黃志國，王博娟，陳孝偉

（1.浙江大學(xué) 科學(xué)技術(shù)研究院，浙江 杭州 310058；2.恒生研究院，浙江 杭州 310053；3.南開大學(xué) 金融學(xué)院，天津 300350）

一、引言

長期穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)增長的核心是全要素生產(chǎn)率的提高，而全要素生產(chǎn)率提高的關(guān)鍵因素是技術(shù)進(jìn)步和人力資本增長。技術(shù)進(jìn)步的關(guān)鍵因素是技術(shù)投入，人力資本增長的關(guān)鍵因素是教育投入，而教育投入的核心內(nèi)容則是公共教育投入，因此技術(shù)投入和公共教育投入決定了一個經(jīng)濟(jì)體的長期經(jīng)濟(jì)增長趨勢。一個經(jīng)濟(jì)體的技術(shù)投入和公共教育投入取決于多種因素，但是對于少子化進(jìn)程問題，學(xué)術(shù)界較少關(guān)注。

從生育率的客觀趨勢來看，我國的人口出生率與總和生育率呈不斷下降的態(tài)勢。自20 世紀(jì)90 年代以后，我國的總和生育率就開始進(jìn)入下降通道，第七次人口普查顯示，2020 年總和生育率已降低至1.3。雖然自2014 年以來，我國不斷放開生育限制，但效果有限，2021 的人口出生率更是下降至7.52‰，創(chuàng)1949 年以來的歷史新低。從居民的主觀生育意愿來看，我國育齡婦女的生育意愿不斷下降。從影響生育意愿的經(jīng)濟(jì)條件來看，我國居民的生育成本可能過高，短期內(nèi)難以有效降低。根據(jù)《中國生育成本報告2022》的統(tǒng)計，中國居民把一個孩子撫養(yǎng)到年滿18 歲所花的成本為人均GDP的6.9 倍，而美國是4.11 倍，日本是4.26 倍。從影響生育率的人口因素來看，我國初婚登記人口數(shù)不斷下降，而初婚登記人口數(shù)與生育率密切相關(guān)。從客觀趨勢、主觀意愿、撫育成本、人口條件來看，我國生育率的下降趨勢可能難以逆轉(zhuǎn)。因此，如何在給定的生育率水平下合理安排技術(shù)投資和公共教育投入以實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)持續(xù)穩(wěn)定增長才是政府更應(yīng)當(dāng)考慮的問題，而這個問題從因果邏輯的角度可表述為：生育率如何影響均衡的技術(shù)投資和公共教育投入？

從理論上，生育率對技術(shù)投資和公共教育投入存在重要的影響。從政府的中央計劃者角色來看，當(dāng)少子化進(jìn)程加速、生育率降低時，下期的勞動力數(shù)量就會減少，如果不采取措施，下期產(chǎn)出將會下降，從而經(jīng)濟(jì)增長放緩。因此為維持經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)增長，政府應(yīng)該改革經(jīng)濟(jì)增長模式。從長期經(jīng)濟(jì)增長的角度，最有效的方式是提高全要素生產(chǎn)率，而全要素生產(chǎn)率的核心在于提高勞動者素質(zhì)和加快技術(shù)進(jìn)步。因此政府應(yīng)當(dāng)增加公共教育投入來提高子代的人力資本水平，并且增加技術(shù)投資來提高技術(shù)進(jìn)步率。但在一定的預(yù)算約束下，究竟是增加技術(shù)投資還是公共教育投入抑或兼而有之，則值得商榷。這個問題從理論角度可表述為：在一個一般均衡經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，生育率如何影響技術(shù)投資和教育投入？學(xué)術(shù)界直接研究生育率對技術(shù)投資影響的文獻(xiàn)十分有限，但在一定程度上，生育率對技術(shù)投資影響問題可轉(zhuǎn)化為勞動力與技術(shù)進(jìn)步的相關(guān)性問題，Susskind（2017）、Acemoglu 和Restrepo（2020）、Chiacchio等（2018）研究發(fā)現(xiàn)隨著技術(shù)投資的增加和技術(shù)進(jìn)步的加快，技術(shù)投資可以替代勞動力。學(xué)術(shù)界研究生育率對公共教育投入影響的文獻(xiàn)亦十分有限，但在一定程度上，生育率對公共教育投入影響問題可表述為生育率與教育投入的相關(guān)性問題，部分文獻(xiàn)對此進(jìn)行了研究：Becker 和Lewis（1973）認(rèn)為生育率與教育投入的相關(guān)性取決于二者的收入彈性。Barro 和Becker（1989）分析了生育率與教育投入的替代條件。陳昆亭（2008）認(rèn)為生育率的增加對長期人力資本的累積具有正向影響，即生育率與教育投入正相關(guān)。劉小鴿和司海平（2017）認(rèn)為家庭子代的規(guī)模減小會使子代獲得的教育投入增加，即生育率與教育投入負(fù)相關(guān)。Fan 和Zhang（2013）、賈俊雪等（2021）認(rèn)為，生育率與子女教育投入的關(guān)系取決于父母的人力資本水平。Strulik 等（2013），Galor 和Weil（2000）在統(tǒng)一的框架內(nèi)研究生育率與技術(shù)投資和教育投入的關(guān)系?？傮w上，現(xiàn)有文獻(xiàn)在研究生育率與技術(shù)投資、公共教育投入的關(guān)系方面存在如下不足：第一，研究生育率對技術(shù)投資影響的文獻(xiàn)十分有限；第二，在有限的研究生育率與教育投入關(guān)系的文獻(xiàn)中，極少有文獻(xiàn)區(qū)分私人撫育成本與公共教育投入；第三，極少有文獻(xiàn)在統(tǒng)一的框架下，以生育率為自變量同時研究其對技術(shù)投資和公共教育投入的影響；第四，技術(shù)投資與公共教育投入來源于稅收，但討論少子化如何影響技術(shù)投資與公共教育投入稅率調(diào)整的文獻(xiàn)非常有限。可以預(yù)期，在不同的社會生產(chǎn)條件下，生育率對均衡技術(shù)投資和公共教育投入的影響并不相同，從而應(yīng)當(dāng)增加技術(shù)投資還是公共教育投入的均衡結(jié)果也不一樣。在我國當(dāng)前的社會生產(chǎn)條件與少子化背景下，生育率水平如何影響均衡技術(shù)投資和公共教育投入值得更深入地研究。

