■河北省灤州市第一中學 何艷麗

近年來，應試教育對我國教育界的發(fā)展產(chǎn)生了嚴重的限制，部分數(shù)學教師將重點放在了講題上，卻忽略了一些概念問題，導致解題過程嚴重脫離數(shù)學概念。在新頒發(fā)的《高中數(shù)學課程標準》中提出了以下要求：教師在教學中要加強對基本概念和思想的把握，將核心概念與思想始終貫穿在教學過程中，加深學生的印象與理解。由此可知，在數(shù)學教學中，概念教學是最重要的教學環(huán)節(jié)之一，只有深入引導學生學習概念，才能達到有效數(shù)學教學的效果。那么，怎樣有效提高高中數(shù)學課程中概念教學的質量呢？這是本文研究的重點內(nèi)容。

一、數(shù)學概念的定義與劃分

（一）數(shù)學概念的定義

數(shù)學研究的過程是以數(shù)學概念為出發(fā)點，其研究對象是通過概念來確定的。尤其是對數(shù)學這門學科而言，概念的地位極為重要，因而學習數(shù)學概念始終是數(shù)學的一個重要研究課題。但是在數(shù)學概念上，數(shù)學界始終沒有對其進行標準的定義。曹一鳴教授提出了“反映對象的本質屬性”的“思維方式論”，即將數(shù)學概念是思維的載體、科目的基本成分，其自身具有深層次的抽象以及概括的特性。而劉詠梅教授根據(jù)哲學思想提出了“本質屬性反映論”。數(shù)學的研究對象大都是抽象的，但是對象又能夠通過概念來確定研究，從而進一步分析問題、發(fā)展思維，以此來解決諸類數(shù)學問題。概念的存在，是為了詮釋研究對象內(nèi)在原有的屬性，即內(nèi)展和外延兩部分，也就是明確它的本質屬性。依據(jù)概念的特點，文中定義的數(shù)學概念是對數(shù)學對象的本質反映，涵蓋了數(shù)學界所有的現(xiàn)象。如此，數(shù)學概念的內(nèi)在延展就是反映所有對象的本質屬性，即以“質”為主要內(nèi)容。而外延則是指全體的數(shù)學對象，即以“量”為認知范圍。數(shù)學概念在人腦中以思維的形式反映，是人類對現(xiàn)實中的數(shù)量和空間的了解和把握。數(shù)學概念的表達是通過定義的形式進行的，經(jīng)過了長期的思考和修改過程，最后形成簡潔而又生動形象、定形而又定性的論述內(nèi)容。數(shù)學概念是基礎內(nèi)容，包括公理、定理、公式和法則等，是開展數(shù)學運算和開發(fā)邏輯思維以及推理判斷的前提條件和基礎內(nèi)容。

（二）高中數(shù)學概念的劃分

1.原始的概念。原始的概念是一門學科或者課程體系最初的發(fā)起點，相當于萬物之始，不能用其他的概念來定義概括。數(shù)學概念是一種科學的概念，其定義必須是準確無誤且有一定的意義的，必須是有研究軌跡的，否則會引發(fā)大問題。由此可知，學者與教師不可以用表意不明的概念去定義新的概念，避免錯誤的結果出現(xiàn)。高中數(shù)學的教學過程中，有關原始概念的部分，必須依據(jù)公理化的思想明確引入概念的必要。高中數(shù)學內(nèi)容涵蓋了點、線、面、集合、元素等基礎內(nèi)容，都屬于原始概念，由此可見原始概念的重要性。

2.合取與析取概念。學界依據(jù)概念反映對象的數(shù)量與相互關系，將概念劃分為合取以及析取概念兩種。合取概念在高中數(shù)學中的體現(xiàn)可以理解為結合幾種屬性來對概念下定義，彼此之間屬于相互聯(lián)合的關系。而析取概念則是在多種不同事物的屬性中尋找一種或多種共有屬性對概念進行定義，屬于單一屬性的概念。

