鄧珍珍，張新全

(1.合肥師范學院 教師教育學院，安徽 合肥 230601；2.合肥師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 合肥 230601)

教學的本質(zhì)是促進學生在已有的知識技能基礎(chǔ)上獲得新的發(fā)展。對于小學數(shù)學而言，在教學過程中存在著一對主要矛盾關(guān)系，即小學生的數(shù)學認知發(fā)展水平和教師傳授的數(shù)學知識之間的矛盾。學生已有的數(shù)學認知基礎(chǔ)和即將學習的新知識之間存在的認知差異，常常會成為學生主動探究、獲取新知的動機。教學的過程，就是通過恰當?shù)慕虒W設(shè)計和實施，幫助學生消解數(shù)學知識與自身認知沖突的失衡，建立起更高層次的認知結(jié)構(gòu)，并形成數(shù)學學習的遷移能力。

數(shù)學具有抽象性、符號統(tǒng)一性、邏輯嚴謹性和應用廣泛性等基本特點；而小學生的認知特點是以形象思維為主，逐漸向抽象思維轉(zhuǎn)化。小學生好奇心強，好動好玩，注意力不穩(wěn)定，不善于理解等，如果教師不能很好地處理數(shù)學知識與其認知這對矛盾關(guān)系，就會影響教學質(zhì)量，甚至發(fā)展成小學生對數(shù)學抵觸、畏難的心理。如何有效處理這對矛盾，就成為小學數(shù)學教學的重要任務之一。

1 小學數(shù)學知識的主要特征

1.1 數(shù)學知識的抽象性

不抽象不數(shù)學，數(shù)學本身就是抽象的。抽象簡單地說就是拋棄事物的非本質(zhì)屬性，抓住事物本質(zhì)、共同屬性的過程。大部分科學都不會直接處理現(xiàn)實對象，而是用“模型”去處理其抽象反映。數(shù)學則不同，數(shù)學是處理這些抽象模型的抽象反映，是這些模型的一般模式[1]4。小學階段有兩類重要的數(shù)學模型：“路程=速度×時間”和“總量=部分+部分”，它們分別對應乘除法和加減法，《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》)也要求學生利用這兩類模型解決簡單的實際問題。

數(shù)學是一門只研究形式和關(guān)系的學科，其研究對象沒有任何物質(zhì)和能量特征，所以數(shù)學具有高度抽象性。例如，小學數(shù)學中“射線和直線無限長”“兩點確定一條直線”等概念體現(xiàn)了數(shù)學的高度抽象性。學生難以理解、感受或想象射線、直線的無限長；而學生自己動手過任意兩“點”畫出了不止一條“直線”，又會認為過兩點可以畫出多條直線。究其原因，是學生在日常生活中難以獲得“無限長”的具體形象支撐；而數(shù)學上的點和直線又是沒有顏色、重量、粗細等任何物質(zhì)和能量特征的理想化對象?；跀?shù)學這一特點，培養(yǎng)學生的抽象能力便成了數(shù)學教學的重要目標[1]4。

1.2 數(shù)學表征的符號化

符號化的語言表征是數(shù)學最明顯的特征之一。數(shù)學發(fā)展至今，已成為一個符號化的世界，引入了數(shù)學符號化語言是其取得如此輝煌的成就和巨大的進展的重要原因之一[2]。數(shù)學符號語言是統(tǒng)一性、簡潔性、確定性、一般性、概括性的象征[3]6。符號語言的理解和使用也是學生算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵點。小學數(shù)學常見的數(shù)學符號如表1所示。

表1 小學數(shù)學常見的數(shù)學符號

1.3 邏輯推理的嚴謹性

數(shù)學具有高度的邏輯嚴謹性，數(shù)學結(jié)論都是從一些基本的數(shù)學概念(或公理)出發(fā)，通過嚴格的邏輯推理而得來。每個數(shù)學結(jié)論背后都有著強大的、嚴格的、嚴謹?shù)倪壿嬒到y(tǒng)。數(shù)學上的推理也分為兩大類，即合情推理和演繹推理，合情推理又分為歸納推理和類比推理[3]6，具體分類如表2所示。