基于對技術(shù)投資和公共教育投入的影響，生育率對內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長具有重要影響。在一個一般均衡的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，生育率對技術(shù)投資和公共教育投入具有重要影響，從而對技術(shù)進(jìn)步和人力資本累積具有重要影響，這種影響會傳導(dǎo)至工資水平、總資本收益率，并最終影響總產(chǎn)出、勞均產(chǎn)出和人均產(chǎn)出。生育率對內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長也具有重要影響。不同的工資水平、總資本收益率、總產(chǎn)出、勞均產(chǎn)出、人均產(chǎn)出組合代表了不同的內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長模式，如何基于給定的生育率水平，分析不同社會生產(chǎn)條件下內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長的模式具有重要意義。此外，基于對技術(shù)投資和公共教育投入的影響，生育率對居民福利也具有重要影響。在代際交疊的視角下，代表性消費者的福利水平由年輕時期的消費、老年時期的消費和子代的人力資本構(gòu)成，生育率直接影響著人力資本累積，年輕時期和老年時期的消費受到內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長模式的影響，而內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長模式受到生育率的影響，因此生育率對居民福利具有重要影響。學(xué)術(shù)界研究少子化或生育率對居民福利水平影響的文獻(xiàn)較少，研究生育率對長期經(jīng)濟(jì)增長影響的文獻(xiàn)比較豐富，但以研究生育率對經(jīng)濟(jì)增長的直接影響為主，并且分歧較大，就結(jié)論而言大致可分為三種：少子化促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長，少子化阻礙經(jīng)濟(jì)增長和少子化對經(jīng)濟(jì)增長的影響取決于當(dāng)期的時代條件。Li 和Zhang（2007）、汪偉（2010）認(rèn)為生育率下降能夠促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長。Liao（2013）認(rèn)為少子化可以促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長。而郭凱明等（2013）、汪偉（2017）認(rèn)為少子化對經(jīng)濟(jì)增長的影響取決于時代條件。Becker 等（1999）、劉永平和陸銘（2008）以教育投入和技術(shù)進(jìn)步為中介變量討論了生育率對經(jīng)濟(jì)的影響?？傮w上，現(xiàn)有文獻(xiàn)在研究生育率與社會生產(chǎn)及居民福利的關(guān)系方面存在如下不足：第一，在研究生育率對經(jīng)濟(jì)增長影響的諸多文獻(xiàn)中，以技術(shù)投資和公共教育投入為中介變量的文獻(xiàn)比較有限；第二，研究少子化對居民福利影響的文獻(xiàn)十分有限。我國的少子化進(jìn)程不斷加速，這對我國的可持續(xù)發(fā)展提出了挑戰(zhàn)。在這樣的時代條件下，討論少子化進(jìn)程對技術(shù)投入和公共教育投入的影響，進(jìn)而分析少子化對長期經(jīng)濟(jì)增長和居民福利的影響具有重要的現(xiàn)實意義。

本文的主要結(jié)論為：少子化進(jìn)程的加速會推動技術(shù)投資的提高，其影響的大小取決于撫育成本占總財富的比例，如果該比例高于50%，技術(shù)投資對生育率變化表現(xiàn)為富有彈性，否則表現(xiàn)為缺乏彈性。少子化進(jìn)程的加速也會推動公共教育投入的提高，而公共教育投入對生育率變化始終表現(xiàn)為富有彈性。少子化能否通過推動技術(shù)投資和公共教育投入的提高而推動經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長取決于撫育成本占總財富的比例、經(jīng)濟(jì)狀況和生產(chǎn)方式。在當(dāng)前我國的生產(chǎn)模式下，若撫育成本占總財富的比例低于45%，則可以推動經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長，反之會減緩經(jīng)濟(jì)增長；若該比例低于20.53%，則可以提高居民福利水平，反之可能降低居民福利水平。在當(dāng)前的生育率水平下，可能不存在能夠同時實現(xiàn)居民福利持續(xù)上升以及經(jīng)濟(jì)可持續(xù)增長的生育率區(qū)間，生育率的輕微上升可以促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長和人均產(chǎn)出的提高，但會降低代表性消費者的終生效用水平。因此，在當(dāng)前的生產(chǎn)模式下，政府應(yīng)采取可控的生育刺激政策以輕微地提高生育率，并持續(xù)優(yōu)化養(yǎng)老保障體系以增加代際間的聯(lián)系，同時優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)變教育模式、優(yōu)化R&D研發(fā)模式以逐漸轉(zhuǎn)變社會生產(chǎn)模式。

本文的貢獻(xiàn)可歸納如下：第一，通過建立統(tǒng)一的模型，分析了生育率對技術(shù)投資與公共教育投入的影響以及少子化促進(jìn)技術(shù)投資與公共教育投入增長的條件；第二，研究了政府作為技術(shù)基礎(chǔ)設(shè)施投資人角色下，針對少子化問題進(jìn)行稅率調(diào)整的條件；第三，以技術(shù)投資與公共教育投入為中介，分析了生育率對內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長各因素的影響以及少子化促進(jìn)工資、總資本收益率、產(chǎn)出持續(xù)增長的條件；第四，以技術(shù)投資與公共教育投入為中介，分析了生育率對居民福利的影響以及少子化促進(jìn)居民福利上升的條件。本文為研究在新時代人口結(jié)構(gòu)狀態(tài)下，少子化進(jìn)程對技術(shù)投資和公共教育投入的影響路徑提供了理論依據(jù)，為調(diào)節(jié)技術(shù)投資和公共教育投入的中介效應(yīng)及制定合理生育率目標(biāo)提供了模型支撐。

