趙士元

(江蘇省蘇州市吳中區(qū)教學(xué)與教育科學(xué)研究室 215104)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來(lái)自四星級(jí)重點(diǎn)高中，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好，學(xué)生的邏輯判斷能力和運(yùn)算能力普遍較強(qiáng)，但邏輯分析能力不足.

1.2 教材分析

《圓錐曲線》是高中數(shù)學(xué)選修二的主要內(nèi)容，包括橢圓、雙曲線、拋物線的方程與性質(zhì)，這些內(nèi)容既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)又是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn).由于三大圓錐曲線具有統(tǒng)一的定義，因此三者的性質(zhì)之間必然具有高度的相似性，系統(tǒng)了解它們之間的相似性有利于學(xué)生從宏觀上把握三大圓錐曲線，使碎片化的知識(shí)點(diǎn)形成系列化的知識(shí)體系.

解析幾何的宗旨是代數(shù)法處理幾何問(wèn)題，突出體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，而圓錐曲線作為解析幾何的主要內(nèi)容，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算要求比較高，是學(xué)生必須牢固掌握的內(nèi)容.

教學(xué)重點(diǎn) 橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及其相互聯(lián)系.

教學(xué)難點(diǎn) 以導(dǎo)問(wèn)的形式引導(dǎo)學(xué)生分析思考數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 熱身訓(xùn)練

(1)點(diǎn)

P

是橢圓上的點(diǎn)，

F

,

F

分別是它的左、右焦點(diǎn)，則左焦半徑

PF

=

，右焦半徑

PF

=

.它們是如何被推算出來(lái)的？(2)點(diǎn)

P

是橢圓上的點(diǎn)，

F

,

F

分別是它的下、上焦點(diǎn)，則下焦半徑

PF

=

，上焦半徑

PF

=

.試比較與(1)的關(guān)系.(3)點(diǎn)

P

是雙曲線上的點(diǎn)，

F

,

F

分別是它的左、右焦點(diǎn)，則左焦半徑

PF

=

，右焦半徑

PF

=

.試比較與(1)的關(guān)系.(4)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

F

(±

c

,0)，則

a

,

b

,

c

滿足關(guān)系式

；雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

F

(±

c

,0)，則

a

,

b

,

c

滿足關(guān)系式

.(5)點(diǎn)

P

在焦點(diǎn)為

F

的拋物線

y

=2

px

(

p

>0)上，則

PF

=

，如何推算出來(lái)的？若過(guò)拋物線

y

=2

px

(

p

>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

)，則

AB

=

.

設(shè)計(jì)意圖

三大圓錐曲線有其統(tǒng)一的定義，正因如此，其性質(zhì)也將有許多類似之處.特別是橢圓和雙曲線，其定義和標(biāo)準(zhǔn)方程具有高度的一致性，導(dǎo)致其相應(yīng)的性質(zhì)也將具有高度一致性.前四個(gè)小題的設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生明確焦點(diǎn)在

x

軸上的橢圓和焦點(diǎn)在

y

軸上的橢圓是關(guān)于直線

y

=

x

對(duì)稱的，因此對(duì)應(yīng)的性質(zhì)也具有這一對(duì)稱性.類似地，通過(guò)比較與雙曲線的定義理解對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，第(5)題主要為例題講解作鋪墊.類似題組的設(shè)計(jì)有利于使學(xué)生碎片化的公式系列化，使學(xué)生對(duì)圓錐曲線的知識(shí)有系統(tǒng)的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí).

2.2 例題講解

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線

C

:

y

=2

ax

的焦點(diǎn)

F

重合，兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)

M

滿足(1)求橢圓

C

以及拋物線

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓另一焦點(diǎn)

E

作直線(斜率存在但不為零)與橢圓相交于

A

,

B

兩點(diǎn)，在橢圓長(zhǎng)軸 上是否存在點(diǎn)

P

，使得為定值？如存 在，求點(diǎn)

P

的坐標(biāo)及這個(gè)定值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

·教學(xué)設(shè)計(jì)

