張貴重，張建強(qiáng),2，全 旭，劉 嵩*

(1.湖北民族大學(xué) 智能科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 恩施 445000；2.華中師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢 430070)

1971年，美國(guó)加州大學(xué)蔡少棠基于變量組合完備性原理首次提出憶阻器的概念[1]，并在2008年5月由惠普公司實(shí)驗(yàn)室首次制作出憶阻器的實(shí)物模型[2].憶阻是除電阻、電感和電容外第4種基本電路元件，其在工程領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.因此，研究并構(gòu)建具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的憶阻混沌系統(tǒng)顯得尤為重要.

Jian等[3]通過在三維自治混沌系統(tǒng)中加入憶阻器和交叉積項(xiàng)，新系統(tǒng)存在一個(gè)具有線平衡點(diǎn)的四渦卷超混沌吸引子.Li等[4]在Lü系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引入憶阻器，給新系統(tǒng)帶來了豐富且復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.包伯成等[5]利用憶阻替換已有三維混沌系統(tǒng)中的耦合電阻，使新的超混沌系統(tǒng)具有無限多隱藏共存吸引子.孫克輝等[6]將分?jǐn)?shù)階微積分引入到憶阻退化Jerk系統(tǒng)，增加了一個(gè)自由度，使系統(tǒng)的性能大幅度提升.Bao等[7]把一個(gè)理想有源磁控憶阻引入到已有的系統(tǒng)中，新系統(tǒng)具有4個(gè)線平衡點(diǎn)，并可呈現(xiàn)依賴于初始條件的超級(jí)多穩(wěn)定現(xiàn)象.阮靜雅等[8]將憶阻器作為正反饋項(xiàng)引入Lorenz系統(tǒng)，觀察到了共存吸引子與狀態(tài)轉(zhuǎn)移現(xiàn)象.由于憶阻模型的引入，大多系統(tǒng)具有線平衡點(diǎn)，進(jìn)而導(dǎo)致諸如自激吸引子、隱藏吸引子、共存吸引子和共存無限多吸引子等奇異動(dòng)力學(xué)行為.這些特性使得混沌和憶阻器在圖像加密[9-11]、神經(jīng)元與突觸[12-14]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15-17]、混沌系統(tǒng)[18-20]和混沌振蕩[21]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.

Yang等[22]提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的三維自治系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有1個(gè)鞍點(diǎn)和2個(gè)穩(wěn)定結(jié)焦點(diǎn)，存在一個(gè)雙渦卷混沌吸引子?；谖墨I(xiàn)[22]，本文首先將磁控憶阻器引入至已有的三維混沌系統(tǒng)，構(gòu)建了一個(gè)新的四維憶阻混沌系統(tǒng)，與原系統(tǒng)相比，新系統(tǒng)有著更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.然后對(duì)憶阻系統(tǒng)進(jìn)行混沌特性分析，包括平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性，以及隨參數(shù)變化的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜等.最后設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的電路，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真一致，為設(shè)計(jì)高性能的保密通信系統(tǒng)和圖像加密系統(tǒng)奠定了理論基礎(chǔ).

1 新四維憶阻混沌系統(tǒng)的構(gòu)建

將憶阻器引入文獻(xiàn)[22]提出的三維混沌系統(tǒng)，構(gòu)建了一個(gè)新的四維憶阻混沌系統(tǒng)，其無量綱方程可描述為

(1)

其中x、y、z、w為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a、b、c、e、f為控制參數(shù)，d表示憶阻強(qiáng)度.所選用的非線性磁控憶阻器W(φ)，它的端電壓v和端電流i之間的關(guān)系為

(2)

其中憶導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式[5]為

W(φ)=m+nφ2.

(3)

式(3)中，m和n均大于零.

選擇參數(shù)a=8,b=40,c=1,d=1,e=4,f=2.5,m=1,n=0.1,初始值選為(2,0,2,0).通過Matlab仿真得到的混沌吸引子相圖如圖1所示.由圖1可知，混沌吸引子是雙渦卷的.選取以上的參數(shù)和初值，由Wolf算法求

(a) x-y平面 (b) x-z平面

(c) y-z平面 (d) y-w平面圖1 混沌吸引子的相圖Fig.1 The attractor and phase diagram of the chaotic system

得4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)分別為L(zhǎng)E1=0.823 0,LE2=0.049 2,LE3=-0.232 6,LE4=-11.140 0.對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫維數(shù)計(jì)算如下：

(4)

由于4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)滿足(+,+,-,-)的分布特點(diǎn)且4個(gè)指數(shù)之和小于零，即系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).

