郝亮亮 劉小娟 杜 婷 閆獻(xiàn)國

（①太原科技大學(xué)能源與材料工程學(xué)院，山西 晉城 048011；②山西科技學(xué)院，山西 晉城 048011）

并聯(lián)機(jī)器人經(jīng)過近30 年的發(fā)展和國內(nèi)外學(xué)者的研究，因其具有輸出精度高、剛度大和承載能力強(qiáng)和整體結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)勢[1]，已廣泛應(yīng)用于康復(fù)醫(yī)療[2]、飛機(jī)裝配[3]、分揀包裝搬運[4-5]和打磨機(jī)構(gòu)[6]等。其中冗余并聯(lián)機(jī)器人是具有更大的承載能力、更高的剛度和更高的定位精度且可輸入構(gòu)件數(shù)多于機(jī)構(gòu)輸出自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)[7]，因此受到了研究者的廣泛關(guān)注，成為國內(nèi)外機(jī)器人和機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點[7-10]。

2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人是五軸混聯(lián)磨床試驗機(jī)的核心機(jī)構(gòu)，需要系統(tǒng)輸出按照期望位姿及軌跡路線穩(wěn)定前行，在工作過程中受到動態(tài)載荷的影響使其控制難度增加，因此為了改善機(jī)構(gòu)的力學(xué)性能，運動學(xué)及動力學(xué)模型是并聯(lián)機(jī)構(gòu)特性分析的基礎(chǔ)。研究人員常用的動力學(xué)建模方法有包括牛頓-歐拉法[1]、拉格朗日法[7]、凱恩方程法[10]和虛功原理法[11]等。其中拉格朗日法以其方程表達(dá)清晰且結(jié)構(gòu)緊湊，無理想約束力的優(yōu)點成為冗余并聯(lián)機(jī)器人最常使用的方法；而虛功原理則是以機(jī)構(gòu)為整體，用廣義坐標(biāo)消除約束力和關(guān)節(jié)慣量，因此其方程形式簡單[12]。

但是由于冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、構(gòu)件數(shù)量較多，因此采用傳統(tǒng)的方法求解其動力學(xué)方程極為復(fù)雜，而引入螺旋理論結(jié)合傳統(tǒng)動力學(xué)方法建立的動力學(xué)方程適用于復(fù)雜機(jī)構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)的研究，目前已經(jīng)應(yīng)用于復(fù)雜并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究中。韓博等[13]應(yīng)用螺旋理論求解了機(jī)構(gòu)的速度及雅可比矩陣，推導(dǎo)了各桿件的角加速度與質(zhì)心線加速度，運用牛頓-歐拉方程和虛功原理方法相對四面體3RR-3RRR 可展機(jī)構(gòu)的動力學(xué)進(jìn)行了分析仿真，結(jié)果表明此方法分析過程簡單且易編程計算。張榮敏等[14]采用旋量理論下的牛頓-歐拉方程構(gòu)建了2 自由度解耦球面并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)方程。陳原等[15]以復(fù)合式移動機(jī)器人球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)為研究對象，運用影響系數(shù)法推導(dǎo)速度和加速度影響系數(shù)矩陣，采用拉格朗日方法建立了球面并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，并應(yīng)用數(shù)值仿真法驗證了模型的正確性。柴馨雪等[16]采用螺旋理論結(jié)合虛功原理對2-UPR-RPU 并聯(lián)機(jī)器人復(fù)雜運動狀態(tài)下的動力學(xué)特性并進(jìn)行了分析。李二偉等[17]基于螺旋理論建立了大型重載并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺的動力學(xué)解析模型。高名旺等[18]用螺旋理論推導(dǎo)了4-RRR 冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，采用牛頓-歐拉法計算主元點的慣性力螺旋，運用虛功原理構(gòu)建了機(jī)構(gòu)的動力學(xué)公式。林光春等[19]針對新型2-UPR/2-RPU 結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用虛功原理成功構(gòu)建了該機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型，結(jié)合驅(qū)動力二范數(shù)的最優(yōu)方法對機(jī)構(gòu)的驅(qū)動力和驅(qū)動功率方程進(jìn)行了推導(dǎo)。

