張 驕， 王 敏

(山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院， 山西 太原 030006)

0 引 言

隨著信息時代的發(fā)展， 人們需要處理的信息越來越龐大， 傳統(tǒng)采樣定理的應(yīng)用遇到了瓶頸， 壓縮感知技術(shù)逐漸進入人們的視野. 在傳統(tǒng)的信號采樣中， 采用奈奎斯特采樣定理能夠完全的恢復(fù)出原始信號的信息， 同時也帶來了一系列問題， 比如占用存儲空間較大， 運行時間較長、 采樣數(shù)據(jù)量大等， 為了能夠提高系統(tǒng)性能， 必須解決這些問題. 所以， 在實際中采用了壓縮感知技術(shù)， 壓縮感知技術(shù)是一種利用較低采樣速率對信號進行采樣的方法， 這種方法既能保留原有的信息， 也能解決信號數(shù)據(jù)量較大等問題. 同時， 能夠抑制干擾， 進而改善系統(tǒng)估計波達(dá)方向的精度問題.

壓縮感知理論[1-5]又被稱為壓縮采樣理論， 該理論從連續(xù)時間信號中進行采樣， 提取有用信號， 將信號變換為壓縮樣本， 然后， 運用優(yōu)化算法， 將壓縮樣本恢復(fù)出原始信號. 壓縮感知理論主要由稀疏表示、 測量矩陣和重構(gòu)算法3個部分組成. 其中， 重構(gòu)算法是本文研究的重點環(huán)節(jié)， 它的作用是從壓縮采樣之后的信號中恢復(fù)出原始信號. 近年來， 涌現(xiàn)出了各式各樣的壓縮感知重構(gòu)算法， 在無線通信[6-8]、 定位導(dǎo)航[9-10]、 醫(yī)學(xué)成像等方面取得了一定成果. 例如， J. Tropp等[11]提出了正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit， OMP)， 在重構(gòu)算法的研究中發(fā)揮了重要作用.

文獻[12] 提出了一種近似 OMP， 通過優(yōu)化最小二乘問題， 提高重構(gòu)速度， 降低計算復(fù)雜度； 文獻[13]采用OMP降低了模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器等設(shè)備的性能復(fù)雜性； 文獻[14] 提出了一種改進的OMP稀疏分解算法， 對不同個體的光體積描記信號(光體積描記信號是人體固有的生理信號， 包含了大量的人體病理生理信息)進行分解， 大大減少了計算量； 文獻[15] 給出一種基于半張量積的正交匹配追蹤重構(gòu)算法， 降低了隨機觀測矩陣的存儲空間. 正交匹配追蹤算法雖然很大程度上降低了采樣數(shù)據(jù)量， 但同時也降低了系統(tǒng)的估計性能. 本文以互質(zhì)陣列為模型， 先使用正交匹配追蹤算法對陣列接收到的采樣數(shù)據(jù)進行壓縮重構(gòu)， 結(jié)合互質(zhì)陣列虛擬內(nèi)插和空間平滑技術(shù)， 使該陣列能夠采用較少的數(shù)據(jù)對相干信號實現(xiàn)精確的估計. 通過數(shù)據(jù)仿真分析， 驗證基于壓縮感知的虛擬陣列內(nèi)插算法的有效性.

1 正交匹配追蹤算法

壓縮感知理論主要采用較低的采樣頻率對信號進行采樣， 采樣頻率遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣定理， 再利用重構(gòu)算法恢復(fù)出原始信號.

如果輸入原始信號X， 那么可以選擇一組正交基向量Φ進行稀疏變換[16]， 那么輸入信號可表示為

X=Φδ,

(1)

式中：δ為信號X在每一個正交基Φ上的系數(shù)向量， 每個向量δ都具有稀疏特性.

接著對接收到的數(shù)據(jù)信號進行壓縮采樣， 即用一個測量矩陣ψ進行線性表示， 這里的測量矩陣與正交基向量不相關(guān)， 將擁有較大數(shù)據(jù)量的高維信號壓縮采樣成低維信號， 可表示為

Y=ψX.

(2)

將式(1)帶入式(2)， 輸入信號的稀疏矩陣

Y=ψΦδ=θδ,

(3)

式中：θ=ψΦ為傳感矩陣.

將式(3)中的Y通過重構(gòu)算法重構(gòu)原始信號， 在本文中運用了正交匹配追蹤算法.

正交匹配追蹤算法是一種經(jīng)典的壓縮感知重構(gòu)算法. 其大致思想是： 把測量矩陣的每個列向量均看作一個原子， 兩兩列向量之間相互正交， 每次迭代都通過計算測量矩陣各個列向量與當(dāng)前殘差之間內(nèi)積找出最相關(guān)的一個原子加入支撐集， 計算稀疏信號的估計值并更新殘差， 接著重復(fù)上述步驟進行多次迭代， 直至殘差小于設(shè)定閾值， 由得到的支撐集原子估計出原始信號. OMP算法總結(jié)如下：

輸入： 稀疏度S， 采樣信號Y， 傳感矩陣θ.