3.關系概念。對被定義概念反映的對象聯(lián)系另一對象的過程進行定義，就是關系概念。比如，教材中對單位向量的定義是“長度等于一個單位的向量”，即為一種關系概念，在學生已有的單位長度認知的基礎上，更容易理解單位向量的意思。從中可以看出，高中數(shù)學的關系概念之間的依存性極高，且都不是直接定義，而是通過將與其有關系的概念的部分外部屬性進行聯(lián)系，以此達到概念更加明確且具體的效果。在已知的高中數(shù)學課本中，就有很多直接明確關系的數(shù)學概念，例如，立體幾何章節(jié)中“點、線、面”的位置關系，其中的各種位置關系就比較清楚明了。因為其自身的抽象特點，學生并不會因為概念的定義不清而覺得學習困難。又如，在學習“直線與圓”的位置關系一章時，圓與直線的位置概念是由具體的對象來直接對其關系直接定義的，教師可以通過拆分將總體分解，將抽象的內(nèi)容具體化，幫助學生開展學習。

二、高中數(shù)學有關概念教學的基本原則

（一）理論與實踐相聯(lián)系的原則

數(shù)學概念作為一種現(xiàn)代社會中系統(tǒng)化的學科體系，不僅有廣闊的外延范圍，還與我們的現(xiàn)實生活有著很深刻的聯(lián)系。數(shù)學這門學科有著非常強的應用性，特別是高中數(shù)學，若只會背誦公式和概念卻不會使用，那么在解題過程中會非常被動。所以，教師在建構高效教學的課堂模式時，必須立足于現(xiàn)實基礎，加強與理論的聯(lián)系，充分調(diào)動學生研究概念的興趣，積極引導學生主動參與學習，及時安排好課后的鞏固練習。如此可以幫助學生在實踐中應用所學的概念，并能夠反復引用，加強鞏固，有利于學生形成自己的解題思路。學習概念屬于理論知識層面，而應用概念則屬于實際層面，理論與實際相結合，才能實現(xiàn)學生對概念真正的把握，明確概念的起源以及應用概念的方法。在堅持理論與實際相聯(lián)系的原則時，教師應當摒除傳統(tǒng)的說教教學方式，突出學生的主體地位，加強學生對概念的自由探索，以概念指導實踐。

（二）結合抽象與具體的原則

在高中數(shù)學的概念中，抽象化是一個很明顯的特征，給學生的數(shù)學學習增添了很大的難度。然而，事實并非如此，在結合抽象與具體的原則條件下，抽象化的內(nèi)容完全可以具體化。教師在教學過程中應當引導學生將感性認識與理應思維結合到一起，相互融合、相互支撐，不可在認識數(shù)學問題過程中太過感性，導致概念錯誤。而其他的概念，其應用大都區(qū)別于數(shù)學概念，通常用來總結特定視覺圖像下的抽象思維活動。教師應該有意識地引導學生思考，以便直觀地理解這些概念。比如，在“棱柱”一課中，教師可以引導學生觀察三棱鏡，并描述棱柱的主要特征，以此簡單地了解棱柱的概念。經(jīng)過這一過程使抽象概念具象化，強化學生的視覺圖像認知，對其內(nèi)存的深入把握非常有利，也更便于學生使用概念。由淺層的理解，到深層的把握與生成，思維以此為起點，這也是抽象事物具體化的基礎。如果缺少了這個基礎，學生對概念的理解把握不到位，在使用效果上也會事倍功半。

三、有效開展高中數(shù)學概念教學的策略

（一）分析現(xiàn)實學情，尋找問題的切入點

高中教材里的數(shù)學概念，大都和“解決問題”密切相關，尤其是概念的形成和推理過程，更是主要應用于解決問題方面。由此可知，要想有效開展概念教學，就要立足于設計和解決問題。所以，如何在教學過程中設計問題，就成了研究的重點內(nèi)容。下文對此提出，相關問題的設計要立足于學情，從實際出發(fā)，對學生的認知起點進行分析，教師以此來制定教學目標，尋找問題的正確切入點。

