□ 郜舒竹 羅玉曉

長期以來，小學數(shù)學有關(guān)“面積”的課程設計與教學，重視公式的推導、記憶和應用，相對忽視對圖形之間的關(guān)系、公式的意義以及公式與公式之間關(guān)系的認知，導致記憶和計算成為數(shù)學學習的主要活動。因此學生會形成“離開公式看不出、沒有數(shù)據(jù)算不出”的公式固著思維，缺失了多元的眼光、靈活的思維和豐富的表達。

事實上，任何公式都是規(guī)律或關(guān)系的表征形式，小學階段中和面積測量與計算過程相關(guān)的認知活動不僅是套用公式的計算，更應重視對圖形及其關(guān)系的觀察和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，比如“從一看幾”的迭代過程、“從異看同”的比較過程、“從給定看確定”的推理過程以及“從變化看規(guī)律”的發(fā)現(xiàn)過程。凡此都應當成為教科書編修以及教學設計中需要重視的課程內(nèi)容。

一、從一看幾

小學數(shù)學課程“圖形與幾何”領(lǐng)域中的“量（音：liàng，下同）”主要指長度、面積和體積（容積），這樣的量具有“連續(xù)（Continuous）”和“廣延（Extension）”的屬性。連續(xù)是相對于“離散（Discrete）”而言的，離散的對象是“個體（Individual）”，沒有共同邊界，容易區(qū)分彼此，每一個個體可以自然地成為計數(shù)單位，因此是可以“數(shù)（音：shǔ）”的。而連續(xù)是“實體（Entity）”的屬性，相鄰部分具有共同邊界，難以區(qū)分整體中的不同部分，更難以確定計數(shù)單位，因此不易像離散量那樣計數(shù)。

廣延是相對于“強度（Intension）”而言的，廣延和強度都是實體具有的屬性。比如，兩杯熱水倒在同一容器中，水的總?cè)萘砍蔀樵瓉韮杀萘康暮停哂锌臻g意義的“可加性”與“可分性”，屬于廣延量；水的溫度則不同，合并后的水溫不可能是原來水溫的和，不具備廣延量的可加性，只有強弱程度的差異。因此把類似于溫度這樣的量叫“強度量（Intensive Quantity）”，以區(qū)別于容量這樣的“廣延量（Extensive Quantity）”［1］。

廣延性使得同樣的量出現(xiàn)差異，因而產(chǎn)生比較與測量的需求；連續(xù)性導致離散量中計數(shù)的經(jīng)驗難以實施，導致測量的困難。按照德國哲學家、數(shù)學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）的說法：“（廣延）量是某實體整體和部分共有的一種性質(zhì)……測量是與單位的比較過程?！保?］英國哲學家、數(shù)學家羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）對于量的認識與萊布尼茲有所不同，認為不應把量視為客觀對象固有的內(nèi)在性質(zhì)，而是與人的認知相關(guān)聯(lián)的：“量是人通過比較對關(guān)系的把握……孤立地看一個量，我們無法發(fā)現(xiàn)量的任何性質(zhì)?！保?］按照羅素的觀點，對量及其性質(zhì)的認識是人在比較的活動中發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)的，這與奧地利-捷克物理學家、心理學家和哲學家馬赫（Ernst Mach，1838—1916）的觀點一致：測量是對兩個同類量相等與不等關(guān)系的比較［4］。

比較的過程，自然產(chǎn)生并形成“等于、大于、小于”的順序關(guān)系。為了使順序關(guān)系更加清晰，就需要明晰“是多少、多多少、少多少”這樣的問題，因此產(chǎn)生了對量的差異進行描述的需要，也就是對“量”賦予“數(shù)”的名稱并建立順序。實現(xiàn)這一過程的前提是將量與數(shù)建立對應關(guān)系［5］，簡單說就是“知一”和“求幾”。“知一”指的是確定單位，“求幾”就是在“知一”的基礎(chǔ)上，給相應的量賦予數(shù)的名稱“幾”。有了“幾”這樣的名稱，同類量之間就具有了結(jié)構(gòu)性的關(guān)系，具體表現(xiàn)為“一”和“幾”的關(guān)系。因此面積測量過程需要經(jīng)歷的活動為：選擇并確定面積單位以及與面積單位的比較，也就是“知一求幾”或“從一看幾”。這樣的過程與線段長度的線性測量差異巨大，具有反直覺特征，蘊含著豐富的思維活動。面積測量過程不僅是承上啟下的知識習得過程，同時是經(jīng)歷概念轉(zhuǎn)變的思維發(fā)展過程。因此“從一看幾”是面積測量過程中不可或缺的認知活動［6］。

