鄒大海，袁 瑞，2

(1.中國科學(xué)院 自然科學(xué)史研究所，北京 100190；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

重差是中國古代通過間接測量來計(jì)算遠(yuǎn)距離物體的高、深、廣、遠(yuǎn)等數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)分支，由于用到兩個差值而得名。它具有高超的設(shè)計(jì)性和技巧性，極具中國古代特色。吳文俊正是通過對重差的研究而提出他關(guān)于數(shù)學(xué)史研究“古證復(fù)原”三原則的[1-3]，而他的數(shù)學(xué)史研究則成為其機(jī)器證明和數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的思想源泉[4]。東漢鄭眾（?—83）在注《周禮》“九數(shù)”時提到“今有重差、夕桀、勾股也”[5]，說明在東漢早期或更早時代重差已成為數(shù)學(xué)的一個門類。三國時魏國的劉徽為《九章算術(shù)》作注，他在公元263年所寫自序①現(xiàn)傳本劉徽自序未署年月，李淳風(fēng)《晉書·律歷志》提到“魏景元四年，劉徽注《九章》云：‘王莽時劉歆斛尺弱于今尺’”[6]，學(xué)術(shù)界對“魏景元四年”（263）是劉徽注《九章算術(shù)》的開始年份還是完成年份有爭議，主要原因在于對《九章算術(shù)·方田》“圓田術(shù)”注中有“晉武庫中漢時王莽作銅斛”的一節(jié)是屬于劉徽注還是李淳風(fēng)等注釋，有不同的判斷。有人認(rèn)為這段文字是劉徽所寫，其整個注釋的完成在晉代，魏景元四年只能是他開始作注的年份；有人則認(rèn)為此段文字出自祖沖之，是李淳風(fēng)“顯于徽注之下”的。其實(shí)，上引《律歷志》的話意味著“晉武庫中漢時王莽作銅斛”一節(jié)應(yīng)出自劉徽注，劉徽注完成于晉代，但這不意味著“魏景元四年”是劉徽開始作注的年份。因?yàn)閺膭⒒盏男蛭目?，在寫序時，不僅他為《九章算術(shù)》所寫的注已基本完成，而且他自撰的《重差》也已基本寫成。古代很多著作并不專門記錄開始和完成的時間，而是在序、跋的落款處署上著作的時間，所以我們認(rèn)為《晉書》所記“魏景元四年”應(yīng)該來自劉徽的序，但在此序的現(xiàn)傳本中脫落。劉徽注在此年大體寫成，后來又有所完善。云：“凡望極高、測絕深而兼知其遠(yuǎn)者必用重差、勾股，則必以重差為率，故曰重差也……徽尋九數(shù)有重差之名，原其指趣乃所以施于此也……輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴于《勾股》之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又求旁者四望?！盵7]《九章算術(shù)注》序2劉徽對重差的性質(zhì)和功用做了描述，并說明它是早已有之的學(xué)問，且要與勾股相配合使用。其自序還表示，他做了創(chuàng)造性發(fā)展而寫出專論《重差》，“綴于《勾股》之下”，遂成其《九章算術(shù)注》的第十卷。可以說，直到劉徽撰成此篇，重差才成為蔚為大觀的學(xué)問，這也是劉徽認(rèn)為自己在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)。

《重差》后來從《九章算術(shù)注》中分出，以至獨(dú)立成書，又因第一題為測望海島的高遠(yuǎn)而獲《海島算經(jīng)》之名，并作為唐代李淳風(fēng)等注釋的十部算經(jīng)之一，成為國子監(jiān)算學(xué)館的教材和科舉考試中明算科的考試用書。對《重差》脫離《九章算術(shù)注》和它獲得《海島算經(jīng)》之名的時間，學(xué)術(shù)界有不同的判斷。大多數(shù)人的觀點(diǎn)大同小異，認(rèn)為是在唐代[8-15]。郭書春駁斥了這類觀點(diǎn)，認(rèn)為至晚在甄鸞時代[16]。《重差》從《九章算術(shù)注》中分出及相應(yīng)時間的問題，其重要性在于兩個方面：一是關(guān)系到文獻(xiàn)特別是其流傳方式，這很好理解；二是涉及中國古代數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的演進(jìn)方式，因?yàn)樗从吵龉湃藢Α吨夭睢放c《九章算術(shù)》之間存在分野的認(rèn)識，和古人對重差這一分支學(xué)科之特色的重視。

本文的研究將表明，郭書春的結(jié)論基本可靠，但其論據(jù)和論證有缺陷。另外，我們發(fā)現(xiàn)，在80多年前李儼與嚴(yán)敦杰的先驅(qū)性工作中雖未明言，但實(shí)際已蘊(yùn)含了“《重差》從《九章算術(shù)注》中的分離并非從唐代才開始”的思想傾向。本文參考李儼的思路，以李、嚴(yán)、郭的工作為基礎(chǔ)，對這一問題作系統(tǒng)梳理，并在此基礎(chǔ)上討論文獻(xiàn)在流傳過程中的分合問題。

