［摘? 要］ 文章通過對圓錐曲線的一個定點問題的探究，得出該問題的一般形式，并且以此為基礎，經過類比遷移，解決了另一個與之相關的定值問題.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；定點定值；推廣

命題研究的一個樸素目標是對命題的結論部分不斷加強，對命題的條件部分不斷減弱，從而獲得命題更為深刻的形式；命題研究的最終目標是為了更好地理解命題，使得原本略顯突兀的命題最終變得簡單自然. 兩者相輔相成，命題的深刻形式有益于認識命題的本質特征. 本文探討吳世星老師提出的一個命題，通過對條件進行減弱，最終得出這一命題的一般形式.

吳世星老師在文［1］對一道解析幾何中的拋物線試題進行了深入探討，運用類比思想最后得出橢圓和雙曲線中也有類似的結論成立，概括如下：

緊接著，吳世星老師對命題1進一步思考后發(fā)現(xiàn)可以對圓錐曲線這一定點定值命題的結論部分進行推廣，給出了橢圓和雙曲線兩種情形的命題表述，概括如下：

從這一角度來看，命題1其實是對中學數(shù)學教師討論多年的圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題的逆向思考. 事實上，鄒生書老師已經在文［2］中指出：圓錐曲線對定點張直角弦過定點的逆命題是成立的（關于這一問題的推廣最為徹底的是許書華老師在文［3］中提出的）. 可見文［1］提出的命題1并非新命題.

繼續(xù)考察文［1］提出的命題2，從吳世星老師證明命題2的過程來看，文［1］限制“點M在圓錐曲線的內部”，這一條件是可以去掉的. 本文要探討的是命題2中的條件“點M在x軸上”是否也能夠去掉. 經過一番艱難計算，最終確認這一條件也是可以去掉的，即如下命題是成立的：

考慮到使用圓錐曲線統(tǒng)一方程證明命題3的計算過程過于復雜，因此下面分橢圓、雙曲線和拋物線三種情形證明命題3.

首先，考察命題3中的橢圓情形：

綜合命題3.1、命題3.2和命題3.3可知命題3是正確的.

推廣命題的動機源于希望獲得對命題的本質理解，然而推廣命題需要關注兩個問題：關注推廣所得命題是否已由他人提出，即注意推廣的創(chuàng)造性；關注推廣命題是否是本質的，即注意推廣的深刻性.

通過上述討論可以發(fā)現(xiàn)，前文已經指出吳世星老師獲得的命題1是重復推廣的，而吳世星老師將命題1推廣為命題2則具有創(chuàng)造性.命題2可以視為是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的另一角度的有益探索.

推廣的重復性有時極具隱蔽性而不易察覺，需要小心謹慎.下面以一個案例對此進行解釋說明.

徐道老師曾在文［4］指出張忠旺老師對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的推廣是非實質性的，并且嘗試給出這一問題的一個實質性推廣.徐道老師提出的推廣命題概括如下：

因為點M，N實際上是過定點P的圓錐曲線相交弦的中點，其軌跡是一條圓錐曲線（如圖1所示），而且點P也在其軌跡上. 因此徐道老師提出的這一命題，其實與如下命題是等價的：

實際上這一命題早在文［3］中就由許書華老師提出了，它并非是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的實質性推廣. 類似的問題也出現(xiàn)在文［6］中. 由此可見，推廣命題是一件非常需要縝密思考的事情，稍微不慎就有可能遭受挫折.

根據(jù)查閱到的文獻，發(fā)現(xiàn)許書華老師的文［3］是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”從斜率角度給出的最為徹底的推廣. 吳世星老師提出的命題2和本文進一步推廣獲得的命題3則是從向量數(shù)量積的角度給出的另一個推廣.

最后需要指出的是：本文從解析幾何的角度給出命題3的證明無法揭示命題3的本質，能否給出本文提出的命題3一個本質的證明呢？囿于自身能力，筆者嘗試了很長時間，始終不得其解. 希望讀者能夠在本文的基礎上進一步思考，給出命題3合理的解釋，那么對命題2的推廣才能算是完整的.

參考文獻：

［1］? 吳世星.圓錐曲線一類定點、定值問題的探究［J］. 數(shù)學通訊，2017（16）：40-42.

［2］? 鄒生書. 由一道拋物線競賽題引發(fā)的探究［J］. 數(shù)學通訊，2017（04）：40-42.

［3］? 許書華. 圓錐曲線頂點定值子弦性質的一般情形［J］. 數(shù)學通訊，2013（12）：42-44.

［4］? 徐道. 圓錐曲線的兩個定向、定點問題［J］. 數(shù)學教學，2015（06）：15-17.

［5］? 張忠旺. 圓錐曲線對定點張直角弦的包絡問題研究［J］. 數(shù)學通報，2013（08）：57-59.

［6］? 林新建. 圓錐曲線的一個有趣性質［J］. 數(shù)學通訊，2009（08）：18-20.

作者簡介：傅毓?jié)?970—），滁州中學數(shù)學教研組長，滁州市學科帶頭人. 先后主持完成省級課題2個，市級課題2個，在《中學數(shù)學》《高中數(shù)理化》《中學數(shù)學教學參考》等雜志發(fā)表過多篇文章，指導多名教師獲得安徽省優(yōu)秀課一等獎.