郭建燁 劉 軍

（沈陽(yáng)航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136）

并聯(lián)機(jī)器人相比于串聯(lián)機(jī)器人具有剛度大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定緊湊、承載能力強(qiáng)、精度高以及動(dòng)力性能好等優(yōu)點(diǎn)[1]，因此被逐步應(yīng)用于工業(yè)、醫(yī)療等各個(gè)領(lǐng)域。

工作空間作為并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器的工作區(qū)域，它是衡量并聯(lián)機(jī)器人性能的重要指標(biāo)之一[2]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究是求解并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)特性的基礎(chǔ)[3]，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析則是運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的主要內(nèi)容[4]。并聯(lián)機(jī)器人工作空間的獲取方法主要有幾何法、數(shù)值法和解析法。幾何法[5]是利用并聯(lián)機(jī)器人的關(guān)節(jié)的幾何關(guān)系求得工作空間的邊界，幾何法很直觀，但當(dāng)機(jī)器人關(guān)節(jié)過(guò)多時(shí)求解難度就會(huì)大幅度增加，必須分組處理。數(shù)值法[6]是通過(guò)理論計(jì)算得到工作空間內(nèi)的點(diǎn)，通過(guò)數(shù)值點(diǎn)來(lái)表示工作空間，該方法使用較為方便，只需要借助計(jì)算機(jī)就能求得結(jié)果。解析法[7]是利用函數(shù)表達(dá)式來(lái)表示工作空間，通過(guò)函數(shù)表達(dá)式求解工作空間的邊界，但由于表達(dá)式復(fù)雜，十分繁瑣，不適用于實(shí)際應(yīng)用。

本文以3-TPT 并聯(lián)機(jī)器人作為研究對(duì)象，利用數(shù)值法求得工作空間范圍后分析影響工作空間大小和形狀的因素，然后根據(jù)實(shí)際應(yīng)用環(huán)境定義有效工作空間，分析了桿長(zhǎng)和約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角范圍對(duì)并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間的影響，并以有效工作空間最大為目標(biāo)對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

1 并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)

并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1 所示，3 個(gè)動(dòng)力桿與動(dòng)靜平臺(tái)通過(guò)虎克鉸連接，約束結(jié)構(gòu)由2 個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)內(nèi)串聯(lián)組成，各轉(zhuǎn)角皆為轉(zhuǎn)動(dòng)副，約束結(jié)構(gòu)對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿起限定作用，同時(shí)可以增加并聯(lián)機(jī)器人的剛度[8]，雙十字軸的回轉(zhuǎn)軸線與水平面之間夾角為固定值45°。

圖1 3-TPT 并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 并聯(lián)機(jī)器人的位置分析

本文的并聯(lián)機(jī)器人的位置分析即是分析3 個(gè)動(dòng)力桿桿長(zhǎng)與刀尖點(diǎn)位置之間、約束結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)副角度與刀尖點(diǎn)位置之間的關(guān)系，為后續(xù)工作空間分析提供理論基礎(chǔ)。

2.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解

如圖1b 所示建立固定坐標(biāo)系O-XYZ、運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系P-x'y'z'以及末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系D-xyz，3 個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系如圖2 所示，固定坐標(biāo)系O-XYZ和末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系D-xyz各個(gè)軸互相平行。各平臺(tái)上的鉸鏈點(diǎn)在各自坐標(biāo)系中的位置如圖3所示。

圖2 3 個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系

圖3 鉸鏈點(diǎn)在各自坐標(biāo)系中的位置

由圖1 及并聯(lián)機(jī)器人坐標(biāo)系之間的關(guān)系可得，固定坐標(biāo)系O-XYZ和運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系P-x'y'z'之間的旋轉(zhuǎn)變化矩陣R為

由此可得在固定坐標(biāo)系中的3 個(gè)動(dòng)力桿的坐標(biāo)向量：

所以并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解為

2.2 約束結(jié)構(gòu)的位置分析

根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人的約束結(jié)構(gòu)和動(dòng)平臺(tái)與固定平臺(tái)之間的關(guān)系建立如圖4 所示的約束結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系。