系統(tǒng)變量x、y在z=35平面上的龐加萊映射以及0-1測(cè)試如圖2所示，龐加萊映射有非規(guī)則翼肢并且0-1測(cè)試圖為非規(guī)則的布朗分布，進(jìn)一步表明憶阻系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

(a) 在z=35截面上的龐加萊映射(b) 0-1測(cè)試：p-q 混沌動(dòng)力學(xué)圖2 龐加萊映射和0-1測(cè)試Fig.2 Poincaré mapping and 0-1 test

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 耗散性

系統(tǒng)(1)的耗散度：

(5)

當(dāng)a=8,f=2.5時(shí)，系統(tǒng)(1)的耗散度?V<0，說明系統(tǒng)是耗散性的，且以指數(shù)形式dV/dt=e-(a+f)t收斂.即當(dāng)t→∞時(shí)，含有系統(tǒng)軌線的每個(gè)體積元都會(huì)以指數(shù)率收縮至0，因此系統(tǒng)(1)的所有運(yùn)動(dòng)都將固定到一個(gè)吸引子上.

2.2 平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性

令式(1)左邊全部為0，可得：

(6)

由式(5)可求出該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)集O為

O={(x=y=z=w)|x=y=z=0,w=u},

(7)

其中u為任意的常數(shù)，系統(tǒng)具有線平衡點(diǎn)，表明系統(tǒng)具有無窮多個(gè)平衡點(diǎn).在平衡點(diǎn)附近線性化系統(tǒng)(6)，可得系統(tǒng)的雅可比矩陣為

(8)

求得該雅可比矩陣J的特征式方程為

λ(λ+f){λ(λ+a)-[ab-adW(u)]}=0,

(9)

將參數(shù)a=8,b=40,d=1,f=2.5,m=1,n=0.1代入，求解出4個(gè)特征值分別為

(10)

2.3 依賴于參數(shù)的動(dòng)力學(xué)行為

由于系統(tǒng)(1)具有無限多平衡點(diǎn)，因此該系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為.下面通過改變憶阻強(qiáng)度d以及內(nèi)部參數(shù)n，計(jì)算該系統(tǒng)的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜.

1) 固定參數(shù)a=8,b=40,c=1,e=4,f=2.5,m=1,n=0.1，當(dāng)憶阻強(qiáng)度d在0～28范圍內(nèi)逐漸增加時(shí)，通過Matlab繪制出狀態(tài)變量y的分岔圖與前3根李雅普諾夫指數(shù)譜分別如圖3(a)和圖3(b)所示.經(jīng)分析，當(dāng)d在0～6內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)d在6.00～6.65內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)的4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)呈(0,-,-,-)分布，系統(tǒng)處于周期1狀態(tài).當(dāng)d在6.65～8.61區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).在d=8.61處發(fā)生切分岔，混沌狀態(tài)突變?yōu)橹芷?狀態(tài)，隨后進(jìn)入弱混沌狀態(tài).當(dāng)d在11.0～13.9內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)處于周期7狀態(tài)，并經(jīng)過短暫的弱混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷?極限環(huán).在d=16.04處發(fā)生倍周期分岔，最后在d=25.6處系統(tǒng)發(fā)生逆倍周期分岔，變?yōu)橹芷?極限環(huán).

(a) 狀態(tài)變量y的分岔圖 (b) 李雅普諾夫指數(shù)譜圖3 混沌系統(tǒng)隨憶阻強(qiáng)度d變化的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents spectrum of chaotic systems with memristor intensity d

