李青松，張珂，燕震雷

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201418)

以氣體代替油脂作潤滑的動壓氣體軸承依靠其收斂間隙內(nèi)氣體流動產(chǎn)生的動壓效應(yīng)來承載[1]?？蓛A瓦動壓氣體軸承由多個瓦塊構(gòu)成，各瓦塊可以自由傾斜擺動進(jìn)行自我調(diào)節(jié)，具有轉(zhuǎn)速高，穩(wěn)定性好，能耗低，摩擦小等優(yōu)良性能， 在低溫、高速旋轉(zhuǎn)等機(jī)械中得到應(yīng)用[1-5]；但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，制造困難[5-6]。

可傾瓦氣體軸承在國外廣泛研究運(yùn)用而國內(nèi)研究并不成熟：文獻(xiàn)[7]提出了氣體軸承的理念；文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[8]首次研制出了以空氣作潤滑的氣體軸承；文獻(xiàn)[9-10]在等溫、考慮可壓縮性的條件下計算分析了無限長氣體軸承的性能；文獻(xiàn)[11]以可傾瓦動壓氣體軸承為研究對象計算分析了其靜態(tài)性能；文獻(xiàn)[12]基于矢量疊加原理求解分析氣體軸承靜態(tài)特性參數(shù)；文獻(xiàn)[13-14]提出以裝配法計算分析軸承的靜態(tài)性能；文獻(xiàn)[15]采用線性方法對可傾瓦氣體軸承的靜、動態(tài)特性進(jìn)行了分析研究；文獻(xiàn)[16-17]利用間隙耦合法分析了可傾瓦氣體軸承靜、動態(tài)性能。上述研究大部分是先計算單一瓦塊承載力，再進(jìn)行矢量合成的數(shù)值計算方法分析可傾瓦動壓氣體軸承的性能參數(shù)，但對氣體軸承性能分析大部分不考慮滑移邊界，僅利用連續(xù)介質(zhì)模型進(jìn)行分析。

軸承高速旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)、靜子兩者較小的氣膜間隙可導(dǎo)致兩者與氣膜潤滑作用面產(chǎn)生稀薄氣體滑移效應(yīng)[18-19]。文獻(xiàn)[20]最早利用線性玻爾茲曼方程推導(dǎo)出克努森數(shù)Kn變化下的潤滑方程，證實滑移邊界影響動壓氣體軸承的性能?；七吔缒Ｐ褪峭ㄟ^引入速度滑移邊界條件修正雷諾方程的方法分析滑移效應(yīng)下氣體軸承的各項性能，最常用的是1階滑移模型。文獻(xiàn)[21]考慮氣體滑移效應(yīng)提出2階滑移修正邊界模型，文獻(xiàn)[22]建立了1.5 階滑移速度邊界模型。當(dāng)0.0010.1，連續(xù)型模型和1階滑移模型對于間隙較小且Kn>0.1的氣流過渡區(qū)域的靜態(tài)性能預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確性低，但當(dāng)Kn>1時，1階和1.5階滑移模型的預(yù)測計算結(jié)果開始迅速偏離線性化玻爾茲曼方程解[23-25]。Frenkel-Kontorova(FK)模型被認(rèn)為是最準(zhǔn)確的模型，因為此模型比其他滑動模型更接近第一性原理，但是FK模型數(shù)據(jù)庫依賴于幾何形狀和流動參數(shù)，因而不便在實踐中應(yīng)用[23,26]。

因此，文獻(xiàn)[27]從分子運(yùn)動理論出發(fā)詳細(xì)分析了微小間隙下分子與分子壁面之間的碰撞運(yùn)動，將碰撞分子劃分為臨界角θ和小于臨界角θ碰撞壁面，建立了基于任意克努森數(shù)Kn下的新滑移修正模型，該模型與傳統(tǒng)FK模型的計算結(jié)果相近；改進(jìn)的滑移模型不僅便于應(yīng)用且在高克努森數(shù)下所提供的預(yù)測結(jié)果優(yōu)于其他模型；文獻(xiàn)[28] 對微型動壓氣體軸承和三瓦可傾瓦動壓氣體軸承研究分析，比較了連續(xù)介質(zhì)模型、1階滑移修正模型和WU新滑移修正模型下軸承的性能參數(shù)，WU新滑移模型下計算的軸承承載力數(shù)值更接近玻爾茲曼方程解。