1 《重差》獨(dú)立問題起源與“唐代分出說”考評

《重差》的分出及其時代，早在1913 年日本學(xué)者三上義夫在《中日數(shù)學(xué)之發(fā)展》中就已提到：

“海島算經(jīng)”的標(biāo)題并非作者本人所題。如前所述，劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，研究了一些歸類在“重差”下的問題之解法，并附于九章的最后一章“勾股”之下。但劉徽的補(bǔ)充并不能構(gòu)成《九章》的正文，隨著時間的推移，它注定要被考慮分離出來，而擁有現(xiàn)在所熟知的標(biāo)題。此書名取自書中第一題對海島的測望，或許從7世紀(jì)崛起的唐代初期起就一直使用這個書名。[17]34

他已經(jīng)注意到了《海島算經(jīng)》的分離問題，并從文本內(nèi)容上的關(guān)聯(lián)程度來解釋。他認(rèn)為《重差》作為后代學(xué)者補(bǔ)入的內(nèi)容本就不屬于《九章算術(shù)》原文，分離出來便是很自然的事情，但他沒有就開始獨(dú)立出來的時間做斷言，只說或許從唐初起就一直使用《海島算經(jīng)》的名稱。

三上義夫是中國數(shù)學(xué)史研究的先驅(qū)，其工作激勵了中國學(xué)者對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的研究熱情。這些學(xué)者中以李儼、錢寶琮的研究影響巨大。1921年，錢寶琮在《九章問題分類考》中討論《重差》從《九章算術(shù)》分離的問題[8]2；在1932年的《中國算學(xué)史》上篇中，他又進(jìn)行了更詳細(xì)的闡述：“此術(shù)雖為漢人所創(chuàng)，至劉徽而后始有專書?；账夭钜痪?，至唐代立算經(jīng)十書時，與所注之《九章算術(shù)》分離，別為一書。因首問為測望海島之術(shù)，故稱曰《海島算經(jīng)》也?！盵9]他認(rèn)為：因唐代初年要選十部數(shù)學(xué)著作為經(jīng)典，原本附在《九章算術(shù)注》末的《重差》獨(dú)立出來，并在這時根據(jù)第一題測算的海島開始以《海島算經(jīng)》之名行世。這樣的觀點(diǎn)為其1963 年出版的校點(diǎn)本《算經(jīng)十書》之《海島算經(jīng)提要》[10]及1964年的《中國數(shù)學(xué)史》[11]所繼承。他的論述明確、肯定，對以后的學(xué)者影響甚大。

杜石然亦持唐初分出的看法。在為《中國大百科全書·數(shù)學(xué)》所寫“《海島算經(jīng)》”條[12]中，他只是說“唐初開始單行”，尚未與初唐教育制度和注釋十部算經(jīng)的背景聯(lián)系起來。但后來他在《〈海島算經(jīng)〉論?！分凶髁讼到y(tǒng)的分析和論證，并把《重差》分出時間的上限定在唐初王孝通上《緝古算經(jīng)》表之后。他說：

王孝通在“上《輯古算經(jīng)》表”中也曾提到劉徽“造重差之法”。王孝通說道：“魏朝劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更為之注……徽思及毫芒，觸類增長，乃造重差之法列于終篇。雖即未為司南，然已一時獨(dú)步?！?/p>

據(jù)此可以認(rèn)為：在唐初王孝通時，還是以“乃造重差之法列于終篇”的說法為主，《海島算經(jīng)》似乎尚未獨(dú)立成篇，它還沒有從《九章算術(shù)》中獨(dú)立出來?！?/p>

《隋書·經(jīng)籍志》中列有：“《九章算術(shù)》十卷，劉徽撰?！毒耪轮夭顖D》一卷，劉徽撰?！?/p>

這也大致上反映了當(dāng)時的《海島算經(jīng)》仍然是處于“列于終篇”，與《九章》共成十卷的情況。后一種書似乎還反映了劉徽的《海島算經(jīng)》確有附圖一卷，可惜，這一卷圖早已失傳。[13]

這里給出兩個理由：（1）王孝通所說“乃造重差之法列于終篇”表明他看到《海島算經(jīng)》通行的狀態(tài)還是“列于終篇”的；（2）《隋書·經(jīng)籍志》中收錄的還是劉徽《九章算術(shù)注》的十卷本，進(jìn)一步證明當(dāng)時《九章算術(shù)》正文與劉徽《重差》未分離開來。這樣的理解存在一些偏差，其實(shí)王孝通只是描述了劉徽造《重差》的事實(shí)，并沒有對《重差》是什么時候造、什么時候獨(dú)立出來下判斷。

李迪根據(jù)《隋書·經(jīng)籍志》的著錄有劉徽的《九章算術(shù)》十卷本，推論《重差》在隋代尚未分出。再根據(jù)唐代沒有此十卷本、卻有劉徽撰《海島算經(jīng)》一卷，他推論《重差》在唐代分離出來，并取名《海島算經(jīng)》，并認(rèn)為這“可從唐代數(shù)學(xué)教科書的名稱得到旁證”[14]。

馮立昇認(rèn)為：“《海島算經(jīng)》原名為《重差》，開始是被附于劉徽注《九章算術(shù)》之后；唐初將其分離而另行單本，改稱此名。它所討論的是目標(biāo)物不能靠近（或難以靠近）情況下的測高與測遠(yuǎn)問題?！盵15]他在《重差》分出時間問題上與杜石然的意見相同。

