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用數(shù)學思想引導生成課堂及簡評
——以一節(jié)“一題一課”型復習課為例

2022-10-26 08:30:38湖北省赤壁市教學研究室王紅華
中學數(shù)學雜志 2022年20期
關(guān)鍵詞:一題一課飲馬對稱點

?湖北省赤壁市教學研究室 王紅華

筆者曾受邀參加咸寧市名師工作室研討活動,會上研討了一節(jié)“一題一課”型的復習課.大部分教師在討論中提出,中考前的數(shù)學復習課難上,認為復習課是“三無”產(chǎn)品,即“無教材、無教參、無教案”,因此許多教師往往依賴各類教輔資料搞“題海戰(zhàn)術(shù)”,導致學生學習負擔加重,阻礙數(shù)學素養(yǎng)的提升.而“一題一課”的課型就是讓學生走出題海,減負增效.這種課型以一個問題為背景材料,深度挖掘問題的條件、結(jié)論和解決問題的思路,引導學生多角度思考,從知識體系的高度去變式拓展,探究新的問題解決方案,并提煉其中所蘊含的數(shù)學思想方法,揭示問題的本質(zhì),促進思維能力的發(fā)展,進而提升學生的關(guān)鍵能力和學科素養(yǎng).

筆者以人教版八年級上冊第十三章第4節(jié)的課題學習“最短路徑問題”的問題1為素材,討論用數(shù)學思想引導基于“一題一課”型復習課的生成過程并作簡要評析.

1 課本問題呈現(xiàn)

問題如圖1,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?

圖1

2 課堂生成思路

此問題也叫將軍飲馬問題,是每年各地中考的熱點之一.解決本問題可以作出點A關(guān)于直線l的對稱點A′,如圖2,連接A′B,交直線l于點C,即AC+BC最小.本問題通過軸對稱變換,將直線同側(cè)兩點中的一個點變換到另一側(cè),而不改變路徑的總長度,利用“兩點之間線段最短”解決本問題.這其中蘊含化歸思想,在解決問題的過程中軸對稱變換起到了橋梁作用.

圖2

此問題為解決最短徑問題提供了思考方法,下面繼續(xù)對本問題進行思考.此問題中對象的特征是:有三個點,其中一個點在直線上,另兩個點實際上是兩定點且在直線的同側(cè).用運動變化的觀點,從特殊到一般的思想去思考,能否由定點想到動點,而動點往往在某個幾何圖形上,由此我們可以聯(lián)想到點A,B在某個幾何圖形上,由靜到動多角度變式拓展,聯(lián)系前后所學數(shù)學知識,將此問題逐步推進,提出新問題,然后分析問題,解決問題,進而加深對知識的理解,提高綜合運用知識解決問題的能力,同時提升思維的廣闊性和深刻性.

2.1 聯(lián)系直線型生成

上述已經(jīng)聯(lián)想到點A,B在某個幾何圖形上,可以用分類的思想,將初中幾何圖形簡單分為直線型、圓、一般曲線型(拋物線、雙曲線).最簡單的一種,如問題1:如圖3,直線l1與直線l2相交于點O,點B為一定點,若點A在直線l1上且與點B在直線l2的同側(cè),點C為直線l2上一點,當點A與點C分別在何處時,AC+BC的值最???

圖3

解法指引:問題1與將軍飲馬問題不同之處在于點A不是定點,但A和B都在直線l2的同側(cè),這與將軍飲馬問題中的對象有相似性,可以將此問題歸類為將軍飲馬問題,進而類比將軍飲馬問題的解決方法去求解.學生容易想到用以下思路一解決.

思路一:如圖4,作點B關(guān)于直線l2的對稱點B′,此時BC=B′C,求AC+BC的最小值,問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.過點B′作直線l1的垂線,垂足為點A,連接AB′交直線l2于點C,即點A,C為所求點.

圖4

用整體的思想繼續(xù)思考,若將直線l1看作是“定”的整體,能否通過類比將軍飲馬問題加以解決?于是指導學生用以下思路二加以解決.

思路二:如圖5,作直線l1關(guān)于直線l2的對稱直線l3,此時過B作BD垂直于直線l3,垂足為D,交直線l2于點C,作D關(guān)于直線l2的對稱點A,即BD為AC+BC的最小值,點A,C為所求點.

圖5

兩種思路的證明也可讓學生類比將軍飲馬問題的證明,但此問題利用“垂線段最短”來說理,證明過程略.思路二中利用整體思想,使生疏的問題熟悉化,復雜的問題簡單化,從而順利解決問題.

