[摘? 要] 文章通過對圓錐曲線的一個定點問題的探究,得出該問題的一般形式,并且以此為基礎,經過類比遷移,解決了另一個與之相關的定值問題.
[關鍵詞] 圓錐曲線;定點定值;推廣
命題研究的一個樸素目標是對命題的結論部分不斷加強,對命題的條件部分不斷減弱,從而獲得命題更為深刻的形式;命題研究的最終目標是為了更好地理解命題,使得原本略顯突兀的命題最終變得簡單自然. 兩者相輔相成,命題的深刻形式有益于認識命題的本質特征. 本文探討吳世星老師提出的一個命題,通過對條件進行減弱,最終得出這一命題的一般形式.
吳世星老師在文[1]對一道解析幾何中的拋物線試題進行了深入探討,運用類比思想最后得出橢圓和雙曲線中也有類似的結論成立,概括如下:
緊接著,吳世星老師對命題1進一步思考后發(fā)現(xiàn)可以對圓錐曲線這一定點定值命題的結論部分進行推廣,給出了橢圓和雙曲線兩種情形的命題表述,概括如下:
從這一角度來看,命題1其實是對中學數(shù)學教師討論多年的圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題的逆向思考. 事實上,鄒生書老師已經在文[2]中指出:圓錐曲線對定點張直角弦過定點的逆命題是成立的(關于這一問題的推廣最為徹底的是許書華老師在文[3]中提出的). 可見文[1]提出的命題1并非新命題.
繼續(xù)考察文[1]提出的命題2,從吳世星老師證明命題2的過程來看,文[1]限制“點M在圓錐曲線的內部”,這一條件是可以去掉的. 本文要探討的是命題2中的條件“點M在x軸上”是否也能夠去掉. 經過一番艱難計算,最終確認這一條件也是可以去掉的,即如下命題是成立的:
考慮到使用圓錐曲線統(tǒng)一方程證明命題3的計算過程過于復雜,因此下面分橢圓、雙曲線和拋物線三種情形證明命題3.
首先,考察命題3中的橢圓情形:
綜合命題3.1、命題3.2和命題3.3可知命題3是正確的.
推廣命題的動機源于希望獲得對命題的本質理解,然而推廣命題需要關注兩個問題:關注推廣所得命題是否已由他人提出,即注意推廣的創(chuàng)造性;關注推廣命題是否是本質的,即注意推廣的深刻性.
通過上述討論可以發(fā)現(xiàn),前文已經指出吳世星老師獲得的命題1是重復推廣的,而吳世星老師將命題1推廣為命題2則具有創(chuàng)造性.命題2可以視為是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的另一角度的有益探索.
推廣的重復性有時極具隱蔽性而不易察覺,需要小心謹慎.下面以一個案例對此進行解釋說明.
徐道老師曾在文[4]指出張忠旺老師對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的推廣是非實質性的,并且嘗試給出這一問題的一個實質性推廣.徐道老師提出的推廣命題概括如下:
因為點M,N實際上是過定點P的圓錐曲線相交弦的中點,其軌跡是一條圓錐曲線(如圖1所示),而且點P也在其軌跡上. 因此徐道老師提出的這一命題,其實與如下命題是等價的:
實際上這一命題早在文[3]中就由許書華老師提出了,它并非是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的實質性推廣. 類似的問題也出現(xiàn)在文[6]中. 由此可見,推廣命題是一件非常需要縝密思考的事情,稍微不慎就有可能遭受挫折.
根據(jù)查閱到的文獻,發(fā)現(xiàn)許書華老師的文[3]是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”從斜率角度給出的最為徹底的推廣. 吳世星老師提出的命題2和本文進一步推廣獲得的命題3則是從向量數(shù)量積的角度給出的另一個推廣.
最后需要指出的是:本文從解析幾何的角度給出命題3的證明無法揭示命題3的本質,能否給出本文提出的命題3一個本質的證明呢?囿于自身能力,筆者嘗試了很長時間,始終不得其解. 希望讀者能夠在本文的基礎上進一步思考,給出命題3合理的解釋,那么對命題2的推廣才能算是完整的.
參考文獻:
[1]? 吳世星.圓錐曲線一類定點、定值問題的探究[J]. 數(shù)學通訊,2017(16):40-42.
[2]? 鄒生書. 由一道拋物線競賽題引發(fā)的探究[J]. 數(shù)學通訊,2017(04):40-42.
[3]? 許書華. 圓錐曲線頂點定值子弦性質的一般情形[J]. 數(shù)學通訊,2013(12):42-44.
[4]? 徐道. 圓錐曲線的兩個定向、定點問題[J]. 數(shù)學教學,2015(06):15-17.
[5]? 張忠旺. 圓錐曲線對定點張直角弦的包絡問題研究[J]. 數(shù)學通報,2013(08):57-59.
[6]? 林新建. 圓錐曲線的一個有趣性質[J]. 數(shù)學通訊,2009(08):18-20.
作者簡介:傅毓?jié)?970—),滁州中學數(shù)學教研組長,滁州市學科帶頭人. 先后主持完成省級課題2個,市級課題2個,在《中學數(shù)學》《高中數(shù)理化》《中學數(shù)學教學參考》等雜志發(fā)表過多篇文章,指導多名教師獲得安徽省優(yōu)秀課一等獎.