白尚恕在《劉徽〈海島算經(jīng)〉造術(shù)的探討》中說“《重差》原附于《九章算術(shù)》之終，到隋唐時代，將《重差》摘出，作為單行本；因其第一問為‘望海島’，以后便改稱為《海島算經(jīng)》。”[18]這把《重差》分出的時間籠統(tǒng)歸為隋唐時代，時段太長，且沒有論證。此說實(shí)際影響甚微。

《重差》在初唐時開始被分離并以《海島》之名行世，成為主流的觀點(diǎn)。原因有兩方面，一是符合排比隋、唐正史中書目的著錄材料、唐代算學(xué)教育與科舉制度史料的一般方式，二是錢寶琮的影響力。但是，細(xì)審前述各位學(xué)者所用材料和論述后，可知這些論據(jù)只能證明在初唐時有獨(dú)立于劉徽注本《九章算術(shù)》的《重差》版本，而不能證明分離的版本始于此時。

2 “南北朝分出說”述評

劉徽《重差》在唐初獨(dú)立單行的觀點(diǎn)被廣泛接受，它甚至被收入了《大英百科全書》的“LIU Hui”條①“In his preface to the The Nine Chapters,Liu noted a gap in its procedures that did not allow one to tackle problems involving celestial distances.He thus appended surveying problems and algorithms that amounted to a kind of trigonometry to fill this gap.These problems were gathered,probably in the 7th century,in an independent book, Haidao Suanjing (‘Sea Island Mathematical Manual’),ascribed to him.”[19]，但郭書春對此持有異議：

關(guān)于《海島算經(jīng)》單行的時間，許多著作說是李淳風(fēng)等整理十部算經(jīng)時將《重差》從《九章算術(shù)注》中分離出來的。這是一種想當(dāng)然的說法。實(shí)際上，《宋史·藝文志》載，甄鸞時就有《海島算術(shù)》，而且，王思辯建議整理漢唐算經(jīng)時，已稱“十部算經(jīng)”?？梢姡逗u算經(jīng)》從《九章算術(shù)注》獨(dú)立出來，起碼在甄鸞時代。[16]

他認(rèn)為《宋史·藝文志》收錄了甄鸞注《海島算經(jīng)》，說明至晚在甄鸞時代此書已經(jīng)獨(dú)立出來；王思辯上表時已有“十部算經(jīng)”的說法，更佐證了初唐時已經(jīng)完成了獨(dú)立。郭書春是用駁議的方式寫下這一見解的，但沒有提到前人的類似見解，說明他不知道前人已有這方面的工作。其實(shí)早在半個多世紀(jì)以前李儼、嚴(yán)敦杰就觸及過這一問題。

1926年李儼發(fā)表《重差術(shù)源流及其新注》，提到：“重差術(shù)始興，遠(yuǎn)在戰(zhàn)國以前”“至魏劉徽始告完成”“至唐，而‘重差’忽被‘海島’之名?！盵20]他只敘述了可以肯定的事實(shí)：至唐“忽被‘海島’之名”，這不僅意味著《重差》在唐代有《海島（算經(jīng)）》之名，而且默認(rèn)在此時或更早時代《重差》已有單行本。1930年李儼出版的《中國算學(xué)小史》說：

《隋志》于《九章》增作十卷，下題劉徽撰，蓋《重差》列于九章終篇也?！端逯尽贰短浦尽酚纸杂小毒耪轮夭顖D》一卷，今其圖已亡。唐以后稱《重差》為《海島算》，宋史有《海島算經(jīng)》一卷，夏翰（一作翱）《新重演議海島算經(jīng)》一卷。[21]

李儼《中國數(shù)學(xué)大綱》上冊（1931 年）[22]35、《中國算學(xué)史》（1937年）[23]也有類似的表述，體現(xiàn)了他避免做過多推斷的治史傾向。

1940年，李儼與嚴(yán)敦杰合作發(fā)表《南北朝算學(xué)書志》，文中整理的注釋《九章算術(shù)》和《重差》的文獻(xiàn)資料對于分離時間給出了重要的提示。該文是南北朝時期算學(xué)著作的目錄學(xué)論文，也是李儼與嚴(yán)敦杰學(xué)術(shù)交流與合作的開始。據(jù)筆者整理的李儼1940年致嚴(yán)敦杰信件，先是嚴(yán)敦杰將《南北朝算學(xué)書志》一文向《圖書季刊》投稿，編輯部請李儼審閱，李儼由此得知嚴(yán)敦杰的通信處而主動聯(lián)系他。李儼做了許多增補(bǔ)和修正，并在文章后加以附注。文章同年6月以嚴(yán)敦杰著、李儼注的名義發(fā)表在《圖書季刊》上[24]。作為兩位學(xué)者的學(xué)術(shù)合作成果，此文能夠一定程度上反映他們的編史傾向。文中收錄了“祖沖之《九章算術(shù)注》九卷，《九章術(shù)義注》九卷”、“祖沖之《重差注》二卷”、“甄鸞《九章算術(shù)》注”和“信都芳《重差勾股注》”等4 條[24]197，顯示出祖沖之有《九章算術(shù)》的9 卷注本和單獨(dú)的《重差》注本，信都芳有《重差》和《勾股》合在一起的注本，甄鸞亦有不包含《重差》在內(nèi)的《九章算術(shù)》9 卷注本，所以此文雖然沒有明說南北朝時期存在將《重差》從《九章算術(shù)注》中抽出作注的著作，卻實(shí)際蘊(yùn)含了這樣的意思，那么《重差》就不必等到唐代才從《九章算術(shù)》劉徽注本中分離出來。其中“祖沖之《重差注》二卷”條，依據(jù)的是《日本國見在書目》“《海島》二祖仲注”，嚴(yán)敦杰在此條末加按語云：

