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從八省聯(lián)考數(shù)列題研討線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式

2022-11-23 13:48:15繆葦偉
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)運(yùn)算

[摘? 要] 新高考下的數(shù)列試題,著重對(duì)等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式進(jìn)行考查,數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識(shí)的綜合依然是高考考查的重要方面.注重貼近教材,創(chuàng)新試題情境,進(jìn)而達(dá)到考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的目的. 文章結(jié)合一道八省聯(lián)考數(shù)列題,談?wù)剬?duì)線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的備考,進(jìn)而把握好數(shù)列教學(xué),更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)和價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 線性遞推數(shù)列;特征根;數(shù)學(xué)運(yùn)算

二階遞推數(shù)列問題在課改前即大約2010年前一度成為高考的熱點(diǎn),并且難度居高不下,是高考試題的一道亮麗風(fēng)景. 課改后數(shù)列試題的難度有所下降,主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列,不再考查或很少考查二階遞推數(shù)列,似乎從此數(shù)列無(wú)難題. 但2021年新高考的八省聯(lián)考卻出乎意料地在第一大題的位置就考查了二階線性遞推數(shù)列. 其實(shí)這并不意外,實(shí)際上,二階線性遞推數(shù)列已經(jīng)出現(xiàn)在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書上了.

題在試卷,根在課本. 八省聯(lián)考這道數(shù)列題與課本題目如出一轍. 課本題目只有一問,是通項(xiàng)公式的探索性試題;而八省聯(lián)考數(shù)列題設(shè)置了兩問,實(shí)際上,第(1)問是為第(2)問題求通項(xiàng)公式設(shè)置的臺(tái)階,這樣就大大減小了試題難度. 另外,八省聯(lián)考數(shù)列題相對(duì)于課本題目來(lái)說(shuō),要特殊一些,課本題目更具有一般性. 因此,本文先通過對(duì)一階線性遞推式進(jìn)行解法研究,從中提煉出線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解通法和一般性結(jié)論——特征根法和特征根通項(xiàng)公式. 然后用所得公式求解線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式,體驗(yàn)公式在簡(jiǎn)化運(yùn)算、縮短解題長(zhǎng)度的作用,最后再迂回解答這道八省聯(lián)考數(shù)列題.

希望本文能使讀者對(duì)特征根法的來(lái)龍去脈以及所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有一個(gè)比較全面而深刻的認(rèn)識(shí).

題目再現(xiàn)

題1:普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書人教版必修五第69頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第6題.

題2:八省聯(lián)考.

解法探究

1. 一階線性遞推式求通項(xiàng)

已知一階線性遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式這是我們所熟悉的問題,所用思想方法是:用一個(gè)待定系數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列.

2. 二階線性遞推式求通項(xiàng)

分析:對(duì)于二階線性遞推式求通項(xiàng)問題,可以采用方法類比,用兩個(gè)待定系數(shù)將二階線性遞推式數(shù)列求通項(xiàng)公式的問題轉(zhuǎn)化為一階線性遞推式數(shù)列求通項(xiàng)公式的問題來(lái)處理.

例4 八省聯(lián)考.

解析:(1)證明略;

求二階線性數(shù)列的通項(xiàng)公式,既可用特征根法直接求解,也可用證明定理所用的待定系數(shù)法和方程思想求解.

作者簡(jiǎn)介:繆葦偉(1986—),本科學(xué)歷,中小學(xué)一級(jí)教師,省奧賽高級(jí)教練員、徐州市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)獲得者、縣帶頭優(yōu)師、縣數(shù)學(xué)教研組中心成員.

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