江蘇省灌南縣長江路小學(xué) 王海芹

實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階，思維支架研究是關(guān)鍵之一。通過搭建“思維支架”，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從淺表走向深度。搭建“思維支架”，要切入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，將學(xué)生從“現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平”提升、發(fā)展至“可能發(fā)展水平”。搭建“思維支架”，要求教師把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，厘清搭建的支點(diǎn)、生長點(diǎn)等。通過“思維支架”的搭建，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生、深度發(fā)生。

一、找準(zhǔn)“原點(diǎn)”：用“學(xué)習(xí)單”搭建思維支架

“原點(diǎn)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的生發(fā)點(diǎn)、生長點(diǎn)等。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是新舊知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)對接并融合的過程。這個(gè)過程通常的發(fā)生心理機(jī)制就是同化、順應(yīng)。作為教師，要找準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原點(diǎn)，設(shè)計(jì)研發(fā)“學(xué)習(xí)單”，用“學(xué)習(xí)單”搭建學(xué)生的思維支架。在這個(gè)過程中，教師不僅要遵循數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的生成、發(fā)展邏輯，更要遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展邏輯。

學(xué)習(xí)單是一種學(xué)習(xí)工具，能引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、探究。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有找準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“原點(diǎn)”，才能有效地設(shè)計(jì)、研發(fā)學(xué)習(xí)單，才能讓學(xué)習(xí)單更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、探究。學(xué)習(xí)單不僅講究研發(fā)設(shè)計(jì)，更講究呈現(xiàn)。一般來說，當(dāng)學(xué)生的思維遇到障礙、困惑等時(shí)，可以呈現(xiàn)學(xué)習(xí)單，這樣才能更好地發(fā)揮學(xué)習(xí)單的作用。運(yùn)用學(xué)習(xí)單可以將不同的方法進(jìn)行對比，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤，還可以引導(dǎo)學(xué)生分層思考、探究等。比如“用方向和距離確定位置”這部分內(nèi)容，是學(xué)生在認(rèn)識(shí)了方向的基礎(chǔ)上，精確描述、刻畫平面位置的一種方法。基于學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，筆者設(shè)計(jì)研發(fā)了“層次性學(xué)習(xí)單”：船在燈塔的哪里？用東北方向來描述能否精準(zhǔn)確定船的位置？怎樣描述才能精準(zhǔn)確定船的位置？通過這三個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)拾級(jí)而上。學(xué)生逐步地建構(gòu)“方向”“角度”“距離”等描述物體位置的方法，充分經(jīng)歷了從“面”到“線”、從“線”到“點(diǎn)”逐步精確化的過程。用學(xué)習(xí)單導(dǎo)學(xué)，擺脫了傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中教師機(jī)械說教、講解等方式，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從膚淺、零散、粗疏走向深刻、完整、縝密。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，盤活了學(xué)生的生命活力。

學(xué)習(xí)單是學(xué)生思維的支架，也是學(xué)生探究的載體、媒介。學(xué)習(xí)單的種類很多，有獨(dú)學(xué)單、對學(xué)單、組學(xué)單等。借助學(xué)習(xí)單，能激活學(xué)生頭腦中的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，有效地引導(dǎo)學(xué)生突破認(rèn)知、思維的困境、障礙等，能推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程。學(xué)習(xí)單能引發(fā)學(xué)生主動(dòng)的思維參與，引發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地思考，幫助學(xué)生完成知識(shí)建構(gòu)。

二、對準(zhǔn)“標(biāo)點(diǎn)”：用“導(dǎo)學(xué)圖”搭建思維支架

教學(xué)中，教師不僅要找準(zhǔn)“原點(diǎn)”，還要找準(zhǔn)“標(biāo)點(diǎn)”。所謂“標(biāo)點(diǎn)”，也稱之為“落點(diǎn)”，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要達(dá)成的目標(biāo)。找準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“標(biāo)點(diǎn)”，要求教師在教學(xué)中把握學(xué)生的具體學(xué)情，以便設(shè)置可達(dá)成、富有一定挑戰(zhàn)性的目標(biāo)。只有這樣，“標(biāo)點(diǎn)”才真正具有引領(lǐng)性和指向性。

