韋慧玲，羅陸鋒，盧清華，陳為林

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院機電工程與自動化學(xué)院，廣東佛山 528225)

0 前言

繩牽引并聯(lián)機器人是一類利用柔性繩索替代剛性連桿，以繩索為驅(qū)動介質(zhì)牽引末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)運動的并聯(lián)結(jié)構(gòu)機器人，是一類特殊的并聯(lián)機器人。它主要由繩索、末端執(zhí)行器、電機、滑輪以及點狀鉸鏈組成，如圖1所示。

圖1 繩牽引并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)示意

相對于傳統(tǒng)的剛性連桿并聯(lián)機器人，繩牽引并聯(lián)機器人具有結(jié)構(gòu)簡單、操作靈巧、質(zhì)量輕、工作空間大、運動速度快、運動鏈慣性小、干涉發(fā)生概率小、累計誤差小以及可拆裝重組等優(yōu)點。繩牽引并聯(lián)機器人由于具有以上顯著的優(yōu)點，從20世紀(jì)80年代誕生起，在多個領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，如風(fēng)洞試驗、3D打印、高速攝像、外科手術(shù)、患者康復(fù)、大型物料搬運裝配以及500 m大型射電望遠(yuǎn)鏡饋源繩索支撐系統(tǒng)等。

繩牽引并聯(lián)機器人中繩索勢能跟繩索質(zhì)量分布密切相關(guān)，而繩索質(zhì)量分布取決于繩索長度。當(dāng)繩牽引并聯(lián)機器人的幾何跨度達到百米以上時，由于繩索的柔彈性，繩索在自重或工作載荷作用下會產(chǎn)生明顯下垂，此時繩索長度就不等于弦長，而是等于懸鏈線弧長。繩索非線性懸鏈線模型是考慮繩索下垂能夠真實反映出繩索特性的模型，可以真實反映繩索特點，保證模型的精度。目前，在繩牽引并聯(lián)機器人非線性懸鏈線模型超越方程的解算中涉及索力計算。由于繩索只能承受拉力不能承受壓力，必須對索力進行優(yōu)化，保證所有繩索張力都大于零。而索力優(yōu)化問題大多數(shù)采用迭代算法，存在計算量大、計算困難等問題，難以滿足高速高精度實時計算的要求。因此，采用傳統(tǒng)方法解算大跨度繩牽引并聯(lián)機器人的繩索時變勢能場十分困難。而本文作者在前期工作中已經(jīng)解決了大跨度繩牽引并聯(lián)機器人非線性懸鏈線模型的降維優(yōu)化實時解算問題，能夠為實時勢能場的解算提供參考。

本文作者提出的時變勢能場模型是基于繩索非線性懸鏈線模型實時高精度解析解建立起來的明確勢能場與時變索長、繩索端點坐標(biāo)的實時數(shù)學(xué)模型，不需要進行索力迭代優(yōu)化計算，具有實時性強、精度高、計算量少等優(yōu)點。因此，基于時變勢能場的方法有望建立起可靠量化的大跨度繩牽引并聯(lián)機器人高速高精度穩(wěn)定運動實時穩(wěn)定性評價指標(biāo)。目前對牽引并聯(lián)機器人的穩(wěn)定性研究大多數(shù)是靜態(tài)穩(wěn)定性研究，需要基于迭代優(yōu)化的力旋量進行穩(wěn)定性評價指標(biāo)的建立和穩(wěn)定工作空間的確定，難以滿足大跨度繩牽引并聯(lián)機器人高速高精度穩(wěn)定運動實時穩(wěn)定性評價指標(biāo)的要求。因此，建立繩索時變勢能場模型并明確其演化規(guī)律，能更好地促進大跨度繩牽引并聯(lián)機器人的穩(wěn)定性分析。

針對繩牽引并聯(lián)機器人的時變勢能場建模解算和性能分析問題展開研究。首先，在繩索質(zhì)量微分單元和繩索長度微分單元的基礎(chǔ)上建立繩索牽引并聯(lián)機器人的微分勢能場模型；再基于有限元積分法得到繩索牽引并聯(lián)機器人勢能場模型的積分表達式；進一步，通過繩牽引并聯(lián)機器人懸鏈線模型高精度實時解析解和邊界約束條件，對繩索牽引并聯(lián)機器人勢能場模型進行實時解算，實現(xiàn)繩索牽引并聯(lián)機器人勢能場模型的實時解算；最后，通過仿真舉例試驗對時變勢能場模型的影響因素進行深入探討，仿真結(jié)果表明勢能場模型解算的合理性和有效性。

1 勢能場模型的建立

在對繩牽引并聯(lián)機器人的繩索時變勢能場建模前，本文作者作了以下假設(shè)：繩索彈性勢能忽略不計，因為在經(jīng)典的繩牽引并聯(lián)機器人應(yīng)用中，繩索彈性變形都小于0.5%，其彈性可以忽略不計；對大跨度繩牽引并聯(lián)機器人的繩索采用了主動阻尼振動控制技術(shù)，可忽略繩索振動對時變勢能場的影響。

通過繩索質(zhì)量微分單元和繩索長度微分單元建立繩索牽引并聯(lián)機器人的微分勢能場模型:

(1)