本文余下的文章結(jié)構(gòu)安排如下：第二節(jié)為模型構(gòu)建，構(gòu)建一個包含內(nèi)生教育投入和技術(shù)投資的一般OLG模型；第三節(jié)為均衡決策分析，對模型進(jìn)行求解與均衡解的分析；第四節(jié)為數(shù)值模擬，對相關(guān)結(jié)論進(jìn)行檢驗與進(jìn)一步分析；最后給出結(jié)論與對應(yīng)政策建議。

二、模型構(gòu)建

（一）基本假設(shè)

代表性消費者的一生分為三期，即少年期、中年期和老年期，在少年期接受撫育和教育，中年期工作，老年期退休。代表性消費者在少年期通過接受撫育和教育累積人力資本，人力資本累積在中年期可提高其勞動效率進(jìn)而提高全社會的勞動生產(chǎn)率。代表性消費者在中年期無彈性地提供一單位勞動，勞動分為技術(shù)生產(chǎn)性勞動和物質(zhì)生產(chǎn)性勞動兩種。代表性消費者在少年期和中年期不會死亡，在老年期面臨死亡風(fēng)險，其沒有留存遺產(chǎn)的動機(jī)，但會因死亡風(fēng)險而被動留存遺產(chǎn)。代表性消費者是代際利他主義者，關(guān)心子代的質(zhì)量即人力資本，人力資本由撫育成本和公共教育投入共同決定，其中撫育成本和子代的數(shù)量均外生決定。代表性消費者父代的數(shù)量記為nt?1，子代的數(shù)量記為nt+1，將代表性消費者的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)化為1。社會中存在技術(shù)生產(chǎn)部門和物質(zhì)生產(chǎn)部門，技術(shù)生產(chǎn)部門利用技術(shù)投資和勞動人口中的研究與試驗發(fā)展人員提供的勞動力推動技術(shù)進(jìn)步，物質(zhì)生產(chǎn)部門需利用技術(shù)進(jìn)步、儲蓄轉(zhuǎn)化的資本和勞動人口中的非研究與試驗發(fā)展人員提供的勞動力進(jìn)行實際產(chǎn)品與服務(wù)的生產(chǎn)。政府向居民征稅以用于技術(shù)投資和公共教育投入，稅率由政府基于代表性消費者效用最大化原則確定，征得稅收完全用于技術(shù)投資和公共教育投入。

（二）代表性消費者

1.效用函數(shù)

代表性消費者終身效用由中年期的消費、老年期的消費、子代的人力資本三部分構(gòu)成，代表性消費者的終身效用函數(shù)為：

其中，cy,t為代表性消費者中年期的消費，β為時間偏好因子，衡量代表性消費者對未來消費的主觀折舊，pt+1為 老年期的預(yù)期生存概率，co,t+1為老年期的消費，υ 為子代質(zhì)量偏好參數(shù)，ht+1為子代的人力資本。

2.少年期

在少年期，代表性消費者接受撫育與教育，從而實現(xiàn)人力資本的累積。代表性消費者在少年期的人力資本累積函數(shù)為：

其中，ht?1為 代表性消費者父代的人力資本，衡量了人力資本累積中的遺傳作用。et?1為t?1 期對每個子代的公共教育投入，λ為公共教育投入的人力資本累積彈性，衡量了人力資本中公共教育的作用。bt?1為t?1 期的撫育成本，1 ?λ衡量了人力資本累積中私人教育投入的作用。

3.中年期

在中年期，代表性消費者開始工作，獲得工資收入，同時會得到因父母死亡而遺留的遺產(chǎn)，工資與分得遺產(chǎn)之和構(gòu)成代表性消費者的總財富。代表性消費者以工資收入繳納技術(shù)投資與公共教育投入稅，同時對每個子代投入固定的撫育成本，余下的用于儲蓄和消費。代表性消費者在中年期的預(yù)算約束可表示為：

其中，wt為t時期的工資水平，σt為政府征收的用于技術(shù)投資和公共教育投入的稅率，①在現(xiàn)實中，政府并非直接征收基礎(chǔ)技術(shù)投資和公共教育稅，而是把征收的稅收用于技術(shù)投資和教育支出，但對于代表性消費者，這相當(dāng)于對個人征稅。lt為代表性消費者獲得的遺產(chǎn)，st為儲蓄，bt為撫育成本，nt+1為代表性消費者的子代數(shù)量。其中，代表性消費者所獲得的被動遺產(chǎn)可表示為：

其中，rt為t時期的總資本收益率。類似式（2），代表性消費者子代的人力資本累積函數(shù)為：

4.老年期

在老年期，代表性消費者不再工作，同時開始面臨死亡風(fēng)險。其消費由儲蓄的總資本回報構(gòu)成，代表性消費者老年期的預(yù)算約束為：

其中，rt+1為t+1 期的總資本收益率。

（三）技術(shù)生產(chǎn)部門

社會中存在技術(shù)生產(chǎn)部門，技術(shù)生產(chǎn)部門利用先期的技術(shù)積累、勞動人口中的研究和試驗發(fā)展人員提供的勞動以及技術(shù)投資作為生產(chǎn)要素來推動技術(shù)進(jìn)步，技術(shù)進(jìn)步方程即技術(shù)生產(chǎn)方程，可表示為：

其中，At為t時期的技術(shù)進(jìn)步，φ 為勞動人口中研究和試驗發(fā)展人員的比例，γ為技術(shù)投資的技術(shù)進(jìn)步彈性，dt為技術(shù)投資。