先解決第(1)題：

第一步 讀題

出示題目后學(xué)生讀題兩分鐘，而后教師逐步出示如下幾個(gè)問(wèn)題，供學(xué)生相互討論交流：

問(wèn)題1

“

M

是橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)”隱藏著什么樣的信息？

問(wèn)題2

要求橢圓和拋物線的方程，就必須求出

a

,

b

的值，從基本算理來(lái)看，需要兩個(gè)條件，但題中僅給出一個(gè)條件，對(duì)此有什么想法？

問(wèn)題3

線段

MF

是什么？點(diǎn)

M

是橢圓和拋物線的交點(diǎn)，且它們有公共焦點(diǎn)，暗示了什么信息？

問(wèn)題4

如何利用這個(gè)條件？(引導(dǎo)學(xué)生回答出：要用這個(gè)條件需要用到點(diǎn)

M

的橫坐標(biāo)，于是設(shè)其橫坐標(biāo)為

x

，再分別在橢圓和拋物線中用字母

a

,

b

及

x

表示出

MF

)

第二步 設(shè)計(jì)解題思路

①利用橢圓三個(gè)基本量本身的關(guān)系、橢圓和拋物線具有公共焦點(diǎn)、橢圓右焦半徑等于拋物線的焦半徑這三個(gè)條件列出關(guān)系式(可列三個(gè))得到方程組；②求解這個(gè)方程組，求出

a

,

b

,

c

的值.

第三步 實(shí)施解題計(jì)劃

解

設(shè)點(diǎn)

M

的橫坐標(biāo)為

x

，由于橢圓的半焦距為

c

，它與拋物線

y

=2

ax

有公共焦點(diǎn)，故于是橢圓的離心率為又因?yàn)榍蟮?p>a

=2，于是所以橢圓方程為拋物線方程為

y

=4

x

.

接下來(lái)研究第(2)題.

第一步 讀題

先弄清楚如下幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題5

“是否存在”這一類探究性問(wèn)題通常的格式是怎樣的？

問(wèn)題6

按理來(lái)說(shuō)，由于直線和點(diǎn)

P

都不確定，應(yīng)該是一個(gè)變量.那么題意所說(shuō)是定值，它應(yīng)該在誰(shuí)確定的條件下為定值？本題中的變化量是什么？

問(wèn)題7

向量的數(shù)量積怎樣表示，你能估計(jì)出它與哪些量有關(guān)？(引導(dǎo)學(xué)生回答出與直線

AB

的斜率以及點(diǎn)

P

的坐標(biāo)有關(guān))

問(wèn)題8

怎樣寫出的表達(dá)式，在橢圓長(zhǎng)軸上取一點(diǎn)

P

，使得為定值表達(dá)了什么信息？引導(dǎo)學(xué)生思考出：在確定點(diǎn)

P

的位置后，的值與直線

AB

的斜率無(wú)關(guān).

問(wèn)題9

你能寫出的表達(dá)式嗎？看看需要做些什么準(zhǔn)備工作？留一定時(shí)間給學(xué)生思考并在草稿紙上書寫，而后讓學(xué)生明確應(yīng)先求出

A

,

B

兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積.

第二步 設(shè)計(jì)解題計(jì)劃

設(shè)直線

AB

的斜率為

k

，點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為(

m

,0)，列出的表達(dá)式(將用

k

,

m

表示)，再針對(duì)具體的表達(dá)式進(jìn)行分析，具體的運(yùn)算過(guò)程在課堂上當(dāng)堂完成.

第三步 實(shí)施解題計(jì)劃

解

設(shè)滿足條件的點(diǎn)

P

存在，且直線

AB

的斜率為

k

，

A

,

B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

)，點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為

P

(

m

,0)，則直線

AB

的方程為

y

=

k

(

x

+1)，且將直線

AB

的方程

y

=

k

(

x

+1)代入橢圓方程整理得(3+4

k

)

x

+8

k

x

+4

k

-12=0，故于是由條件知是一個(gè)與

k

無(wú)關(guān)的常數(shù)，于是得此時(shí)故所求點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為此時(shí)為定值

2.3 課堂小結(jié)及作業(yè)布置(略)

3 教學(xué)反思

反思之一

解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題通常包含“審題”“設(shè)計(jì)解題計(jì)劃”“實(shí)施解題計(jì)劃”和“解題反思”這四個(gè)步驟.當(dāng)然，對(duì)一個(gè)熟練的解題者而言并不一定要嚴(yán)格按這四個(gè)步驟執(zhí)行，但在思考的潛意識(shí)里一定有這四個(gè)步驟.在平時(shí)解題教學(xué)中經(jīng)常滲透這種思考模式，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和思維能力非常有用.