聯(lián)系等邊三角形、菱形、正方形性質(zhì)可編寫習題.根據(jù)學情,也可讓學生自主編題.以下就是結(jié)合等邊三角形性質(zhì)編寫的例題.

例1(2020·營口中考題改編)如圖6,△ABC為等邊三角形,邊長為6,AD⊥BC,垂足為D,E和F分別是線段AD和AB上的動點,連接BE,EF,則BE+EF的最小值為.

圖6

分析:此題中,點B和點F在AD的同側(cè),點F和點E分別為AB和AD上的動點,問題可轉(zhuǎn)化為將軍飲馬直線型拓展模型解決.本題中根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),點B關(guān)于AD的對稱點為點C,求BE+EF的最小值,問題可轉(zhuǎn)化為求點C到AB的距離,如圖7.解法略.

圖7

2.2 聯(lián)系圓生成

按分類思想,繼續(xù)考慮,點A若在圓上呢?

問題2如圖8,點B為一定點,圓O與點B在直線l的同側(cè),若點A為圓O上一動點,C點為直線l上一動點,則點A,C在何處時,AC+BC的值最?。?/p>

圖8

解法指引:點A在定圓O上且與點B均在直線l的同側(cè),類比以上直線型拓展模型,也有兩種思路.

思路一:如圖9,作點B關(guān)于直線l的對稱點B′,問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的距離的最小值.連接點B′和圓心O,交圓O于點A,交直線l于點C,點A,C即為所求點.

圖9

思路二:直線型拓展模型將點A所在的直線看作“定”的整體,在這個問題中,同樣用到整體思想,我們也可把點A所在的圓O看作“定”的整體.類比思路一的方法,如圖10,作定圓O關(guān)于直線l的對稱圓O′,連接BO′,交圓O′于點A′,交直線l于點C,作點A′關(guān)于直線l的對稱點A,點A,C即為所求點.此問題利用“兩點之間線段最短”來證明,理由從略.

圖10

進一步用運動變化的觀點,從特殊到一般的思想去思考:若點A,B在兩個不同圓上呢?學生作圖進一步探究.

問題3如圖11,若點A為圓O1上一動點,點B為圓O2上一動點,圓O1與圓O2在直線l的同側(cè),C為直線l上一動點,則點A,B,C分別在何處時,AC+BC的值最???

圖11

圖12

例2(2013·重慶高考)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為( ).

圖13

2.3 聯(lián)系拋物線生成

用分類的思想進一步思考,若點A與點B分別在直線和拋物線上呢?引導學生探究,數(shù)形結(jié)合思想,最后拓展成如下問題.

問題4如圖14,若A為直線l:y=x+1上一點且在x軸上方,B為拋物線y=x2-4x+5上一動點,C為x軸上一動點,求AC+BC的最小值.

圖14

3 課例評析

3.1 點成線,線成體,強化知識間的聯(lián)系

本節(jié)“一題一課”型復習課在素材的選擇上具有重要意義,選擇具有生長力的問題,以一個問題為點,聯(lián)系前后知識,梳理相關(guān)知識點,以思想方法為線索,在逐步變式拓展推進中,將知識點與思想方法融合,形成了知識結(jié)構(gòu)體系.

3.2 思想方法引導,課堂生成行云流水

在變式拓展過程中,用運動變化的觀點,從特殊到一般,以分類思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想為引導,聯(lián)系直線、圓及拋物線進行變式拓展,層層深入,自然生成一節(jié)“一題一課”型復習課,最后解決問題的方法動中取靜,透過表象找到本質(zhì).

3.3 對比分析,學生思維得以呈現(xiàn)

數(shù)學學習的本質(zhì)是學習思維方法、提高思維能力.在數(shù)學思想方法的引導下,變式拓展問題,分析對比變式拓展前后的問題對象的共同特征,思考能否將問題轉(zhuǎn)化為拓展前的問題加以解決,讓學生從思維的角度找到解決問題的切入點.如,本文中讓學生分析變式拓展前后問題對象具有的共同特征,某兩個對象都在直線的同側(cè),都是求最值的問題.讓學生經(jīng)歷對問題的思考、拓展、對比分析、探索、提煉的過程,發(fā)展學生思維.

4 結(jié)束語

由于篇幅所限,本文只闡述了用數(shù)學思想引導生成一節(jié)“一題一課”型復習課的過程及簡要評析,在具體教學實施過程中,可根據(jù)學情,創(chuàng)造性地變式拓展提問,合理有序地組織學生進行復習探究活動,讓學生在活動的過程中,數(shù)學思維、數(shù)學技巧和數(shù)學方法得到有效演繹,從而幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗,總結(jié)解題方法和規(guī)律,提升數(shù)學思維能力.

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