“海島”之名自唐始，見在書目乃以通行書籍稱之，故若是云云。于南朝時當(dāng)作“重差”也。諸史志錄《海島》咸為一卷，此獨(dú)為二卷。豈足本歟？[24]

他認(rèn)為“祖仲”是“祖沖之”之誤，“海島”之名始于唐朝，《日本國見在書目》所記的“海島”是唐代改的，南朝時應(yīng)作“重差”，此書目作“二卷”可能說明此為足本，而各正史的《志》所記之《海島》一卷則不僅名稱晚出，而且可能已非足本。這繼承了李儼關(guān)于“海島”是唐代所改名稱的觀點(diǎn)，且更明確地表示之前仍名“重差”。

關(guān)于《重差》在唐以前從劉徽注本《九章算術(shù)》中分離的問題，實(shí)際上在李儼1919年發(fā)表的《中國數(shù)學(xué)源流考略》已見端睨，文章提到“祖暅又以諸法授于信都芳。安豐王延明鈔集五經(jīng)算學(xué)，芳為之注，且嘗自注重差勾股，并著四術(shù)周髀宗”[25]，說明此時他已持信都芳注釋《重差勾股》的觀點(diǎn)，這意味著信都芳注本的《重差》已脫離劉徽注本《九章算術(shù)》。但此文之依據(jù)為清朝阮元《疇人傳》卷十一開頭的信都芳傳，此傳系引用《北齊書·方技傳》和《北史·藝術(shù)傳》[26]。1931 年李儼出版的《中國數(shù)學(xué)大綱》上冊亦提到信都芳注《重差勾股》，所據(jù)史料還增加了《魏書》[22]52-54。不過，李儼沒有對這些史料的功用做出區(qū)分。后文將看到，這條新增的史料才是最重要的。

在1958 年出版的《中國數(shù)學(xué)大綱》修訂本中，李儼說“祖沖之又注《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》”，亦提到信都芳“注《勾股重差》”[27]，說明他相信《重差》在祖沖之、信都芳時代都有分離出來的本子。嚴(yán)敦杰在整理《祖沖之著述目》（此篇定稿于1957 年[28]139）時，錄“《重差注》一卷”，并加按語：“《見在書目》作二卷，《令集解》作一卷，應(yīng)以一卷為是。按唐代始以《重差》叫《海島算經(jīng)》，在祖沖之時代應(yīng)該叫《重差》。”[28]140可見，李、嚴(yán)兩位基本一致地認(rèn)為南朝祖沖之時代已有脫離《九章算術(shù)》的《重差》存在了。

上述李儼對《重差》的看法，反映了他以史料為中心的編史觀，其特點(diǎn)是“以史料為中心，以信史為追求目標(biāo)，盡量以史料直接構(gòu)筑歷史，信以傳信、疑以傳疑，避免在史料之外作過多的推衍”[29]。嚴(yán)敦杰與李儼在編史觀上也有共同的傾向，所以他們在《重差》流傳問題上有頗多共同之處。筆者認(rèn)為李儼的編史觀有助于避免研究中的主觀傾向，得到更為近真的結(jié)論。下面的討論受此編史觀的影響而加以改進(jìn)，討論《重差》的流傳問題。

3 劉徽《重差》獨(dú)立時間的文獻(xiàn)梳理與具體證明

3.1 初唐時期確有分離單行的版本

我們先引用幾種隋、唐正史的書目及這一時期日本的書目中的相關(guān)著錄。

貞觀十年（636）魏徵、令狐德棻、顏師古等編成《隋書》的帝紀(jì)、列傳，此時尚無諸志。顯慶元年（656）令狐德棻、長孫無忌、于志寧等編成《五代史志》，后來納入《隋書》中[30]出版說明。武德五年（622）將從王世充的鄭朝接管的隋朝圖書古跡，通過船只運(yùn)往京師，不料“行經(jīng)底柱，多被漂沒，其所存者，十不一二。其《目錄》亦為所漸濡，時有殘缺”，核實(shí)尚存的部分，按四部分類，形成了《經(jīng)籍志》[30]908-909。其中涉及《九章算術(shù)》和《重差》（《海島》）的有：

《九章術(shù)義序》一卷 《九章算術(shù)》十卷劉徽撰

《九章算術(shù)》二卷徐岳、甄鸞重述

《九章算術(shù)》一卷李遵義疏《九章別術(shù)》二卷

《九章算經(jīng)》二十九卷徐岳、甄鸞等撰

《九章算經(jīng)》二卷徐岳注

《九章重差圖》一卷劉徽撰[30]1025

《日本國見在書目》是9世紀(jì)日本學(xué)者藤原佐世編撰的書目，其中收錄有：

《九章》九卷劉徽注 《九章》九卷祖中①《南北朝算學(xué)書志》中按：“‘祖中’即‘祖沖之’，猶‘祖暅之’之作‘祖暅’也。‘中’‘仲’‘沖’俱形誤”。[24]注