圖4 約束結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)系

因?yàn)楣潭ㄗ鴺?biāo)系的坐標(biāo)軸和末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸互相平行，因此求得約束結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)副角度與末端執(zhí)行器位置之間的關(guān)系

3 并聯(lián)機(jī)器人的工作空間分析

3.1 工作空間影響因素

機(jī)器人工作空間是指機(jī)器人末端執(zhí)行器所能到達(dá)的空間范圍，本文所研究的3-TPT 并聯(lián)機(jī)器人的工作空間受以下幾個(gè)因素的影響[9-10]：

（1）動(dòng)力桿長(zhǎng)度。動(dòng)力桿為滾珠絲杠結(jié)構(gòu)，有行程范圍限制，用Limin和Limax來(lái)表示第i個(gè)桿的行程最大范圍和最小范圍。則動(dòng)力桿的約束條件表示為

（2）虎克鉸位置和角度?；⒖算q在動(dòng)靜平臺(tái)的連接位置直接影響動(dòng)靜平臺(tái)的形狀，進(jìn)而影響并聯(lián)機(jī)器人的工作空間[11]。由于虎克鉸存在角度范圍限制，它對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的工作空間范圍存在一定的限制，分別用θbi和θBi表示連接動(dòng)靜平臺(tái)的第i個(gè)虎克鉸角度，用θbmin、θbmax、θBmin、θBmax表示所允許的最大角度和最小角度，所以虎克鉸轉(zhuǎn)角的約束條件為

（3）約束結(jié)構(gòu)連桿的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)角。約束結(jié)構(gòu)的尺寸和各個(gè)運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角會(huì)直接影響并聯(lián)機(jī)器人的工作空間大小，用θimax和θimin表示第i個(gè)轉(zhuǎn)角所允許的最大角度和最小角度，則轉(zhuǎn)角變化范圍為

3.2 工作空間的獲取

本文采用搜索法獲取并聯(lián)機(jī)器人的工作空間，首先確定約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角的范圍，利用約束結(jié)構(gòu)的正解搜索所有滿足約束條件的工作空間離散點(diǎn)。

并聯(lián)機(jī)器人初始的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示，虎克鉸的轉(zhuǎn)角范圍為[-45°,45°]。

表1 并聯(lián)機(jī)器人初始參數(shù)

利用Matlab 求得并聯(lián)機(jī)器人的工作空間如圖5所示。

3.3 有效工作空間的定義

由圖5 可知，求得的并聯(lián)機(jī)器人的工作空間連續(xù)且無(wú)奇異點(diǎn)，其形狀關(guān)于XOY面對(duì)稱。在機(jī)器人的實(shí)際應(yīng)用中，我們通常會(huì)在求得的工作空間中選用較規(guī)整的部分在實(shí)際加工中使用，這個(gè)較規(guī)整的工作空間被稱為有效工作空間[12]，本文是在工作空間內(nèi)取一個(gè)體積最大的內(nèi)接球體作為并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間。

圖5 并聯(lián)機(jī)器人的工作空間

所獲得的工作空間是由離散點(diǎn)組成，所以在選定有效工作空間前需要先利用式（10）求得中心點(diǎn)M(X,Y,Z)。然后利用Matlab 獲取工作空間的邊界點(diǎn)，利用計(jì)算求得邊界點(diǎn)和中心點(diǎn)M的距離，取邊界點(diǎn)和中心點(diǎn)M之間最小的距離作為有效工作空間的半徑，得到的有效工作空間如圖6 所示，求得其體積約為8.9×106mm3。

圖6 并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間

4 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

由之前并聯(lián)機(jī)器人工作空間的影響因素可得，工作空間主要受動(dòng)力桿長(zhǎng)度、虎克鉸位置和角度、約束結(jié)構(gòu)連桿的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)角的影響，受并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)要求和整體外部尺寸限制，所以主要優(yōu)化動(dòng)力桿長(zhǎng)度和約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角的范圍。