表2 數(shù)學推理的分類

這兩類推理功能不同，但相輔相成。合情推理用以探明思路，引發(fā)猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)果；演繹推理用以證明結(jié)論[3]7。推理是研究數(shù)學或其他科學領(lǐng)域的過程中必不可少的邏輯思維方式，這也體現(xiàn)了數(shù)學的兩重性——合情和演繹。

1.4 數(shù)學應用的廣泛性

數(shù)學研究對象涉及現(xiàn)實生活和生產(chǎn)的方方面面，特別是在當今快速發(fā)展的信息化時代，數(shù)學在大數(shù)據(jù)統(tǒng)計、計算機開發(fā)等領(lǐng)域，發(fā)揮著不可替代的作用。同時，自然科學、人文社科、思維科學等，都可以借助數(shù)學的抽象性、邏輯嚴謹性、符號化語言等特征來進行精確、嚴謹?shù)难芯縖4]。

2 小學生數(shù)學認知的基本特點

“教數(shù)學”不是小學數(shù)學的首要任務。通過數(shù)學教學來育人，通過數(shù)學教育發(fā)展學生在快速變遷社會中高質(zhì)量生存所必需的能力、素養(yǎng)和情感，才是小學數(shù)學教育的第一要務[1]10。因此，首先需要了解小學生數(shù)學認知的基本特點。

2.1 思維形象化

小學階段的數(shù)學認知具有形象化的特點，小學生需要大量具體化、形象化的事物支撐，并通過自身已有的經(jīng)驗進行數(shù)學學習。小學數(shù)學教學中的許多教學難點是由數(shù)學的抽象性和學生思維的形象性之間的矛盾造成的。即使是“簡單的”數(shù)的認識(如正整數(shù)1、2、3……)、一維圖形(如點、線段、射線、直線……)等數(shù)學內(nèi)容對于小學生而言也是抽象的、有難度的。因為小學生的認知特點是以形象思維為主，逐漸向抽象思維過渡?！皠幼鳌硐蟆枴笔切W生學習過程的認知順序，也是學生認知發(fā)展的程序。小學生的數(shù)學學習有獲得形象化、具體化支持的需求，小學階段又是培養(yǎng)學生邏輯思維、數(shù)學素養(yǎng)的初級階段和關(guān)鍵期，若不處理好這兩者之間的關(guān)系，將會給學生后期數(shù)學學習，甚至其他學科的學習帶來不利影響。

2.2 用自然語言表達數(shù)學

自然語言是由一定的歷史文化自然演變而來的語言，具有區(qū)域性、民族性、模糊性和多義性等特點[4]。小學生習慣用自然語言表達數(shù)學，這與數(shù)學的明確性、嚴謹性、抽象性等特點不符。用自然語言研究數(shù)學煩瑣冗長，會限制數(shù)學的發(fā)展，也正是由此，才促使了后期數(shù)學符號化語言的形成?！爱敂?shù)學對象能夠被直觀的描述時，學生這種‘馬虎的’自然語言就可以被接受。”[5]但數(shù)學本身就是抽象的，自然語言不足以支撐學生在數(shù)學上的發(fā)展，因此數(shù)學教學要有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)學語言。

2.3 思維的隨意性

小學生的認知有隨意性、經(jīng)驗性、簡單化、具體化等特點，他們對步驟間的邏輯關(guān)系缺乏思考，習慣性依靠經(jīng)驗簡單化、隨意化處理。推理思想是數(shù)學基本思想之一，數(shù)學是通過推理才得以發(fā)展的。但推理對小學生來說具有一定的難度，演繹推理更是如此。小學生在根據(jù)學習內(nèi)容進行推理時，容易出現(xiàn)推理過程不嚴謹?shù)膯栴}。

2.4 小學生認知的片面性

小學生存在數(shù)學認知片面、生活經(jīng)驗是不足，知識面狹窄等問題。他們的數(shù)學意識、數(shù)學眼光還有所欠缺，不能很好地體會數(shù)學在生活中的價值。數(shù)學的應用廣泛性和小學生認識片面之間還存在著一定的差距。特別是一些生活情境不明顯的數(shù)學問題，如情境中沒有明顯的“已知……條件”和“求……結(jié)果”。從生活情境中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題，對學生而言具有一定的難度。例如，如何運用數(shù)學知識，合理安排超市自助收款機和人工收款柜臺的數(shù)量和服務時間段以優(yōu)化顧客排隊結(jié)賬等待的時間，提高顧客的購物體驗。教師要引導學生將其視為數(shù)學問題，然后通過學習、調(diào)查、分析，應用數(shù)學知識解決這一問題。

