趙 軍 (江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215400)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來(lái)自平行班的初三年級(jí)，基礎(chǔ)較好，知識(shí)結(jié)構(gòu)完整，有一定的推理能力和解決問(wèn)題的能力．

1.2 教材分析

在迎接中考的復(fù)習(xí)階段，我們以蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)(數(shù)學(xué))》為藍(lán)本，將數(shù)學(xué)知識(shí)與解題方法融合，通過(guò)重新建構(gòu)，以微專(zhuān)題的形式進(jìn)行深入而又高效的復(fù)習(xí)，以期在學(xué)習(xí)方法、解題技巧等方面達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的．

“微專(zhuān)題”顧名思義就是小專(zhuān)題，是圍繞一兩個(gè)緊密相關(guān)的知識(shí)或思想方法而形成的專(zhuān)題研究，它可以單獨(dú)研究某一知識(shí)體系、某個(gè)數(shù)學(xué)思想或某種解題策略．微專(zhuān)題的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，從學(xué)生已有知識(shí)、能力出發(fā)進(jìn)行研究，具有入口小、針對(duì)性強(qiáng)等特點(diǎn)．在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中要做到科學(xué)引領(lǐng)，精準(zhǔn)施策，體現(xiàn)以小見(jiàn)大、見(jiàn)微知著的特點(diǎn)．“面積法”是一種常見(jiàn)的解題方法，它通常以某個(gè)圖形為載體，通過(guò)兩次計(jì)算其面積，構(gòu)造方程解決問(wèn)題．面積法的適用面廣而又分散，具有靈活而又高效的特點(diǎn)，若運(yùn)用得當(dāng)，往往能化繁為簡(jiǎn)、化難為易．下面僅以此法的運(yùn)用為例，談?wù)勎?zhuān)題的設(shè)計(jì)與實(shí)施，以?huà)伌u引玉．

教學(xué)目標(biāo) (1)通過(guò)計(jì)算同一圖形(三角形、特殊四邊形等)的面積，體會(huì)“積不離高，高不離積”的思維策略和構(gòu)建方程解決問(wèn)題的特點(diǎn)； (2)經(jīng)歷面積法解決問(wèn)題的過(guò)程，并通過(guò)不同方法的對(duì)比，體驗(yàn)解決問(wèn)題的不同思路，感受面積法的精巧之處；(3)能結(jié)合所學(xué)知識(shí)，靈活運(yùn)用面積法解決較為復(fù)雜的問(wèn)題，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想(如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、方程思想)．

教學(xué)重點(diǎn) 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探索和方法對(duì)比，感受面積法的簡(jiǎn)潔、高效的特點(diǎn)．

教學(xué)難點(diǎn) 如何結(jié)合所學(xué)知識(shí)，根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用面積法構(gòu)建方程解決問(wèn)題．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究

隨著上課鈴聲響起，教師微笑著走進(jìn)教室，但沒(méi)有說(shuō)話(huà)，而是在黑板上寫(xiě)下四個(gè)字“今日說(shuō)法”．(學(xué)生充滿(mǎn)期待，多數(shù)人充滿(mǎn)疑惑，這是講法律還是數(shù)學(xué)？)

師：同學(xué)們，今天我們不講法律，只談方法，一種簡(jiǎn)潔而又高效的解題方法，請(qǐng)看問(wèn)題1．

2.2 方法對(duì)比，體會(huì)等積

圖1

問(wèn)題1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，BC=3，AC=4，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？

生2：我用的是勾股定理，設(shè)AD=x，則BD=5-x，分別在Rt△ACD和Rt△CBD中計(jì)算CD2，列出方程求解．

生3：我是分別在Rt△ACD和Rt△ABC中表示出sinA，構(gòu)造等式求解．

師：還有補(bǔ)充的嗎？

生4：計(jì)算△ABC的面積也可以求出CD的長(zhǎng)．

師(追問(wèn))：請(qǐng)具體一點(diǎn)！

師(高興地)：很好！這種方法我們稱(chēng)之為“面積法”(教者接著“今日說(shuō)法”下面補(bǔ)上板書(shū)“——面積法”)，這種方法有什么特點(diǎn)？

