210003 南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 孫風(fēng)建

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，希望教師能把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視情境創(chuàng)設(shè)和問題提出，從整體規(guī)劃學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展．主題式教學(xué)可以很好地承載“整體性”學(xué)習(xí)目標(biāo).主題探究教學(xué)本質(zhì)在“主題”，由學(xué)生鮮活的思考或疑惑生長出的探究主題，有利于學(xué)生發(fā)揮主動性，自主推動探究，在不斷提出和解決問題過程中發(fā)展高階思維．

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個十分重要的概念，如果學(xué)生沒有充分經(jīng)歷函數(shù)概念的抽象過程，往往很難在千變?nèi)f化的函數(shù)問題中應(yīng)對自如，筆者以“這樣的函數(shù)有多少個”這一主題的探究教學(xué)為例，以學(xué)生素養(yǎng)為先，研究教學(xué)．

1 “這樣的函數(shù)有多少個”主題探究教學(xué)過程

1.1 激發(fā)動機(jī)，生成探究主題

在函數(shù)這一章節(jié)中，蘇教版教材給出了這樣的問題：已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為[1，4]，這樣的函數(shù)有多少個？

這是一個開放性問題．學(xué)生通過之前學(xué)習(xí)的知識(即函數(shù)的三要素決定一個函數(shù))，很快發(fā)現(xiàn)本題中對應(yīng)法則和值域已限定，要確定函數(shù)，關(guān)鍵在于確定定義域．如果定義域稍加變化，就可以得到一系列答案，如x∈[1,2]，x∈[-2,-1]，x∈[1,2]∪[-2,-1]等，所以答案是“無數(shù)個”．

表面來看，學(xué)生已經(jīng)掌握函數(shù)概念．如果僅止于此，可能就錯過了一個讓知識整體關(guān)聯(lián)的好機(jī)會．所以，筆者隨即追問：如果對應(yīng)法則不變，值域變化了，這樣的函數(shù)有多少個？學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中暗藏玄機(jī)，一時難以簡單回答，決定一探究竟，隨即誕生了一個探究主題——“這樣的函數(shù)有多少個”．

1.2 自主合作，形成初步方案

學(xué)生分成小組，從確定對應(yīng)法則出發(fā)，探索如果改變值域，結(jié)果會發(fā)生怎樣的變化，其中有什么一般特征，形成了本組的自主探究任務(wù).有的小組嘗試把值域換成其他有限數(shù)，最終探索出了值域為一般有限區(qū)間[a,b]時的情況.有的小組嘗試把連續(xù)區(qū)間離散化，但情況太多，探索得出普適的結(jié)論存在困難，經(jīng)過討論，決定從最簡單且和[1，4]形式最接近的情況{1，4}入手探究．

自主探究1已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的定義域和值域均為[a,b]，則這樣的函數(shù)有多少個？

(3)當(dāng)a<0

綜上，這樣的函數(shù)只有1個．

自主探究2已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為{1,4}，這樣的函數(shù)有多少個？

解法1：當(dāng)y=1時，x=1或x=-1；當(dāng)y=4時，x=2或x=-2.以函數(shù)定義域中的元素個數(shù)來分類.

(1)當(dāng)元素個數(shù)為2時，有{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},共4種；

(2)當(dāng)元素個數(shù)為3時，有{1,2,-2},{1,-1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},共4種；

(3)當(dāng)元素個數(shù)為4時，只有{1,-1,2,-2} 1種.

因此，這樣的函數(shù)有9個．

解法2：當(dāng)y=1時，x=1或x=-1；當(dāng)y=4時，x=2或x=-2.