在找準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“標(biāo)點(diǎn)”之后，教師要設(shè)計(jì)研發(fā)思維導(dǎo)圖，用思維導(dǎo)圖去催生、引導(dǎo)學(xué)生的思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“導(dǎo)學(xué)圖”通常圍繞一個(gè)主要的“中心概念”，用曲線、符號(hào)、圖片、關(guān)鍵詞等，建構(gòu)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的鏈狀圖、輻射圖、網(wǎng)狀圖等?！皩?dǎo)學(xué)圖”能有效地引導(dǎo)學(xué)生思維，讓學(xué)生的思維有序綻放、深度綻放、自由綻放，能有效地培育學(xué)生的思維深刻性、廣闊性和創(chuàng)造性。比如“長方形和正方形的周長”這部分內(nèi)容，就是要求學(xué)生理解“周長”的概念，并學(xué)會(huì)計(jì)算周長。對準(zhǔn)“標(biāo)點(diǎn)”，筆者研發(fā)設(shè)計(jì)了“導(dǎo)學(xué)圖”，讓學(xué)生借助于“導(dǎo)學(xué)圖”展開自主性、自能性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在“長方形和正方形的周長”這一目錄下，有“周長”“單位”“計(jì)算”三個(gè)子目錄。圍繞著“周長”這一概念，有規(guī)則圖形的周長、不規(guī)則圖形的周長等；圍繞著“計(jì)算”，有規(guī)則圖形的周長計(jì)算、不規(guī)則圖形的周長計(jì)算等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“導(dǎo)學(xué)圖”不僅能有效地引導(dǎo)學(xué)生思維，更能引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，在教學(xué)中，教師不僅自己要設(shè)計(jì)研發(fā)導(dǎo)學(xué)圖，而且要引導(dǎo)學(xué)生研發(fā)、設(shè)計(jì)、繪制導(dǎo)學(xué)圖。在設(shè)計(jì)、研發(fā)、繪制導(dǎo)學(xué)圖的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)也能隨之建構(gòu)、完善。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)換為一種媒介、趨力。教師不僅要以掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)重難點(diǎn)知識(shí)為標(biāo)點(diǎn)，更要將優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知、思維結(jié)構(gòu)等作為標(biāo)點(diǎn)。只有將學(xué)生的認(rèn)知、思維結(jié)構(gòu)完善作為標(biāo)點(diǎn)，才能蓄積學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)生動(dòng)力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我更新、超越。

三、聚焦“焦點(diǎn)”：用“學(xué)材庫”搭建思維支架

深度學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一種富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會(huì)遇到各種困難或障礙。教師要將學(xué)生的認(rèn)知困惑點(diǎn)、認(rèn)知疑點(diǎn)、盲點(diǎn)等作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“焦點(diǎn)”，聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“焦點(diǎn)”，設(shè)計(jì)研發(fā)充實(shí)各種“學(xué)材庫”，幫助學(xué)生搭建思維框架，助推學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)、障礙等。教師還要了解學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，給學(xué)生提供豐富的學(xué)材，或者讓學(xué)生自主準(zhǔn)備一些學(xué)材。借助于“學(xué)材庫”能有效地誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生的探究。

學(xué)材不同于素材，素材往往是一種未加工的、原始形態(tài)的材料，而學(xué)材往往是經(jīng)過加工的，是教育形態(tài)、教學(xué)形態(tài)的材料。學(xué)材庫的種類很多，它們是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“拐杖”，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有路可循，能讓學(xué)生的思維有框可依，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維靈活多變，等等。比如“三角形的三邊關(guān)系”這部分內(nèi)容，歷來是一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的教學(xué)項(xiàng)目。究其根本：一是因?yàn)閷W(xué)生往往會(huì)對“兩條邊之和大于第三條邊能否圍成三角形”有爭議；二是因?yàn)閷W(xué)生往往會(huì)認(rèn)同“兩條短邊之和要大于第三條邊”，卻不容易接受“任意兩條邊的和都要大于第三條邊”。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？筆者認(rèn)為，是因?yàn)榻處熖峁┑膶W(xué)材往往就是小棒等。這些素材不僅是立體的，而且制作不夠精細(xì)，容易蒙蔽學(xué)生的眼睛。為了深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、探究，筆者在教學(xué)中用“長度不斷變化的小紙條”來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。具體來說，就是給學(xué)生提供三張紙條，其中的一張紙條長度不變，紙條總和不變，另外兩張紙條長度不斷發(fā)生變化，從而引導(dǎo)學(xué)生操作，引發(fā)學(xué)生的思考、發(fā)現(xiàn)。在這個(gè)過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩張紙條的和大于第三張紙條時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)另外兩張紙條的和小于這張紙條的情形，從而促發(fā)了學(xué)生對“任意”的思考、思辨。在操作、探究的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷變換，從而形成了對“三角形三邊關(guān)系”的完整認(rèn)知。

