齊 亮，劉曉榮

1. 海軍軍醫(yī)大學(xué)（第二軍醫(yī)大學(xué)）衛(wèi)生勤務(wù)學(xué)系衛(wèi)生勤務(wù)學(xué)教研室，上海 200433

2. 海軍軍醫(yī)大學(xué)（第二軍醫(yī)大學(xué)）海軍衛(wèi)勤訓(xùn)練基地，上海 200433

傳染病不僅嚴(yán)重威脅軍隊成員的生命安全，而且嚴(yán)重阻礙部隊?wèi)?zhàn)斗力的生成。我軍一直堅持“預(yù)防為主”的衛(wèi)生方針，建立、健全了各級衛(wèi)生防疫機(jī)構(gòu)，強(qiáng)化了對傳染病的管理機(jī)制。但在2003 年應(yīng)對嚴(yán)重急性呼吸綜合征（severe acute respiratory syndrome，SARS）和2019 年至今抗擊新型冠狀病毒肺炎（coronavirus disease 2019，COVID-19）疫情的過程中，我軍的疫情防控工作仍面臨巨大挑戰(zhàn)。在面對已經(jīng)出現(xiàn)或潛在發(fā)生的傳染病時，負(fù)責(zé)衛(wèi)生防疫工作的衛(wèi)勤人員只有在短時間內(nèi)做到對疫情發(fā)展態(tài)勢的現(xiàn)況理解和初步預(yù)測，才能給出可行的應(yīng)對方案。目前雖然我軍已建立了集疫情信息采集、分析、預(yù)報和控制為一體的軍隊疾病預(yù)防控制機(jī)構(gòu)，但針對特殊機(jī)動單元的任務(wù)執(zhí)行群體，具有較高參考價值的預(yù)測模型仍十分缺乏。

海軍大型戰(zhàn)斗艦艇作為一種重要的海上作戰(zhàn)平臺，內(nèi)部空間緊湊，編制人員密集，一旦發(fā)生傳染病極易流行。在執(zhí)行出海任務(wù)的過程中，除了靠碼頭補給和靠幫補給，艦艇人員內(nèi)外的流動幾乎是停滯的，這種封閉的環(huán)境導(dǎo)致艦艇本身承載的艦員和官兵群體天然地構(gòu)成了典型的傳染病倉室模型結(jié)構(gòu)。也就是說，艦上人員可被劃分為若干個類別（倉室），每個人都必然處于一種疾病狀態(tài)（如潛伏狀態(tài)、感染狀態(tài)、易感狀態(tài)等），海軍大型戰(zhàn)斗艦艇上發(fā)生傳染病的場景非常適合通過數(shù)學(xué)手段建立倉室模型，以便相關(guān)衛(wèi)勤人員更好地研究傳染病的傳播動力學(xué)過程。

1 經(jīng)典的傳染病預(yù)測模型

1.1 馬爾薩斯（Malthus）模型/S 模型 馬爾薩斯模型是由英國人口和統(tǒng)計學(xué)家托馬斯·羅伯特·馬爾薩斯（Thomas Robert Malthus）牧師于1798 年提出的一種人口數(shù)學(xué)模型［1］

其中，r代表出生率，假定為常數(shù)，或稱為生命系數(shù)；N(t)為t時刻的人口數(shù)量。

可得式（1）的解為

如果r＞0，則人口增長將會按照指數(shù)規(guī)律無限增長。若將t以1 年或10 年為單位離散化，則人口總數(shù)按以er為公比的等比數(shù)列增加。這就是馬爾薩斯人口指數(shù)增長模型，簡稱馬爾薩斯模型。在用于傳染病建模時，因該模型只有單一的易感人群變量，故有學(xué)者稱其為S 模型［2］。

當(dāng)人口數(shù)量不大時，生存空間和資源非常充裕，人口總數(shù)確實可能呈現(xiàn)指數(shù)增長，此時上述模型能夠很好地說明人口總數(shù)的增長情況。但當(dāng)人口總數(shù)很大時，指數(shù)增長的線性模型無法反映出環(huán)境條件的限制，也無法給出在受到這一限制時可供養(yǎng)人數(shù)的上限值。