二、從異看同

二維平面圖形與一維直線的一個區(qū)別是存在“形異量等”的情況，即兩個形狀不同的圖形可能面積相等。嚴格講這樣形異量等的兩個圖形并不是完全“相等（Equality）”的關(guān)系，正如“2+3”與“1+4”并不相同，而是諸多不同中某一屬性具有共性，數(shù)學中通常用“等價（Equivalence）”表達這種異中之同的關(guān)系。對于兩個分數(shù)，二者的讀法、寫法和意義均不相同，僅在所表達量的結(jié)果方面具有共性，因此二者的關(guān)系是等價關(guān)系。

“等價”表達的是兩個不同對象之間的關(guān)系。人們?yōu)榱四撤N目的或需求，忽略二者的相異之處，僅關(guān)注其異中之同，如果這樣的共同點存在，就將不同對象視為在這一相同點上具有等價關(guān)系［7］。“2+3”與“1+4”等價，源于二者運算結(jié)果相同等價，基于所表達量相同。又如兩條直線相互平行，這時二者的空間位置不同，它們是兩條不同的直線，但如果想象某物沿著這兩條直線運動，會發(fā)現(xiàn)運動方向一致（如圖1）。因此“平行”作為兩條直線的關(guān)系，可以看作方向意義上的等價關(guān)系。概括地說，所謂等價實質(zhì)是“從異看同”的眼光。

圖1 平行與等價示意圖

凡平面圖形都具有“形”與“量（面積）”的雙重屬性，根據(jù)二者的異同，可以將兩個平面圖形之間的關(guān)系概括為四種類型：形同量等、形同量異、形異量等和形異量異。其中的“形同量等”指的是形狀與大小完全一樣的“全等”關(guān)系；“形同量異”關(guān)注的是形狀相同的“相似”關(guān)系，全等可以看作是相似關(guān)系的特例；“形異量等”既不同于全等關(guān)系，也不同于相似關(guān)系，指形狀不同但面積相等。

圖2中大長方形由“甲、乙、丙、丁”四個長方形組成，其中長方形丙的對角線分出的兩個三角形“Ⅰ”和“Ⅱ”是全等關(guān)系；同樣，長方形丁的對角線分出的兩個三角形“Ⅲ”和“Ⅳ”也是全等關(guān)系。三角形“Ⅰ”和“Ⅱ”之一，與“Ⅲ”和“Ⅳ”之一是相似關(guān)系。而長方形甲和乙形狀不同，但面積相等，因此甲和乙既不是全等關(guān)系，也不是相似關(guān)系，屬于形異量等的等價關(guān)系。數(shù)學中的等價關(guān)系一般要求符合以下三個條件。

圖2 圖形等價關(guān)系示意圖

●自身性：自己與自己等價。

●對稱性：如果A與B等價，那么B與A等價。

●傳遞性：如果A與B等價，并且B與C等價，那么A與C等價。

平面圖形的全等關(guān)系、相似關(guān)系以及形異量等的關(guān)系，均符合這三個條件，因此這三種關(guān)系都可以視為等價關(guān)系，區(qū)別在于，“從異看同”的著眼點和其他兩者不同。相似（包括全等）關(guān)系是將形狀這一“質(zhì)”的因素作為關(guān)注點，形異量等的等價關(guān)系則忽略形狀，僅關(guān)注“量（面積）”的屬性。

諸如此類的等價關(guān)系都會在圖形比較過程中出現(xiàn)。引導學生用“從異看同”的眼光觀察、思考、表達這樣的關(guān)系，就成為面積測量過程中必要的認知活動，以使學生在“從異看同”的過程中體會同中求異和異中求同的方法論。

三、從給定看確定

沿襲演繹推理的傳統(tǒng)，數(shù)學課程內(nèi)容中習慣采用“從給定到確定”的推理形式。“給定”與“確定”對應的英文均為“Given”，在推理中使用這一術(shù)語時，默認的意義是表達某對象“存在（Existence）”并且“唯一（Uniqueness）”［8］。比如：如果平面上給定兩個不同位置的點，那么這兩點之間存在唯一的直線；如果給定三角形三條邊的長度，那么這個三角形的形狀和大小隨之確定，這樣的性質(zhì)也叫三角形的穩(wěn)定性；如果給定一個正方形的周長，那么這個正方形的面積隨之確定。但長方形的周長與面積就不具備這樣的關(guān)系，給定長方形的周長，其面積存在，但未必唯一。如圖3中兩個長方形的周長均為14cm，二者面積則不等。