四瓦可傾瓦軸承主要安裝于第四代核電機(jī)組高溫氣冷堆氦風(fēng)機(jī)中，其安全穩(wěn)定性能對冷卻堆芯系統(tǒng)正常運(yùn)行，防止核電站發(fā)生事故極為重要。本文以四瓦可傾瓦動壓氣體軸承為研究對象，工作介質(zhì)為氦氣，考慮滑移影響，基于牛頓-拉弗森迭代法，利用有限差分離散方程求解連續(xù)介質(zhì)、1階滑移、WU新滑移模型修正后的主控雷諾方程；分析不同模型下軸承承載力變化以及滑移邊界對軸承性能的影響。

1 四瓦可傾瓦動壓氣體軸承結(jié)構(gòu)

四瓦可傾瓦動壓氣體軸承結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，主要由1個軸頸和4個弧形瓦塊組成，各瓦塊在圓周方向均勻布置且可繞其支點自由擺動以適應(yīng)工作位置。可傾瓦動壓氣體軸承的瓦塊支點位置角和放置位置因瓦塊數(shù)量的不同而不同；支點位置角度和擺放位置影響軸承氣膜間隙和承載能力[30-31]。圖中：R為軸頸半徑，θ為軸承偏位角，γ為支點位置角，φ為周向角坐標(biāo)，e為軸頸中心相對支點圓圓心偏移距離，β為瓦塊的支點的位置角，z為軸向坐標(biāo)，h為氣膜厚度。

圖1 四瓦可傾瓦動壓氣體軸承結(jié)構(gòu)示意圖

2 滑移邊界下修正理論模型

2.1 修正雷諾方程

微觀尺度上存在著一些不同于宏觀尺度的物理現(xiàn)象，此時，宏觀尺度的分析理論將不再適用；微觀尺度上發(fā)生的現(xiàn)象因其在宏觀尺度上的影響較小而被忽略，但微觀尺度下，這些現(xiàn)象成為影響力學(xué)性能的重要因素[32-33]。

可傾瓦動壓氣體軸承支點位置角、擺放位置因瓦塊數(shù)目不同而有差異，并對軸承氣膜間隙、承載力造成影響[16,29]。在軸承的分析計算中，很多參數(shù)通常以量綱一化的形式存在；通過參數(shù)的量綱一化，可以將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題且避免計算過程中不必要的因素，這樣可有效提高計算精度。

(1)

式中：P為量綱一的壓力；p為壓力；p0為環(huán)境壓力；H為量綱一的氣膜厚度；Cb為瓦塊內(nèi)圓弧半徑與軸頸半徑之差；φ，λ為量綱一的周向坐標(biāo)。

滑移速度為氣體流動速度方向與壁面切向速度之差，其大小正比于分子平均自由程?？伺瓟?shù)Kn是描述微觀尺度物理現(xiàn)象時常用的重要參數(shù)[20]，恒溫下：Kn=C1/(ph)，即分子自由程σ=C1/p與h的比值，其中C1取6.5×10-4。若氣膜間隙較小時，Kn可能增大至氣流過渡區(qū)域(0.1

表1 3種模型的修正系數(shù)

連續(xù)介質(zhì)下不考慮滑移效應(yīng)，此時無邊界滑移的氣體速度為

(2)

式中：δ為氣膜邊界。

笛卡爾坐標(biāo)系下氣體潤滑軸承的N-S方程為

(3)

(4)

(5)