在將該模型用于模擬傳染病的流行時，可以假設(shè)在外執(zhí)行任務(wù)的某艦艇總?cè)藬?shù)為n，初始時刻t0共有i0人感染疾病，t時刻感染的人數(shù)為i(t)。假設(shè)每例感染者在單位時間內(nèi)都會將疾病傳染給k人，且此病患者既沒有死亡也不會康復(fù)，則有與式（1）相同的模型，并得到式（2）的解。式中假設(shè)為常數(shù)的r在醫(yī)學(xué)上可被稱為該傳染病在此艦艇環(huán)境中的傳染強(qiáng)度。

同理可知，在艦艇總?cè)藬?shù)較少的情況下，馬爾薩斯模型可被用于預(yù)測流行初期的感染人數(shù)，但隨著時間的推移，它將越來越偏離實際情況。

1.2 邏輯斯蒂（logistic）模型/SI 模型 在馬爾薩斯模型的式（2）中，模型以er為公比呈幾何級數(shù)無限增長，所以會脫離實際。很明顯，對傳染病流行而言，在現(xiàn)存健康總?cè)藬?shù)固定的情況下，感染者數(shù)量的無限增長是不可能的。1834 年，比利時數(shù)學(xué)家皮埃爾·弗朗索瓦·韋胡斯特（Pierre Francois Verhulst）在馬爾薩斯模型的基礎(chǔ)上，提出了受限條件下的人口增長模型，之后他又引入了邏輯斯蒂增長模型、邏輯斯蒂方程等重要概念［3］。

為了避開馬爾薩斯模型無限制的假設(shè)，韋胡斯特引入了環(huán)境最大容納量常數(shù)Nm（也常用K表示），用于表示自然資源條件所能容納的最大人口數(shù)，并假設(shè)其凈相對增長率為r（1-N(t)/Nm）。也就是說，相對增長率隨N(t)的增加而降低，而當(dāng)N(t)Nm時，凈增長率 0。此時人口增長的方程變?yōu)?/p>

這就是由韋胡斯特命名的經(jīng)典邏輯斯蒂方程。其中r可稱為內(nèi)稟自然增長率（intrinsic rate of natural increase），即在空間、食物等資源無限制的條件下種群所能達(dá)到的最大增長率，這個常數(shù)反映了種群的內(nèi)在特征。

設(shè)初值條件t＝t0，N＝N0，則式（3）的解為

這就是著名的邏輯斯蒂模型。從示例模型圖（圖1）可以看出，邏輯斯蒂曲線呈S 形。

當(dāng)Nm與N相比非常大的時候，rN2/Nm與rN相比就非常小，此時即恢復(fù)到近似無限制的馬爾薩斯模型；反之，則rN2/Nm的存在感越強(qiáng)，環(huán)境的限制就越能產(chǎn)生作用，人口總數(shù)的增長速度就會更快地下降。因此，邏輯斯蒂模型也稱為增長阻滯模型。

邏輯斯蒂模型通常分為開始期、加速期、轉(zhuǎn)折期、減速期和飽和期5 個時期。在開始期，個體數(shù)量少，密度增長緩慢，也稱為潛伏期；隨著個體數(shù)量的增加，密度的增長加速，進(jìn)入加速期；當(dāng)個體數(shù)量達(dá)到飽和數(shù)量的一半時，密度增長速度升至頂峰，隨后立刻下降，即轉(zhuǎn)折期；在減速期，個體數(shù)量繼續(xù)增加，但密度的增長速度變慢；在飽和期，個體數(shù)量達(dá)到了環(huán)境最大容納量，無法繼續(xù)增加。

用于傳染病場景時，邏輯斯蒂模型可有效地區(qū)分易感者和感染者，因此也被稱為SI 模型。它是最簡單的傳染病模型，設(shè)定所有個體一旦感染就永遠(yuǎn)處于感染的狀態(tài)。但即便是單純模擬人口的變化，在實際社會中影響人口變化的因素也很多，如老齡化進(jìn)程、性別比的變化、年齡結(jié)構(gòu)等，這使得邏輯斯蒂模型仍存在諸多不完美之處。

