国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

善用結(jié)構(gòu)特征 巧解代數(shù)問題

2022-11-23 13:48:15王小梅陳科融湯強(qiáng)
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題結(jié)構(gòu)特征

王小梅 陳科融 湯強(qiáng)

[摘? 要] 代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)解決代數(shù)問題至關(guān)重要,為使學(xué)生對(duì)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)有深入的認(rèn)知,文章對(duì)解題中常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了梳理并分類,包括“平方和”結(jié)構(gòu)、“分式”結(jié)構(gòu)、“和積”結(jié)構(gòu)與“隱形”結(jié)構(gòu),并用例子加以解釋和說明.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)解題;結(jié)構(gòu)特征;代數(shù)問題

有些代數(shù)題雖然表述簡短,但學(xué)生解決起來有一定的困難,大部分原因是學(xué)生辨別數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力較弱,尤其是變換代數(shù)式時(shí)不能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征有效使用公式與性質(zhì),但如果以代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征為起點(diǎn),問題便可快速解決.同時(shí)研究表明,學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)上的困難主要反映在四個(gè)方面:對(duì)代數(shù)的抽象性和形式化不適應(yīng);不能熟練運(yùn)用代數(shù)的符號(hào)表征系統(tǒng)和形式規(guī)則;不能從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維;不能理解代數(shù)結(jié)構(gòu),不能認(rèn)識(shí)到代數(shù)方程和表達(dá)式中的結(jié)構(gòu)[1]. 最后一方面是最困難的. 例如,大多數(shù)學(xué)生不能把類似于(x-3)4-(x+3)4的代數(shù)式看成平方差來處理.由此可見,學(xué)生缺乏的不是數(shù)學(xué)理論知識(shí),而是對(duì)形式結(jié)構(gòu)的識(shí)別力,他們無法看到代數(shù)式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以及意義,故而忘記規(guī)則或者誤用造成各種錯(cuò)誤[1]. 因此,結(jié)構(gòu)特征的識(shí)別與使用對(duì)解決代數(shù)問題舉足輕重. 為了提高學(xué)生的結(jié)構(gòu)意識(shí),有必要對(duì)中學(xué)常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類整理.

“平方和”結(jié)構(gòu)

解題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到類似于“a2+b2”的代數(shù)結(jié)構(gòu)(即“平方和”結(jié)構(gòu)),根據(jù)與平方和的關(guān)聯(lián)度可分為“主平方和”結(jié)構(gòu)與“次平方和”結(jié)構(gòu):與“主平方和”結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的有勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系(sin2θ+cos2θ=1)、圓方程以及橢圓方程等;與 “次平方和”結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的有完全平方公式、余弦定理、基本不等式、柯西不等式等.

數(shù)學(xué)高考題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)利用正余弦定理解三角形或判斷三角形的形狀,明確正余弦定理的適用條件是關(guān)鍵.此外,若題目中出現(xiàn)了形如“a2+b2-ab”“a2-b2-c2”(其中的字母a,b,c可以是代數(shù)式或三角函數(shù)等)的代數(shù)式,利用余弦定理求解會(huì)快很多,如2020年全國卷Ⅱ理數(shù)第17題,題目給出的條件是“sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC”,可以先用正弦定理再用余弦定理進(jìn)行求解.

余弦定理因其特殊的結(jié)構(gòu)特征,應(yīng)用廣泛,比如下面這個(gè)例子:

“平方和”結(jié)構(gòu)在代數(shù)式中居多,不少數(shù)學(xué)公式均有此特征,解決此類問題的關(guān)鍵是識(shí)別出題目中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)系相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí),有時(shí)可以借助數(shù)形結(jié)合思想巧妙解決.