（四）物質(zhì)生產(chǎn)部門

社會中存在物質(zhì)生產(chǎn)部門，物質(zhì)生產(chǎn)部門利用技術(shù)進(jìn)步、資本和勞動作為要素進(jìn)行產(chǎn)品和服務(wù)的生產(chǎn)，其中技術(shù)進(jìn)步由技術(shù)生產(chǎn)部門提供，資本由儲蓄轉(zhuǎn)化，勞動由人口中的非研究和試驗發(fā)展人員提供，物質(zhì)生產(chǎn)函數(shù)可表示為：

聯(lián)立式（5）、（7）、（8）可得t+1 期的社會總產(chǎn)出為：

基于式（10）可求得t+1 期的工資水平為：

基于式（10）可求得t+1 期的總資本收益為：

（五）政府

政府為中央計劃者，其目標(biāo)是最大化代表性消費者的終生效用，角色為稅收管理人、基礎(chǔ)技術(shù)投資人和公共教育投資人，職責(zé)是向處于中年期的代表性消費者征稅并將之用于當(dāng)期的技術(shù)投資和教育投入，因此政府的預(yù)算約束為：

三、均衡決策分析

基于代表性消費者最大化原則，聯(lián)立式（3）、（5）、（6）、（10）、（11）可求得政府的均衡技術(shù)投資和公共教育投入分別為：

（一）少子化對技術(shù)投資與公共教育投入的影響

基于式（13）可求得均衡技術(shù)投資對生育率的彈性為：

由式（15）可以看出，均衡技術(shù)投資與生育率呈負(fù)相關(guān)，但均衡技術(shù)投資的生育率彈性絕對值大于1 還是小于1 則并不確定，其取決于子代的撫育成本btnt+1占 總財富wt+lt的比例：若則均衡技術(shù)投資的生育率彈性絕對值大于1；若則均衡技術(shù)投資的生育率彈性絕對值小于1。式（15）包含了一種度量技術(shù)投資必要性的指標(biāo)，即撫育成本與總財富比當(dāng)撫育成本與總財富比小于50%時，面對少子化問題，政府沒有進(jìn)行高水平技術(shù)投資的必要性。但當(dāng)撫育成本與總財富比大于50%而小于100%時，面對少子化問題，政府有必要通過高水平的技術(shù)投資以實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的“彎道超車”。

基于式（14）可求得均衡公共教育投入對生育率的彈性為：

由式（16）可以看出，均衡公共教育投入與生育率呈負(fù)相關(guān)，且均衡公共教育投入對生育率的彈性絕對值大于1，是富有彈性的。這表明如果少子化進(jìn)程難以扭轉(zhuǎn)，為實現(xiàn)代表性消費者效用最大化，政府應(yīng)當(dāng)大幅度提高公共教育投入。

聯(lián)立式（12）?（14）可求得政府在t期實行的基礎(chǔ)技術(shù)投資和公共教育稅率水平為：

基于式（17）可求得生育率對均衡稅率的影響為：

式（18）表明，當(dāng)少子化加速時，為實現(xiàn)代表性消費者效用最大化，政府須提高基礎(chǔ)技術(shù)投資和公共教育稅率。注意到式（18）中稅率的提高并不附帶任何條件，只要政府的目標(biāo)是實現(xiàn)代表性消費者效用最大化，當(dāng)少子化進(jìn)程加速時，政府就必須提高稅率。當(dāng)時，稅率對生育率的變化是富有彈性的，反之為缺乏彈性的。

（二）少子化對內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長的影響

政府的目標(biāo)是實現(xiàn)當(dāng)期居民的效用最大化，在給定的生育率水平下，政府通過對技術(shù)投資和公共教育投入的合理安排以實現(xiàn)該目標(biāo)。通過影響技術(shù)投資和公共教育投入的安排，少子化進(jìn)程將影響內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長的各個方面，包括未來的工資水平、總資本收益率、產(chǎn)出、勞均產(chǎn)出和人均產(chǎn)出。

基于代表性消費者效用最大化原則，可求得代表性消費者均衡儲蓄為：

基于式（20）可求得生育率對下期工資的影響為：

因此，t+1 期的工資隨生育率上升而增長的撫育成本與總財富比條件是:

式（22）表明，t+1 期的工資水平能否隨生育率上升而增長取決于撫育成本與總財富比和當(dāng)期社會的生產(chǎn)方式，即取決于勞動產(chǎn)出彈性1 ?α、人力資本對撫育成本的彈性1 ?λ以及技術(shù)進(jìn)步的人力資本彈性1 ?γ 。給定社會的生產(chǎn)方式，如果低于社會生產(chǎn)方式參數(shù)方程(2?α?γ)(1?λ)?1，則生育率上升會帶來t+1 期工資的持續(xù)增長，否則會使t+1 期工資下降。

由式（24）可求得t+1 期總資本收益率對生育率的彈性為：

由式（25）可得到總資本收益率隨生育率上升而增長的撫育成本與總財富比條件為：

由式（26）可以看出，總資本收益率能否隨生育率上升而增長取決于撫育成本與總財富比及當(dāng)期的社會生產(chǎn)方式，如果給定當(dāng)期的社會生產(chǎn)方式，則取決于撫育成本與總財富比是否小于某一特定水平 (2?α?γ)(1?λ) 。如果，則生育率上升會帶來t+1 期總資本收益率的上升，否則會使t+1 期總資本收益率下降。式（26）相比式（22）是一個相對寬松的條件，并不要求社會生產(chǎn)的參數(shù)方程滿足某些條件，這似乎表明少子化進(jìn)程中實現(xiàn)總資本收益率增長比實現(xiàn)工資水平增長相對更容易。