生5：將三角形的面積計(jì)算了兩次．

師：對(duì)！其關(guān)鍵是抓住同一個(gè)三角形，從兩個(gè)不同的角度計(jì)算其面積，列出方程求解．請(qǐng)大家接著看下面的問(wèn)題．

圖2

問(wèn)題2如圖2，若將問(wèn)題1中的高CD去掉，改為點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為M,N，則MN的最小值是多少？

(不少學(xué)生陷入困境，無(wú)法對(duì)MN進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化)

師(追問(wèn))：在解決問(wèn)題的過(guò)程中你能體會(huì)到怎樣的思想方法？

生6：轉(zhuǎn)化．

師：很好！這里有一幅“對(duì)聯(lián)”送給大家(教師展開(kāi)準(zhǔn)備好的對(duì)聯(lián)分別掛在黑板兩側(cè))：“積不離高，高不離積”，它生動(dòng)詮釋了面積法的特點(diǎn)，我們?cè)鯓永斫膺@幅對(duì)聯(lián)的含義呢？

生7：“積不離高”是指計(jì)算某圖形的面積通常離不開(kāi)高；“高不離積”是指有了高(垂直)就要注意向計(jì)算某圖形面積的方向去思考．

師：說(shuō)得太好了！那誰(shuí)來(lái)給這幅對(duì)聯(lián)添加一個(gè)橫批？

生8(脫口而出)：面積法．

(老師展開(kāi)橫批“面積法”，貼在黑板上方的正中央)

教學(xué)說(shuō)明對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生有多種方法可供選擇，但最簡(jiǎn)潔明了的還是面積法，在引出面積法后又為解決問(wèn)題2做好了鋪墊．在問(wèn)題2中，利用“矩形對(duì)角線(xiàn)相等”的性質(zhì)先把MN轉(zhuǎn)化為CD，將陌生的問(wèn)題熟悉化，再結(jié)合問(wèn)題1中的結(jié)論來(lái)求解．設(shè)置問(wèn)題1的意圖有兩個(gè)，一是以此作為“種子題”，讓學(xué)生掌握一種解決問(wèn)題的方法，為下面進(jìn)行面積法的運(yùn)用做好鋪墊，二是結(jié)合本題讓學(xué)生從中體會(huì)“積不離高、高不離積”的策略，通過(guò)方法對(duì)比，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)解題的策略，訓(xùn)練思維的多樣性和靈活性．

2.3 變換載體，方法遷移

圖3

問(wèn)題3如圖3，已知四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB,CF⊥AD，垂足分別為E,F，求證：CE=CF．

生9：由菱形的性質(zhì)可知CB=CD,∠CBA=∠CDA，可以考慮證明△CBE≌△CDF(AAS)，從而證得CE=CF．

師：很清晰的思路！還有不同想法嗎？

生10：連結(jié)AC，由菱形ABCD可知AC平分∠DAB.因?yàn)镃E⊥AB,CF⊥AD，所以CE=CF．

師(追問(wèn))：為什么？

生10：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．

師：很好！能熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)．若類(lèi)比問(wèn)題1的解題思路，還有沒(méi)有其他想法？

生11(恍然大悟)：計(jì)算菱形的面積．

師(追問(wèn))：具體一點(diǎn)，怎么算？

生11：因?yàn)镾菱形=AB·CE=AD·CF，由菱形ABCD可知AB=AD，所以CE=CF．

(教室里響起了歡呼聲和掌聲……)

