李 博，劉國欣，張 霞

(1.河北工業(yè)大學 經(jīng)濟管理學院，天津 300000；2.中國銀行股份有限公司 河北省分行，河北 石家莊 050000;3.石家莊鐵道大學 數(shù)理學院,河北 石家莊 050043；4.石家莊鐵道大學 交通運輸學院，河北 石家莊 050043)

在金融研究領域，金融風險系統(tǒng)自身參數(shù)的變化導致金融風險系統(tǒng)混沌.非線性復雜金融風險系統(tǒng)中部分變量具有記憶性，采用分數(shù)階微分理論可以對其演化特征進行分析[1].分岔和混沌是存在于非線性金融風險系統(tǒng)中的一種復雜現(xiàn)象，在這方面已經(jīng)取得了一些前期成果.辛寶貴等[2]定性地分析一類分數(shù)階混沌金融系統(tǒng)的均衡解的穩(wěn)定性及Hopf分岔發(fā)生的條件，通過分岔圖、相圖和時間序列圖對該系統(tǒng)的復雜性演化行為進行仿真研究.徐爭輝等[3]研究了一個對稱分數(shù)階經(jīng)濟系統(tǒng)混沌的特性.毛北行等[4]研究了一類分數(shù)階金融系統(tǒng)的混沌同步問題，給出了兩種系統(tǒng)實現(xiàn)同步的控制方案，并用仿真算例表明了方法的有效性.張文娟等[5]提出了一類分數(shù)階的金融風險模型，研究了風險模型對參數(shù)初始值的敏感依賴性，并構造了風險模型的受控系統(tǒng)，數(shù)值模擬結果表明該控制方法可以有效地控制混沌.

運用非線性動力學中的混沌和分岔理論，對分數(shù)階金融風險系統(tǒng)進行有效的預測和控制，一直是經(jīng)濟學家研究的熱點.越來越多的學者關注金融系統(tǒng)的穩(wěn)定運行、金融風險的穩(wěn)定控制.可通過對系統(tǒng)混沌、分岔等問題的研究，采取混沌控制策略，有效地實現(xiàn)對金融系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的控制.目前，常用的混沌控制策略可分為反饋控制[6-8]和無反饋控制[9].

因此，利用非線性動力學中的混沌和控制理論研究該分數(shù)階金融風險系統(tǒng)的混沌動力學行為，找出合理的混沌控制方法是非常有必要的，是防范金融風險、防止金融危機發(fā)生的有效手段之一.

1 分數(shù)階金融風險模型及其混沌動力學行為

近年來，許多研究者認為實際系統(tǒng)通常大都是分數(shù)階的.與整數(shù)階微積分相比，分數(shù)階微積分具有記憶特性，可以很好地描述金融風險非線性系統(tǒng)歷史發(fā)展的依賴過程，采用分數(shù)階方法能更好地描述金融風險的本質(zhì)[10-13].為了研究該金融風險系統(tǒng)的分數(shù)階形式，在論文中采用Caputo微分形式[14]

(1)

其中：n-1≤α≤n, Γ(·)是Gamma函數(shù).

將該分數(shù)階微分形式引入金融風險系統(tǒng)[15]中，將其擴展成為如下分數(shù)階金融風險系統(tǒng)

(2)

其中:x表示金融資產(chǎn)的價格，如利率、匯率、股票價格指數(shù)、黃金價格等；y表示投資需求；z表示價格指數(shù)；0

2 分數(shù)階金融風險系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性分析

命題[16]對于給定的分數(shù)階非線性系統(tǒng)

(3)

其中:0

假定qi=υi/ui，(υi,ui)=1，ui,υi∈+.令γ=1/m(m是ui的最小公倍數(shù))，有

det(diag([λmq1，λmq2，…，λmqn])-J)=0，

(4)

其中：J=?f/?x.如果上面特征方程的所有根λ滿足|arg(λ)|>πγ/2，則分數(shù)階非線性系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.

(5)

分數(shù)階金融風險系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

(6)

由于分數(shù)階金融風險系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，根據(jù)式(4)，得

(7)

通過求解方程組(5)，可從以下3種情況進行分析.

當c=1時，系統(tǒng)(2)的平衡點是(0,0,0)，將其代入式(7),得

(8)

當0

對于系統(tǒng)中的4個非零平衡點，設其為(a0,b0,c0)，將其代入式(7),得

(9)

如果由式(8)和(9)所得出的特征方程的所有特征根滿足|arg(λ)|>πγ/2，則分數(shù)階金融系統(tǒng)(2)是漸進穩(wěn)定的.以下對系統(tǒng)(2)在具體參數(shù)條件下進行穩(wěn)定性分析.