聯(lián)立式（9）、（13）、（14）、（19）可求得t+1 期的對數(shù)總產(chǎn)出為：

基于式（27）可得到產(chǎn)出對生育率的彈性為：

故而總產(chǎn)出隨生育率上升而增長的撫育成本與總財富比條件為：

由式（29）可以看出，下期總產(chǎn)出能否隨生育率上升而增長取決于撫育成本與總財富比及當(dāng)期的社會生產(chǎn)方式，如果給定當(dāng)期的社會生產(chǎn)方式，則取決于撫育成本與總財富比是否低于某一特定水平。如果，則生育率上升促進(jìn)下期產(chǎn)出的提高，否則會導(dǎo)致下期產(chǎn)出下降，從而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)增長停滯。

基于式（27）可求得t+1 期的對數(shù)勞均產(chǎn)出為：

從而勞均產(chǎn)出對生育率的彈性為：

因此，t+1 期的勞均產(chǎn)出隨生育率上升而增長的撫育成本與總財富比條件為:

注意到式（32）、式（33）與式（22）、式（23）的形式完全一致，因此可得到如下結(jié)論：t+1 期的勞均產(chǎn)出能否隨生育率上升而增長取決于撫育成本與總財富比和當(dāng)期社會的生產(chǎn)方式，在給定當(dāng)期的社會生產(chǎn)方式的情況下，如果低于決定社會生產(chǎn)方式的參數(shù)方程(2?α?γ)(1?λ)?1，則少子化進(jìn)程會帶來t+1 期勞均產(chǎn)出的持續(xù)增長，否則會使t+1 勞均產(chǎn)出下降。

基于式（27）可求得t+1 期的對數(shù)人均產(chǎn)出為：

由式（34）可求得t+1 期人均產(chǎn)出對生育率的彈性為：

由式（35）可以得到人均產(chǎn)出隨生育率上升而增長的撫育成本與總財富比條件為：

由式（36）可以看出，t+1 期人均產(chǎn)出對生育率彈性的符號不但取決于撫育成本與總財富比和當(dāng)期社會的生產(chǎn)方式，還取決于代表性消費者在t+1 期的預(yù)期生存概率pt+1，而且會隨著生育率的變化而變化。

（三）少子化對代表性消費者終生效用的影響

通過影響政府的技術(shù)投資和公共教育投入行為，生育率將最終影響代表性消費者的終生效用，這種影響從方向上看并不是確定性的，既可能使代表性消費者的終生效用上升，也可能使之下降。接下來，基于生育率對技術(shù)投資和公共教育投入的影響，進(jìn)一步分析生育率對代表性消費者終生效用的影響，以分析少子化實現(xiàn)代表性消費者終生效用上升的條件。

基于式（37）可求得生育率對代表性消費者終生效用的影響為：

由式（38）可求得代表性消費者終生效用隨生育率上升而增長的撫育成本與總財富比條件為：

由式（39）可以看出，少子化進(jìn)程能否增進(jìn)代表性消費者終生效用依賴于代表性消費者的撫育成本與總財富比、生存概率、社會生產(chǎn)條件、對子代的質(zhì)量偏好。可以看出，少子化進(jìn)程實現(xiàn)代表性消費者終生效用上升的條件也依賴于撫育成本與總財富比低于特定水平。這意味著兩種情況：第一種情況，存在某一特定而微妙的最優(yōu)撫育成本與總財富比范圍，使得在此范圍內(nèi)，隨著少子化進(jìn)程加速，政府的技術(shù)投資和公共教育投入安排既能實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)增長，也能實現(xiàn)居民福利水平的上升。第二種情況，隨著少子化進(jìn)程的加速，經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)增長和居民福利水平的上升是一對矛盾的綜合體，政府的技術(shù)投資和公共教育投入安排要么只能實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)增長，要么只能實現(xiàn)居民福利水平上升。

四、數(shù)值模擬

（一）參數(shù)設(shè)定

根據(jù)我國現(xiàn)行法律對職工退休年齡的規(guī)定，本文以60 歲為平均退休年齡，這與郭凱明和顏色（2016）、汪偉和王文鵬（2021）等的設(shè)定一致。根據(jù)世界銀行的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我國居民的平均工作年限為40.1 年，因此以0?20 歲為少年期，20?60 歲為中年期，60?100 歲為老年期，此設(shè)定與《中國人身保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2010?2013）》規(guī)定的我國人口極限壽命為105 歲基本一致。本文數(shù)值模擬從t?1 時期開始，t+1 時期結(jié)束，所涉及的統(tǒng)計數(shù)據(jù)多始于1978 年，且需要保證t+1 期終點超過2020 年才有意義，因此選擇1978 年為t?1 期的代表性時點，基于每期40 年的設(shè)定，以2018 年為t期的代表性時點，2058 年為t+1 期的代表性時點。

根據(jù)《中國統(tǒng)計年鑒2000》公布的數(shù)據(jù)，我國1978 年城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員平均工資為615 元，根據(jù)國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，我國2018 年城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員平均工資為82 413 元，根據(jù)世界銀行公布的以GDP平減指數(shù)為基準(zhǔn)的通貨膨脹率，可求得以1978 年為基期的2018 年累積GDP平減指數(shù)為674.84，從而以1978 年價格為基準(zhǔn)的2018 年平均工資為12 212.23 元，因此將1978 年和2018 年的平均工資wt?1、wt分別設(shè)為615.00 元、12 212.23 元。根據(jù)世界銀行公布的數(shù)據(jù)，我國1978 年的儲蓄率為39.28%，2018 年的儲蓄率為44.94%。另外根據(jù)《中國統(tǒng)計年鑒2000》《中國統(tǒng)計年鑒2021》，我國1978 年的平均可支配收入為171 元，2018 年的可支配收入為28 228元，從而以1978 年價格為基準(zhǔn)的2018 年實際可支配收入為4 182.92 元，基于1978 的實際可支配收入可計算得到當(dāng)年的儲蓄st?1為 67.17 元，基于2018 年的實際可支配收入可計算得到當(dāng)年的儲蓄st為1 879.79 元。