圖3 周長相等，面積不等示意圖

作為條件的“給定”實質(zhì)是假定，未必是真實的，是設想了一個推理的前提，目的是實施從給定到確定的推理。因此，從給定到確定建立了一種從原因到結(jié)果的因果關(guān)系，數(shù)學中的命題或公式是這種因果關(guān)系的表征形式。對長方形來說，如果僅給定長或?qū)捴?，無法使得面積確定，需要同時給定長和寬的長度，此時才可以感覺到這個長方形的形狀和大小存在并且唯一，也就是長方形的面積是因長和寬同時給定而確定的，這樣“雙因一果”的關(guān)系可以用以下語言表述。

關(guān)系1：如果長方形的長和寬同時給定，那么這個長方形及其面積隨之確定。

這樣的關(guān)系顯示出“長方形的面積=長×寬”實質(zhì)是人為建構(gòu)的，即用長方形的長和寬人為規(guī)定出長方形的面積，規(guī)定的依據(jù)正是從給定到確定的因果推理。數(shù)學與科學中許多概念都具有這種從給定到確定的人為規(guī)定特征。比如勻速運動，如果同時給定時間和路程，那么運動的快慢就隨之確定，因此就用路程與時間這兩個異類量之比，人為建構(gòu)出“速度”這一概念，將運動快慢這一質(zhì)的屬性量化，成為溝通路程與時間兩個廣延量關(guān)系的強度量。

長方形的關(guān)系1可以利用“尺規(guī)作圖”過程直觀地感受。給定兩條相互垂直的線段，這里的給定意味著兩條線段的相對位置、夾角以及長度唯一確定。

圖4中實際已經(jīng)給定了長方形的三個頂點A、B、C，如果第四個頂點存在并且唯一，那么長方形及其面積就隨之確定。用圓規(guī)和直尺作出第四個頂點的過程，可以顯示出第四個頂點的確定性。具體做法如下。

圖4 給定長和寬示意圖

第（1）步：用圓規(guī)截取線段AB的長度為半徑，以點C為圓心作圓，此時圓上每一個點到點C的距離都等于線段AB的長度，因此第四個頂點的位置應當在這個圓周上。（如圖5）

圖5 尺規(guī)做圖（1）

第（2）步：用圓規(guī)截取線段BC的長度為半徑，以點A為圓心作圓，這個圓上每個點到點A的距離都等于線段BC的長度。第四個頂點應當同時位于兩個圓上，因此兩個圓所形成的交點D就成為長方形的第四個頂點。用直尺分別連接AD與CD，構(gòu)造出唯一確定的長方形ABCD。（如圖6）

圖6 尺規(guī)做圖（2）

綜上，“長方形的面積=長×寬”這一公式的意義并不限于計算，實質(zhì)反映的是長方形邊的長度與面積從給定到確定的因果關(guān)系。值得注意的是，這一關(guān)系具有單向的特點，即“如果給定長和寬，那么長方形及其面積隨之確定”。但反過來的關(guān)系并不成立，如果給定長方形的面積，那么這個長方形的長和寬并不能唯一確定。這一點與正方形不同，如果給定一個正方形的面積，那么這個正方形的邊長就隨之確定。

“從給定看確定”是數(shù)學中廣泛使用的推理形式，自然應當成為在數(shù)學學習過程中逐步形成并提高的能力，需要在教科書編修以及教學中有所體現(xiàn)。特別是要將尺規(guī)作圖融入到這樣的認知過程中，讓學生有機會在尺規(guī)作圖的具身活動中體會這樣的推理形式，讓尺規(guī)成為認知的工具，讓作圖成為認知的具身活動。

四、從變化看規(guī)律

這里的“規(guī)律（Pattern）”指的是運動與變化過程中相對穩(wěn)定的關(guān)系［9］。用動態(tài)的眼光看，長方形面積與長和寬表現(xiàn)為相互關(guān)聯(lián)的協(xié)變關(guān)系［10］。舉例來說，如果將一張長方形紙沿著長所在邊對折，實際上寬不變，長縮短為原來的二分之一，這時長方形面積同時也縮小為原來的二分之一。（如圖7）