《九章》九卷徐氏撰 《九章術(shù)義》九祖中注

《九章十一義》一 《九章圖》一

《九章乘除私記》九 《九章妙言》七

《九章私記》九 《海島》二

《海島》一徐氏注 《海島》二祖仲注

《海島圖》一[31]

最晚反映公元9世紀(jì)《九章算術(shù)》和《海島》的狀態(tài)。

《舊唐書》修于后晉天福六年至開運(yùn)二年（941至945）[32]出版說明，其《經(jīng)籍志》著錄“開元盛時四部諸書”[32]1963，反映了公元740 年左右存書情況，其中收錄有：

《九章算經(jīng)》一卷徐岳撰

其從古代借鑒中國歷代名畫風(fēng)格與中國畫繪制手法上的結(jié)合，與熟練掌握新彩技法與新彩料性特征。這樣既吸取前人的基礎(chǔ)，又能從陶瓷這種獨(dú)特的材質(zhì)料性上有一種新的提升，從而能準(zhǔn)確把技法與繪畫的特性充分表達(dá)，形成自己獨(dú)特的繪畫風(fēng)格。

《九章重差》一卷劉（向）[徽]撰

《九章重差圖》一卷劉徽撰

《九章算經(jīng)》九卷甄鸞撰

《九章雜算文》二卷劉祐撰

《九章術(shù)疏》九卷宋泉之撰

《海島算經(jīng)》一卷劉徽撰[32]2038-2039

《新唐書》于宋代慶歷四年至嘉祐五年（1044—1060）修成[33]，其《藝文志》只談到唐代收藏圖書的歷史，未說明收藏著錄之書的時間[33]1422-1423，有學(xué)者認(rèn)為它以開元時書目為基礎(chǔ)，補(bǔ)充了后來產(chǎn)生的著作，其中收錄有：

劉（向）[徽]《九章重差》一卷

甄鸞《九章算術(shù)》九卷

劉徽《海島算經(jīng)》一卷

[劉徽]又《九章重差圖》一卷

劉祐《九章雜算文》二卷

[李淳風(fēng)]又注《九章算術(shù)》九卷

[李淳風(fēng)]注《九章算經(jīng)要略》一卷

[李淳風(fēng)]注《海島算經(jīng)》一卷[33]1545-1548

可以看出，隋唐時代注釋、研究和闡發(fā)《九章算術(shù)》的著作很多，其中還有書名在“九章”后添加“術(shù)義”、“十一義”（“十一”二字疑誤）、“乘除私記”、“私記”、“妙言”、“雜算文”、“算經(jīng)要略”的著作，應(yīng)該是闡發(fā)《九章》中算法和原理的，不是一般意義的注疏本?！缎绿茣に囄闹尽蜂浻欣畲撅L(fēng)注《九章算經(jīng)要略》一卷，說明此前有一本《九章算經(jīng)要略》，為闡發(fā)《九章算經(jīng)》的著作，李淳風(fēng)再注釋它。這些說明古人可以根據(jù)需要和興趣對《九章》進(jìn)行各種研究和闡發(fā)，而且不一定要針對《九章算術(shù)》全書。

這些目錄中，超過九卷的只有《隋書·經(jīng)籍志》所錄劉徽的十卷本和徐岳、甄鸞的二十九卷本，后者可能還含有專門闡發(fā)《九章》要義的內(nèi)容?！短茣纺夸浿小毒耪滤阈g(shù)》注釋本都為九卷，說明唐代開元盛世以來《九章算術(shù)》的版本已不含《重差》，《重差》從《九章（注）》中分離出來已成通例。在唐代《九章算術(shù)》的劉徽注釋本只見于《日本國見在書目》，《舊唐書》沒有著錄而著錄了甄鸞的九卷本和宋泉之的九卷本，《新唐書》也只有徐岳、甄鸞和李淳風(fēng)的九卷注釋本各一部，從宋代的《九章算術(shù)》版本看，李淳風(fēng)的注釋本包含了劉徽注的內(nèi)容。所以，《舊唐書》的著錄應(yīng)該有缺失，至少缺了李淳風(fēng)在劉徽注基礎(chǔ)上的注釋本，這從《舊唐書》本身可以找到內(nèi)證，其卷七十九之《李淳風(fēng)傳》說：

顯慶元年，復(fù)以修國史功封昌樂縣男。先是，太史監(jiān)候王思辯表稱《五曹》、《孫子》十部算經(jīng)理多踳駁。淳風(fēng)復(fù)與國子監(jiān)算學(xué)博士梁述、太學(xué)助教王真儒等受詔注《五曹》、《孫子》十部算經(jīng)。書成，高宗令國學(xué)行用。[32]2719

這里明確記載王思辯提到十部算經(jīng)“理多踳駁”，然后李淳風(fēng)等為之作注?？梢姡吝t7世紀(jì)中葉的唐初先有《重差》的單行本，與《九章算術(shù)》《五曹》和《孫子》等并列構(gòu)成十部算經(jīng)，然后才有李淳風(fēng)等注釋本。但這些注釋本為同書的《經(jīng)籍志》所漏記。這也說明根據(jù)史志著錄判斷一部書是否存在，是不太靠得住的。