根據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布的《2018 年我國衛(wèi)生健康事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計公報》，我國的人口平均預(yù)期壽命可以達(dá)到77 歲。另外，根據(jù)文章的模型設(shè)定，假設(shè)極限壽命為100 歲，可以計算t期的預(yù)期生存概率為pt=77/100=0.77。根據(jù)《中國可持續(xù)發(fā)展總綱（國家卷）》的預(yù)期，到2050 年中國人口的平均預(yù)期壽命可以達(dá)到85 歲，而根據(jù)WHO《World Health Statistics 2018》報告，平均預(yù)期壽命最高的國家日本為84.2 歲。因此，預(yù)期85 歲的目標(biāo)可以達(dá)到，可設(shè)定t+1 期預(yù)期生存概率為pt+1=85/100=0.85。根據(jù)模型設(shè)定，nt?1衡量的是平均每個t期處于中年期的代表性消費者的父代數(shù)量，而nt+1衡量的是其子代的數(shù)量，根據(jù)原國家衛(wèi)計委1982 的1‰人口生育率抽樣調(diào)查估計，我國1980 年的總和生育率為2.31，即1980 年平均每個代表性消費者的子代數(shù)量為2.31/2=1.155，從而可設(shè)定平均每個t期處于中年期的代表性消費者的父代數(shù)量為nt?1=1/1.155=0.8658，根據(jù)第七次全國人口普查結(jié)果，2020 年我國育齡婦女總和生育率為1.3，故設(shè)定t時期的生育率基準(zhǔn)值為nt+1=1.3/2=0.65。根據(jù)“中國義務(wù)教育階段城市家庭子女教育成本研究課題組”的調(diào)查顯示，我國家庭的平均教育支出占到家庭收入的30%，基于此可計算得到每個子女的撫育成本bt=3861.14元。尹向飛和歐陽峣（2019）估計出我國1996?2016 年的全要素生產(chǎn)率年均增長率為1.64%，故令A(yù)t=1.016440=1.9168。王開科和曾五一（2020）估計出我國1978?2017 年的資本回報率在7.28%?13.05%之間，據(jù)此求幾何平均值可計算得到1978?2017 年間我國的平均資本回報率為11.20%，進(jìn)而求得1978?2018 年間的累積總資本收益率為rt=69.85。

趙志耘等（2006）計算出我國1978?2004 年間的平均資本產(chǎn)出彈性為 α=0.56，與郭凱明和顏色（2016）、賈俊雪等（2021）、汪偉和王文鵬（2021）等采用的 α=0.5基本一致。吳延兵（2006）運(yùn)用2002 年中國制造產(chǎn)業(yè)橫截面數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)R&D投入的產(chǎn)出彈性約為 0.1，故可設(shè)定技術(shù)投資的技術(shù)進(jìn)步彈性基準(zhǔn)值為 γ=0.1，基于資本產(chǎn)出彈性和邊際報酬不變的模型假設(shè)，可求得人力資本投入的產(chǎn)出彈性為0.44，根據(jù)基準(zhǔn)的 α、γ 可校準(zhǔn)得到公共教育投入的人力資本累積彈性為 λ=0.3283，基于 λ和當(dāng)期的儲蓄，可校準(zhǔn)得到我國居民的子代質(zhì)量偏好參數(shù)為 ν=0.0047。根據(jù)統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，2018 年我國研究和試驗發(fā)展人員占勞動人口的比例為0.55%，因此設(shè)定 φ=0.0055。采用一年期存款利率1.5%為標(biāo)準(zhǔn)，以40 年為一期，計算得到時間偏好因子 β=0.55。

根據(jù)聯(lián)合國人口基金會公布的《2020 年世界人口狀況報告》，發(fā)達(dá)國家中總和生育率最低的國家為韓國，達(dá)到1.1，考慮到中國的總和生育率持續(xù)下行的事實，可設(shè)定nt+1=1.1/2=0.55為最壞情況下t+1 期的標(biāo)準(zhǔn)化子代數(shù)量，基于此可計算當(dāng)期可分得的遺產(chǎn)lt，假設(shè)家庭以全部財富用于教育支出，可校準(zhǔn)得到每個代表性消費者所能撫育的最大子代數(shù)量為3.46，因此本文取t+1 期平均每個代表性消費者生育率（以下簡稱生育率）的范圍為nt+1∈[0.55,3.46]。

（二）模擬結(jié)果

1.在當(dāng)前生育率水平下經(jīng)濟(jì)增長和社會福利水平上升的條件分析

上述的參數(shù)設(shè)定確定了當(dāng)前的社會生產(chǎn)條件，因此可基于這些參數(shù)設(shè)定，首先求出在當(dāng)前社會生產(chǎn)條件和生育率水平下，內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長各個方面和代表性消費者終生效用隨總和生育率上升而增長的撫育成本與總財富比條件。

由式（22）可求得當(dāng)前生育率水平下，撫育成本與總財富比為=28.83%。滿足工資和勞均產(chǎn)出隨總和生育率上升而增長的撫育成本與總財富比臨界值為(2?α?γ)(1?λ)?1=?9.99%，故而條件<(2?α?γ)(1?λ)?1和條件(2?α?γ)(1?λ)?1>0均不滿足，即在當(dāng)前生育率水平和生產(chǎn)條件下，生育率上升會帶來工資和勞均產(chǎn)出的持續(xù)下降。滿足總資本收益率隨總和生育率上升而增長的撫育成本與總財富比臨界值為 (2?α?γ)(1?λ)=90.01%，故條件(2?α?γ)(1?λ)成立，即在當(dāng)前生育率水平和生產(chǎn)條件下，生育率上升會帶來總資本收益率的持續(xù)上升。滿足總產(chǎn)出隨總和生育率上升而增長的撫育成本與總財富比臨界值為，故條件成立，即在當(dāng)前生育率水平和生產(chǎn)條件下，生育率上升會帶來總產(chǎn)出的持續(xù)上升。滿足人均產(chǎn)出隨總和生育率上升而增長的撫育成本與總財富比臨界值為：成立，即在當(dāng)前生育率水平和生產(chǎn)條件下，生育率上升會帶來人均產(chǎn)出的上升。

