陳省江 童 森

（1.寧德師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，福建 寧德 352100；2.寧德師范學(xué)院附屬小學(xué)，福建 寧德 352100）

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）的頒布，曾備受廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注的量感已正式作為核心素養(yǎng)寫入課標(biāo)，它是“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”的一個(gè)支撐點(diǎn)，其內(nèi)涵、表現(xiàn)形式以及意義在課標(biāo)有了統(tǒng)一界定。根據(jù)課標(biāo)對(duì)量感的界定與描述，筆者認(rèn)為可將量感分成兩個(gè)層次：一是經(jīng)驗(yàn)直觀感知，主要指真實(shí)情境下的一種直觀感知；二是抽象直觀感知，主要指能根據(jù)對(duì)象的特征與要素感知解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，是問(wèn)題分析能力的一種體現(xiàn)，有助于形成良好的抽象意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生量感的目標(biāo)指向非常明確，即學(xué)生多次經(jīng)歷真實(shí)情境下的經(jīng)驗(yàn)直觀感知后升華至抽象直觀感知。［1］因此，如何逐步豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)直觀感知、如何將小學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)直觀感知升華到抽象直觀感知從而實(shí)現(xiàn)量感養(yǎng)成，是值得深入研究的問(wèn)題。

一、培養(yǎng)量感的知識(shí)載體分析

課標(biāo)明確指出，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，同時(shí)需要以學(xué)科知識(shí)為載體。目前各類小學(xué)數(shù)學(xué)教材都有大量的教學(xué)素材、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)來(lái)支撐經(jīng)驗(yàn)直觀感知這個(gè)層次的量感的培養(yǎng)，但對(duì)于抽象直觀感知這個(gè)層次的量感的培養(yǎng)的支撐點(diǎn)不多。根據(jù)課標(biāo)對(duì)量感的概念界定，即量感主要指對(duì)事物的可測(cè)量屬性和大小關(guān)系的直觀感知。［2］筆者認(rèn)為，培養(yǎng)量感的知識(shí)載體主要集中在圖形的測(cè)量這模塊，特別集中在面積測(cè)量這小模塊上。事實(shí)上，圖形的面積公式不僅本身就是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)極其重要的知識(shí)點(diǎn)，而且在面積公式推導(dǎo)過(guò)程中，既含有大量的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)又蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想等基本數(shù)學(xué)思想，同時(shí)與符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、推理意識(shí)等其他核心素養(yǎng)有緊密聯(lián)系。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)階段中，培養(yǎng)量感的主要知識(shí)載體可選用面積測(cè)量。

二、基于面積測(cè)量培養(yǎng)量感的整體規(guī)劃及階段培養(yǎng)策略

（一）整體規(guī)劃

在小學(xué)數(shù)學(xué)階段，涉及面積測(cè)量的圖形主要可歸納為兩類：一類是基本簡(jiǎn)單圖形，即長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓，另一類是平面組合圖形；涉及面積測(cè)量的類型也可歸納為兩種：一種是單一運(yùn)用“數(shù)方格法（即累加求和法）”“割補(bǔ)法”，或者“拼接法”這三個(gè)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)推導(dǎo)面積公式，它們是培養(yǎng)量感的孕育點(diǎn)；另一種是綜合運(yùn)用已有的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和其他經(jīng)驗(yàn)直觀感知，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，發(fā)揮抽象意識(shí)，達(dá)到解決面積問(wèn)題的目的，它們是培養(yǎng)量感的生長(zhǎng)點(diǎn)。為此，本文制定了如下基于面積測(cè)量培養(yǎng)量感的整體規(guī)劃（圖1）。

圖1

（二）階段培養(yǎng)策略

第一階段：在探究長(zhǎng)方形面積公式的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生“累加求和”的經(jīng)驗(yàn)直觀感知，抽象出長(zhǎng)方形的面積公式，促進(jìn)量感的萌發(fā)。

根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積公式之前，已經(jīng)有了“數(shù)方格求面積”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，它是一種“逐一累加求和”的經(jīng)驗(yàn)直觀感知，但它還不足以抽象出一般的長(zhǎng)方形的面積公式。因此，教師要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生反思累加方式，將“逐一累加求和”的經(jīng)驗(yàn)直觀感知提升為“逐層累加求和”。

當(dāng)學(xué)生有了逐層累加求和的經(jīng)驗(yàn)直觀感知，教師應(yīng)順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積可表示為：

長(zhǎng)方形的面積=每層的單位面積的個(gè)數(shù)×層數(shù).

這里“層數(shù)”的出現(xiàn)也意味著學(xué)生開始發(fā)揮抽象意識(shí)來(lái)得到一般性結(jié)論。接著，教師只要再引導(dǎo)學(xué)生將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與上面等式中的個(gè)數(shù)和層數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，那么長(zhǎng)方形的面積公式就是：

長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬.