為驗證兩種動力學(xué)建模的正確性，采用螺旋理論和拉格朗日法建立并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)模型；在MATLAB 中編程得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的算法，求解得到動力學(xué)模型各支鏈驅(qū)動力數(shù)值仿真結(jié)果，并通過與ADAMS軟件的動力學(xué)仿真結(jié)果進(jìn)行仿真驗證和誤差分析。

1 冗余并聯(lián)機(jī)器人運動學(xué)建模

2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡圖和虛擬樣機(jī)圖如圖1 所示，其由固定在機(jī)床上的定平臺、包含冗余移動副驅(qū)動的2 條UPR 支鏈和2 條RPU 支鏈以及末端執(zhí)行的動平臺3 部分組成，整個機(jī)構(gòu)呈對稱分布。其中Mi(i=1,2)為動平臺上R 副的中點且與支鏈UPR 的R 副中點重合，Mi(i=3,4)為支鏈RPU 與動平臺相連的U 鉸中心點，Si(i=1,2)為支鏈UPR 與定平臺相接連的U 鉸中心點，Si(i=3,4)為分支支鏈RPU 與動平臺相連的R 副中心點。

圖1 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖和虛擬樣機(jī)圖

在定平臺幾何中心處建立O-XYZ全局坐標(biāo)系和位于動平臺處的動坐標(biāo)系o-xyz，邊長分別為a和b的正方形M1M2M3M4、S1S2S3S4，該冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人的自由度[20]為2R1T，共有3 個自由度。在全局坐標(biāo)系下點Mi(i=1,2,3,4)的矢量坐標(biāo)分別為

點Si（i=1,2,3,4）在動坐標(biāo)系下的坐標(biāo)矢量為

2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人的驅(qū)動位于P副處為機(jī)構(gòu)的主動關(guān)節(jié)位置，設(shè)機(jī)構(gòu)末端位置點o處的坐標(biāo)矢量為：P=(x,y,z)T，各支鏈的移動位移量為li(i=1,2,3,4)。采用Z-Y-Z型姿態(tài)歐拉角(α,β,γ)及坐標(biāo)變換原理可以將旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示為

式中：c11=cosαcosβ，c21=sinαsinβ，c12=cosαsinβsinγcosγsinα，c13=cosαsinβcosγ+cosγcosα，c22=sinαsinβ sinγ+cosγcosα，c23=sinαsinβcosγ-cosαsinγ，c31=-sinβ,c32=cosβsinγ，c33=cosβcosγ。RαZ、RβY和RγZ分別代表繞Z軸、Y軸和Z軸的轉(zhuǎn)換矩陣，因此2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人可以根據(jù)機(jī)構(gòu)位姿確定動平臺點Mi由o-xyz坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)如下

根據(jù)圖1 可得如下閉環(huán)矢量方程

式中：li為各支鏈中移動關(guān)節(jié)的矢量；Si表示從點O到點Si的矢量；定義矢量ei(i=1,2,3,4)分別代表轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)Mi中心線的且模為1 的矢量。

由幾何關(guān)系可得機(jī)構(gòu)的約束條件

由機(jī)構(gòu)的幾何特征及兩點的距離公式可得

對式（1）～（7）整理可得

因此，由式（1）～（10）結(jié)合MATLAB 程序求解可得到2-UPR/2-RPU 冗余并聯(lián)機(jī)器人的位置反解；而冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人的反解求解過程是已知位姿求解各支鏈移動副的位移量li，而且冗余并聯(lián)機(jī)器人的反解求解過程相對簡單且其解具有唯一性；2-UPR/2-RPU 冗余并聯(lián)機(jī)器人的位置正解與其反解求解過程正好相反，是已知驅(qū)動副Pi的驅(qū)動位移來求解動平臺位姿。

2 基于拉格朗日方程的動力學(xué)建模

2-UPR/2-RPU 冗余并聯(lián)機(jī)器人是由多個剛體構(gòu)成的組合系統(tǒng)，其拉格朗日算子L表述為

式中：T為動能，V為勢能。機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的運動方程以拉格朗日方程表示為

式中：n為桿件總數(shù)；qi為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)變量；為廣義速度；Fi為影響第i個廣義坐標(biāo)的廣義力或廣義力矩。將拉格朗日算子代入式（12）得

因此，機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)勢能V僅是關(guān)于qi的表達(dá)式，而動能T是關(guān)于qi，及時間t的表達(dá)式，接下來求解機(jī)構(gòu)各個構(gòu)件的速度。而機(jī)器人動平臺的速度可以用如下矩陣表示

