王文科， 曹勝芳， 胡紅萍

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

壓縮感知(Compressed Sensing， CS)是近年來出現(xiàn)的一種信號采樣的新理論， 首先， 對信號進(jìn)行稀疏表示， 然后， 對稀疏后的信號進(jìn)行降維， 最后， 通過重構(gòu)算法對信號進(jìn)行恢復(fù). 目前， CS已運(yùn)用到矩陣信號處理、 無線信號通信、 成像、 生物醫(yī)學(xué)傳感、 生理信息采集等領(lǐng)域. 基于CS的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)可以同時完成數(shù)據(jù)采樣和數(shù)據(jù)壓縮， 大大降低了網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的傳輸量和能耗. Jiang等[1]提出了一種基于CS的動態(tài)重傳算法 以保證高數(shù)據(jù)重構(gòu)精度、 高網(wǎng)絡(luò)壽命和高能量利用率. 為了克服導(dǎo)波檢測數(shù)據(jù)量大的問題， 保持缺陷識別的準(zhǔn)確性， Wang等[2]提出了一種用于導(dǎo)波檢測的壓縮傳感方法， 取得了很好的效果.

當(dāng)前， 已有許多學(xué)者加入到研究CS圖像重構(gòu)的行列中. CS是一種快速磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging， MRI)的有效方法. 為了提高重建精度和計(jì)算速度， Shohei等[3]提出了一種基于CS的深度學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu). MR圖像重建實(shí)驗(yàn)表明， 該方法顯著加快了重建時間， 圖像質(zhì)量與傳統(tǒng)迭代重建相當(dāng). 對于傳統(tǒng)的高光譜成像技術(shù)， 需要獲得大量的高光譜圖像(Hyperspectral Image， HSI)， 具有數(shù)百個光譜波段， 導(dǎo)致數(shù)據(jù)采集、 傳輸和存儲成本高， W等[4]利用CS提出了一種新的基于上下文的壓縮感知(Context-Aware-CS， CACS)方法， 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 該方法優(yōu)于現(xiàn)有的一些高光譜壓縮成像方法. Deng等[5]提出了一種基于CS的迭代貪婪重構(gòu)算法， 由正交匹配追蹤和子空間追蹤算法估計(jì)的支持集的交集首先被設(shè)置為初始候選支持， 然后， 通過貪婪算法的回退和校正， 利用CS進(jìn)行圖像重構(gòu). 電阻斷層掃描是一種用于過程監(jiān)控和測量的傳感技術(shù)， 需要快速準(zhǔn)確的圖像重構(gòu). Zhang等[6]提出了一種改進(jìn)的正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法， 基于經(jīng)典OMP算法， 通過增加一個連續(xù)約束來防止局部最優(yōu)解和自適應(yīng)過程， 該算法基于測量的信息熵尋找最優(yōu)迭代次數(shù)， 使其適用于電阻斷層掃描逆問題. 裴廷睿[7]提出了迂回式匹配追蹤(Detouring Matching Pursuit, DMP)算法， 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， DMP算法計(jì)算復(fù)雜度較低、 重構(gòu)精度高、 對傳感器矩陣列相關(guān)性要求低， 在信號重構(gòu)精度方面具有明顯優(yōu)勢.

本文主要基于離散余弦變換[8](Discrete Cosine Transform， DCT)， 使用DMP算法， 解決了傳統(tǒng)的基于OMP算法、 BP算法等重構(gòu)圖像計(jì)算度復(fù)雜， 重構(gòu)準(zhǔn)確率低等問題. 該算法的主要思想是， 先對圖像進(jìn)行分塊DCT變換， 然后， 對變換后圖像信號再進(jìn)行分塊操作， 變?yōu)楹芏嗟牧邢蛄烤仃嚕?采用DMP算法進(jìn)行重構(gòu)實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 基于分塊 DMP算法的圖像重構(gòu)效果相比傳統(tǒng)的基于OMP， BP算法都有較大的提升.

1 基本理論

1.1 BCS理論

CS通過有限數(shù)量的線性泛函觀測感興趣的未知信號. 這些觀測值可被視為相對于給定線性變換T的信號頻譜的不完整部分， 因此， 常規(guī)線性重構(gòu)/合成(例如， 逆變換)通常不能重構(gòu)信號. 例如， 當(dāng)T是傅里葉變換時， CS考慮的情況是， 可用采樣頻率遠(yuǎn)小于奈奎斯特-香農(nóng)采樣理論所需的最高頻率. 通常假設(shè)信號可以相對于不同的相關(guān)基(例如， 小波)稀疏地表示， 或者， 它屬于特定的函數(shù)類(例如， 分段常數(shù)函數(shù)). 眾多的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 在這種假設(shè)下， 未知信號的穩(wěn)定重建是可能的， 并且在某些情況下重建是精確的[9 -11]. 若x為長度N的一維信號， 稀疏度為K，A為M×N的二維矩陣(M

y=Φx=Φψs=Θs，

(1)

Θ=Φψ，

(2)

式中：Θ稱為傳感矩陣， 求出s的逼近值s′， 則原始信號x′=ψs′.