第一步有三種選擇，即x可以是1或-1，也可以是兩個都取，共有三種不同的選法;同理，第二步也有三種不同的選法，按照分步計算原理共有九種．

1.3 啟發(fā)反思，促進(jìn)深入研究

隨著集合元素的增多，要清晰準(zhǔn)確地數(shù)出函數(shù)個數(shù)變得越來越困難，有的學(xué)生苦于列舉法情況太多，也有學(xué)生想嘗試用排列組合的方法計數(shù)，卻難列舉清楚.教師的適時引導(dǎo)顯出了必要性.但“引導(dǎo)”不等同于“告知”，學(xué)生的思維處于活躍狀態(tài)時，前期探索激活了最近發(fā)展區(qū)，這時恰當(dāng)?shù)膯l(fā)性問題可確保學(xué)生有充分的思考空間．

啟發(fā)1探究1的方法有什么優(yōu)勢？探究2里的兩種方法又各有什么優(yōu)勢？

學(xué)生反思成果：(數(shù)學(xué)思想)具體區(qū)間不勝枚舉，但數(shù)學(xué)不滿足于“逐個列舉”研究函數(shù)，而是觀察具體事實的共同特征，進(jìn)行抽象概括得到一般性結(jié)論，這樣的結(jié)論具有普適性，自然可包括具體區(qū)間的種種情況．

啟發(fā)2如果讓你繼續(xù)探索，你會從什么角度研究？

基于對探究1的反思，大部分學(xué)生會傾向于探究其一般性結(jié)論.隨著討論深入，學(xué)生的思路越來越發(fā)散，有的組提出希望找出這個集合的規(guī)律，將其擴(kuò)充，嘗試探索更一般的情況值域為{1,4,9,…n2}.還有的組認(rèn)為可以結(jié)合集合部分的知識進(jìn)行綜合探索，比如探索值域為{1,4,9,…,n2}的非空子集，于是產(chǎn)生了綜合性更強(qiáng)的兩個探究角度．

自主探究3已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為{1,4,9,…,n2}，這樣的函數(shù)有多少個？

解：根據(jù)函數(shù)定義，值域中的每個元素在定義域中都有唯一的元素與之對應(yīng)，所以與1對應(yīng)的元素可以有1,-1，也可以是兩個元素都取，共有三種情況.同理，與4對應(yīng)的元素也有三種情況，以此類推，根據(jù)乘法計算原理共有3n種情況，即這樣的函數(shù)共有3n個.

自主探究4已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為{1,4,9,…,n2}的非空子集，這樣的函數(shù)有多少個？

解法2：根據(jù)函數(shù)定義，值域中每個元素在定義域中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如與1對應(yīng)的元素可以有1,-1，也可以是兩個元素都取，當(dāng)然也可以都不選，因此共有四種情況;同理，與4對應(yīng)的元素也有四種情況.以此類推，根據(jù)乘法計算原理共有4n種情況，但是要防止與值域中每一個值對應(yīng)的兩個元素都不選這種情況發(fā)生，因此這樣的函數(shù)共有4n-1個.

教師點評：在研究新問題遇到困難時，從特殊的情況開始摸索，通過總結(jié)類比和嚴(yán)格的邏輯推理，探索解決一般情況的方法，這也是數(shù)學(xué)探究的重要思想之一——化歸思想．

啟發(fā)3如果定義域也受了限制，我們又該怎樣研究呢？

由圖1可見，灰渣脫色率隨吸附劑投放量加大而增加，投放量達(dá)到 1.5g·L-1時變緩，達(dá) 2.5g·L-1時進(jìn)一步變緩。初期染液中有機(jī)物濃度較大時，吸附劑的吸附位與吸附質(zhì)接觸機(jī)會多，吸附效果好，當(dāng)吸附質(zhì)濃度小于某一濃度范圍后，吸附劑的吸附位與吸附質(zhì)作用幾率降低，吸附效果減弱[5,6]。綜合考慮，確定灰渣吸附劑投放量為2.5g·L-1為宜。

1.4 深度思考，提升抽象思維

隨著問題提升到一個新的難度，學(xué)生需要更多的思考時間，邊探究邊總結(jié)反思，有的組需要教師的點撥.經(jīng)過討論后各組達(dá)成共識：限制條件調(diào)整為“值域為定義域的子集”，同時函數(shù)的解析式也發(fā)生變化等.