新舊《唐書》、《日本國見在書目》都記有《海島（算經(jīng)）》，唐初李淳風(fēng)等作注之前已有《重差》的單行本，其名可能是《重差》或《海島（算經(jīng)）》，但作注后肯定已稱為《海島》。唐代《海島（算經(jīng)）》既有李淳風(fēng)注本，也有祖沖之注本。兩部《唐書》都記有劉向《九章重差》，四庫館臣推論此“劉向”為“劉徽”之誤[34]，這一判斷很可能是正確的。因?yàn)?，此書既不見于《日本國見在書目》《隋書·?jīng)籍志》，也不見于根據(jù)劉向本人及其子劉歆所撰《七略》編成的《漢書·藝文志》，且劉向并沒有善數(shù)之名。兩《唐書》的史志、《隋書·經(jīng)籍志》都另有劉徽注《九章重差圖》，這存在兩種可能：一為劉徽作注時，把圖脫離文字注而匯在一起單作一卷，后世繼承了下來；二為它就是帶有圖的《重差》，從劉徽《九章算術(shù)注》中獨(dú)立出來①四庫館臣認(rèn)為《九章重差圖》《九章重差》就是《重差》。，尚未更名為《海島》，不含李淳風(fēng)注。無論如何，唐代的《重差》單行本，有名《九章重差》（或《九章重差圖》）者，有名《海島（算經(jīng)）》者，后者為李淳風(fēng)注本，前者不是。

3.2 至遲在南北朝信都芳時代《重差》已經(jīng)有脫離《九章》的版本

《宋史·藝文志》中收錄有甄鸞所注的《海島算經(jīng)》，但它成書于11世紀(jì)，去古已久，而后人將古人的書做分離、合并的處理，仍署古人之名，也是常情。所以，《宋史·藝文志》的著錄，難以證明甄鸞時期已有《海島算經(jīng)》的單行本。下面來看李儼、嚴(yán)敦杰提到的《北史》《北齊書》《魏書》等的記錄。

李延壽《北史》卷八十九《藝術(shù)上》有信都芳的傳記稱：

信都芳，字玉琳，河間人也。少明算術(shù)……常語人云：“算歷玄妙，機(jī)巧精微，我每一沈思，不聞雷霆之聲也?！逼溆眯娜绱?。后為安豐王延明召入賓館。有江南人祖暅者，先于邊境被獲，在延明家，舊明算歷，而不為王所待。芳諫王禮遇之。暅后還，留諸法授芳……后隱于并州樂平之東山……后亦注重差、勾股，復(fù)撰《史宗》。[35]

這里提到信都芳本來就善于算術(shù)、歷法，祖暅之②祖暅之為祖沖之兒子,其名在文獻(xiàn)中有“暅之”和“暅”兩種，當(dāng)以前者為是。在靠近北魏的梁朝邊境被北魏所擒③祖暅之在邊境被擒的時間為公元525年。[28]149-150，居安豐王元延明家而未受禮遇，信都芳勸諫元延明禮遇祖暅之，于是祖暅之便給予他歷算上的指點(diǎn)和資料。后來信都芳給《重差》《勾股》作注。那么，由信都芳本人分出或他之前已有將《重差》從《九章算術(shù)》分出來的版本?！侗饼R書》中“方伎傳”中亦有信都芳的一篇小傳[36]675，內(nèi)容只有《北史》中“信都芳傳”的1/3，沒有提到信都芳與祖暅之的關(guān)系，也沒有提是他注重差、勾股。《北齊書》是唐初貞觀十年（636）李百藥（565—648）完成的，但在唐中葉以后殘缺，包含信都芳傳在內(nèi)的“方伎傳”是后人所補(bǔ)[36]出版說明，所以現(xiàn)存《北齊書》的失載并不意味著原書沒有上述信息。

不過，《北史》的撰者李延壽的生卒年失載，史書記錄其活動在初唐，距離信都芳活動的時代約1個世紀(jì)。而后世的著作是有可能將后來的信息帶入對以前史事的敘述中的。在記述以前的文獻(xiàn)時，后人如果把前人的書進(jìn)行了分割或合并，也仍會記在前人名下。因此，后世所記前人著作，并不能準(zhǔn)確反映該文獻(xiàn)的原始狀態(tài)。比如劉徽為《九章算術(shù)》作注時《重差》并不與之分離，《舊唐書》記有“《海島算經(jīng)》一卷劉徽撰”，《新唐書》記有“劉徽《海島算經(jīng)》一卷”，都題劉徽為撰者，但單行的形態(tài)和書名都非劉徽寫作時的狀態(tài)。所以《北史》的記載尚不能作為信都芳時已有《重差》單行本的絕對證據(jù)。

值得重視的是《魏書》。其中張淵的傳中順便提到信都芳“后亦注重差、勾股，復(fù)撰《史宗》，仍自注之，合數(shù)十卷。武定中卒?！盵37]1955武定為東魏最后年號（543—550），則信都芳大約去世于546 年左右。根據(jù)《北史》和《魏書》的敘事順序，先是元延明“南奔”，然后才是信都芳為元延明所編和要編的著作“撰注”，再是他隱居并州樂平之東山，之后是到高歡門下做賓客，然后才是注重差、勾股。已知元延明由于受元顥牽連而“南奔”[37]530，元顥從攻入洛陽稱帝到兵敗被殺，時在北魏永安二年[37]565，即公元529 年，那么信都芳注重差、勾股應(yīng)該在晚年，可能在公元540 左右。