在CS圖像重構(gòu)研究中， Gan等[15]最先提出了圖像分塊壓縮感知(Block Compressed Sensing， BCS)思想. 基于BCS理論的主要操作是將原始圖像分割成許多大小相同的小圖像塊， 并對這些小圖像塊使用相同的觀測矩陣. 同時， 這些圖像塊在圖像信號重建端被重建以組合整個圖像. 圖像x， 像素N=Ir×Ic的圖像分為很多個B×B大小的圖像塊.用xi表示第i個圖像塊，i=1,2,…,n，n=N/B2， 將分塊之后的圖像， 采用相同的測量矩陣ΦB， 對各個子塊xi進(jìn)行測量， 得到測量值

yi=ΦBxi.

(3)

這種分塊處理方式相當(dāng)于對整個圖像使用等價(jià)的采樣矩陣

(4)

整個圖像觀測值

(5)

各個恢復(fù)圖像塊

(6)

相對于原來的CS方法， BCS分塊后測量矩陣ΦB的尺寸會變小， 這不僅使離散余弦變換后的信號更加稀疏， 還減少了存儲測量矩陣所用的空間， 計(jì)算復(fù)雜度降低， 大大提高了圖像的重構(gòu)速度.

1.2 DMP理論

從觀測矩陣y恢復(fù)稀疏信號的問題可以表述為一個L0問題

(7)

該問題被證明是一個NP問題， 通常將其轉(zhuǎn)化為一個L1問題

(8)

OMP是一種最簡單有效的貪婪重構(gòu)算法， 它加入與當(dāng)前殘差相關(guān)性最大的列向量Φi到子矩陣Φs， 并更新假定支撐集. 由于OMP沒有對假定支撐集進(jìn)行修正， 使得OMP可重構(gòu)的稀疏信號的稀疏度范圍受限. 后來提出的壓縮抽樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit， CoSaMP)[16]算法， 通過擴(kuò)增縮減的方法， 修訂假定支撐集， 可以使重構(gòu)準(zhǔn)確率高于OMP算法.

DMP算法主要步驟如下：

步驟2： 得到一個原始的假定支撐集S

(9)

步驟3： 逐個縮減支撐集元素

(10)

步驟4： 逐個擴(kuò)增支撐集元素

(11)

步驟5： 循環(huán)步驟3和步驟4， 直至滿足設(shè)定條件， 跳出循環(huán)， 輸出正確的支撐集S*和稀疏信號x.其中全集Ω={1,2,…N}， 子集S∈Ω，i∈S表示i在集合S中的位置.

2 基于DMP和BCS的圖像重構(gòu)算法

首先， 對原始圖像進(jìn)行DCT稀疏變換； 其次， 將變換后的稀疏圖像信號均勻分塊， 將每個子塊圖像數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成列矩陣， 使用相同的觀測矩陣觀測采樣這些圖像子塊， 并將采樣得到的信號轉(zhuǎn)換成列矩陣， 再利用DMP算法循環(huán)重構(gòu)每個小圖像塊對應(yīng)的列矩陣， 將重構(gòu)信號進(jìn)行DCT逆變換， 得到重構(gòu)圖像； 最后， 采用3×3的窗口模板對重構(gòu)圖像進(jìn)行均值濾波,實(shí)現(xiàn)平滑去噪. 由此， 建立了基于BCS和DMP的圖像重構(gòu)算法， 記為BCS-DMP.

具體算法流程如下：

步驟1： 輸入原始圖像信號， 對原始圖像進(jìn)行一次中值濾波預(yù)處理；

步驟2： 使用DCT變換稀疏信號， 對輸入信號按每個8×8的分塊大小處理， 進(jìn)行DCT變換， 建立一個8×8的mask矩陣來保留不同數(shù)量和部位的DCT系數(shù)， 塊重構(gòu)得到稀疏信號及稀疏度；

步驟3： 將像素為256×256的圖像均勻分塊處理,設(shè)置各分塊圖像si的大小均為16×16， 其中i=1,2…16， 把所分大小為16×16的塊矩陣s轉(zhuǎn)化為si=256×1的列矩陣；

步驟4： 選取合適的M值,生成M×256維的高斯隨機(jī)測量矩陣， 對si進(jìn)行測量， 得到測量矩陣yi， 其中M=τ×256(M取整)，τ為壓縮比；

步驟5： 利用DMP算法對列矩陣進(jìn)行信號重構(gòu)， 并把重構(gòu)信號列矩陣進(jìn)行保存.

步驟6： 將重構(gòu)后的列矩陣轉(zhuǎn)化為塊矩陣并進(jìn)行DCT逆變換， 直到對所有小塊圖像si壓縮重構(gòu)完畢,進(jìn)而重新按照順序組合成整幅圖像， 并對得到的圖像進(jìn)行均值濾波， 使得到的圖像更加平滑.

本文提出的BCS-DMP算法實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)的流程圖如圖 1 所示.