式中：u，v，w分別為x，y，z方向的氣體速度；μ為氣體動力黏度系數(shù)；ρ為氣體密度；t為時間。

簡化(3)，(4)和(5)式可得

(6)

根據(jù)(2)，(6)式得連續(xù)介質(zhì)(無滑移)、1階滑移、WU新滑移模型的修正氣體速度為

(7)

(8)

(9)

式中：uR為速度項系數(shù)。

從氣體速度的表達(dá)式可以看出，不同模型的速度滑移方向相同。與連續(xù)介質(zhì)模型相比，滑移模型引入邊界速度條件使計算結(jié)果向真實結(jié)果接近[33-34]，其中WU新滑移模型系數(shù)的值隨著Kn的變化而發(fā)生改變，比1階滑移模型能更好的適應(yīng)任意Kn的真實情況，也更好地與實際物理模型吻合。

等溫條件下主控雷諾方程[35-36]量綱一的形式為

(10)

聯(lián)立(7)—(10)式并化簡整理，得到經(jīng)滑移模型修正的可壓縮氣體的定常量綱一的雷諾方程為

Λ=6μω/(p0Ψ2)，

Ψ=Cb/R，

(11)

式中：Λ為量綱一的軸承數(shù)；ω為軸頸旋轉(zhuǎn)角速度。

2.2 氣膜厚度方程

對軸承而言，各瓦塊可以繞其支點自由擺動，擺動角度也會影響瓦塊內(nèi)表面與軸頸之間的間隙[16,29]。因此，氣膜厚度和偏心距與瓦塊自由運(yùn)動有關(guān)[36-37]。單瓦塊量綱一的氣膜厚度為

H=1-(m+u0)cos(β-φ)+εcos(φ-θ)+

χ0sin(β-φ)，

(12)

χ0=χ/Ψ，m=1-Cp/Cb，

式中：ε為偏心率(軸頸中心距支點圓中心的距離)；χ0為量綱一的瓦塊擺角；m為預(yù)載系數(shù)；Cp為支點間隙；u0為量綱一的靜態(tài)徑向位移，取u0=0。

2.3 邊界條件

軸承運(yùn)行時，瓦塊邊界與氣體相通[38]，氣膜壓力在瓦塊內(nèi)表面與軸頸表面間的量綱一化邊界條件為

P(φ=φ0,λ) =1,P(φ=φ1,λ) =1，

P(φ,λ=l/(2R)) =1,P(φ,λ=-l/(2R)) =1，

(13)

式中：l為瓦塊長度；φ0為瓦塊前緣進(jìn)氣端的角度；φ1為瓦塊后緣出氣端的角度。

3 數(shù)值求解

3.1 牛頓迭代法轉(zhuǎn)化雷諾方程

數(shù)值算法的選擇影響求解精度和計算速度[39]。進(jìn)行數(shù)值模擬計算前對單一瓦塊展開并進(jìn)行離散網(wǎng)格，因為氣膜厚度的方向數(shù)量級非常大，相對來說其他方向上的數(shù)量級可以忽略不記，因此即使瓦塊展開成平面，也不會對最后的計算結(jié)果產(chǎn)生明顯影響?；谝陨峡紤]，忽略瓦塊表面曲率對計算結(jié)果的影響，將各瓦塊近似展開成矩形平面，并離散成40×40的網(wǎng)格。采用牛頓迭代法和有限差分法求解非線性雷諾方程。構(gòu)造量綱一的氣膜壓力P的函數(shù)F(P)為

(14)

由牛頓迭代法得

F′(Pn)δ=-F(Pn)；n=0,1,2…，

δ=Pn+1-Pn，

(15)

式中：δ為2次迭代值之差；n為迭代次數(shù)。

使用牛頓-萊布尼茨迭代法將P的非線性方程轉(zhuǎn)化為壓力增量ΔP的線性方程

(16)

3.2 基于有限差分法離散方程

基于有限差分法，利用中心差分格式，將(16)式展開(i=1～41，j=1～41)為

(17)