《魏書》的主修者是魏收（507—572），其紀(jì)、傳完成于北齊天保五年（554）。后來北齊皇帝高演（560—561 年在位）、高湛（562—565 年在位）又命他修改，始成定本[37]出版說明。所以《魏書》所記史事無論如何不可能帶入公元565年以后的信息，更不可能將隋代或唐代才形成的著作放入其中?！段簳返耐瓿删嚯x信都芳注釋重差、勾股不超過30 年，可信度很高。所以《魏書》的記載是在信都芳時代已有獨(dú)立于劉徽注本《九章算術(shù)》的《重差》之鐵證。《北史》和《魏書》說信都芳“注重差、勾股”，有可能是將《重差》《勾股》作兩本分開注釋，也有可能是二者合一，無論哪種都說明此《重差》已經(jīng)脫離《九章算術(shù)》。

《日本國見在書目》收錄了祖沖之注的《九章算術(shù)》九卷與《海島》二卷，似乎進(jìn)一步表明，祖沖之作注之時《重差》已經(jīng)與《九章算術(shù)注》分離開來。如前所述，后世的記錄不一定能反映當(dāng)時著作的狀態(tài)，所以祖沖之作注時合在一起，后來才將《重差》分離出來的可能性是存在的。因此，將《日本國見在目錄》的著錄作為祖沖之時《重差》單行的證據(jù)，其效力是不夠的。不過，沒有文獻(xiàn)表明信都芳是第一個將《重差》分出的人，而他在注釋《重差》《勾股》之前曾師承祖暅之，祖暅之的學(xué)術(shù)與其父祖沖之又一脈相承，因此，也存在祖沖之時代已有《重差》分出本的可能性。

《重差》分出以后，最早獲得《海島》之名的時間尚難考定。前面引錄的新舊《唐書》書目、《日本見在書目》，足以肯定唐代已有《海島》《海島算經(jīng)》或《海島算術(shù)》之名，且不晚于李淳風(fēng)完成十部算經(jīng)的注釋?！八憬?jīng)”二字雖然早在南朝梁朝庾曼倩、張纘的傳記資料中已提到[38]，但較少見，它主要應(yīng)該與唐代國家數(shù)學(xué)教育機(jī)構(gòu)算學(xué)館和科舉中的明算科有關(guān)，故《海島算經(jīng)》之名很可能始于唐代早期。唐代制度對隋代多有繼承。隋代國子寺有祭酒一人，屬官有主簿、錄事各一人，“統(tǒng)國子、太學(xué)、四門、書、算學(xué)，各置博士、助教、學(xué)生等員”，前三門都是博士、助教各5人，書學(xué)和算學(xué)則都是各2 人，學(xué)生則分別為140、360、360、40、80人[30]777?？梢娝銓W(xué)在隋代國子寺中已有一定規(guī)模，應(yīng)該有選編的教材，《隋書·經(jīng)籍志》稱為“算經(jīng)”的數(shù)學(xué)著作有多種，那么如果《重差》更名，則稱為《海島算經(jīng)》的可能性是存在的。但隋朝國祚太短，制度初興，《隋書·經(jīng)籍志》記有多種“算經(jīng)”卻無《海島算經(jīng)》和《重差算經(jīng)》，亦未記有《海島》和《海島算術(shù)》，所以“重差”更名“海島”始于初唐比始于隋代的可能性要大，初唐始稱《海島算經(jīng)》的可能性更大。晚唐以后難以見到稱《重差》者，《海島》（《海島算經(jīng)》《海島算術(shù)》）成為通行的書名。

4 從《重差》的分離問題看文獻(xiàn)的流傳方式

上面已證明，劉徽《重差》至晚在南北朝信都芳之時已有脫離《九章算術(shù)》的版本。初唐李淳風(fēng)等注釋十部算經(jīng)以后，《重差》以《海島算經(jīng)》之名漸趨通行?！吨夭睢窂摹毒耪滤阈g(shù)》中獨(dú)立的問題為審視古代文獻(xiàn)的流傳方式與不同史志中的收錄存在相悖的情況提供了新的視角。

史書及其書目志中存在失收的情況，以其著錄與否來判斷一書在某一時代是否存在，不是絕對的?！侗饼R書·信都芳傳》中僅記錄他“又著樂書、遁甲經(jīng)四術(shù)、周髀宗”[36]675，不記他注釋重差、勾股之事，《北齊書》成書于貞觀十年（636），晚于信都芳生活年代約一個世紀(jì)，只是說明史書中人物傳記會有缺漏。前面提到李淳風(fēng)等在顯慶元年（656）完成注釋十部算經(jīng)的工作，但《舊唐書·經(jīng)籍志》（修于941 至945年）卻并不見收錄《九章算術(shù)》《海島》等7部，《舊唐書·經(jīng)籍志》是根據(jù)唐代開元年間毋煚在前人基礎(chǔ)上整理的《古今書錄》編輯而成的[32]1962-1963，能夠反映開元盛世時的國家藏書狀況，沒有收錄在當(dāng)時已明確作為算學(xué)教材的十部算經(jīng)之李淳風(fēng)等注釋本是不合理的，這似乎說明流傳至今的《舊唐書·經(jīng)籍志》之缺失不一定是當(dāng)時史家的粗疏，畢竟古代經(jīng)籍保存不易、傳抄疏忽造成的缺失本來就是存在的。而李淳風(fēng)等注釋的那7部算書，在宋初所修《新唐書·藝文志》[33]中卻能見到，說明后世的編目也可能比更早的書目可靠。