輸出： 重構(gòu)信號X

初始化： 殘差r0=Y， 重構(gòu)信號x0=0， 索引集Λ0=Φ， 迭代次數(shù)n=2×S， 計數(shù)器s=0.

初始化完成以后， 其具體步驟如下：

步驟1： 計算殘差和傳感矩陣的每一列的內(nèi)積值cs=AT×rs-1， 并找出ck中最大的元素csmax=max{cs}以及對應(yīng)的位置Q；

步驟2： 更新索引集?s=?s-1∪{Q},以及原子集合θ?s=θ?s-1∪{θ(：Q)}；

步驟3： 利用最小二乘法得到

(4)

步驟4： 更新殘差rs=Y-θXs；

2 基于互質(zhì)陣列的虛擬陣列內(nèi)插

2.1 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)模型

本文以互質(zhì)陣列為模型， 互質(zhì)陣列是一種稀疏陣列， 互質(zhì)陣的陣列結(jié)構(gòu)如圖1(c)所示. 該陣列由圖1中的兩個子陣1(a)和子陣2(b)嵌套構(gòu)成， 子陣1(a)和子陣2(b)均為均勻線陣， 將子陣1(a) 和子陣2(b)的第1個陣元放在同一位置. 假設(shè)子陣1(a)和子陣2(b)的陣元個數(shù)分別為M和N， 相鄰兩個陣元之間的距離為Nd和Md，M和N必須為互質(zhì)的整數(shù)， 以使兩個子陣嵌套時， 除了第1個陣元重疊之外， 其他陣元都不重疊， 其中d=λ/2表示半波長.互質(zhì)陣列的陣元數(shù)為M+N-1.

圖 1 互質(zhì)陣列模型

設(shè)互質(zhì)陣列接收的目標(biāo)信號個數(shù)為K， 那么互質(zhì)陣列的接收信號

(5)

式中：A(θ)=[α(θ1)，α(θ2)， …，α(θK)]， 表示陣列流型矩陣， 其中

α(θk)=[1,e-jπi1dsin(θk),…,e-jπiM+N-1dsin(θk)]T,

(6)

式中：θk為第k個目標(biāo)信號的入射角度；s(t)表示由k個信號組成的信源矢量；n(t)表示加性高斯白噪聲； [·]T表示矩陣轉(zhuǎn)置運算；i為第l個陣元，i=1,2,…,M+N-1.

互質(zhì)陣列接收信號x(t)的協(xié)方差矩陣表示為

(7)

式中: [·]H表示共軛轉(zhuǎn)置運算.

(8)

2.2 互質(zhì)陣列的虛擬陣元拓展方式

互質(zhì)陣列通過將物理陣列擴展成虛擬陣列的方式， 提高對波達(dá)方向估計的自由度， 將物理陣元的位置兩兩作差的集合， 得到一個差分集， 差分集代表了虛擬陣列中每個陣元的位置. 為了得到互質(zhì)陣列的虛擬陣列， 將協(xié)方差陣列向量化， 即

(9)

式中：vec(·)為矩陣的向量化運算，iB=vec(I)，AB為虛擬陣列的陣列流型矩陣， 其表達(dá)式為

AB=[α*(θ1)?α(θ1),α*(θ2)?α(θ2),…,

α*(θK)?α(θK)],

(10)

式中： ?表示克羅內(nèi)克積運算. 假設(shè)物理陣元

hd={li,i=1,2,…,M+N-1}d,

(11)

位于lid互質(zhì)陣列中第i個陣元的位置， 那么該物理陣列的差分集

hdid={|li-lj|i,j=1,2,…,M+N-1}d.

(12)

式(12)即為式(11)相對應(yīng)的虛擬陣列的陣元位置. 該差分集對應(yīng)的矢量

(13)

式中：D為互質(zhì)陣列虛擬后位于hdid的虛擬陣列的陣列流型矩陣.

本文假設(shè)子陣1的陣元數(shù)為3， 子陣2的陣元數(shù)為5， 實際陣元的位置為{0,3,5,6,9,10,12}， 互質(zhì)陣列模型如圖2(a)所示. 圖 2(b) 為圖 2(a) 陣列對應(yīng)的虛擬陣列. 對比圖2(a)和圖2(b)可以看出虛擬陣列陣元數(shù)明顯增加， 但在位置{-11,-8,8,11}處存在陣元缺失， 所以該虛擬陣列是一個非均勻線性陣列.