自主探究5已知函數(shù)f(x)=x3-3x定義域為[a，b](a，b∈Z)，若函數(shù)f(x)的值域為[a，b]的子集，則這樣的函數(shù)有幾個？

解：因為f(x)=x3-3x，所以f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，當(dāng)x∈(-∞，-1),(1,+∞)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(-1，1)時，f′(x)<0．所以f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞增，在(-1，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增．

(2)當(dāng)a≤-1且-1b，矛盾，不合題意．

(5)當(dāng)-1

因此，所求整數(shù)a，b的值為a=-2，b=2．這樣的函數(shù)只有1個．

2 反思：素養(yǎng)為先，反觀學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

如表1所示，“這樣的函數(shù)有多少個”主題式探究教學(xué)中，學(xué)生逐步生成了“特定值域區(qū)間-集合知識融合-一般定義域和值域-封閉函數(shù)”的探究路徑，進(jìn)行了一次從“事實到概念”的深入學(xué)習(xí)，從另一個角度又經(jīng)歷了一次核心概念的整體抽象過程．事實上，學(xué)生從特殊元素入手完成了探究2和探究3，之后對值域進(jìn)行一般化，才發(fā)現(xiàn)探究1這樣一個隱藏的探究路徑，進(jìn)而將思維拓展到了探究5這樣一種更抽象復(fù)雜的層面，學(xué)生的深入思考無意間引發(fā)了一些新函數(shù)的定義，從而探究更抽象的數(shù)學(xué)對象，這是學(xué)生深入思考自然推動的結(jié)果，雖然對思維水平要求更高，但是整個過程卻更加自然.

表1 “這樣的函數(shù)有多少個”微主題式探究框架

學(xué)生能將函數(shù)、集合、分類計數(shù)原理、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識有機(jī)結(jié)合，在探究和小組合作過程中激活最近發(fā)展區(qū)的相關(guān)知識，從研究一般問題“退”到從“特殊”入手，再從“特殊”問題“進(jìn)”到一般情況完成更加嚴(yán)格的分析和表述，數(shù)學(xué)思想也在反思和總結(jié)環(huán)節(jié)得到凸顯和加強(qiáng).結(jié)合SOLO評價標(biāo)準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思維從對問題單一層面的認(rèn)知水平逐步提升至將多個知識層面有機(jī)融合的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”，并在對定義域和值域充分討論后得到封閉函數(shù)這一更加抽象的認(rèn)知，思維達(dá)到高階的“拓展抽象結(jié)構(gòu)水平”.由于本案例主題探究的起點為教材原題，學(xué)生并未表現(xiàn)出思維混亂、無序的“前結(jié)構(gòu)思維狀態(tài)”．開放探究的過程中學(xué)生研究熱情高漲，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展也得到了落實.

核心素養(yǎng)不是直接由教師教出來的，而是在問題情境中借助問題解決的實踐培育出來的.日常教學(xué)中，教師應(yīng)善于抓住學(xué)生思考過程中自主探究的“珠”，因勢利導(dǎo)串成主題探究的“鏈”，自然誘發(fā)深度思考.同時以“啟”促“發(fā)”，站在章節(jié)、模塊甚至數(shù)學(xué)課程的高度去認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容，從而形成有生命力、有靈魂的整體知識，激活數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)性，為學(xué)生深度思考創(chuàng)造條件.問題解決的探究過程中，應(yīng)始終堅持學(xué)生的主體地位，通過非“告訴”式的“引導(dǎo)”，讓學(xué)生適時拓寬思路，變換探索路徑時依然能清晰地把握核心對象，自主將重要概念與探究主題建立聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

隨著學(xué)生知識儲備的增加，以及教師在日常教學(xué)中對一些數(shù)學(xué)思想進(jìn)行滲透，學(xué)生會喜歡這種“高屋建瓴”地建構(gòu)知識體系的感覺，從而在自主和自覺的思考中實現(xiàn)思維躍變，對具體知識的認(rèn)知也將提高至高階水平．