在邏輯斯蒂模型的基礎(chǔ)上，若假設(shè)已經(jīng)康復(fù)的人并不能獲得免疫力，則他們又成了易感人群，這就構(gòu)成了易感-感染-易感（susceptible-infectedsusceptible，SIS）模型。這種模型有一定的應(yīng)用范圍，但始終受邏輯斯蒂模型的人群狀態(tài)限制，與實際情況存在差距。

1.3 易感-感染-恢復(fù)（susceptible-infected-recovered，SIR）模型 蘇格蘭生物化學(xué)家威廉·奧格威·克馬 克（William Ogilvy Kermack） 與 流 行 病 學(xué)家安德森·格雷·麥肯德里克（Anderson Gray McKendrick）在1927［4］、1932［5］和1933 年［6］發(fā)表了一系列文章，共同提出了SIR 模型。SIR 模型引入了新的變量，更加適用于描述傳染病發(fā)展的整體趨勢，成為研究傳染病動力學(xué)的經(jīng)典模型。COVID-19 疫情暴發(fā)以來，該動力學(xué)模型已被廣泛應(yīng)用于傳染病流行規(guī)律的探索、傳染病數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建及傳染病預(yù)測和控制等工作中［7-10］。

在SIR 模型中人群可分為3 類：（1）易感人群/易感者，是在某時刻尚未感染疾病但存在感染風(fēng)險的人群，數(shù)量記為S(t)；（2）已感染人群/感染者，是在某時刻已經(jīng)被感染且自身成為一類傳染源的人群，數(shù)量記為I(t)；（3）已痊愈人群/恢復(fù)者，是在某時刻已經(jīng)得到合理治療并康復(fù)的人群，數(shù)量記為R(t)。

若t時刻的總?cè)藬?shù)為N(t)，則有

SIR 模型的建立基于3 個假設(shè)：（1）忽略動力學(xué)因素，人口數(shù)量始終保持恒定，即N(t)＝K；（2）假定易感者在接觸感染者后會被傳染，在t時刻，易感者的數(shù)量與一例感染者能傳染的易感者數(shù)量呈正相關(guān)，其比例系數(shù)為β，則被傳染的人數(shù)為βS(t)I(t)；（3）存在一個時刻t，此時恢復(fù)者與感染者數(shù)量成正比，其比例系數(shù)為γ，則單位時間內(nèi)恢復(fù)者數(shù)量為R(t)＝γI(t)。由此可以得到人群類別的發(fā)展過程（圖2）。

SIR 模型的微分方程組為

由此可得，感染者的數(shù)量I＝(S0+I0)-S+(1/σ)ln(S/S0)，其中被感染者接觸的人數(shù)為σ＝β/γ。

以上即為最原始的SIR 模型。

與基于邏輯斯蒂模型建立SIS 模型一樣，如果假設(shè)感染者即便痊愈仍然無法獲得長久的免疫力，即令痊愈者在經(jīng)過一段時間之后回歸到易感人群，此時可以拓展出易感-感染-恢復(fù)-易感（susceptible-infected-recovered-susceptible，SIRS）模型。

海軍艦艇在執(zhí)行任務(wù)尤其是長遠(yuǎn)航任務(wù)的過程中，總?cè)藬?shù)是相對固定的；官兵的輪崗頻率相對固定，且同時在1～2 個餐廳就餐，在沒有設(shè)隔離制度的情況下，其感染者接觸率也較為穩(wěn)定。因此，針對痊愈后可獲得長期免疫的傳染病人群，或雖無法獲得長期免疫但仍處于免疫保護(hù)的發(fā)展階段的恢復(fù)者，就可以采用基礎(chǔ)的SIR 模型進(jìn)行預(yù)測。

SIR 模型沒有納入對檢疫工作的考慮。檢疫是對曾與感染者或感染環(huán)境接觸并有可能感染而成為傳播者的人所采取的管理措施。作為衛(wèi)生防疫工作的重要內(nèi)容之一，檢疫的目的是防止可能的潛在傳播者在傳染病的潛伏期向外傳播疾病。SIR 模型需要加入尚未發(fā)病的感染者，才能更加接近實際情況。

