)瞬間的速度矢量夾角為167°.夾角為鈍角表明，首次速度脈沖在改變服務(wù)器飛行速度方向的同時(shí)，在很大程度上起到減速制動(dòng)作用.至于末端的二次速度脈沖，因?yàn)橐獙⒎?wù)器相對(duì)于目標(biāo)星的速度減為零，故其與服務(wù)器飛抵目標(biāo)星瞬間的速度矢量必然等幅反向，夾角為180°，從圖10也可以直觀看出來.

兩次速度脈沖均起到減速作用，這是由交會(huì)問題特殊的末端約束條件(相對(duì)速度為零)和能耗最省的性能指標(biāo)共同導(dǎo)致的.

4 結(jié)論

本文針對(duì)空間平臺(tái)繞飛目標(biāo)星，對(duì)發(fā)射服務(wù)器與目標(biāo)星實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)交會(huì)和軟對(duì)接的動(dòng)力學(xué)與脈沖最優(yōu)控制問題開展研究.在平臺(tái)與目標(biāo)星已形成繞飛關(guān)系的條件下，服務(wù)器從平臺(tái)中射出，分離瞬間給其施加一個(gè)速度脈沖修正其飛行速度，然后服務(wù)器在C-W方程支配下憑慣性飛行，直至與目標(biāo)星交會(huì)，此時(shí)再給其施加末端速度脈沖，使其相對(duì)速度減為零以實(shí)現(xiàn)軟對(duì)接.本文采用凱恩方法建立了平臺(tái)發(fā)射服務(wù)器過程的兩體耦合動(dòng)力學(xué)模型，然后基于小參數(shù)正則攝動(dòng)法給出了最優(yōu)速度脈沖的一階近似優(yōu)化解，并以此為迭代初值，采用非線性規(guī)劃方法算得能耗最省雙脈沖最優(yōu)解.最后用數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所提方法的有效性.