教學(xué)說(shuō)明遇到此類(lèi)證明線(xiàn)段相等的問(wèn)題，不少學(xué)生首先想到的方法是證明三角形全等，也有少數(shù)學(xué)生會(huì)選擇運(yùn)用角平分線(xiàn)定理來(lái)證明，但很少有學(xué)生想到計(jì)算菱形ABCD的面積，建立方程解決問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程中，教者先讓學(xué)生各抒己見(jiàn)，在思維碰撞中體會(huì)運(yùn)用面積法解題的簡(jiǎn)潔性．雖然本題難度不大，但由于大家對(duì)解法進(jìn)行了比較，放大了題目本身的價(jià)值，體現(xiàn)了面積法的精髓——“積不離高，高不離積”，拓寬了學(xué)生的思維空間，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．

2.4 構(gòu)建模型，隱藏“題”中

問(wèn)題4如圖4，在等腰三角形HBC中，HB=HC，E為底邊BC上的任意一點(diǎn)，EF⊥HB于點(diǎn)F，EG⊥HC于點(diǎn)G，BM⊥HC于點(diǎn)M，試探究EF,EG,BM之間的數(shù)量關(guān)系．

圖4 圖5

生12：如圖5，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BM，垂足為N，則四邊形EGMN為矩形，所以EG=NM，再證得△BEF≌△EBN，故有EF=BN，所以EF+EG=BM．

師：很好！這種方法是將最長(zhǎng)的線(xiàn)段截為兩段，我們稱(chēng)之為“截長(zhǎng)”法，還有不同方法嗎？

生13：還有“補(bǔ)短”法，如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥GE，交GE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，用同樣的思路可以證得矩形BKGM和△BEF≌△BEK，從而得到結(jié)論．

師：完全正確，兩種方法合起來(lái)可稱(chēng)之為“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法．如果我們?cè)贀Q個(gè)角度看問(wèn)題，由EF⊥HB我們還能想到什么？

生14：可以計(jì)算△HBE的面積．

師(追問(wèn))：結(jié)合EG⊥HC,BM⊥HC，我們又能想到什么？

生14：計(jì)算△HCE,△HBC的面積．

師(再追問(wèn))：那接著怎么運(yùn)用這些三角形的面積呢？

師(追問(wèn))：當(dāng)?shù)妊切蜨BC的頂角為直角或鈍角時(shí)，結(jié)論還成立嗎？

(小組分工合作完成……)

生16(小組代表)：成立，方法一樣，還是運(yùn)用面積法．

師：請(qǐng)大家歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論．

生17：等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

師：很好！下面，我們就來(lái)看看這個(gè)結(jié)論在解題中的運(yùn)用．

圖6

問(wèn)題5如圖6，已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，P為AB邊上任意一點(diǎn)，且PE⊥AC，PF⊥BD，E,F分別為垂足，求PE+PF的值．

生18：先根據(jù)條件證明△OAB是等腰三角形，則PE+PF的值等于該等腰三角形一腰上的高．

師(追問(wèn))：然后呢？

生18：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BD，垂足為G，則PE+PF=AG．

師(再追問(wèn))：那如何求AG呢？

教學(xué)說(shuō)明教學(xué)過(guò)程中，教者可視學(xué)情予以適當(dāng)引導(dǎo)，當(dāng)學(xué)生想不出面積法時(shí)，教者可以引導(dǎo)學(xué)生從三條高入手，以面積為抓手，建立方程解決問(wèn)題．問(wèn)題4的“慢加工”為問(wèn)題5的“快處理”鋪平了道路．通過(guò)問(wèn)題變式和不斷追問(wèn)，讓學(xué)生逐步明晰運(yùn)用面積法解題的特點(diǎn)和規(guī)律，抓住面積法的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)解題經(jīng)驗(yàn)的正向遷移和解題方法的有效應(yīng)用，引領(lǐng)學(xué)生的思維向著問(wèn)題深處漫溯．

2.5 巧借k值，妙用等積

圖7

(問(wèn)題出示后，學(xué)生遇到困難、陷入沉思……)

師：連結(jié)OE,OF，四邊形OEBF的面積與四邊形BFDE的面積有何關(guān)系？

生20：因?yàn)辄c(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，所以S△OBF=2S△DBF，S△OBE=2S△DBE，所以S四邊形OEBF=2S四邊形BFDE=9．