上述“逐層累加求和”的經(jīng)驗(yàn)直觀感知具有重要的啟發(fā)性，因?yàn)閺目臻g維度上看，它可以將一維空間的累加經(jīng)驗(yàn)遷移到二維空間，所以學(xué)生一旦具備這樣的量感，那么就可以將這種量感遷移到長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)上來(lái)，即長(zhǎng)方體的體積也是可以通過(guò)“逐層累加求和”得到。

由此可見，第一階段的設(shè)計(jì)確實(shí)能發(fā)展學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)直觀感知，且是培養(yǎng)量感的孕育點(diǎn)。

定理1 給定脆弱性變換周期interval和入侵者攻擊單個(gè)脆弱性所需的時(shí)間周期τ(假定攻擊不同脆弱性所需的時(shí)間周期相同)，當(dāng)脆弱性數(shù)量n=1時(shí)，入侵成功概率隨脆弱性變換空間大小|W|的持續(xù)增大而存在極限.

第二階段：在探究平行四邊形面積公式的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“割補(bǔ)法”經(jīng)驗(yàn)直觀感知，抽象出平行四邊形的面積公式，加速量感的孕育。

根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，學(xué)生已初步具有在方格紙上計(jì)算某些特殊的不規(guī)則平面圖形的面積的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“割補(bǔ)”或“拼接”有初步的認(rèn)識(shí)，但尚未形成為成熟的經(jīng)驗(yàn)直觀感知。

為此，教師可先設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)平行四邊形進(jìn)行適當(dāng)“割補(bǔ)”可使之成為一個(gè)長(zhǎng)方形。這種轉(zhuǎn)化思想對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升解決問(wèn)題能力有重要的影響，它能使學(xué)生找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)和突破口。

接著，教師追問(wèn)：“若把方格紙拿掉，如何直接在平行四邊形上進(jìn)行割補(bǔ)使之成為長(zhǎng)方形呢”，目的是引導(dǎo)學(xué)生直接利用平行四邊形的底邊和高線進(jìn)行割補(bǔ)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生逐漸脫離了方格紙這個(gè)真實(shí)情境，直接在圖形上運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，量感得到進(jìn)一步發(fā)展，發(fā)揮了空間想象力，感受了轉(zhuǎn)化思想的魅力。

第三階段：在探究三角形面積公式的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“拼接法”經(jīng)驗(yàn)直觀感知，抽象出三角形的面積公式，使量感成功孕育出來(lái)。

根據(jù)學(xué)生具有搭積木、玩拼圖的生活經(jīng)驗(yàn)，教師可以設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形可以拼接成一個(gè)平行四邊形的事實(shí)。此時(shí)，量感再次成為解決問(wèn)題的一個(gè)突破口，轉(zhuǎn)化思想也得到再次應(yīng)用。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形與拼接后的平行四邊形的數(shù)量關(guān)系，就推導(dǎo)出三角形的面積公式。

當(dāng)然，在時(shí)間允許的情況下，教師還可以利用劉徽的“以盈補(bǔ)虧”的思想方法，把三角形割補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，進(jìn)而得出三角形的面積公式。［3］

經(jīng)歷平行四邊形與三角形的面積公式的探究活動(dòng)后，學(xué)生能逐漸意識(shí)到“割補(bǔ)法”和“拼接法”都能化未知為已知，都能成為解決問(wèn)題的突破口。此外，學(xué)生不僅逐漸脫離了真實(shí)情境，而且能夠在幾何圖形上發(fā)揮抽象思維進(jìn)行思考問(wèn)題，抽象直觀感知也得到發(fā)展。由此，學(xué)生的量感也基本成功孕育。

第四階段：在探究梯形面積公式的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用量感找到解決問(wèn)題的突破口，推進(jìn)量感的生長(zhǎng)。

經(jīng)過(guò)前面三個(gè)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備利用“割補(bǔ)和拼接”化未知圖形為已知圖形的直觀感知。由于轉(zhuǎn)化梯形為已知圖形的方式有兩種：一種是用“拼接法”化梯形為平行四邊形，一種是用“分割法”將梯形視為平行四邊形和三角形這兩種基本簡(jiǎn)單圖形的組合圖形。這兩種方式能夠使得學(xué)生對(duì)“割補(bǔ)”和“拼接”從單一認(rèn)知加強(qiáng)為統(tǒng)一認(rèn)知，即“割補(bǔ)法”不一定同時(shí)要有“割”和“補(bǔ)”；簡(jiǎn)單的“分割”也能成為解決問(wèn)題的突破口；“分割”和“拼接”實(shí)質(zhì)是一對(duì)互逆的操作。這種經(jīng)驗(yàn)直觀感知的細(xì)化和交融，既能使深化經(jīng)驗(yàn)直觀感知本身，也能拓寬思維、防止思維定勢(shì)、發(fā)展抽象意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

由此可見，這一階段的設(shè)計(jì)能使已有量感交叉融合，推動(dòng)了量感的生長(zhǎng)。

第五階段：在解決組合圖形面積問(wèn)題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用量感找到解決問(wèn)題的突破口，穩(wěn)固量感的生長(zhǎng)。