圖7 折紙示意圖（1）

如果繼續(xù)沿著寬對折，得到的小長方形面積就成為二分之一的二分之一，即四分之一。（如圖8）

圖8 折紙示意圖（2）

同樣如果長方形的長擴大為原來的2倍，寬不變，那么長方形面積也隨之擴大為2倍；如果長和寬同時擴大為原來的2倍，那么面積則擴大為原來的4倍。因此可以知道，長方形的面積與長（或?qū)挘┚哂蟹€(wěn)定的正比例關(guān)系，表述如下。

關(guān)系2：長方形面積與長（或?qū)挘┑拈L度成正比例。

這樣的正比例關(guān)系在人們的日常經(jīng)驗中普遍存在。比如，如果把墩布擦地板的過程看作平移運動，把擦過的地面（長方形）的面積視為結(jié)果，這個結(jié)果由墩布的寬度和平移運動的距離兩個因素決定。

如果給定墩布寬度，那么擦過地面的面積與平移運動的距離成正比例。同樣，如果給定運動距離，那么擦過地面的面積與墩布寬度成正比例。

像這樣用擦地的過程認識面積的方法,是將“面”視為“線”運動過程中所產(chǎn)生的軌跡，是用動態(tài)的眼光看待圖形，這樣的方法通常用于連續(xù)量的認識與測量，叫作面積的“動態(tài)度量（Dynamic Measurement，簡寫為DYME）”［11］。相對于靜態(tài)的眼光，動態(tài)度量不是將平面區(qū)域看作面積單位填充的“容器（Container）”，而是運動“路徑（Path）”中軌跡的生成或積累［12］。動態(tài)度量的眼光對于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明意義重大，偉大的科學家、數(shù)學家牛頓（Isaac Newton，1643—1727）發(fā)明的“流數(shù)法”是微積分誕生的一個標志。論及流數(shù)法的基本原理，牛頓在其名著《流數(shù)法與無窮級數(shù)》的前言中說：“可以把數(shù)學中的量看作是連續(xù)運動產(chǎn)生出來的?！保?3］可以說，牛頓發(fā)明的微積分實際是以動態(tài)度量為思想基礎(chǔ)的［14］。

動態(tài)的眼光使得長方形面積與長和寬的因果關(guān)系，與行程問題中路程、時間和速度之間的關(guān)系具有了思想的一致性。14世紀法國哲學家、科學家尼克爾·奧里斯姆（Nicole Oresme，約1320—1382），在研究如何將運動的快慢進行量化的時候，就是用長方形作為模型表達勻速運動各個量之間的關(guān)系［15］［16］?！伴L方形的面積=長×寬”與“路程=速度×時間”思想的一致性，可以進一步拓展到諸如工程問題、購物問題、利率問題、濃度問題等問題中（如表1）。

表1 數(shù)量關(guān)系一覽表

其中的因數(shù)a與因數(shù)b以及乘積c，都體現(xiàn)出長方形中長、寬與面積雙因一果的關(guān)系，即“c=a×b”表達的是以a與b作為原因產(chǎn)生結(jié)果c的過程，遵循的規(guī)律是：

●給定a與b，則c隨之確定。

●給定a，則b與c成正比例。

●給定b，則a與c成正比例。

法國著名的數(shù)學教育家杰勒德·懷爾格（Gerard Vergnaud，1933—2021），把諸如此類乘法運算所表達關(guān)系在思維中的表現(xiàn)，稱作“乘法概念域（Multiplicative Conceptual Field，簡寫為MCF）”［17］。綜上可知，乘法概念域中的思維過程至少應當包括“從給定到確定”以及“從變化看規(guī)律”的推理過程。

總之，小學數(shù)學課程中面積測量與計算的內(nèi)容具有豐富的育人功能。因此，本文從認知過程中提取出“從一看幾、從異看同、從給定看確定、從變化看規(guī)律”的認知活動。這些活動著眼于量以及量之間關(guān)系，弱化套用公式的數(shù)與計算，將數(shù)字符號及其關(guān)系降為次要地位。美國的帕特里克·湯普森把這樣的認知活動稱為“量推理（Quantitative Reasoning）”［18］。像這樣針對量以及量之間關(guān)系的量推理，是學生在數(shù)學學習中需要逐步提升的認知能力，也是今后數(shù)學學習的基礎(chǔ)，因此應當成為教科書以及教學設計需要重視的課程內(nèi)容。