1.設計的問題需能引起學生的深入思考。以“偶函數(shù)”一課的教學為例，教師應該先分析學情，讓學生熟悉二次函數(shù)y=x2的圖像，并且判斷其圖像關于豎軸（也就是y軸）對稱。那么設計問題時就要以此為基礎，以教學目標為參考，可以設計關于y軸對稱的函數(shù)包不包括，因為此函數(shù)雖為上面那個二次函數(shù)的倒數(shù)，但是無法像y=x2那樣可以直觀判斷。這個問題有待進一步探究，所以很容易引起學生的思考。此時，教師再借助數(shù)學術語展開對軸對稱的討論，比如“關于y軸對稱的函數(shù)需要滿足的數(shù)量條件”等，再借助解析式來深入判斷“函數(shù)有關于軸對稱的特性”的準確性。

2.設計的問題難度要適中。教師設計的問題應該難度適中比較好，而且應該有比較強的吸引力，以此來引起學生的興趣并引發(fā)學生自主思考。以“最簡三角方程”概念為例，問題“探究sin x=a的解集”的難度對初學者來說比較大，為了激發(fā)學生的積極探究欲望，本文建議從解一個具體的三角方程入手，例如，求sinx =的解集，以此問題為框架，引導學生逐步思考，經(jīng)過推演計算得到答案。從最終的教學效果來看，如此設計問題更適合學生，更能促進學生逐步發(fā)展，以具體可操作的問題為切入點，通過使用已有的知識來順利解決問題。

3.設計的問題需能遷移延展。教師要明確一個事實，那就是設計問題并不是單純地為了概念，還有通過引導學生深入研究問題的過程，來培養(yǎng)學生解決并獲得概念的自主能力，為學生鞏固數(shù)學基本知識和獲取相關技能奠定基礎，同時為下個階段學習知識的類比與遷移做好鋪墊。此處以“設計等差數(shù)列的概念教學”為例，教師應該引導學生把日常解決問題的經(jīng)驗和方法遷移到等差數(shù)列的問題研究中去，逐步探討等差數(shù)列的概念。教師應注意問題的設計需要滿足前瞻性和系統(tǒng)化的條件，以此保證學生以往的解題經(jīng)驗與方法能夠對新問題進行類比遷移。教師在設計問題過程中要做好“什么”與“為什么”的小問題安排，究根結底，不斷地對問題進行優(yōu)化。

（二）在概念的多重表征中引導學生深入理解

1.通過解讀多層次的外在表征了解概念的內(nèi)涵及外延。數(shù)學概念還有一個比較重要的特征，那就是具有豐富的表征。在教學過程中，大部分經(jīng)驗豐富的教師都會借助大量的示例來幫助學生理解或使用概念。若諸多示例都屬于同一類別的表征，那么對學生理解概念的實用性就大打折扣。以“函數(shù)”為例，如果教師將重點都放在公式法的表征上，那么學生很難理解甚至想象變量之間的動態(tài)平衡關系。若只是使用公式法和圖表法，學生也很難想到函數(shù)在集合元素間的對應關系。由此可見，教師舉例時不僅要注意示例的數(shù)量，更要注意不同示例在不同表征中的代表性。豐富示例的表征，有利于學生打開思路，理解概念的含義和外延。