代表性消費者終生效用隨總和生育率上升而增長的撫育成本與總財富比臨界值為子代質(zhì)量偏好臨界值為子代質(zhì)量偏好條件滿足，但撫育成本與總財富比條件不滿足，即在當(dāng)前生育率水平和生產(chǎn)條件下，生育率上升會帶來代表性消費者終生效用的下降。

2.可行參數(shù)與生育率范圍下的均衡解分析

基于給定的參數(shù)和生育率范圍，可模擬在不同生育率水平下均衡的技術(shù)投資、公共教育投入與相應(yīng)的稅率水平，模擬結(jié)果如圖1 所示?；诰獾募夹g(shù)投資和公共教育投入，可進(jìn)一步模擬不同生育率水平下的下期工資、總資本收益率、總產(chǎn)出、勞均產(chǎn)出、人均產(chǎn)出與代表性消費者終生效用，模擬結(jié)果如圖2 所示。

圖1 生育率對技術(shù)投資、公共教育投入和均衡稅率的影響

由圖1 可以看出，在給定的參數(shù)下，生育率與技術(shù)投資呈負(fù)向的線性關(guān)系，與公共教育投入呈負(fù)向的、邊際遞減的非線性關(guān)系，與技術(shù)投資和公共教育投入稅率呈負(fù)向的線性關(guān)系。當(dāng)生育率上升至3.46 左右時，技術(shù)投資、公共教育投入、稅率均趨近于0，這意味著我國當(dāng)前的社會生產(chǎn)方式已經(jīng)難以承受生育率的大幅上升，生育率的大幅上升將耗盡代表性家庭的預(yù)算約束，從而完全擠出技術(shù)投資、公共教育投入等內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長投資因素。

由圖2 可以看出，在給定的參數(shù)下，生育率與下期工資、下期勞均產(chǎn)出呈邊際遞減的負(fù)相關(guān)關(guān)系，其原因在于：當(dāng)生育率極低時，未來的勞動供給也變得相對稀缺，從而勞動的價值即工資開始上升。但當(dāng)生育率開始上升后，未來的勞動供給也開始增加，勞動的價值逐漸下降。

圖2 生育率對內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長、居民福利的影響

在給定的參數(shù)下，生育率與下期總資本收益率呈先正后負(fù)的非對稱關(guān)系，相關(guān)性轉(zhuǎn)換的臨界生育率水平約在3.1（即實際總和生育率為6.2 左右），其原因在于：當(dāng)生育率較低時，資本變得相對不稀缺，從而資本的價值即總資本收益率也較低。但當(dāng)生育率開始上升后，未來的勞動力供給增加，資本開始變得相對稀缺，從而資本的價值即總資本收益率開始上升。但當(dāng)生育率上升到一定水平后，經(jīng)濟(jì)增長開始停滯，從而總資本收益率上升的幅度開始下降。當(dāng)生育率繼續(xù)上升超過臨界水平后，資本相對稀缺帶來的上升效應(yīng)將低于經(jīng)濟(jì)增長停滯帶來的下降效應(yīng)，總資本收益率開始下降。

在給定的參數(shù)下，生育率與下期總產(chǎn)出呈先正后負(fù)的非對稱關(guān)系，相關(guān)性轉(zhuǎn)換的臨界生育率水平約為1.5（即實際總和生育率為3.0 左右），其原因在于：我國當(dāng)前的生育率水平可能偏離了均衡的經(jīng)濟(jì)增長模式所要求的生育率水平，因此當(dāng)生育開始上升時，勞動和資本結(jié)構(gòu)得到優(yōu)化，公共教育支出和技術(shù)投資回歸合理水平，從而經(jīng)濟(jì)得以持續(xù)增長。但當(dāng)生育上升到一定水平后，勞動和資本結(jié)構(gòu)將開始惡化，公共教育支出和技術(shù)投資也變得不足，從而經(jīng)濟(jì)增長開始停滯。這表明我國目前的生產(chǎn)模式可能不支持生育率的大幅上升。

在給定的參數(shù)下，生育率與下期人均產(chǎn)出呈先正后負(fù)的非對稱關(guān)系，相關(guān)性轉(zhuǎn)換的臨界生育率水平約為0.8（即實際總和生育率為1.6 左右），其原因在于：我國當(dāng)前的生育率水平可能偏離了均衡的經(jīng)濟(jì)增長模式所要求的生育率水平，因此當(dāng)生育開始上升時，勞動和資本結(jié)構(gòu)得到優(yōu)化，從而趨近于均衡經(jīng)濟(jì)增長要求的結(jié)構(gòu)，經(jīng)濟(jì)得到持續(xù)增長。當(dāng)生育率超過臨界水平后，由于人口規(guī)模上升帶來的邊際總產(chǎn)出提高低于上文中超過生育率臨界值前的水平，從而導(dǎo)致總產(chǎn)出持續(xù)增長，但是人均產(chǎn)出開始下降。

在給定的參數(shù)下，生育率與代表性消費者的終生效用呈邊際遞增的負(fù)相關(guān)關(guān)系，其原因在于：代表性消費者的終生效用雖然受到中年期消費、老年期消費和子代質(zhì)量等多方面的影響，但總體而言受到中年期消費、老年期消費的影響最大，而老年期的消費主要受到中年期儲蓄的影響，因此代表性消費者的終生效用主要受到中年期儲蓄和消費的影響。由于撫育成本是固定的，子代數(shù)量上升會大幅擠壓代表性消費者的儲蓄和消費，從而其終生效用隨生育率的上升而下降。