式中：Kp為動平臺速度關(guān)于廣義速度的映射關(guān)系矩陣，其形式為

而vp=(ωT)T為動平臺的速度矢量，ω為動平臺的角速度矢量，為動平臺的線速度矢量。

而2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人動平臺中心點的加速度可以通過對式（14）求導(dǎo)得到

下面以分支1（UPR 分支）為例闡述并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支速度分析方法，依據(jù)末端執(zhí)行器的運動可知分支1 轉(zhuǎn)動副對應(yīng)轉(zhuǎn)動軸的速度為

式中：a為動坐標(biāo)系原點指向轉(zhuǎn)動副中心的向量。根據(jù)速度合成定理將vRi映射到驅(qū)動桿軸向可得主動速度

式中：zLi是驅(qū)動支鏈軸向單位矢量，Li為移動副桿件長度。根據(jù)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何位置關(guān)系，轉(zhuǎn)動副的速度可以用下式表述

式中：ωLi為桿件角速度；將式（19）兩邊同時叉乘zqi，同理推導(dǎo)出桿件的質(zhì)心速度vZi

根據(jù)式（11）～（21）即可求得到機(jī)構(gòu)的廣義力，但逆動力學(xué)建模需要求解機(jī)構(gòu)的主動力，因此使用虛功原理描述機(jī)構(gòu)的主動力與廣義力間的關(guān)系，設(shè)機(jī)構(gòu)的廣義坐標(biāo)為θ、δ、ψ，則其對應(yīng)的廣義力和虛位移分別為qθ、qδ、qψ和Δθ、Δδ、Δψ。因此在移動副驅(qū)動力Fi驅(qū)動下，機(jī)構(gòu)的總虛功為

因此可以得到：

由式（23）～（25）可得廣義力和驅(qū)動力間的雅可比矩陣JT為

將式（12）～（26）聯(lián)立可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動態(tài)方程

即為2-UPR/2-RPU 冗余并聯(lián)機(jī)器人的逆動力學(xué)方程。

3 基于螺旋理論的動力學(xué)建模

下面本文運用螺旋理論對2-UPR/2-RPU 冗余并聯(lián)機(jī)器人并以分支1（UPR）為例進(jìn)行速度和加速度分析。首先建立如圖2 所示的螺旋系

圖2 UPR 分支簡圖

設(shè)點M1的坐標(biāo)為(xM1,yM1,zM1)T，則分支1 的螺旋系有

用ω1i(i=1,2,3,4)表示分支1 各個關(guān)節(jié)速度，則式（14）可表示為

其矩陣形式為

因此2-UPR/2-RPU 冗余并聯(lián)機(jī)器人每個分支的驅(qū)動關(guān)節(jié)速度可以表示為

進(jìn)一步化簡可得分支i中第j個關(guān)節(jié)的速度與各個分支驅(qū)動速度之間的關(guān)系

因此分支i中第j個關(guān)節(jié)的質(zhì)心速度螺旋為

式中：dijCe為從原點到分支的i中第j個桿件質(zhì)心點的位置矢量。在定坐標(biāo)系下分支1 末端加速度可以表述為

因此，由式（34）可以推導(dǎo)出分支i中第j個桿件的速度螺旋為

下面根據(jù)虛功原理來推導(dǎo)該機(jī)構(gòu)動平臺受到的力和力矩為

式中：動平臺質(zhì)量為mp，重力加速度為g，動平臺質(zhì)心線加速度為apCe，動平臺相對于定坐標(biāo)系的慣性張量為IOp，動平臺角速度為ωp。而作用在分支i上第j個桿件質(zhì)心處的力螺旋為

因此2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人的總功為

由虛功原理可得

式（40）～（41）中：Δvi j,Ce和為虛速度且其值為任意值，根據(jù)虛功原理2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人的總虛功始終為零，故有

因此由式（42）可計算得2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人驅(qū)動副的驅(qū)動力數(shù)值。

4 兩種方法下動力學(xué)仿真分析對比

接下來在SW 建模軟件中建立2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人的3D 模型，以Parasolid(*.x_t)文件導(dǎo)入動力學(xué)仿真軟件ADAMS 中，通過ADAMS 來驗證采用朗格朗日方法和螺旋理論方法所建立的冗余2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)模型的正確性，在ADAMS 中建立如圖3 所示的動力學(xué)模型添加構(gòu)建關(guān)系并設(shè)置各項參數(shù)。