圖 2 互質(zhì)陣列實際陣列、 虛擬陣列和內(nèi)插虛擬陣列模型

2.3 基于虛擬陣列的內(nèi)插平滑DOA估計

為了獲得原始陣列的全部信息并提高陣列的自由度， 本文引入了陣列內(nèi)插的思想， 將非均勻陣列構(gòu)造成均勻陣列， 在這個陣列中不僅包含了虛擬陣列的所有信息， 而且解決了陣列不均勻所帶來的問題.

分別在圖2(b)的{-11,-8,8,11}位置處插入虛擬陣元， 構(gòu)造一個具有25陣元的均勻虛擬陣列， 如圖2(c)所示. 由于該陣列無法分辨相干信號源， 所以本文使用了空間平滑算法， 如圖2(c)所示， 將該陣列分解成4個數(shù)量相同且相互重疊的均勻子陣列， 假設(shè)每一個子陣包含22個連續(xù)虛擬陣元， 那么均勻子陣列個數(shù)P=25-22+1=4. 進行空間平滑得到矩陣

(14)

式中：xp為第p個均勻子陣列接收到的矢量信息，p=1,2,…,P,P為均勻子陣列的個數(shù).

最后， 利用MUSIC算法畫出波達(dá)方向的空間譜圖， 從而實現(xiàn)DOA估計.

2.4 算法步驟總結(jié)

基于上述分析， 互質(zhì)陣列虛擬內(nèi)插方法的主要步驟可以大致歸納為以下4步：

步驟1： 求接受信號x(t)的協(xié)方差矩陣， 并且向量化協(xié)方差矩陣， 形成初步不連續(xù)的的虛擬陣列模型；

步驟2： 在不連續(xù)的虛擬陣列內(nèi)插虛擬陣元， 構(gòu)造成均勻的虛擬陣列；

步驟3： 加入空間平滑算法， 將均勻的線陣劃分為多個陣元數(shù)相同的疊合子陣列， 分別計算各個子陣列的協(xié)方差矩陣， 然后， 求所有子陣協(xié)方差矩陣的均值，

步驟4： 使用MUSIC算法進行譜峰搜索， 估計信號DOA.

3 仿真實驗和結(jié)果分析

根據(jù)以上陣列模型和算法進行了仿真分析， 子陣1(a)和子陣2(b)陣元數(shù)分別為M=3,N=5， 由這兩個子陣列組成的互質(zhì)陣列的陣元數(shù)為M+N-1=7， 互質(zhì)陣列的陣元位置分別為{0,3d,5d,6d,9d,10d,12d}，d=λ/2.在實驗1和實驗2中進行了50次獨立蒙特卡羅實驗.在本文中測向分辨率的精確性可以由分辨成功率進行判定.探測精度是指系統(tǒng)能夠分辨的兩個波達(dá)方向的最小度數(shù)差.

實驗1 非相干信源時算法的檢測性能仿真實驗

為了證明在正交匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上利用虛擬內(nèi)插可以提高系統(tǒng)的測向分辨率， 該實驗仿真條件設(shè)置為： 信噪比SNR=0 dB， 信源數(shù)取小于陣元數(shù)的任意整數(shù)， 這里信源數(shù)設(shè)置為3， 信源的來波方向分別為0°， 20°， 30°. 圖 3 中的虛線是通過壓縮感知技術(shù)將信號壓縮， 再利用正交匹配追蹤算法(OMP)對信號重構(gòu)， 得到DOA估計空間譜圖， 實線代表將信號壓縮感知重構(gòu)之后， 再將互質(zhì)陣列虛擬內(nèi)插(VI-OMP)， 得到空間功率譜圖. 由圖 3給出的空間譜曲線可以看出， 利用VI-OMP算法得到的空間譜要比OMP算法的波峰更尖銳， 表明經(jīng)過虛擬內(nèi)插之后， 系統(tǒng)性能更好， 測向分辨率更高.

圖 3 空間譜對比圖

圖 4 對比了OMP算法和VI-OMP算法在不同信噪比情況下的均方根誤差， 由圖 4 可知， 隨著信噪比的增大， VI-OMP算法的均方根誤差明顯小于OMP算法. 圖 5 對兩種算法的分辨成功率進行了對比分析， 實驗結(jié)果表明， 信噪比越大， 兩種算法的分辨成功率越大， 但VI-OMP算法的分辨成功率明顯更高.