利用(17)式將(16)式整理為有規(guī)律的系數(shù)矩陣方程組，即

Ai,jPi,j+Bi,jPi+1,j+Ci,jPi-1,j+Di,jPi,j+1+

Ei,jPi,j-1=-Hi,j。

(18)

有限差分法離散得到各系數(shù)項為

根據(jù)已知條件迭代求解矩陣方程組以獲得單個瓦塊的量綱一的壓力分布。迭代過程中，為保證計算過程的穩(wěn)定收斂和加快收斂速度，一般采用松弛迭代法計算

(19)

為了確保迭代過程可終止，必須保證每次迭代計算的壓力分布滿足計算精度。按照收斂準(zhǔn)則，當(dāng)計算結(jié)果達(dá)到精度要求后，程序?qū)⑻鲅h(huán)，從而終止迭代計算，允許相對誤差eeps=1×10-4，收斂準(zhǔn)則為

(20)

3.3 求解流程

3.3.1 計算瓦塊擺角

瓦塊可以自由擺動，計算時需要判斷擺角的位置。當(dāng)瓦塊處于靜平衡位置時，瓦塊不再擺動，此時的角度就是計算軸承靜態(tài)特性時的擺角位置，瓦塊的擺動角度與瓦塊的支點力矩M、氣膜壓力分布和量綱一的力矩滿足平衡關(guān)系，即

(21)

當(dāng)計算結(jié)果不滿足瓦塊支點力矩平衡時，使用超大范圍牛頓公式迭代產(chǎn)生新的瓦塊擺角，迭代更新瓦塊擺角直至支點力矩M為0，迭代公式和收斂準(zhǔn)則為

(22)

(23)

3.3.2 計算氣膜合力

所有瓦塊的合力滿足靜態(tài)平衡條件時，可得各單個瓦塊的氣膜壓力分布，通過矢量疊加的方法計算軸承的氣膜合力。軸承垂直和水平方向的量綱一的氣膜合力Fx，F(xiàn)y及量綱一的承載力FCL計算公式為

(24)

3.3.3 計算偏位角

壓力分布計算時需確定偏位角θ，偏位角迭代格式和收斂準(zhǔn)則為

θn+1=θn-ζarctan(Fx/Fy) ，

(25)

Fx/Fy≤η。

4 結(jié)果分析

4.1 程序驗證

為驗證本文數(shù)值計算模型的準(zhǔn)確性，以文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[40]的計算結(jié)果與本文3種模型的計算結(jié)果進(jìn)行對比，數(shù)值計算流程如圖2所示，后文若無特殊說明，所得結(jié)果皆為量綱一的值。

圖2 數(shù)值計算流程

文獻(xiàn)[10,40]與本文3種模型計算結(jié)果的對比如圖3所示：將文獻(xiàn)[10]中的可傾瓦氣體軸承參數(shù)代入數(shù)值計算流程，利用連續(xù)介質(zhì)模型計算不同偏心率下的軸承承載力，并與文獻(xiàn)[10]中的計算結(jié)果相比較，可以看出不同偏心率下的誤差值均小于5.8%；將文獻(xiàn)[40]中的可傾瓦氣體軸承參數(shù)代入數(shù)值計算流程，分別利用連續(xù)介質(zhì)模型、1階滑移模型和WU新滑移模型計算不同偏心率下的軸承承載力，并與文獻(xiàn)[40]中的計算結(jié)果相比較，可以看出連續(xù)介質(zhì)模型與文獻(xiàn)[40]結(jié)果之間的誤差最小，3種模型的誤差值均小于7.2%，考慮滑移邊界條件下所計算出的可傾瓦氣體軸承的承載力相比文獻(xiàn)[40]和連續(xù)模型顯著降低。由上述結(jié)果可知，圖2程序計算流程具有一定的準(zhǔn)確性。