圖3 并聯(lián)機(jī)器人ADAMS 動力學(xué)模型

設(shè)動平臺和定平臺的邊長分別為a=250 mm 和b=400 mm，及動平臺中心點軌跡方程為

式中：t0為期望持續(xù)時間，其值為0.5。在軟件MATLAB 的中建立并聯(lián)機(jī)器人的模型，以運動學(xué)和動力學(xué)模型為基礎(chǔ)，編程得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的算法，將以螺旋理論和拉格朗日法建立的并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)方程為輸入，仿真后得到機(jī)器人的分支鏈驅(qū)動力與ADAMS 輸出的動力學(xué)仿真分支鏈驅(qū)動力數(shù)據(jù)并得到圖4 所示的在動平臺中心點軌跡方程驅(qū)動下的驅(qū)動力隨時間變化圖。

從圖4 中可得，基于拉格朗日方程和螺旋理論求解的支鏈驅(qū)動力和ADAMS 軟件仿真求解的支鏈驅(qū)動力數(shù)值變化曲線整體是一致的，從而驗證了采用這兩種方法所建立的2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)模型是正確的，在運動周期內(nèi)，最大驅(qū)動力出現(xiàn)在驅(qū)動桿支鏈1 處為269.3 N。同時數(shù)據(jù)也存在區(qū)別，下面對兩種方法的求解結(jié)果進(jìn)行誤差分析，利用MATLAB 編程功能將圖4 中計算數(shù)據(jù)按照以下計算方法：給定軌跡數(shù)值與理論值之差在該時刻驅(qū)動力所占ADAMS 理論值的百分比進(jìn)行誤差分析，求解得到2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人的各鏈驅(qū)動力誤差隨時間變化曲線如圖5。

圖4 各支鏈驅(qū)動力求解結(jié)果曲線

從圖5 可以看出，各支鏈中采用螺旋理論法動力學(xué)建模求解出的驅(qū)動力誤差的最大值和最小值為：驅(qū)動桿1 的驅(qū)動力相對最大誤差為0.43%和0.452%、約0.515 N 和0.527 N；驅(qū)動桿2 的驅(qū)動力最大誤差為0.34%和0.381%，約0.580 N 和0.649 N；驅(qū)動桿3 的驅(qū)動力相對最大誤差為0.281%和0.295%，約0.324 N 和0.336 N；驅(qū)動桿4 的驅(qū)動力相對最大誤差為0.181%和0.252%，約0.381 N 和0.529 N；因此，螺旋理論法和拉格朗日法求解結(jié)果相對誤差較小，并且處于合理范圍。

圖5 各支鏈驅(qū)動力誤差圖

而在使用MATLAB 軟件進(jìn)行數(shù)值求解后得出了這兩種方法的優(yōu)缺點：拉格朗日方程的建模過程相對簡單，但在MATLAB 軟件進(jìn)行編程數(shù)值求解時計算量大且費時；螺旋理論法模型建立過程簡單、邏輯清晰，在數(shù)值求解時計算量小且速度快。

5 結(jié)語

（1）采用封閉矢量法建立了并聯(lián)機(jī)器人的運動學(xué)反解方程，求解過程簡單且解具有唯一性。

（2）采用螺旋理論對2-UPR/2-RPU 并聯(lián)機(jī)器人各關(guān)節(jié)和桿件的速度和加速度進(jìn)行分析，建立并聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)模型。

（3）采用拉格朗日法求解了并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)部件的速度關(guān)系并建立了其動力學(xué)模型。

（4）通過在MATLAB 中編程得到與ADAMS軟件的動力學(xué)仿真結(jié)果對比圖并進(jìn)行仿真驗證和誤差分析。結(jié)果表明：螺旋理論建立的動力學(xué)模型精度相對較高、方法方便理解、計算簡單、精度高、更適用于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的建立和機(jī)構(gòu)動力學(xué)的控制；滿足磨床打磨曲面的精度要求，為機(jī)構(gòu)的實踐應(yīng)用提供了可靠的理論依據(jù)并奠定了重要基礎(chǔ)。