(先獨(dú)立思考，后分組討論)

生21：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA,DG⊥OC，垂足分別為H,G，S矩形OABC=4S矩形OHDG=4k．

師(追問(wèn))：為什么？

生21：因?yàn)辄c(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，即點(diǎn)D是矩形OABC的對(duì)稱(chēng)中點(diǎn)．

師(再追問(wèn))：然后呢？

師：太好了！列出這個(gè)方程用到“積不離高，高不離積”嗎？

生(疑惑地)：沒(méi)有？

師：所以沒(méi)有高的情況下，我們也可以運(yùn)用“割補(bǔ)法”將某個(gè)圖形的面積“算兩次”，然后列出方程求解！

教學(xué)說(shuō)明學(xué)生遇到困難時(shí)，通過(guò)教者的引導(dǎo)、追問(wèn)，讓學(xué)生在深入思考的過(guò)程中體會(huì)反比例函數(shù)中k的幾何意義，再借助于矩形OABC的 面積不變巧妙地建立方程求解．微專(zhuān)題這種教學(xué)形式為學(xué)生進(jìn)行有效聯(lián)想和方法建構(gòu)提供了便利和可能，通過(guò)系列化的活動(dòng)和體驗(yàn)，把對(duì)知識(shí)、 方法和規(guī)律的掌握過(guò)程演變成學(xué)生能力提升的過(guò)程．

2.6 歸納小結(jié)，一“法”多得

師：回顧本節(jié)課所解決的問(wèn)題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)始終有一根主線(xiàn)貫穿“題”中，這是一種什么方法？

生(齊)：面積法．

師(追問(wèn))：你是怎樣理解這種方法的？

生22：把同一個(gè)圖形的面積用不同的方法算兩次，但“有時(shí)無(wú)高勝有高！”(不一定有高)，建立等量關(guān)系，運(yùn)用方程解決問(wèn)題．

……

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)追問(wèn)，讓學(xué)生重新審視面積法，加深對(duì)這種方法的理解，完善方法體系，構(gòu)建“多題一法”，形成分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，達(dá)到因“微”而專(zhuān)、見(jiàn)微知著的效果．

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

“授人以魚(yú)不如授人以漁”，其意思實(shí)質(zhì)上是指?jìng)魇诮o人既有知識(shí)，不如傳授給人學(xué)習(xí)知識(shí)的方法．道理其實(shí)很簡(jiǎn)單，魚(yú)是做事目的，捕魚(yú)是做事的手段，一條魚(yú)能解一時(shí)之饑，卻不能解長(zhǎng)久之饑，如果想永遠(yuǎn)有魚(yú)吃，那就要真正學(xué)會(huì)捕魚(yú)的方法．在本節(jié)微專(zhuān)題課中，專(zhuān)門(mén)從解題的方法——面積法展開(kāi)探究，將“授人以漁”的理念詮釋得通徹透亮．因此，掌握一種方法就猶如擁有一樣得心應(yīng)手的工具，擁有解決問(wèn)題的“本領(lǐng)”，這是學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的必由之路．“種樹(shù)者必先培其根，學(xué)習(xí)者必先培其法．”只有授人以漁，才能從根本上得其法．以“微專(zhuān)題”的方式將解決問(wèn)題的方法進(jìn)行歸類(lèi)、提煉與運(yùn)用，更高效地讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決問(wèn)題，使更多的學(xué)生擁有捕魚(yú)的本領(lǐng)，變輸血為造血，才是我們的終極目標(biāo)．

3.2 教學(xué)反思

(1)堅(jiān)持結(jié)合學(xué)情，按需設(shè)計(jì)