1.4 易感-暴露-感染-恢復(fù)（susceptible-exposedinfected-recovered，SEIR）模型 SEIR 模型是目前傳染病研究最常用的模型，其被廣泛運用的原因在于它可以清晰地描述傳染病傳播的動態(tài)邏輯關(guān)系，并在合適參數(shù)下能夠給出相對準(zhǔn)確的傳播趨勢預(yù)測。在COVID-19 疫情發(fā)生后，已有許多應(yīng)用該模型進(jìn)行預(yù)測的研究［11-13］。

SEIR 模型將人群分為4 類，在SIR 模型的3類人群之外增加了暴露者/潛伏者這一變量，數(shù)量記為E(t)?？?cè)藬?shù)N仍舊是所有類別人數(shù)之和，即N＝S+E+I+R。健康人群的比例為S/N。

SEIR 模型的微分方程為

其中，r代表一例感染者接觸的人數(shù)，β代表未感染者變成潛伏者的概率，γ代表感染者最終痊愈變成恢復(fù)者的概率，α代表潛伏者變成感染者的概率。由此得到該模型人群類別的發(fā)展過程（圖3）。

雖然SEIR 模型引入了潛伏者這一變量，大大增強(qiáng)了與現(xiàn)實生活的相似性，但對COVID-19 這類包含無癥狀感染者的傳染病，傳統(tǒng)的SEIR 模型仍然需要改進(jìn)，以滿足更加復(fù)雜的現(xiàn)實應(yīng)用需求。例如，有的模型增加了無癥狀感染者和病死者這2 個新的變量，構(gòu)建易感-暴露-感染-無癥狀感染-病死-恢復(fù)（susceptible-exposedinfected-asymptomatic-dead-recovered，SEIADR）模型來實施疫情預(yù)測［12］；也有學(xué)者采用自適應(yīng)權(quán)重的粒子群（particle swarm optimization，PSO）算法對SEIR 模型進(jìn)行反演計算，構(gòu)建了PSO-SEIR 模型［14］。

2 倉室模型

以上4 種經(jīng)典模型都將總體人群分成了不同的虛擬倉室，傳染病的傳播就好像是使人們從一個倉室“進(jìn)入”另一個倉室，因此都是典型的倉室模型。其基本思路是將人群劃分為若干個類別（倉室），用來代表處于不同疾病狀態(tài)的人群，然后采用數(shù)學(xué)手段建立這些變量的動力學(xué)方程，研究傳染病的傳播動力學(xué)過程［15］。嚴(yán)格地講，倉室模型概念的提出源于經(jīng)典SIR 模型。

SIR 模型是最常見、最簡單的倉室模型，大部分復(fù)雜模型都源于SIR 模型。該模型更適于模擬人傳人的疾病，如麻疹、風(fēng)疹和流行性腮腺炎等。在經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上，學(xué)者們建立了種類豐富的模型庫，可根據(jù)不同的艦艇類型、不同的預(yù)測時長、不同的傳播階段、不同的危險程度進(jìn)行模型選擇。

倉室模型通常用常微分方程構(gòu)建，是確定性的，也有隨機(jī)性的框架，且隨機(jī)性本身可以讓模型更加貼近復(fù)雜的現(xiàn)實情況。

為了理清各類倉室模型的適用范圍，本文總結(jié)了各類倉室模型及其關(guān)鍵特征（表1），以期能幫助相關(guān)衛(wèi)勤人員選擇適合海軍艦艇環(huán)境及其任務(wù)場景的傳染病預(yù)測模型，更好地應(yīng)對COVID-19 疫情等衛(wèi)生防疫工作中的挑戰(zhàn)。

表1 傳染病倉室模型類型及關(guān)鍵特征描述

3 實際模擬需求和模型選擇

對基礎(chǔ)模型的選擇，必須綜合考慮海軍大型戰(zhàn)斗艦艇的艦船特征、任務(wù)屬性、人員組成等因素。除了艦艇相關(guān)因素，所要模擬的疫情發(fā)展階段及傳染病本身具備的傳播特征也應(yīng)予以重視。針對海軍大型戰(zhàn)斗艦艇常見的實際模擬需求，以下幾種模型更可能被選用。