3 小學數(shù)學認知沖突的消解

基于上述分析，需要全面了解學生已有知識基礎(chǔ)、科學開展教學設(shè)計、采用恰當教學方法方式，才能有效解決數(shù)學知識與學生認知水平的矛盾，幫助學生建立新的認知結(jié)構(gòu)。部分教師在教學過程中創(chuàng)建情境、互動、游戲等，試圖從學生已有的生活經(jīng)驗、熟悉的現(xiàn)實情境和感興趣的話題出發(fā)，最大程度適應學生的認知發(fā)展。但多數(shù)創(chuàng)設(shè)的情境和重點內(nèi)容關(guān)聯(lián)性不大、不符合實際；互動停留在形式，沒有達到師與生、生與生之間良好的互動氛圍；設(shè)計的游戲有時讓學生不明所以，難以提起學生興趣，無法達到預期目標。同時，由于課堂時間有限，如果教師花費過多時間在興趣活動上，還會壓縮重點內(nèi)容的教學時間。還有部分教師過度追求數(shù)學的抽象性、邏輯嚴謹性，忽視了學生學習能力的實際情況，就會導致學生難以理解課堂教學內(nèi)容，教學效果差強人意。為解決上述問題，研究提出6點建議以實現(xiàn)由矛盾向統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化。

3.1 經(jīng)歷“具體—表象—抽象”的數(shù)學化過程

在教學過程中，教師要充分尊重學生“動作—表象—符號”的認知序列，讓學生經(jīng)歷“具體—表象—抽象”的數(shù)學化過程，體驗從實際情境中抽象出數(shù)學問題、分析問題、建立模型、解決問題、應用推廣的研究過程；要促進學生在“做數(shù)學”的過程中感受數(shù)學的價值，發(fā)展自己的數(shù)學思維。例如，讓學生經(jīng)歷由3條魚、3匹馬、3頭牛等到3個點，再到“3”的過程，通過“具體—半抽象—抽象”的過程，感受“數(shù)量”的特殊性和“數(shù)”的一般性，從而認識到數(shù)的意義數(shù)。在這個數(shù)學化的過程中，教師要舍得花時間，讓學生掌握抽象化的方法，感受數(shù)學的思想方法。雖然數(shù)學內(nèi)容越來越豐富，但抽象的方法是具有普適性的，對抽象方法的正確理解和靈活遷移能夠幫助學生提高學習效率，減輕學習負擔。

3.2 突破數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)，調(diào)整數(shù)學學習順序

數(shù)學是一門邏輯性較強的學科。例如，按照歐式幾何體系的邏輯順序是“一維—二維—三維”，但小學生在日常生活中積累的大多是三維表象；與三維圖形(體)相比，一維圖形(點、線)和二維圖形(面)對小學生而言反而更具抽象性。因此，在教學過程中，教師應遵循學生的認知規(guī)律，按照“三維—二維—一維”的順序進行教學。再如，數(shù)的擴充順序為自然數(shù)—分數(shù)—小數(shù)，但學生在日常生活中積累了大量關(guān)于小數(shù)的經(jīng)驗，且小數(shù)和整數(shù)四則運算的本質(zhì)也一致，所以很多版本的小學數(shù)學教材是按照“小數(shù)—分數(shù)”的順序或小數(shù)、分數(shù)穿插進行來編排，以更好地適應學生的認知。

教師教學過程中《課標》是依據(jù)、教材是參考、學生是根本。教師應在充分了解學生、理解教材、領(lǐng)悟《課標》的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地使用教材，成為課程的開發(fā)者和建設(shè)者。小學數(shù)學教師在課程設(shè)計與教學中應適當突破數(shù)學自身的知識結(jié)構(gòu)，調(diào)整學生學習順序，以更好地適應學生認知，幫助其有效學習。