4.1 動(dòng)力桿長(zhǎng)度的優(yōu)化

由并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)可得，動(dòng)力桿桿1 和桿2 是互相對(duì)稱，所以在優(yōu)化結(jié)構(gòu)時(shí)將2 個(gè)動(dòng)力桿看作一組進(jìn)行優(yōu)化。在優(yōu)化結(jié)構(gòu)的過(guò)程中先保證桿長(zhǎng)伸縮范圍不變，通過(guò)改變最小值來(lái)分析有效工作空間的變化，根據(jù)分析結(jié)果確定桿長(zhǎng)的最小值，然后保持桿長(zhǎng)最小值不變，通過(guò)調(diào)整最大桿長(zhǎng)來(lái)分析有效工作空間的變化情況，根據(jù)分析結(jié)果確定桿長(zhǎng)最大值。

動(dòng)力桿桿長(zhǎng)范圍的最小值對(duì)并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間的影響如圖7 所示，從圖可得，桿1 與桿2和桿3 的最小值對(duì)有效工作空間的影響都呈先增大后減小的趨勢(shì)。

圖7 桿長(zhǎng)范圍的最小值對(duì)有效工作空間體積的影響

動(dòng)力桿桿長(zhǎng)范圍的最大值對(duì)并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間的影響如圖8 所示，桿1 與桿2 的最大值對(duì)有效工作空間的影響整體呈先增大后減小的趨勢(shì)，桿3 的最大值對(duì)有效工作空間的影響呈先增大后不變的趨勢(shì)，說(shuō)明當(dāng)桿3 桿長(zhǎng)范圍大于600 mm 后就不對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間產(chǎn)生明顯影響。

圖8 桿長(zhǎng)范圍的最大值對(duì)有效工作空間體積的影響

根據(jù)上述分析結(jié)果，并聯(lián)機(jī)器人桿長(zhǎng)的優(yōu)化過(guò)程如下：首先對(duì)桿1 和桿2 的長(zhǎng)度范圍進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)最初設(shè)計(jì)要求，保持桿1 和桿2 的伸縮范圍為500 mm，改變桿1 和桿2 的最短桿長(zhǎng)。從圖可得，并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間先增大后減小，當(dāng)最短桿長(zhǎng)為270 mm 時(shí)有效工作空間最大，所以最短桿長(zhǎng)取270 mm。保持桿1 和桿2 的最短桿長(zhǎng)為270 mm，逐漸改變最大桿長(zhǎng)。從圖可得，并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間整體呈先增大后減小的趨勢(shì)，當(dāng)最大桿長(zhǎng)為760 mm 時(shí)有效工作空間最大，所以桿1 和桿2的最大桿長(zhǎng)取760 mm。

然后對(duì)桿3 的長(zhǎng)度范圍進(jìn)行優(yōu)化，同樣因?yàn)樽畛醯脑O(shè)計(jì)要求，保持桿3 的伸縮范圍為500 mm，改變桿3 的最短桿長(zhǎng)。從圖可得，并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間先增大后減小，當(dāng)最短桿長(zhǎng)為250 mm 時(shí)有效工作空間最大，所以最短桿長(zhǎng)取250 mm。保持桿3 的最短桿長(zhǎng)為250 mm，改變最大桿長(zhǎng)。從圖可得，當(dāng)最大桿長(zhǎng)在小于600 mm 時(shí)有效工作空間在不斷增大，在大于600 mm 時(shí)有效工作空間大小不發(fā)生變化，所以為了并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)緊湊性，最大桿長(zhǎng)取600 mm。

4.2 約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角范圍的優(yōu)化

優(yōu)化約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角和優(yōu)化動(dòng)力桿的流程相似，先保證轉(zhuǎn)角范圍不變，改變轉(zhuǎn)角最小值來(lái)分析有效工作空間的變化，根據(jù)分析結(jié)果確定轉(zhuǎn)角的最小值，然后保持轉(zhuǎn)角最小值不變，通過(guò)改變轉(zhuǎn)角最大值分析有效工作空間的變化，根據(jù)分析結(jié)果確定轉(zhuǎn)角最大值。

約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角范圍的最小值對(duì)并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間的影響如圖9 所示。由圖可知，θ1的最小角度對(duì)有效工作空間的影響整體比較平穩(wěn)，θ2和θ3的最小角度對(duì)有效工作空間的影響整體都呈先上升后下降的趨勢(shì)。