反思之二

上述的化簡(jiǎn)由學(xué)生和教師在課堂上當(dāng)堂完成，同時(shí)教師作規(guī)范板書，目的是培養(yǎng)學(xué)生的字母運(yùn)算能力.目前，許多學(xué)生的運(yùn)算能力特別是字母運(yùn)算能力欠缺，而教師往往利用PPT投影的方式顯示運(yùn)算過(guò)程或直接忽略其運(yùn)算過(guò)程而以“化簡(jiǎn)得”替而代之，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力極為不利.

反思之三

第(2)題的設(shè)計(jì)思路采用了一般到特殊的思想，對(duì)于類似的探究性問(wèn)題，我們是否有其他的思路呢？比如是否可以采取從特殊到一般的思路？事實(shí)是可以的.本題中可以采用“極端思想”先找出這一個(gè)定點(diǎn)再加以驗(yàn)證，盡管題中條件告知了直線

AB

的斜率存在且不為零，但我們可以想象當(dāng)直線

AB

無(wú)限接近于“與

x

軸或

y

軸平行”時(shí)，應(yīng)該是相等而且等于所要探求的定值.據(jù)此考慮這兩種極端情形，設(shè)點(diǎn)

P

坐標(biāo)為

P

(

m

,0)，于是當(dāng)直線斜率為零時(shí)，

A

,

B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A

(-2,0),

B

(2,0)，此時(shí)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

A

,

B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為此時(shí)故而必有求得

這一思路比較直觀，從特例(或極端情形)出發(fā)找出答案再進(jìn)行驗(yàn)證，于是將學(xué)生比較陌生的探究性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下一個(gè)比較熟悉的證明題：

過(guò)橢圓右焦點(diǎn)

E

作直線(斜率存在但不為零)與橢圓相交于

A

,

B

兩點(diǎn)，已知點(diǎn)求證為定值并求出這個(gè)定值.(學(xué)生思考：如果我們按這一思路解題，該如何規(guī)范書寫呢？請(qǐng)學(xué)生課后自己整理)

反思之四

遇到一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，許多學(xué)生往往束手無(wú)策，這與平時(shí)的分析和訓(xùn)練有關(guān)，遇到有一定難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)如何幫助學(xué)生在題設(shè)和目標(biāo)之間通過(guò)導(dǎo)問(wèn)的形式架設(shè)若干階梯，將一個(gè)“大問(wèn)題”分解為若干個(gè)“小問(wèn)題”是教師在例題教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中必須用心思考的問(wèn)題，這就是我們通常所說(shuō)的“導(dǎo)問(wèn)式教學(xué)設(shè)計(jì)”.或許有些教師會(huì)認(rèn)為以導(dǎo)問(wèn)的形式組織教學(xué)活動(dòng)會(huì)影響教學(xué)進(jìn)程，但是如果沒(méi)有平時(shí)規(guī)范化的思維訓(xùn)練，怎么可能使我們的學(xué)生在考場(chǎng)上做到得心應(yīng)手呢？有時(shí)，暫時(shí)的“慢”是為了更好的“快”.

反思之五

課堂教學(xué)不能僅僅滿足于讓學(xué)生聽懂，而要追求讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”上升到“會(huì)學(xué)”，更要讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“不好”到“好”的轉(zhuǎn)變.“聽懂”是課堂教學(xué)最基本的要求，從“不好”到“好”是課堂教學(xué)的最高目標(biāo)，采用導(dǎo)問(wèn)式教學(xué)設(shè)計(jì)可以引導(dǎo)學(xué)生從常規(guī)策略入手追求最佳解決問(wèn)題的途徑，有利于活躍學(xué)生思維、提升思維品質(zhì).