3.3 加強對比，啟發(fā)想象

一維圖形線段、射線和直線是很抽象的數(shù)學概念。教材按照“線段—射線—直線”的順序進行編排的原因是，相對于線段，射線和直線的教學難度會大一些。學生對“無限長”缺乏形象支撐，更是經(jīng)驗化地把“直的線”等同于直線。在教學時發(fā)現(xiàn)，低年級學生會把角的兩條邊稱作“直線”。教師在教學中可以先不進行過多糾正，隨著學習的深入，學生已有的經(jīng)驗就會和新知(射線、直線)產(chǎn)生沖突。而在關(guān)于射線、直線的教學過程中，抽象的“無限長”仍難以直觀呈現(xiàn)。教師可以采用加強對比、啟發(fā)想象的對策來突破，在盡可能提供形象支撐(如使用激光筆光線表達射線)的前提下，通過語言啟發(fā)學生想象射線的無限延伸，再類比到直線的相關(guān)定義。另外，在概括總結(jié)部分，可以讓學生對線段、射線和直線的特點進行對比，以加深其對重難點的理解和感悟。

數(shù)學上的點和線是理想化的，不具備物質(zhì)和能量特征。教師可以通過“畫一畫”“量一量”等活動讓學生感受數(shù)學中點、線的關(guān)系和形式，啟發(fā)學生想象這種理想化的狀態(tài)，讓學生領(lǐng)悟到“兩點確定一條直線”“一點可以引出無數(shù)條射線”等公理。

3.4 有意識滲透符號意識

在課程教學初期，教師可以不必嚴格要求學生用數(shù)學語言來進行準確表達，只要求其能用自然語言表達其意、充分理解符號含義即可。但要有意識地引導學生經(jīng)歷數(shù)學符號“再創(chuàng)造”的過程，幫助學生理解數(shù)學符號的意義，學會運用數(shù)學符號表示對象、進行運算和推理并得到一般性的結(jié)論，進而感受數(shù)學符號的優(yōu)越性。由教師主動地滲透符號意識，再到學生自發(fā)地用數(shù)學語言進行準確表達，進而真正實現(xiàn)對學生代數(shù)思維的培養(yǎng)。

3.5 在過程中加強推理的嚴謹性

雖然小學生的推理能力有限，但培養(yǎng)學生推理思想及推理嚴謹性對發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)具有重要意義。小學數(shù)學課程與教學剔除了一些較難的演繹證明，但在教學過程中仍要注重對學生推理能力的培養(yǎng)[6]。例如，在講授“加法交換律”相關(guān)內(nèi)容時，除了引導學生由“3+4=4+3、5+6=6+5、8+7=7+8”得到“a+b=b+a”，還應引導學生嘗試找到一個反例對得出的推論進行證偽；只有當學生無法找到反例時，才能說明剛才的推論是正確的。在培養(yǎng)學生推理能力的同時，鍛煉其嚴謹?shù)乃季S過程。

3.6 在解決問題的過程中感受數(shù)學的價值

教師應該幫助學生積累豐富、全面的數(shù)學活動經(jīng)驗。數(shù)學教學不僅僅局限在課堂，還應走進校園、走進社區(qū)、走進自然、走進社會，引導學生使用數(shù)學思維解決現(xiàn)實問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學視野，讓其體驗數(shù)學的應用魅力[7]。只有這樣，才能培養(yǎng)學生的問題意識，在解決問題的過程中豐富其體驗、擴充其視野，進而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

4 結(jié)語

教師在進行小學數(shù)學教學設(shè)計時，應正視數(shù)學知識與學生認知的矛盾，認識到數(shù)學知識的抽象性、數(shù)學表征的符號化、邏輯推理的嚴謹性和數(shù)學應用的廣泛性等特點，尊重學生思維形象化、用自然語言表達數(shù)學、思維的隨意性和認知片面性的特點，并妥善處理其關(guān)系，才能使矛盾轉(zhuǎn)向統(tǒng)一，保證教學質(zhì)量。雖然在小學數(shù)學教學中還交織著其他矛盾關(guān)系，如教師和學生的矛盾，它們都是影響教學質(zhì)量重要因素，但解決數(shù)學知識與學生認知特點的矛盾是小學數(shù)學教學設(shè)計的基點。