“分式”結(jié)構(gòu)

針對(duì)第一類“分式”結(jié)構(gòu),一般先要對(duì)其進(jìn)行化簡,然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題. 分式化簡的常見方法有除法降次、倒數(shù)思想、拆項(xiàng)相消、引入?yún)?shù)等.對(duì)于第二類“分式”結(jié)構(gòu),其結(jié)構(gòu)特征明顯,其中最為突出的是與斜率公式相關(guān)的拉格朗日中值定理,在高考的導(dǎo)數(shù)壓軸題中多次出現(xiàn),有時(shí)常規(guī)思路復(fù)雜,計(jì)算煩瑣,但從結(jié)構(gòu)特征入手可達(dá)到化難為易的目的;此外,點(diǎn)到直線的距離公式也屬于“分式”結(jié)構(gòu),若能識(shí)別題目中涉及的代數(shù)式是點(diǎn)到直線的距離公式,則解決過程會(huì)簡單很多.下面以第二類“分式”結(jié)構(gòu)為例.

雖然拉格朗日中值定理屬于高等數(shù)學(xué)內(nèi)容,高考不能直接用此方法求解,但是原理在學(xué)生的認(rèn)知范圍內(nèi),且做選擇題或填空題時(shí)可快速得到答案.除此之外,洛必達(dá)法則、柯西中值定理、泰勒展開式等高等數(shù)學(xué)內(nèi)容有時(shí)在解題中也有相同的妙用,可適當(dāng)了解.

例5 設(shè)k,θ∈R,

“和積”結(jié)構(gòu)

“和積”結(jié)構(gòu)是另一種常見的代數(shù)結(jié)構(gòu),主要有兩種類型,一種似“ac+bd”,另一種似a+b=c,ab=d,其中字母表示代數(shù)式.

對(duì)于“ac+bd”這種結(jié)構(gòu),與之相關(guān)的有柯西不等式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、兩角和與差的正余弦公式以及托勒密定理等. 而且,兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的證明思路之一是向量數(shù)量積的兩種表示方法,既簡便又直觀,其思路來源于兩者相似的代數(shù)結(jié)構(gòu).

例6 (2016年全國卷Ⅰ理數(shù)第17題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. 求C.

分析:該題難度不高,利用正余弦定理、三角函數(shù)相關(guān)公式等知識(shí)即可求解,一般采用統(tǒng)一性原則,將角化為邊或者將邊化為角. 方法1:利用余弦定理可將角全部化為邊,得a2+b2-c2=ab,再利用余弦定理求解;方法2:觀察到2cosC·(acosB+bcosA)=c的結(jié)構(gòu)屬于“ac+bd”型,用正弦定理將其化為2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,再利用兩角和的正弦公式也可以求出C. 相比之下,第二種方法明顯要快很多.

形如a+b=c,ab=d的結(jié)構(gòu),一般與韋達(dá)定理相聯(lián)系,將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題. 除此之外,a+b=c等價(jià)于1·a+1·b=c,已知a+b=c,ab=d,通過完全平方公式容易求得a2+b2,因此還可以聯(lián)想到柯西不等式. 我們知道平方差公式來源于古代的解方程,已知兩數(shù)和與兩數(shù)積,求這兩數(shù),可以聯(lián)想到初中的平方差公式.下面通過一道經(jīng)典的競(jìng)賽題進(jìn)行說明:

“隱形”結(jié)構(gòu)

有時(shí),題目條件與已學(xué)過的公式或定理的代數(shù)結(jié)構(gòu)并不類似,但其結(jié)構(gòu)較特殊,仍可以從結(jié)構(gòu)特征入手,比如利用同構(gòu)思想解決問題.同構(gòu)是指根據(jù)問題解決的需要尋找與之緊密關(guān)聯(lián)的特殊函數(shù),將關(guān)聯(lián)函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行遷移并運(yùn)用于問題解決的過程.同構(gòu)的目的在于將看似復(fù)雜的問題簡單化,從特殊到一般,經(jīng)歷問題的合理轉(zhuǎn)化,即抽象問題模型化[2]. 同構(gòu)思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用廣泛,利用同構(gòu)思想解決代數(shù)問題的關(guān)鍵是從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征找到對(duì)應(yīng)的函數(shù),利用構(gòu)造的新函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

例8 解不等式(x2-1)2019+x4038+2x2-1≤0.