圖9 轉(zhuǎn)角范圍的最小值對(duì)有效工作空間體積的影響

約束結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)角范圍的最大值對(duì)并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間的影響如圖10 所示。由圖可知，θ1的最大角度越大，并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間反而越小，而隨著θ2的最大角度增大，并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間呈先上升后逐漸減小的趨勢(shì)，θ2的最大角度對(duì)有效工作空間的影響整體上呈先上升后下降的趨勢(shì)。

圖10 轉(zhuǎn)角范圍的最大值對(duì)有效工作空間體積的影響

根據(jù)上述分析結(jié)果，并聯(lián)機(jī)器人約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角范圍的優(yōu)化過(guò)程如下：首先對(duì)θ1的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)最初設(shè)計(jì)要求，θ1的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為60°，保持θ1的變化范圍為60°，改變?chǔ)?的最小值。從圖可得，并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間整體呈先增大后減小的趨勢(shì)，當(dāng)θ1的最小值為-27°時(shí)有效工作空間最大，所以最小值取-27°。保持θ1的最小值為-27°，逐漸改變?chǔ)?的最大值。從圖可得，并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間整體呈下降趨勢(shì)，當(dāng)θ1的最大值為25°時(shí)有效工作空間最大，所以最大值取25°。

然后對(duì)θ2的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)最初設(shè)計(jì)要求，θ2的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為45°，保持θ2的變化范圍為45°，改變?chǔ)?的最小值。從圖可得，并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間整體呈先增大后減小的趨勢(shì)，當(dāng)θ2的最小值為-15°時(shí)有效工作空間最大，所以θ2的最小值保持不變?nèi)?15°。保持θ2的最小值為-15°，逐漸改變?chǔ)?的最大值。從圖可得，并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間整體呈先增大后減小的趨勢(shì)，當(dāng)θ2的最大值為30°時(shí)有效工作空間最大，所以最大值取30°。

最后對(duì)θ3的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)最初設(shè)計(jì)要求，θ3的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為70°，保持θ3的變化范圍為70°，改變?chǔ)?的最小值。從圖可得，并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間呈先增大后減小的趨勢(shì)，當(dāng)θ3的最小值為-41°時(shí)有效工作空間最大，所以θ3的最小值取-41°。保持θ3的最小值為-41°，逐漸改變?chǔ)?的最大值，并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間整體呈先增大后減小再增大又減小的趨勢(shì)，當(dāng)θ3的最大值為31°時(shí)有效工作空間最大，所以最大值取31°。

4.3 優(yōu)化結(jié)果

通過(guò)上述的有效工作空間的分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化，確定優(yōu)化后并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)尺寸：動(dòng)力桿桿長(zhǎng)范圍l1∈[270 mm,760 mm]，l2∈[270 mm,760 mm]，l3∈[250 mm,600 mm]；約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角范圍θ1∈[-27°,25°]，θ2∈[-15°,30°]，θ3∈[-41°,31°]，優(yōu)化后并聯(lián)機(jī)器人的工作空間如圖11 所示。通過(guò)計(jì)算可以得到優(yōu)化后并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間大小約為1.32×107mm3，相比初始有效工作空間體積擴(kuò)大了約1.5 倍。

圖11 優(yōu)化后并聯(lián)機(jī)器人的有效工作空間

5 結(jié)語(yǔ)

本文以3-TPT 并聯(lián)機(jī)器人作為研究對(duì)象，通過(guò)研究其工作空間，對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)研究結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

（1）利用數(shù)值法求出了并聯(lián)機(jī)器人的工作空間。

（2）根據(jù)實(shí)際應(yīng)用定義并給出了并聯(lián)機(jī)器人有效工作空間。

（3）分析了并聯(lián)機(jī)器人的連桿長(zhǎng)度和約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角范圍有效工作空間影響。

（4）通過(guò)優(yōu)化連桿長(zhǎng)度和約束結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角范圍實(shí)現(xiàn)了有效工作空間的擴(kuò)大，優(yōu)化后的有效工作空間約是初始有效工作空間的1.5 倍。