微專(zhuān)題開(kāi)發(fā)與實(shí)施應(yīng)當(dāng)立足學(xué)情，基于教情，按需開(kāi)發(fā)，不必拘泥于固定的形式和內(nèi)容，可以靈活設(shè)計(jì)并實(shí)施．例題可以根據(jù)學(xué)情按需選用．“今日說(shuō)法——面積法”就是在學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)基本完成的基礎(chǔ)上，將偶爾運(yùn)用的面積法歸類(lèi)處理，由“分散運(yùn)用”為“集中梳理”，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化、脈絡(luò)化．同時(shí)，微專(zhuān)題教學(xué)的有效性要通過(guò)教學(xué)實(shí)踐加以檢驗(yàn)，堅(jiān)持從實(shí)踐中來(lái)，到實(shí)踐中去，遵循“開(kāi)發(fā)—設(shè)計(jì)—實(shí)踐—修正”到“再實(shí)踐—再修正……”的實(shí)施路徑，注重校正優(yōu)化以及再實(shí)施再優(yōu)化的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)下的螺旋式上升．微專(zhuān)題設(shè)計(jì)必須根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀進(jìn)行，使之更適合學(xué)生的學(xué)情，做到“適合的才是最好的！”微專(zhuān)題的實(shí)施必須尊重不同學(xué)生，做到量身定做、一次一課，增強(qiáng)教學(xué)的針對(duì)性和有效性．

(2)堅(jiān)持以生為本，因材施教

微專(zhuān)題設(shè)計(jì)和實(shí)施過(guò)程中要堅(jiān)持面向全體學(xué)生，突出以生為本，讓學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)、興趣盎然，把握好“低起點(diǎn)”“多層次”“富挑戰(zhàn)”的要求，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、層次性和綜合性的特點(diǎn)．以學(xué)生對(duì)此方法的理解和運(yùn)用為目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)思維深處的拓展提升，面積法的教學(xué)設(shè)計(jì)就體現(xiàn)了這樣的特點(diǎn)．首先“今日說(shuō)法”這個(gè)標(biāo)題足夠吸引學(xué)生，今日說(shuō)法究竟要說(shuō)什么“法”？激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，也為學(xué)生學(xué)好用好此法埋下伏筆．其次，對(duì)涉及面積法的題目遵循由易到難、由淺入深的編排，問(wèn)題設(shè)置富有啟發(fā)性、應(yīng)用性、延續(xù)性，引例必須是一顆充滿(mǎn)生命力的種子，只有這樣，后續(xù)問(wèn)題才能生根發(fā)芽．所以微專(zhuān)題教學(xué)必須始終堅(jiān)持以學(xué)定教、因材施教，學(xué)為中心、以教促學(xué)，教者要花更多的精力從學(xué)生的視角來(lái)看待問(wèn)題，精心設(shè)計(jì)課堂問(wèn)題和探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探究，在優(yōu)化思維的過(guò)程中解決問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和能力的提升．

(3)堅(jiān)持以小見(jiàn)大，微中見(jiàn)法

微專(zhuān)題的開(kāi)口小，容量大，有深度，重方法，學(xué)習(xí)者學(xué)過(guò)之后往往體會(huì)深刻，回味無(wú)窮！微專(zhuān)題設(shè)計(jì)方式靈活多樣，可以對(duì)某個(gè)知識(shí)板塊進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí)，也可以對(duì)某些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變式探究，還可以就某種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)指導(dǎo)，亦或是某種數(shù)學(xué)思想的深度感悟等．設(shè)計(jì)內(nèi)容和上課形式不拘一格，靈活機(jī)動(dòng)，針對(duì)性強(qiáng)．教學(xué)實(shí)施注重相機(jī)而教，因情而生，靈動(dòng)生成．本課例中的面積法屬于“多題一法”的專(zhuān)題研究，通過(guò)不同載體的變換，將計(jì)算面積這一方法從直角三角形過(guò)渡到菱形、矩形，通過(guò)兩次計(jì)算同一載體的面積列出方程解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了形與數(shù)的有機(jī)統(tǒng)一．對(duì)同一題目不同方法的橫向?qū)Ρ扰c不同題目同一方法的縱向梳理，拓寬了學(xué)生思維的空間，凸顯了面積法的簡(jiǎn)潔、高效的特點(diǎn)，達(dá)到了以小見(jiàn)大、微中見(jiàn)法的目的．