同構(gòu)思想是近幾年高考的熱點(diǎn),其解題策略是:首先,對(duì)代數(shù)式進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算,觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征;其次,將代數(shù)式兩邊的結(jié)構(gòu)一致化,構(gòu)造新的函數(shù);最后,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式. 其中,最為關(guān)鍵的是識(shí)別代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造新函數(shù).

綜上分析,可以發(fā)現(xiàn)利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征解決代數(shù)問題的有效性.教師需要培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)意識(shí),善于捕捉代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征. 那么,在公式教學(xué)中對(duì)結(jié)構(gòu)特征的深入講解就很有必要了. 雖然教材沒有強(qiáng)調(diào),但是教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生梳理常見的代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征及其聯(lián)系. 值得注意的是,代數(shù)結(jié)構(gòu)是一種形式,具有高度的抽象性,學(xué)生很容易忽視其數(shù)學(xué)本質(zhì)意義,只顧形式不考慮實(shí)質(zhì)內(nèi)容,生搬硬套,忽略適用范圍. 比如學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知“sin(x+y)=sinx+siny”,就是類比“a(b+c)=ab+ac”導(dǎo)致的,原因是學(xué)生只關(guān)注代數(shù)式的形式而忽視了其數(shù)學(xué)本質(zhì)(乘法與三角函數(shù)是兩種不同的數(shù)學(xué)運(yùn)算). 所以,教師需要同時(shí)強(qiáng)調(diào)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)學(xué)本質(zhì).

參考文獻(xiàn):

[1]? 鮑建生,周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]. 上海:上海教育出版社,2009.

[2]? 唐明超,潘敬貞,袁錦前. 例談同構(gòu)視角下函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考試題的求解策略——從2020年高考試題談起[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2021(05):45-47.

作者簡介:王小梅(1994—),碩士研究生,從事中學(xué)數(shù)學(xué)研究工作.

通訊作者:湯強(qiáng)(1975—),博士,碩士生導(dǎo)師,教授,從事教師培訓(xùn)、數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究工作.

猜你喜歡
數(shù)學(xué)解題結(jié)構(gòu)特征
中學(xué)數(shù)學(xué)解題反思策略探討
未來英才(2016年14期)2017-01-12 16:06:25
數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用
考試周刊(2016年86期)2016-11-11 07:55:59
高中數(shù)學(xué)解題策略教學(xué)的實(shí)施途徑分析
考試周刊(2016年61期)2016-08-16 18:16:02
結(jié)構(gòu)特征的交互作用對(duì)注塑齒輪翹曲變形的影響
中國塑料(2016年2期)2016-06-15 20:29:58
學(xué)生數(shù)學(xué)解題心理性錯(cuò)誤例析
考試周刊(2016年30期)2016-05-28 09:18:06
“望聞問切”在數(shù)學(xué)解題中的巧用
考試周刊(2016年26期)2016-05-26 20:25:00
淺論高中生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)
考試周刊(2016年26期)2016-05-26 20:23:42
特殊環(huán)境下雙駝峰的肺組織結(jié)構(gòu)特征
2012年冬季南海西北部營養(yǎng)鹽分布及結(jié)構(gòu)特征
基于測(cè)井響應(yīng)評(píng)價(jià)煤巖結(jié)構(gòu)特征
中國煤層氣(2015年4期)2015-08-22 03:28:01
宁德市| 浦江县| 江门市| 罗山县| 莱芜市| 南通市| 榆社县| 通海县| 万载县| 英吉沙县| 融水| 河池市| 会理县| 肃宁县| 宁城县| 土默特右旗| 始兴县| 阳山县| 老河口市| 得荣县| 久治县| 达孜县| 资溪县| 杭锦后旗| 滦平县| 得荣县| 屏南县| 嘉义市| 石台县| 三河市| 汉寿县| 宜兰市| 同江市| 屯昌县| 循化| 始兴县| 嵊州市| 资兴市| 内江市| 勐海县| 华坪县|