經(jīng)過(guò)前四個(gè)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)直觀感知，而且抽象直觀感知也愈發(fā)成熟。在本階段中，解決組合圖形的面積問(wèn)題其實(shí)是面積測(cè)量中的一類綜合性較高的問(wèn)題，對(duì)應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練有所增強(qiáng)，是量感穩(wěn)固生長(zhǎng)的一種體現(xiàn)，需要學(xué)生綜合應(yīng)用“分割”與“拼接”的經(jīng)驗(yàn)直觀感知。

對(duì)于解決組合圖形的面積問(wèn)題，通常有兩種方式：一種用“分割法”將組合圖形分割成若干基本簡(jiǎn)單圖形，然后利用已有的面積公式逐一計(jì)算每個(gè)基本簡(jiǎn)單圖形的面積，最后就得到組合圖形的面積；另一種是用“拼接法”，在組合圖形的基礎(chǔ)上“虛補(bǔ)”若干基本簡(jiǎn)單圖形做成一個(gè)較大的容易計(jì)算面積的圖形，然后用這個(gè)較大的圖形的面積減去“虛補(bǔ)”上去的圖形的面積，就得到組合圖形的面積。

由此可見，解決組合圖形的面積問(wèn)題具有較高的綜合性和靈活性，通常具有多種解法，這就給學(xué)生充分發(fā)揮量感的空間，使量感得到穩(wěn)固的生長(zhǎng)。

第六階段：在探究圓的面積公式的教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的抽象直觀感知。

前面五個(gè)階段中的抽象直觀感知都是指對(duì)研究對(duì)象的特征和要素的直觀感知，有助于找到解決問(wèn)題的突破口。嚴(yán)格意義下的抽象性的一個(gè)表征就是在正常的生活時(shí)空中無(wú)法實(shí)現(xiàn)的屬性，但可以通過(guò)思維活動(dòng)或空間想象來(lái)感知。因此，嚴(yán)格意義下的抽象直觀感知在經(jīng)驗(yàn)直觀感知的基礎(chǔ)上作進(jìn)一步想象，比如在經(jīng)驗(yàn)直觀感知的基礎(chǔ)上加入極限思想就能得到抽象直觀感知。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為探究圓的面積公式，通常是先將圓等分成n 份小扇形，然后將這n 份小扇形拼接成起來(lái)使之近似成為一個(gè)平行四邊形，接著引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，隨著平均分的份數(shù)越多，所拼接成的圖形越接近長(zhǎng)方形。在此過(guò)程中，最后一步應(yīng)用了極限思想，是嚴(yán)格意義上的抽象直觀感知。

當(dāng)然，小學(xué)生無(wú)法從數(shù)學(xué)邏輯上解釋為什么圓可以變成長(zhǎng)方形，但借助已有的經(jīng)驗(yàn)直觀感知還是可以接受這個(gè)事實(shí)。這就表明了學(xué)生的量感有了不同尋常的發(fā)展，對(duì)抽象直觀感知也有了進(jìn)一步的認(rèn)知。

三、基于面積測(cè)量培養(yǎng)量感的若干教學(xué)建議

本文第二部分制定的整體教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容分布在小學(xué)數(shù)學(xué)的不同年級(jí)，筆者認(rèn)為這樣的整體教學(xué)設(shè)計(jì)是符合課標(biāo)的教學(xué)理念。事實(shí)上，核心素養(yǎng)的養(yǎng)成具有階段性，呈螺旋式上升趨勢(shì)。為此，筆者提出幾點(diǎn)基于面積測(cè)量培養(yǎng)量感的教學(xué)建議：

1.“數(shù)方格求面積”是孕育量感的最初基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，要注意將學(xué)生從“數(shù)方格求和”引導(dǎo)至“累加求和”。事實(shí)上，累加求和是數(shù)學(xué)學(xué)科常用的思維方式，例如在上述整體教學(xué)設(shè)計(jì)中，累加求和的演變過(guò)程是從“逐一累加求和”開始，到“逐層累加求和”，再到“分割累加求和”，這種一貫的經(jīng)驗(yàn)感知和思維活動(dòng)能有效促進(jìn)量感的養(yǎng)成。

2.要在教學(xué)有意識(shí)的強(qiáng)調(diào)“分割”與“拼接”是一對(duì)互逆的思維過(guò)程，對(duì)解決面積問(wèn)題有重要的輔助作用。事實(shí)上，“分割”與“拼接”是實(shí)施轉(zhuǎn)化思想的具體表現(xiàn)，因此在教學(xué)過(guò)程中精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生獲得“分割”與“拼接”這兩個(gè)重要的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為量感的養(yǎng)成以及形成良好的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3.量感的培養(yǎng)不能只停留在基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的表面，要重視引導(dǎo)學(xué)生從研究對(duì)象的特征和要素來(lái)思考問(wèn)題。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)主要以生活化教學(xué)為主，以獲取更多的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但最終落腳點(diǎn)是掌握知識(shí)、能力與素養(yǎng)。因此，當(dāng)學(xué)生獲取來(lái)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之后，要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。