借助于“學(xué)材庫”，能有效地搭建思維支架。而教師的任務(wù)就是給學(xué)生提供學(xué)材，引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)材，循著學(xué)生的思維、探究脈絡(luò)，充分經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)的過程，從而讓學(xué)生自主建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)。

四、基于“遠(yuǎn)點(diǎn)”：用“學(xué)習(xí)模”搭建思維支架

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”不同于“標(biāo)點(diǎn)”?！皹?biāo)點(diǎn)”往往是著眼于課時(shí)教學(xué)的，而“遠(yuǎn)點(diǎn)”則往往是超越課時(shí)教學(xué)而著眼于學(xué)生的發(fā)展的?！斑h(yuǎn)點(diǎn)”可以是單元的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，也可以是“知識(shí)板塊遠(yuǎn)點(diǎn)”，甚至是“學(xué)科遠(yuǎn)點(diǎn)”，如數(shù)學(xué)的思想方法、學(xué)習(xí)策略等，就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”?；趯W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“遠(yuǎn)點(diǎn)”的教學(xué)，一定是高品質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)，也一定是能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)可持續(xù)性發(fā)展的教學(xué)。

基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，教師可以用“學(xué)習(xí)模”引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，以便讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維高屋建瓴。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一方面要善于提煉“學(xué)習(xí)模”，另一方面要善于應(yīng)用“學(xué)習(xí)?！?。通過“學(xué)習(xí)模”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移、應(yīng)用。比如“運(yùn)算律”這部分內(nèi)容，基于知識(shí)建構(gòu)的相似性，筆者在教學(xué)“加法交換律”時(shí)，就引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)學(xué)法，即“不完全歸納法”，為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)思維框架。如此，學(xué)生在學(xué)習(xí)“加法結(jié)合律”“乘法交換律”“乘法結(jié)合律”“乘法分配律”等相關(guān)知識(shí)時(shí)，就能借助于“不完全歸納法”的“學(xué)習(xí)模”進(jìn)行自主思考、探究。如學(xué)生在提出猜想之后，會(huì)積極地舉例驗(yàn)證，并且舉出的例子盡可能屬于不同類。這樣的一種基于“學(xué)習(xí)?！钡慕虒W(xué)，不僅著眼于學(xué)生的運(yùn)算律的學(xué)習(xí)，而且能著眼于學(xué)生后續(xù)諸多知識(shí)的學(xué)習(xí)。因此，用“學(xué)習(xí)模”來建構(gòu)學(xué)生的思維框架，是一種基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“遠(yuǎn)點(diǎn)”的思維框架，這樣的思維框架，讓學(xué)生從關(guān)注知識(shí)轉(zhuǎn)向關(guān)注思想方法，從只求結(jié)論的封閉轉(zhuǎn)向享受過程的開放，從分散的知識(shí)點(diǎn)堆砌轉(zhuǎn)向聚焦的知識(shí)結(jié)構(gòu)化整合?！皩W(xué)習(xí)模”不僅能啟發(fā)學(xué)生思考，而且能延伸學(xué)生的思考。在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵能力不斷地生長。

思維支架的建構(gòu)不僅能輔助學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而且能建立一種思維模式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維支架的介入，往往讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有“拐杖”，讓學(xué)生的認(rèn)知有“輔助”，讓學(xué)生的探究有“生成”。思維支架，縮短了生本之間、師生之間、生生之間的思維落差，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。