若系統(tǒng)中各參數(shù)取值為a=4,b=8,q1=q2=q3=0.9時，此時m=10，γ=1/m=1/10=0.1，下面分兩種情況進行討論.

當0

(λ9+5)(λ9+9)(λ9-c+1)=0.

(10)

當1

λ27+11λ18+540=0.

(11)

對式(11)進行求解，得到特征方程的各個特征根及其所對應的幅角模，如表1所示.

表1 特征根及其所對應的幅角模

由表1可知，系統(tǒng)特征方程的特征根所對應的最小幅角模值為|arg(λ26,27)|=0.149 2<γπ/2=0.157 1，不滿足命題所提出的判別條件，因此，可以判斷系統(tǒng)在此參數(shù)條件下不是漸進穩(wěn)定的.

若系統(tǒng)中各參數(shù)取值為a=4,b=7,c=3,q1=0.8,q2=q3=0.9時，此時m=10，γ=1/m=1/10=0.1.

當平衡點為(0,0,0)時，系統(tǒng)的特征方程為

(λ9+5)(λ9+9)(λ9-2)=0.

(12)

當平衡點為非零平衡點時，將系統(tǒng)各參數(shù)代入式(9)，得到系統(tǒng)的特征方程為

λ26+5λ18+6λ17+320=0，

(13)

通過計算，方程(13)無解，因此，系統(tǒng)(2)在此參數(shù)條件下的穩(wěn)定性無法判斷.

綜上可知，風險程度a、單位投資成本b、調(diào)控強度參數(shù)c取值不同時會影響分數(shù)階金融風險系統(tǒng)平衡解個數(shù)及其穩(wěn)定性.實際上，不合理的參數(shù)取值會導致產(chǎn)生分數(shù)階金融風險系統(tǒng)的分岔與混沌等復雜的動力學行為，如圖1所示.從圖1可知，隨著c值的減小，逐漸從平穩(wěn)的周期運動狀態(tài)進入混沌狀態(tài).當c=4時，系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài).當c=5.75時，系統(tǒng)處于概周期的運動狀態(tài)，說明隨著c值的增大，調(diào)控起了一定的作用，但是系統(tǒng)的周期性依然不是很好，還需要加大控制強度.隨著c值的增大，系統(tǒng)周期性繼續(xù)提高，當c=6.3時，系統(tǒng)處于倍周期的運動狀態(tài)，但是系統(tǒng)的周期性依然不理想.當c=7時，系統(tǒng)處于周期1運動狀態(tài)，是金融系統(tǒng)運行的理想狀態(tài).因而如何控制金融風險系統(tǒng)處于周期運動必不可少.

圖1 系統(tǒng)的總風險值x隨c變化的分岔圖

3 分數(shù)階金融風險系統(tǒng)混沌控制

采用逆優(yōu)化控制法[17]和增加反饋增益控制法[18]來對分數(shù)階金融系統(tǒng)進行混沌控制，不僅可控制周期運動狀態(tài)，還可控制平衡解狀態(tài).通過數(shù)值仿真比較控制前后金融系統(tǒng)的動力學行為，討論了控制方法的魯棒性，說明了控制方法的正確性及有效性.

3.1 逆優(yōu)化控制

考慮分數(shù)階金融系統(tǒng)模型(2).將利用逆優(yōu)化控制算法控制分數(shù)階混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量到其平衡點，在方程(2)的第二個方程中加入控制函數(shù)u，則受控系統(tǒng)變?yōu)?/p>

(14)

其中：u是線性反饋控制器.控制率基于逆優(yōu)化控制算法，該算法已成功被應用于整數(shù)階Chen系統(tǒng)的混沌控制[19].該節(jié)將利用該算法的思想控制含分數(shù)階金融系統(tǒng)的混沌動力學行為.該控制率可描述為

(15)

其中：u表示對系統(tǒng)內(nèi)部傳染效應下總風險值的控制強度，其大小與第1，2階段的風險程度有關.

圖2 控制前、后系統(tǒng)的相圖與時間歷程圖

由圖2可以看出，增加控制器后，分數(shù)階金融系統(tǒng)由原來的混沌運動狀態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定的周期運動狀態(tài)，控制方法簡單有效.