3.社會生產(chǎn)參數(shù)的影響分析

接下來分析社會生產(chǎn)關(guān)鍵參數(shù)（資本產(chǎn)出彈性 α、公共教育投入的人力資本累積彈性 λ、技術(shù)投資的技術(shù)進(jìn)步彈性 γ）在不同水平下（即 α、β、γ ∈[0.01,0.99]）對生育率與技術(shù)投資、公共教育投入、內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長、居民福利水平的影響。其中，資本產(chǎn)出彈性 α的影響如圖3 所示。

圖3 資本產(chǎn)出彈性 α的影響

由圖3 可以看出，總體上，給定生育率水平，α與技術(shù)投資、公共教育投入、稅率、下期工資、下期總資本收益率、下期總產(chǎn)出、下期勞均產(chǎn)出、下期人均產(chǎn)出均負(fù)相關(guān)，與代表性消費者終生效用呈倒“U”形關(guān)系。當(dāng) α處于極低水平時，下期總資本收益率等都變得極高，因此優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、降低資本的產(chǎn)出彈性對經(jīng)濟(jì)增長具有重要意義。

根據(jù)圖表分析結(jié)果，①限于篇幅，下文的圖表分析省略，讀者若是感興趣可向作者索取。總體上，如果給定生育率水平的情況下，λ與技術(shù)投資、下期工資、下期總資本收益率、下期總產(chǎn)出、下期勞均產(chǎn)出、下期人均產(chǎn)出、代表性消費者終生效用均呈負(fù)相關(guān)，與公共教育投入、稅率呈正相關(guān)。當(dāng) λ極低時，公共教育投入變得極低，技術(shù)投資變得極高，受此影響，下期內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長和代表性消費者終生效用都變得較高。因此，在技術(shù)投資和公共教育投入二者之中，政府更應(yīng)當(dāng)改善教育模式，并且降低公共教育投入的人力資本累積彈性。另外，總體上，γ與技術(shù)投資、公共教育投入、稅率、下期工資、下期總資本收益率、下期總產(chǎn)出、下期勞均產(chǎn)出、下期人均產(chǎn)出、代表性消費者終生效用均呈負(fù)相關(guān)。而 γ對技術(shù)投資的影響極小，但對公共教育投入的影響較大，對內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長的影響相對溫和。因此，若教育模式無法立即改變，降低技術(shù)投資的技術(shù)進(jìn)步彈性和增加研究人員在技術(shù)進(jìn)步中的貢獻(xiàn)可以有效促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長。

五、結(jié)論與政策建議

如何在確定的生育率水平下安排技術(shù)投資和公共教育投入是少子化進(jìn)程中保持經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長的關(guān)鍵。因此，本文建立了一般均衡世代交疊模型，理論分析了生育率對技術(shù)投資和公共教育投入的影響，并基于此進(jìn)一步分析了生育率對稅率、內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長、居民效用的影響。本文基于理論分析的結(jié)論進(jìn)行了數(shù)值模擬，較全面地分析了如何在少子化背景下安排技術(shù)投資和公共教育投入及其影響。理論分析表明：均衡公共教育投入與生育率呈負(fù)相關(guān)，且均衡公共教育投入對生育率的彈性絕對值大于1，是富有彈性的。均衡技術(shù)投資與生育率呈負(fù)相關(guān)，但均衡技術(shù)投資的生育率彈性絕對值大于1 還是小于1 取決于子代的撫育成本占總財富的比例。無論當(dāng)期的撫育成本與總財富比處于何種水平，均衡公共教育投入對生育率彈性的絕對值始終大于均衡技術(shù)投資對生育率彈性的絕對值。均衡技術(shù)投資和公共教育投入稅率與生育率呈負(fù)相關(guān)，彈性絕對值大于1 還是小于1 也取決于子代的撫育成本占總財富的比例。數(shù)值模擬表明：在給定的參數(shù)下，生育率與技術(shù)投資呈負(fù)向的線性相關(guān)，與公共教育投入呈邊際遞減的負(fù)向非線性相關(guān)，與技術(shù)投資和公共教育投入稅率呈負(fù)向的線性相關(guān)，與下期工資和勞均產(chǎn)出呈邊際遞減的負(fù)向非線性相關(guān)，與下期總資本收益率、下期總產(chǎn)出、下期人均產(chǎn)出呈先增后減的倒“U”形關(guān)系，與代表性消費者終生效用呈邊際遞增的負(fù)向非線性相關(guān)。我國當(dāng)前的社會生產(chǎn)方式可以支持生育率的輕微提高，但是可能難以承受生育率的大幅上升。在決定社會生產(chǎn)方式的各參數(shù)中，資本產(chǎn)出彈性與下期總產(chǎn)出負(fù)相關(guān)，與代表性消費者終生效用呈到“U”形關(guān)系。

因此，面對少子化問題，給出以下政策建議：第一，采取可控的生育刺激政策以提高生育率。在當(dāng)前的生產(chǎn)模式下，總和生育率的輕微上升至1.6 左右時可以同時促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長和人均產(chǎn)出的提高，并且不會大幅降低代表性消費者的終生效用。第二，優(yōu)化現(xiàn)收現(xiàn)付制的養(yǎng)老保障體系，增加代際間的聯(lián)系。生育率的輕微上升會降低代表性消費者終生效用的原因在于代際間的聯(lián)系不夠緊密，從而父代無法享受下期人均產(chǎn)出上升帶來的益處，優(yōu)化養(yǎng)老保障體系可緩解這個問題。第三，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，降低資本產(chǎn)出彈性，增加勞動產(chǎn)出彈性。數(shù)值分析表明，資本產(chǎn)出彈性越低，下期產(chǎn)出和下期人均產(chǎn)出越高。