式中:為勢能場；為重力加速度;為繩索質(zhì)量；為繩索上任意一點的橫坐標(biāo)；為繩索上任意一點的縱坐標(biāo)。

通過有限元積分法建立繩牽引并聯(lián)機器人勢能場模型的積分表達式：

(2)

式中：為繩索端點的橫坐標(biāo)；為繩索端點的橫坐標(biāo)；為繩索密度。

為了解算勢能場的積分表達式，需要建立繩索懸鏈線模型和邊界約束條件。建立繩牽引并聯(lián)機器人懸鏈線模型如下：

(3)

式中：、、為系數(shù)。

建立繩牽引并聯(lián)機器人的索長約束條件：

(4)

端點坐標(biāo)約束條件：

(5)

端點坐標(biāo)約束條件:

(6)

把懸鏈線模型和3個邊界約束條件代入勢能場模型的積分表達式，通過求解積分得到勢能場模型：

(7)

2 模型系數(shù)的確定

為公式更加簡單易讀，令方程中的系數(shù)=、=和=，則公式(3)可整理為

(8)

公式(4)可整理為

(9)

公式(5)可整理為

(10)

公式(6)可整理為

(11)

(12)

整理公式(10)和(11)得到：

(13)

整理公式(12)和(13)，分別得到系數(shù)方程：

(14)

(15)

構(gòu)建式(14)和(15)的系數(shù)矩陣如下：

(16)

為使公式(12)和(13)同時成立，則系數(shù)矩陣行列式為0，即有：

(17)

根據(jù)公式(17)，參考文獻[14]中的懸鏈線模型解算方法可求解出勢能場模型系數(shù)、和如下：

(18)

3 勢能場模型的性能分析

3.1 勢能場與坐標(biāo)的關(guān)系

為更好地分析勢能場的性能，首先展示繩牽引并聯(lián)機器人的繩索懸鏈線形狀展示，如圖2所示。一根長度為的柔性繩索固定在兩個端點上，以表示的全局固定參考坐標(biāo)系附加在繩牽引并聯(lián)機器人的基座上，其中為原點。 繩索(1，2，，)與滑輪相切的點被假定固定在基座上。此外，第根繩索在末端執(zhí)行器平臺上的點處固定，并且假定該固定點相對于末端執(zhí)行器移動平臺是固定的。第根繩索連接點和，假設(shè)這是一條懸鏈線，其長度用表示。接觸點和為點狀鉸接點。為重力加速度。

圖2 繩牽引并聯(lián)機器人繩索懸鏈線示意

為探討勢能與繩索端點坐標(biāo)的關(guān)系，在平面上跟蹤勢能分布。假設(shè)==0 m，=9.81 m/s，=1 N/m，=10 m，根據(jù)式(7)計算得到勢能=-28.200 286 45 kg·m/s。 同時，可以繪制出不同勢能、和之間的關(guān)系如圖3所示。可以看出：勢能在平面內(nèi)的分布關(guān)于平面對稱。 另一個特征是相同數(shù)值的勢能沿相同的曲線分布。 同時，在平面內(nèi)，勢能輪廓線趨勢為下面勢能線的絕對值比上面勢能線的大。

圖3 勢能在xByB平面內(nèi)的分布(勢能單位為kg·m2/s2)

當(dāng)==0 m，=9.81 m/s，=1 N/m，=10 m，=1 m時，繩牽引并聯(lián)機器人繩索的勢能與端點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系如圖4所示?？梢钥闯?勢能關(guān)于軸對稱分布。端點的橫坐標(biāo)絕對值越大，勢能的取值就越大，說明繩索越長其勢能越大，跟繩索懸鏈線分布吻合。

圖4 末端執(zhí)行器勢能U與端點坐標(biāo)xB的關(guān)系

3.2 勢能場與繩索長的關(guān)系

圖5 末端執(zhí)行器與索長L的關(guān)系

3.3 重心坐標(biāo)實例驗證

根據(jù)以上分析可知繩牽引并聯(lián)機器人末端執(zhí)行器重心的坐標(biāo)表達式為

(19)

根據(jù)文獻[14]中的系數(shù)關(guān)系可知，當(dāng)=1 m、=4 m時有=-2.633 607 826、= 1.275 542 458、=-3.738 162 224。將這些數(shù)值代入式(7)中得到的總勢能=-28.200 286 45 kg·m/s，重心的坐標(biāo)為=-0.479 107 822 8 m。 為驗證繩牽引并聯(lián)機器人末端執(zhí)行器重心的坐標(biāo)表達式的正確性，使用另一種方法測試重心的坐標(biāo)。

(20)

通過上式計算獲得的重心′=-0.479 107 838 5 m。比較=-0.479 107 822 8和′=-0.479 107 838 5 m，可知兩種方法計算出的勢能值誤差為3.27×10，在可接受范圍內(nèi)，驗證了勢能場模型是正確合理的。

4 結(jié)論

針對繩牽引并聯(lián)機器人勢能場的建模、模型參數(shù)求解和性能分析三大問題，本文作者給出了一套完整的計算分析方法。根據(jù)繩牽引并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)特點建立了時變勢能場模型。利用懸鏈線模型高精度實時解析解求出了時變勢能場模型的參數(shù)，實現(xiàn)了勢能場模型的解算。通過仿真驗證了勢能場模型的有效性和解算的正確性。研究結(jié)果為基于時變勢能場的穩(wěn)定性評價、穩(wěn)定工作空間的標(biāo)定提供了參考。