文獻(xiàn)在流傳中并不是非合即分的，不同卷數(shù)的版本可以共存。“唐代分出說”的證據(jù)之一即是《隋書·經(jīng)籍志》中著錄有《九章算術(shù)》劉徽十卷注本和《九章重差圖》一卷本，但到了新舊《唐書》中，《九章算術(shù)》的劉徽注本只有九卷，另有《重差》（或《海島》）一卷本，以此說明《九章算術(shù)》劉徽十卷注本在唐代被分割開了。但有合本的存在并不能否認(rèn)分離本能同時存在?！毒耪滤銜吩讵M義上僅指漢張蒼、耿壽昌刪補(bǔ)的《九章算術(shù)》本文，在廣義上則包括后世的劉徽注與李淳風(fēng)等注釋[7]增補(bǔ)版前言：4?！吨夭睢冯m然建立在勾股知識的基礎(chǔ)上、放在《勾股》章之后，但此章主要是劉徽個人的創(chuàng)作與闡發(fā)，原本不屬于《九章算術(shù)》，后代學(xué)習(xí)者研究《九章算術(shù)》時具有很大的靈活性，有人依據(jù)興趣或應(yīng)用的需要，將原文和劉徽的創(chuàng)作分離開來研究是很自然的事情。而且即使對《九章算術(shù)》原來的9章，后人也可以只研究和闡發(fā)其中的一章或幾章，形成一本新的著作。前面討論的信都芳“注重差、勾股”，不管是將對“重差”和“勾股”的研究合為一書，還是分別成書，都不意味著不能有十卷或九卷本的《九章算術(shù)》劉徽注本的存在。

5 結(jié)語

作為中國古代數(shù)學(xué)中一個重要的知識門類，重差由劉徽發(fā)展到很高的程度，盡管現(xiàn)存僅9個算題，但已經(jīng)展現(xiàn)出在現(xiàn)實(shí)問題的激發(fā)下，劉徽在測量方法上的設(shè)計(jì)巧思和他所具有的高超數(shù)學(xué)能力，這也反映了中國古代幾何學(xué)的鮮明特色與獨(dú)特貢獻(xiàn)。大概正是由于重差的特殊性和劉徽《重差》內(nèi)容的豐富性，《重差》頗受后世學(xué)者青睞，被認(rèn)為有獨(dú)立出來的必要，《重差》從《九章算術(shù)》分離就成為自然之事。

主流觀點(diǎn)主要根據(jù)《隋書·經(jīng)籍志》沒有著錄《重差》和《海島》卻著錄劉徽注本《九章算術(shù)》有10卷，斷言《重差》只有到唐代才開始從《九章算術(shù)注》中分出，失之太晚。郭書春主要根據(jù)《宋史·藝文志》著錄有甄鸞《海島算經(jīng)》注而斷言至晚在甄鸞時代《重差》已經(jīng)分出，其結(jié)論不錯，但證據(jù)不充分。筆者發(fā)現(xiàn)，李儼雖未對《重差》分出的時代表態(tài)，但他在20世紀(jì)上半葉的工作，已為這一問題的解決提供了基礎(chǔ)，卻不幸被后人忽視。李儼根據(jù)信都芳的傳記資料，說明他注釋過了重差與勾股，為嚴(yán)敦杰所贊同。這有兩方面的意義，一是提供了基本的史料依據(jù)，二是反映了他一貫的以史料為中心的編史觀。在李儼的基礎(chǔ)上，筆者經(jīng)過細(xì)密的分析確證，信都芳在公元540年左右注釋過《重差》，說明至晚在此時有從《九章算術(shù)》分離出來的《重差》版本（可能單行，亦可能與《勾股》合在一起）。至于李儼、嚴(yán)敦杰主張祖沖之已有脫離《九章算術(shù)》的《重差注》，則不能確認(rèn)，但也不排除這樣的可能性：祖沖之有《重差》的注釋本，并為祖暅之所學(xué)習(xí)，從而進(jìn)一步影響到信都芳的注釋本。《重差》獲得《海島》（或《海島算經(jīng)》《海島算術(shù)》）之名不晚于初唐，并可能早于李淳風(fēng)注釋十部算經(jīng)之時，唐代數(shù)學(xué)教育和科舉制度，對《重差》脫離《九章算術(shù)》并以《海島算經(jīng)》之名行世成為常態(tài)，有著重要的作用。

筆者的分析還表明，脫離《九章算術(shù)》的《重差》版本與包含它的《九章算術(shù)》十卷本，曾在初唐及以前并行不悖。這也告誡我們，對文獻(xiàn)在流傳過程中的分離與合并，不能拘泥于非此即彼的觀念，必須充分考慮其復(fù)雜性；在論證過程中，要充分評估史料效力的大小，通過審慎的推演得出結(jié)論。