圖 6 表示在信噪比為0 dB， 信源入射角為18°和20°時， VI-OMP算法對應(yīng)的曲線有較為平緩的兩個波峰， 這時剛好能分辨出兩個信號， 說明VI-OMP算法在信噪比為0 dB時的最高探測精度為2°， OMP算法則只有一個波峰， 所以O(shè)MP算法在信噪比為0時的測向分辨率大于2°； 圖7是當(dāng)信噪比增大到10dB時兩個入射角的功率譜圖， 這時， VI-OMP算法的波峰明顯更尖銳， 實驗證明， 當(dāng)增大信噪比時， VI-OMP算法的探測精度會更精準(zhǔn). 由圖 4～圖 7 表明， 在正交匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上， 將矩陣虛擬內(nèi)插， 會使系統(tǒng)的DOA估計精確率更高， 具有更高的測向分辨率.

圖 4 均方根誤差對比圖

圖 5 分辨成功率對比圖

圖 6 非相干信源SNR=0 dB時最高測向分辨率對比圖

圖 7 非相干信源SNR=10 dB最高測向分辨率對比圖

實驗2 相干信源時算法的檢測性能仿真實驗

該實驗旨在證明在VI-OMP算法的基礎(chǔ)上， 利用空間平滑算法， 可以提高系統(tǒng)的測向分辨率. 該實驗仿真條件為： 信源數(shù)為3， 信噪比SNR=0 dB， 信源的到達(dá)方向分別為0°， 20°， 30°. 首先， 分別對OMP算法和VI-OMP算法進行測向， 然后， 在VI-OMP算法基礎(chǔ)上加入空間平滑算法(VSS-OMP)， 該方法的功率譜圖由圖 8 所示. 由圖 8 空間譜圖可知， OMP算法和VI-OMP算法無法對相干信號進行有效的DOA估計， VSS-OMP算法的空間譜圖能夠得到正確的譜峰， 估計出的波達(dá)方向也十分準(zhǔn)確， 3個待測波的空間譜波峰都比較尖銳.

圖 8 相干信源空間譜對比圖解

圖 9 和圖 10 是當(dāng)入射信號為相干信號時， OMP， VI-OMP和VSS-OMP 3種算法在不同信噪比下的均方根誤差和分辨成功圖. 圖9表明， 隨著信噪比的增加， 3種算法的均方根誤差都呈現(xiàn)減小的趨勢， 但VSS-OMP算法的均方根誤差明顯小于OMP算法和VI-OMP算法； 圖10對比了3種不同算法的分辨成功率， 圖中曲線表明隨著信噪比的增加， 3種測向結(jié)果的分辨概率逐漸增大， VSS-OMP算法的分辨成功率比OMP和VI-OMP算法高， 在相干信號分解中具有更高的測向分辨率， 準(zhǔn)確率更好.

圖 9 相干信源均方根誤差對比圖

圖 10 相干信源分辨成功率對比圖

圖 11 表示在信噪比為0 dB， 信源入射角為15.3°和20°時， VSS-OMP算法能夠估計出兩個相干信源的波達(dá)方向， 但這時的波峰比較平緩， 處于剛好能夠分辨的臨界點， 經(jīng)過多次實驗證明， VSS-OMP算法在信噪比為0dB時的最高探測精度為4.7°， 但OMP算法和VI-OMP算法都只有一個波峰， 波達(dá)方向估計不精確； 圖 12 是當(dāng)信噪比增大到10 dB時兩個入射角的功率譜圖， 這時VSS-OMP算法的波峰明顯比圖11更尖銳， 能夠清晰地估計出波達(dá)方向為15.3°和20°， 經(jīng)過多次實驗證明,當(dāng)增大信噪比時， VSS-OMP算法的探測精度會更精準(zhǔn).

由圖 8～圖 11 可以看出， 在VI-OMP算法的基礎(chǔ)上， 加入空間平滑算法， 會使系統(tǒng)的DOA估計精確率更高， 具有更高的測向分辨率.

圖 11 相干信源SNR=0 dB測向分辨率對比圖

圖 12 相干信源SNR=10 dB測向分辨率對比圖

4 結(jié) 論

本文以互質(zhì)陣列為模型， 提出了一種基于正交匹配追蹤算法的虛擬內(nèi)插空間平滑DOA估計算法， 該算法以互質(zhì)陣列為模型， 在正交匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上， 將陣列虛擬內(nèi)插構(gòu)成均勻線陣， 并且加入空間平滑算法. 將正交匹配算法(OMP)、 正交匹配算法與虛擬內(nèi)插陣列結(jié)合(VI-OMP)、 在VI-OMP算法中加入空間平滑算法(VSS-OMP)這3種算法進行對比， 在3個入射信源下， 對算法的空間譜、 不同信噪比下的均方根誤差和分辨成功率進行了仿真實驗. 結(jié)果表明， 本文提出的VI-OMP算法和VEE-OMP算法可實現(xiàn)更大的自由度和更高的測向分辨率， 特別是VSS-OMP算法， 不僅在非相干信源條件下有較高的測向分辨力, 對于相干信號波達(dá)方向估計， 依舊有很好的測向性能.