王曉東，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450015)

混沌源于20世紀(jì)60年代，隨著分?jǐn)?shù)階微積分在系統(tǒng)建模中的應(yīng)用，學(xué)者們逐漸開始用分?jǐn)?shù)階微分方程對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值建模，并取得了極大成功.隨著滑模方法的發(fā)展與引入,針對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行滑?？刂频难芯糠椒ǖ玫搅搜该桶l(fā)展[1-2]:文獻(xiàn)[3]針對(duì)不確定Victor-Carmen分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)提出了自適應(yīng)滑模同步的研究方法并取得了相關(guān)的研究成果；文獻(xiàn)[4]通過(guò)引入終端滑模方法研究不確定Duffling分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)[5]提出了兩個(gè)滑?？刂蒲芯糠桨秆芯糠?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik不確定混沌系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)[6]研究超混沌不確定分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的滑模同步；文獻(xiàn)[7]研究不確定Bao超混沌分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的比例積分滑模同步.然而Sprott混系統(tǒng)作為非線性混沌系統(tǒng)的經(jīng)典代表，引起了廣大混沌同步方面相關(guān)專家的研究興趣:文獻(xiàn)[8]研究Sprott-I系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為；文獻(xiàn)[9]研究Sprott混沌系統(tǒng)的分析與控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[10]基于延遲反饋研究Sprott-O系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)[11]研究Sprott-D系統(tǒng)的H∞同步；文獻(xiàn)[12]研究不確定Sprott-C分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[13]研究分?jǐn)?shù)階Sprott-E系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析與投影同步.在上述研究的基礎(chǔ)上,論文假設(shè)系統(tǒng)具有不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)的情況下,研究分?jǐn)?shù)階Sprott-E不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題,在構(gòu)造適當(dāng)?shù)幕：瘮?shù)、控制器和自適應(yīng)適應(yīng)控制律下,獲得Sprott-E不確定混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步的兩個(gè)結(jié)論.

1 主要結(jié)果

定義1[14]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

文獻(xiàn)[13]中，分?jǐn)?shù)階Sprott-E混沌系統(tǒng)可描述為

(1)

當(dāng)a=0.005,q=0.987,x(0)=0,y(0)=0.5,z(0)=0.2,系統(tǒng)吸引子如圖1所示.

圖1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(1)的吸引子圖

以(1)為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)如下

(2)

其中：Δf(y)代表不確定項(xiàng)，y=[x1,y1,z1]T,d(t)為有界外擾,u(t)為控制器.

定義e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,得到

(3)

假設(shè)1|Δf(y)|≤m,|d(t)|≤n,其中未知參數(shù)m,n>0.

引理1[14]若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù)，則有

定理1滿足假設(shè)1下，設(shè)計(jì)滑模函數(shù)s=e3-ke1,k>0,控制器

自適應(yīng)規(guī)則

證明當(dāng)在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，必滿足s=0,由e3-ke1=0,知e3=ke1.

不在滑模面上時(shí)，構(gòu)造

由引理1，求q階微分得

根據(jù)引理2，有|s(t)|2≤2V(0)Eq,1(-2ηktq),從而s(t)→0.

整數(shù)階Sprott-E混沌系統(tǒng)可描述為如下系統(tǒng)(a=0.005)

(4)

整數(shù)階Sprott-E混沌系統(tǒng)的吸引子如圖2所示.

圖2 整數(shù)階系統(tǒng)(4)的吸引子圖

將(4)設(shè)計(jì)為主系統(tǒng)，從系統(tǒng)如下

(5)

其中：Δf(y)代表不確定項(xiàng)，y=[x1,y1,z1]T,d(t)為有界外擾,u(t)為控制器.

定義e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,得到

(6)

定理2在滿足假設(shè)1下，設(shè)計(jì)滑模函數(shù)s=e3-ke1,k>0,控制律為

自適應(yīng)規(guī)則為

不在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，構(gòu)造

求一階導(dǎo)得

兩邊積分，有

根據(jù)引理3，有s(t)→0.

2 數(shù)值仿真

利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)參數(shù)選取如下：Δf(y)=0.5cos(2πz1)d(t)=0.6sin(t),設(shè)置初值為x(0)=0,y(0)=0.5,z(0)=0.2.定理1中a=0.005,q=0.987,η=2,k=3.設(shè)計(jì)s=e3-ke1,k>0,控制律為

定理2中a=0.005，自適應(yīng)規(guī)則為

定理1,2中的系統(tǒng)誤差如圖3,4所示.

圖3 定理1中的系統(tǒng)誤差

圖4 定理2中的系統(tǒng)誤差

3 結(jié)束語(yǔ)

研究了不確定Sprott-E分?jǐn)?shù)階具有不確定項(xiàng)和有界外擾下混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)幕：瘮?shù)，取得了Sprott-E不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步的兩個(gè)研究結(jié)果，結(jié)論表明Sprott-E不確定混沌系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下能夠取得自適應(yīng)滑模同步，同時(shí)將分?jǐn)?shù)階的相關(guān)研究方法和結(jié)論推廣到了整數(shù)階情形.