2.輔助學生從數(shù)學符號中獲取表述的個體化意義。有相關專家的研究表明，學生對概念表征的表述系統(tǒng)分為內(nèi)外兩個，聯(lián)系兩個系統(tǒng)的教學才更為有效。部分教師能做到為學生提供自主語言描述概念的示例，效果比較好，屬于聯(lián)系內(nèi)外表征的實踐教學的一種有效方式。然而，這種聯(lián)系方式并沒有發(fā)揮作用在概括的最終階段，這對學生的要求過高了，有脫離現(xiàn)實之嫌，學生無法將內(nèi)外表征的符號有意義地聯(lián)系到一起。所以，教師強調(diào)內(nèi)外表征聯(lián)系的最好時機就是在概念初形成的過程中。此處以“函數(shù)單調(diào)性”的概念為例，教師可以為學生提供一個關于一天內(nèi)氣溫變更的函數(shù)圖像，讓學生以此為根據(jù)表述一天內(nèi)的高溫和低溫變化時間點。這個問題與學生的現(xiàn)實經(jīng)驗相符，回答時學生只需要回答時間點即可。然后，教師可以進一步引導學生思考在數(shù)學教學中有關經(jīng)緯氣溫的上升和下降，分別具體的含義是什么？學生要回答這個問題，就必須明確自變量時間和因變量溫度之間的關系。此時，教師可以進一步引導學生用數(shù)學符號表述這一關系，如此學生就會根據(jù)自己的思考以及經(jīng)驗，將認識到的關系用已有的符號表述出來。

3.在表征系統(tǒng)中尋找目標概念。數(shù)學最重要的學科特征就是嚴謹性。數(shù)學的嚴謹性要求其推理過程嚴密、得出的結論要有依據(jù)，還要求各部分內(nèi)容聯(lián)系緊密，相互依存。在數(shù)學學科中，不存在孤單的數(shù)學概念，其存在必定與諸多概念掛鉤。比如，集合的概念，其與變量、函數(shù)、映射等概念緊密相關，并不是單獨存在的獨立個體。教師在教學過程中應該提供多種示例，包括正例反例等，讓學生辨析地認識相關概念，幫助學生明確目標概念與相關概念之間各種主勢、受勢以及上下位的關系，以此建立清晰的關系認知。

4.重點關注符號操作性含義，使內(nèi)在表征精細化。內(nèi)在表征精細化是指深入加工概念的內(nèi)伸和外延，搜集多方面、多類型的示例，加深對概念細節(jié)的把握，明確其中存在的限制條件，進一步全面了解概念，如此學生才會獲取更深層次的內(nèi)在表征。概念過程的二重性是數(shù)學概念的又一大特點。對于數(shù)學概念來說，既可以代表某個靜態(tài)的數(shù)學結構，又能代表某個動態(tài)的操作過程。例如，函數(shù)的單調(diào)性概念中既給出了定義，又明確了證明的方法。在函數(shù)以及其周期性和奇偶性等定義都具有這種特性。這種精細化的過程實際上需要用概念進行實操方能完成。這就要求教師在教學過程中重視學生的自主練習，既要增強學生本身對概念的理解，又要培養(yǎng)學生使用概念解決問題的能力。因此，教師在進行概念教學過程中應該讓學生體驗初步運用概念的各種變式，而非急于解釋如何應用概念解決各種復雜問題。

5.在循序漸進的學習過程中，養(yǎng)成概念經(jīng)驗系統(tǒng)。對概念的學習不是一步登天的過程，而理解也不是能用簡單的懂不懂就可以描述的，它是階段性的、有層次的，是一個漫長的學習認知與積累過程。教師在開展概念教學課程時，要有選擇地給學生提供示例和學習機會，可以找比較經(jīng)典的正反示例，如此學生才會做到不斷聯(lián)系概念的內(nèi)外表征，并在此過程中積累與目標概念相關的經(jīng)驗和示例，養(yǎng)成一個同外部邏輯思維體系相對應的內(nèi)在經(jīng)驗系統(tǒng)。

四、結語

綜上所述，高中數(shù)學教師應不斷地對教學中的概念教學進行探究，引導學生對數(shù)學概念進行學習并思考，帶領學生體驗概念的起源，以此來增強學生的自主學習意識和能力，不斷強化和培養(yǎng)學生新的思維方式，激發(fā)學生的探究欲望，注重概念體系的培養(yǎng)，大幅度提升課堂的教學效率，以此保護學生自主研究數(shù)學的意識，提高課堂的效率和自由度。