圖3 本文3種模型與文獻(xiàn)的計算結(jié)果對比

4.2 計算結(jié)果

給定預(yù)載系數(shù)m=0.2，偏心率ε=0.5下的軸承參數(shù)見表2。

表2 四瓦可傾瓦動壓氣體軸承參數(shù)[41-42]

4.2.1 氣膜厚度計算結(jié)果

m=0.2，ε=0.5時，瓦塊的氣膜厚度如圖4所示：氣膜厚度沿軸頸旋轉(zhuǎn)方向逐漸減小。瓦塊氣膜厚度隨周向節(jié)點的變化如圖5所示：任意位置瓦塊2，3周向節(jié)點方向氣膜厚度小于瓦塊1，4；瓦塊1氣膜厚度最大，瓦塊3氣膜厚度最小。

(a)瓦塊1

圖5 瓦塊量綱一的氣膜厚度隨周向節(jié)點的變化

4.2.2 氣膜壓力和克努森數(shù)的計算結(jié)果

以瓦塊1為研究對象，考慮滑移效應(yīng)，取m=0.2，ε=0.5，3種模型下瓦塊1氣膜壓力分布(左圖)和等高線(右圖)如圖6所示，連續(xù)介質(zhì)模型下瓦塊1的克努森數(shù)Kn分布如圖7所示?；菩?yīng)使瓦塊1的氣膜壓力明顯降低，且WU新滑移模型計算所得氣膜壓力分布小于1階滑移模型；在瓦塊1的邊界處，氣膜壓力等于大氣壓力，3種模型在邊界處計算的氣膜壓力都相同，接近出口位置時的氣膜壓力達(dá)到最大值；除了邊界處，連續(xù)介質(zhì)模型計算出的氣膜壓力大于滑移模型，WU新滑移模型計算的氣膜壓力值小于1階滑移模型。另外，氣膜壓力沿軸向方向先增大后減小，分析原因：瓦塊1擺角在氣體沖擊下沿軸承旋轉(zhuǎn)方向擺動，瓦塊內(nèi)表面與軸頸表面間隙逐漸減小，氣膜壓力逐漸增大，并在瓦塊后段接近后緣部分的最小間隙處達(dá)到最大；瓦塊后緣出氣端與氣體環(huán)境相同，后緣部分壓力急劇減小至和外界壓力相同；由于可傾瓦塊沿軸向兩端都與大氣環(huán)境相同，所以氣膜壓力沿軸向表現(xiàn)為先增大后減小。圖7中一部分潤滑氣膜處于氣流過渡區(qū)，另一部分潤滑氣膜則處于滑移區(qū)；WU新滑移模型在處理氣流過渡區(qū)的計算性能優(yōu)于連續(xù)介質(zhì)模型和1階滑移模型。

4.2.3 偏心率對量綱一的氣膜厚度、克努森數(shù)和承載力的影響

以瓦塊1為研究對象，在m=0.2，ε取值為0，0.2，0.4，0.5，0.6，0.8時，探討偏心率的變化對氣膜厚度、克努森數(shù)、不同修正模型下軸承承載力的影響。瓦塊1氣膜厚度隨偏心率的變化如圖8所示：隨偏心率增大，瓦塊氣膜厚度呈增大趨勢。瓦塊1的Kn值沿軸向節(jié)點隨偏心率的變化如圖9所示：偏心率越大，沿周向節(jié)點Kn值越大。不同模型下軸承承載力隨偏心率的變化如圖10所示：隨偏心率增大，承載力FCL增大；WU新滑移修正模型計算所得承載力結(jié)果最小，1階滑移模型次之；隨偏心率增大，3種模型計算結(jié)果數(shù)值偏差也增大。

圖8 瓦塊1量綱一的氣膜厚度隨偏心率的變化規(guī)律

圖9 瓦塊1克努森數(shù)隨偏心率的變化

圖10 軸承承載力隨偏心率的變化

因瓦塊關(guān)于支點對稱布置，所以瓦塊1，2承載力相同，瓦塊3，4承載力相同，計算不同模型下單個瓦塊承載力隨偏心率的變化規(guī)律如圖11所示：對于單個瓦塊，隨偏心率增大，瓦塊1，2承載力減小，瓦塊3，4承載力增大?？紤]滑移修正下計算所得承載力顯著下降，且WU新滑移模型計算所得軸承承載力小于1階滑移模型。