2) 固定參數(shù)a=20,b=40,c=1,d=1,f=2.5,m=1，當(dāng)憶阻內(nèi)部參數(shù)n在0～3.5范圍內(nèi)逐漸增加時(shí)，通過Matlab繪制出狀態(tài)變量z的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜分別如圖4(a)和圖4(b)所示.當(dāng)n在0～1.32內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，且在n=1.1附近有較大的周期窗.當(dāng)n在1.32～1.44內(nèi)變化時(shí)，4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)呈(0,0,-,-)分布，系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期狀態(tài)，當(dāng)n=1.4時(shí)對(duì)應(yīng)的相軌如圖5(a)所示.當(dāng)n在1.44～1.95內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)由準(zhǔn)周期變?yōu)橹芷?極限環(huán)，當(dāng)n=1.65時(shí)對(duì)應(yīng)的相軌如圖5(b)所示.當(dāng)n在1.95～2.55內(nèi)變化時(shí)，且當(dāng)n=1.95時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌危機(jī)，由周期態(tài)轉(zhuǎn)為混沌狀態(tài).當(dāng)n在2.55～2.85內(nèi)變化時(shí)，由于最大李雅普諾夫指數(shù)相對(duì)較小，此區(qū)間系統(tǒng)處于弱混沌狀態(tài)，當(dāng)n=2.65時(shí)對(duì)應(yīng)的相軌如圖5(c)所示.當(dāng)n在2.85～3.50內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)由弱混沌轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷?極限環(huán)，當(dāng)n=3.2時(shí)對(duì)應(yīng)的相軌如圖5(d)所示.

(a) 狀態(tài)變量x的分岔圖 (b) 李雅普諾夫指數(shù)譜圖4 混沌系統(tǒng)隨憶阻內(nèi)部參數(shù)n變化的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents spectrum of chaotic system with memristor internal parameter n

圖5 不同n值在x-y平面的混沌吸引子Fig.5 Chaotic attractors with different n values in the x-y plane

3 電路設(shè)計(jì)與仿真

為進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)的可行性，采用電阻、電容、運(yùn)算放大器和乘法器等效實(shí)現(xiàn)憶阻器，其電路模型如圖6所示.

圖6 憶阻模型的等效電路Fig.6 The equivalent circuit model of the memristor

將該憶阻器作為反饋項(xiàng)引入三維系統(tǒng)中，構(gòu)建系統(tǒng)(1).由于采用的LM741運(yùn)算放大器的容許電壓為±18 V，AD633乘法器的容許電壓為±10 V，而變量x、y、z和w的動(dòng)態(tài)范圍分別約為(-10,10)、 (-20,20)、(0,80)和(-5,10).因此先要對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量進(jìn)行非均勻比例壓縮變換，令(x,y,z,w)→(10x,10y,10z,10w).變換后的系統(tǒng)方程如下：

(11)

對(duì)所得方程作時(shí)間尺度變換，令τ=τ0t,τ0=1 000,得

(12)

根據(jù)系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)仿真電路如圖7所示.

根據(jù)所設(shè)計(jì)電路，結(jié)合基爾霍夫定律以及元件伏安特性，列出狀態(tài)方程如下：

(13)

結(jié)合式(12)(13)對(duì)應(yīng)系數(shù).當(dāng)控制參數(shù)a=8,b=40,c=1,d=1,e=4,f=2.5,m=1,n=0.1時(shí)，計(jì)算得出各個(gè)元件的值為C1=C2=C3=Cw=10 nF,R1=R2=10 kΩ,R5=R10=10 kΩ,R6=Ra=1 kΩ,R9=40 kΩ,Rb=100 kΩ,R3=R4=R7=R8=10 kΩ,Rc=10 kΩ.得到的仿真結(jié)果如圖8所示，所得圖形與前述仿真結(jié)果基本一致，再次證實(shí)了混沌系統(tǒng)的正確性和可行性.

圖7 憶阻混沌電路原理Fig.7 Schematic diagram of memristor-based chaotic circuit

圖8 憶阻混沌系統(tǒng)的電路仿真圖Fig.8 The circuit simulation results of the memristor chaotic system

4 結(jié)語

在三維混沌系統(tǒng)上引入非線性磁控憶阻器，構(gòu)造了一個(gè)新的憶阻混沌電路.相比較而言，新的系統(tǒng)具有無限平衡點(diǎn)集，以及更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.通過0-1測(cè)試、龐加萊映射、分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)存在混沌特征.最后基于Multisim平臺(tái)設(shè)計(jì)并搭建了憶阻混沌電路，通過示波器觀察到了4個(gè)平面的吸引子，進(jìn)一步證實(shí)了此系統(tǒng)的正確性和可行性，為其在類腦計(jì)算、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、混沌通信以及圖像加密等方面提供了理論基礎(chǔ).