3.2 增加反饋增益控制

在分數(shù)階金融風險模型(2)的基礎上，構造受控系統(tǒng)[20]

(16)

其中：(m1，m2，m3)為系統(tǒng)的正反饋增益系數(shù)，表示系統(tǒng)的控制強度；(x′，y′，z′)為模型(2)的平衡點，也是模型(5)的平衡點.

圖3 控制前、后系統(tǒng)的相圖與時間歷程圖

通過分析圖3可知，分數(shù)階金融風險模型(2)的不可控狀態(tài)，可利用增加反饋控制器達到穩(wěn)定運行狀態(tài).此外，隨著反饋增益系數(shù)m1，m2和m3的增加，系統(tǒng)控制強度增加，系統(tǒng)周期性有所提高，系統(tǒng)由概周期運動變?yōu)橹芷谶\動，最后變?yōu)樗p運動，混沌運動完全消失.

3.3 魯棒穩(wěn)定性分析

對原系統(tǒng)參數(shù)a，b的值同時增加或減少，即對系統(tǒng)加入一定量的擾動后，考察控制方法的魯棒性能.

(i)逆優(yōu)化控制.對系統(tǒng)中參數(shù)a，b的值分別減小25%，分析系統(tǒng)的運動狀態(tài)，如圖4所示.

圖4 逆優(yōu)化控制系統(tǒng)的相圖和時域圖

對系統(tǒng)中參數(shù)a，b的值分別增加25%，分析系統(tǒng)的運動狀態(tài)，如圖5所示.

圖5 逆優(yōu)化控制系統(tǒng)的相圖和時域圖

由圖4，5可以看出，對系統(tǒng)中參數(shù)a，b分別增加25%或減小25%，逆優(yōu)化控制方法都可以將系統(tǒng)控制到穩(wěn)定的周期運動狀態(tài).

(ii)增加反饋增益控制.對系統(tǒng)中參數(shù)a，b的值分別減小20%，分析系統(tǒng)的運動狀態(tài)，如圖6所示.

圖6 反饋增益控制系統(tǒng)的相圖和時域圖

對系統(tǒng)中參數(shù)a，b的值分別增加20%，分析系統(tǒng)的運動狀態(tài)，如圖7所示.

圖7 反饋增益控制系統(tǒng)的相圖和時域圖

對系統(tǒng)中參數(shù)a，b的值分別減少21%，分析系統(tǒng)的運動狀態(tài)，如圖8所示.

圖8 反饋增益控制系統(tǒng)的相圖和時域圖

對系統(tǒng)中參數(shù)a，b的值分別增加21%，分析系統(tǒng)的運動狀態(tài)，如圖9所示.

圖9 反饋增益控制系統(tǒng)的相圖和時域圖

對比圖6～9可以看出，對系統(tǒng)增加狀態(tài)反饋矩陣的控制方法只對參數(shù)a和b變化量不超過20%的情況有效果，如果系統(tǒng)中參數(shù)a，b變化量超過20%，此控制方法便失去了作用.對圖3～9分析可知，通過逆優(yōu)化控制方法對分數(shù)階金融系統(tǒng)進行控制，系統(tǒng)中的參數(shù)可以至少能承受±25%的擾動量；通過在原有系統(tǒng)中增加反饋增益矩陣的控制方法，可以使系統(tǒng)承受最大±20%的擾動量.可見，在這兩種控制方法作用下，系統(tǒng)均具有一定的魯棒穩(wěn)定性.

4 結束語

混沌運動是出現(xiàn)在經(jīng)濟系統(tǒng)中的一種極其復雜的現(xiàn)象，是當前非線性經(jīng)濟動力學研究的一項重要內(nèi)容.論文基于分數(shù)階理論建立了一類分數(shù)階金融風險模型，研究了系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定性.穩(wěn)定性分析表明該分數(shù)階金融風險系統(tǒng)存在非常復雜的動力學行為，選擇不同的參數(shù)配比，系統(tǒng)的運行狀態(tài)完全不同.將混沌控制策略引入分數(shù)階金融風險模型中，采用逆優(yōu)化控制法和增加反饋增益控制法來對分數(shù)階金融系統(tǒng)進行混沌控制，并通過數(shù)值仿真，比較了控制前后金融系統(tǒng)動力學行為，討論了兩種控制方法的魯棒性，證明了控制方法的有效性，并且通過增加反饋增益系數(shù)，提高了系統(tǒng)的控制效果.