(a)瓦塊1,2

4.2.4 預(yù)載系數(shù)和量綱一的軸承數(shù)對軸承承載 力的影響

以瓦塊1為研究對象，探討預(yù)載系數(shù)m和量綱一的軸承數(shù)對不同模型下軸承承載力的影響。ε=0.5時，不同模型軸承承載力隨預(yù)載系數(shù)m的變化如圖12所示：對同一個模型，預(yù)載系數(shù)m增大，軸承承載力隨之增大；對相同預(yù)載系數(shù)，WU新滑移模型計算所得的承載力最小。

圖12 軸承承載力隨預(yù)載系數(shù)的變化

m=0.2，ε=0.5時，3種模型下承載力隨量綱一的軸承數(shù)的變化如圖13所示：隨軸承數(shù)增加，3個模型的軸承承載力均增加；相同軸承數(shù)時，考慮滑移效應(yīng)的模型軸承承載力較?。浑S著軸承數(shù)增加，3種模型的軸承承載力差值減小。這是因為量綱一的軸承數(shù)只與角速度ω有關(guān)，因此隨著角速度速的增加，軸承數(shù)增加，瓦塊內(nèi)表面與軸頸表面間隙產(chǎn)生的動壓效果增強(qiáng)，滑移效應(yīng)對軸承的影響增大，氣膜壓力增大，軸承承載力隨之增大；量綱一的軸承數(shù)一定時，考慮滑移效應(yīng)的影響，瓦塊內(nèi)表面與軸頸表面間的氣膜壓力減小，導(dǎo)致承載力減小。

圖13 軸承承載力隨量綱一的軸承數(shù)的變化

m=0.2，ε=0.5時，3種模型單個瓦塊承載力隨量綱一的軸承數(shù)的變化如圖14所示：隨軸承數(shù)增大，瓦塊1，2的承載力呈先增大后減??；瓦塊3，4的承載力隨軸承數(shù)的增大而增大。考慮滑移效應(yīng)的修正模型所計算承載力結(jié)果明顯較小，即WU新滑移模型在承載力計算上有優(yōu)勢。

(a)瓦塊1，2

5 結(jié)論

以四瓦可傾瓦動壓氣體軸承為研究對象，考慮滑移效應(yīng)的影響并分析滑移模型對量綱一的氣膜壓力分布和承載力的影響。從氣體潤滑基本方程出發(fā)，利用1階滑移模型和WU新滑移模型的氣體速度推導(dǎo)出不同模型的定常量綱一化靜態(tài)雷諾方程，討論連續(xù)模型、1階滑移模型、WU新滑移模型在不同軸承氣膜厚度、壓力等條件下的承載力。結(jié)論如下：

1)單個瓦塊量綱一的氣膜厚度均沿軸頸旋轉(zhuǎn)方向逐漸減?。蝗我馕恢猛邏K2，3周向節(jié)點量綱一的氣膜厚度小于瓦塊1，4。

2)可傾瓦動壓氣體軸承的承載力與偏心率、預(yù)載系數(shù)和量綱一的軸承數(shù)都成正比；滑移修正使軸承承載力顯著下降，且WU新滑移模型計算的承載力小于1階滑移模型；隨著偏心率、預(yù)載系數(shù)的增大，滑移效應(yīng)對承載力結(jié)果的影響也增大。

3)WU新滑移模型計算的承載力、氣膜壓力結(jié)果最小，1階滑移模型次之，連續(xù)模型最大；基于滑移效應(yīng)客觀存在的事實，使用WU新滑移模型對微小間隙下可傾瓦動壓氣體軸承的靜態(tài)性能計算更為準(zhǔn)確。