圖 1 BCS-DMP圖像重構(gòu)

3 實(shí) 驗(yàn)

采用3種經(jīng)典測試圖像： Camera， Peppers， Boats(圖像大小為256×256像素)， 選用配置為 intel(R) Core(TM) i5-7300HQ， 2.50 GHz， 8.00 GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)， 在Matlab R2019b環(huán)境中進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 算法重構(gòu)性能用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio， PSNR)衡量， PSNR公式為

(12)

(13)

式中：MSE為圖像x和圖像y的均方誤差；H，W分別為圖像的高度和寬度；n為每個像素的比特?cái)?shù)， 一般取8.

采用CS_OMP， CS_BP， CS_Bayes， CS_CoSaMP， CS_SP與本文提出的BCS-DMP算法進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)， 這6種算法都是在基于離散余弦變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行重構(gòu). 在壓縮比τ分別為0.2,0.3,0.4,0.5的情況下， 這6種算法的峰值信噪比的比較由表 1 所示.

表 1 在不同壓縮比τ下4種算法的峰值信噪比比較

在表 1 中， 當(dāng)τ=0.3,0.4,0.5時， 本文提出的BCS-DMP算法重構(gòu)信噪比均達(dá)到最高， 分別為25.48 dB， 26.90 dB， 27.53 dB(Camera)， 26.35 dB, 27.82 dB, 28.25 dB(Peppers)和26.63 dB， 28.23 dB， 29.53 dB(Boats). 當(dāng)τ=0.2 時， CS-BP算法得到Camera和Peppers的峰值信噪比達(dá)到最高， 但與本文提出的BCS-DMP算法Camera重構(gòu)的峰值信噪比相差無幾， 而CS_CoSaMP算法的Boats重構(gòu)圖像的峰值信噪比達(dá)到最大， 但也是較高于BCS-DMP算法. 說明了BCS-DMP算法優(yōu)于CS-OMP， CS-BP， CS-Bayes， CS_CoSaMP和CS_SP算法. CS_CoSaMP算法在壓縮比τ=0.2時可以達(dá)到一個較好的峰值信噪比， 隨著壓縮比的提高， 峰值信噪比先降低后升高. 除CS_CoSaMP算法外， 剩下幾種算法的圖像重構(gòu)的峰值信噪比值隨著壓縮比的不斷提高而不斷增大， 提高了圖像重構(gòu)質(zhì)量.

圖 2～圖 4 分別為τ=0.5時， Camera, Peppers, Boats的6種算法的重構(gòu)圖像. 從圖 2～圖 4 可見， BCS-DMP算法的重構(gòu)效果最棒， 更接近于原圖像.

圖 2 Camera重構(gòu)圖像

圖 3 Peppers重構(gòu)圖像

圖 4 Boats重構(gòu)圖像

算法處理時間的對比， 在一定程度上反映了算法復(fù)雜度的差別， 為了進(jìn)一步比較不同算法的重構(gòu)效果， 進(jìn)行算法運(yùn)行時間比較的實(shí)驗(yàn). 如表 2 所示， 當(dāng)τ=0.5時， 通過6種算法， 分別對Camera， Peppers， Boats進(jìn)行10次實(shí)驗(yàn)， 取其均值， 得到每組實(shí)驗(yàn)運(yùn)行所需時間. 由表2中數(shù)據(jù)可知CS_OMP， CS_SP， CS_CoSaMP與BCS-DMP重構(gòu)時間都較短， 其中CS_SP的重構(gòu)時間最短， BCS-DMP次之， 但CS_OMP， CS_BP， CS_CoSaMP算法重構(gòu)效果都不如BCS-DMP算法， CS_BP重構(gòu)效果僅次于BCS-DMP， 但重構(gòu)時間是BCS-DMP的5倍～6倍， 進(jìn)一步說明了本文提出的BCS-DMP算法優(yōu)于其他5種算法， 且BCS-DMP方法不僅降低了計(jì)算復(fù)雜度， 而且不需要傳輸所有的觀測數(shù)據(jù)， 減少了傳感器部分的存儲量， 加快了重構(gòu)速度， 并且該算法能準(zhǔn)確地重構(gòu)稀疏度更高的稀疏信號.

表 2 算法運(yùn)行時間比較

4 結(jié) 論

針對圖像重構(gòu)計(jì)算度復(fù)雜， 重構(gòu)準(zhǔn)確率不高的問題， 本文介紹了一種BCS-DMP算法. 其中， DMP算法采用了先最優(yōu)逐個縮減、 后最優(yōu)逐個擴(kuò)展假定支撐集的思想， 降低了重構(gòu)稀疏信號的計(jì)算復(fù)雜度， 提高了重構(gòu)精度. BCS可以提高離散余弦變換的稀疏效果， 減少存儲測量矩陣占用的空間. 實(shí)驗(yàn)表明， 本文算法在保證圖像重構(gòu)精度的基礎(chǔ)上， 縮減了重構(gòu)所需時間， 具有一定的實(shí)用價(jià)值.