（1）針對海軍大型戰(zhàn)斗艦艇已經(jīng)出現(xiàn)或可能存在潛在“零號病人”的情景進(jìn)行建模，僅需使用馬爾薩斯模型或邏輯斯蒂模型即可?！傲闾柌∪恕敝傅? 個感染并開始散播病原體的患者，在流行病調(diào)查中常被稱為初始病例或標(biāo)識病例，對“零號病人”的細(xì)致調(diào)查可為病因分析、預(yù)測、控制措施的選擇、預(yù)警機(jī)制的建立提供寶貴信息。如果艦艇獲知自身滿足潛在暴露條件（如物資補給、人員輪換等）的時間是在暴露完成之后，且潛在“零號病人”的檢疫工作并未立即執(zhí)行，相關(guān)衛(wèi)勤人員應(yīng)當(dāng)立刻建立初期無資源限制的病例增長模型。此時建立預(yù)測模型的實際作用主要是盡快明確艦艇自持能力受疫情影響的最大程度，從而做好充足的衛(wèi)勤管理準(zhǔn)備。

（2）如果檢疫工作已順利開展，傳染病在海軍大型戰(zhàn)斗艦艇環(huán)境中傳播的關(guān)鍵因素就是傳播接觸數(shù)量和頻率，此時應(yīng)當(dāng)選用基礎(chǔ)SEIR 模型。式（9）、（10）中的r代表了一例感染者接觸的人數(shù)，在檢疫不出差錯的情況下應(yīng)當(dāng)是0。一旦檢疫工作不到位，r就會隨著人員的流動模式迅速發(fā)生變化。例如，若檢疫目標(biāo)進(jìn)入戰(zhàn)位，則該戰(zhàn)位輪值頻率和人數(shù)進(jìn)入模型，成為重要參數(shù)；若檢疫目標(biāo)進(jìn)入餐廳，則就餐規(guī)模和就餐時長成為關(guān)鍵影響因素。此時建立預(yù)測模型的作用，是利用預(yù)測結(jié)果為檢疫工作失效或低效情況下應(yīng)急方案的制定提供核心參數(shù)，重點在于補救，而非計劃。

（3）如果長遠(yuǎn)航任務(wù)時間較長，疫情傳播已經(jīng)越過了初期階段，而在艦艇環(huán)境中病原體的迭代受限，則納入了接種工作的易感-感染-恢復(fù)-接種（susceptible-infected-recovered-vaccinated，SIRV）模型或允許痊愈者返回易感人群的易感-暴露-感 染-恢 復(fù)-易 感（susceptible-exposed-infectedrecovered-susceptible，SEIRS）模型將會是更好的選擇。在面對疫情防控的持久戰(zhàn)時，病例清零任務(wù)的優(yōu)先度將讓位于戰(zhàn)斗力的維護(hù)和保持。以COVID-19 為例，在病原體迭代的時間框架下，任務(wù)時間極有可能已經(jīng)相對地拉長到了某種程度，使艦艇環(huán)境微縮成人與病原體長期共存的小世界。模型中的時間跨度可被靈活控制和調(diào)整，而此時建模預(yù)測的目標(biāo)就是通過模擬各類現(xiàn)實的干預(yù)方法，選出可令疫情起伏程度降至最低的衛(wèi)生防疫措施。

綜上所述，梳理和分析各類傳染病模型十分有必要。海軍大型戰(zhàn)斗艦艇在執(zhí)行任務(wù)尤其是長遠(yuǎn)航任務(wù)的過程中會面臨諸多與其他軍兵種截然不同的衛(wèi)勤保障難題，一旦遭遇重大疫情，衛(wèi)勤指揮和計劃工作常常因缺少定量研究途徑、沒有定量結(jié)果支撐等現(xiàn)實困難而受到阻礙，嚴(yán)重影響衛(wèi)生防疫、藥材補給等后續(xù)工作的開展。衛(wèi)勤人員可通過充分利用靈活多樣的模擬平臺和應(yīng)用程序得到更好的數(shù)據(jù)支持，從而在相關(guān)衛(wèi)勤工作中實施覆蓋面更廣的措施、制定針對性更強(qiáng)的方案、做出準(zhǔn)確度更高的決策。