李亮亮，姜文琳

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

近些年來(lái)，混雜微分系統(tǒng)作為一個(gè)非常活躍的研究方向，吸引一大批來(lái)自不同領(lǐng)域的學(xué)者進(jìn)行研究［1-5］. 實(shí)際系統(tǒng)中必然要受到某些約束，例如狀態(tài)約束、輸出約束及執(zhí)行器飽和等［4-6］. 約束現(xiàn)象受系統(tǒng)自身的物理屬性、結(jié)構(gòu)和材料等影響，包括延遲、死區(qū)、飽和等問(wèn)題［7-9］，比如，在機(jī)器人控制中，由于電機(jī)控制的最大轉(zhuǎn)矩導(dǎo)致執(zhí)行器飽和，這可能導(dǎo)致機(jī)器人部分控制信號(hào)丟失，導(dǎo)致機(jī)器人偏離預(yù)定軌跡，發(fā)生安全事故. 如果在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中忽略這些非線性特性的影響，那么整個(gè)非線性系統(tǒng)可能會(huì)變得不穩(wěn)定［9-11］. 因此，有必要研究帶有約束的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題. 文獻(xiàn)［12］考慮狀態(tài)約束線性系統(tǒng)的非凸最優(yōu)控制問(wèn)題. Ngo 等［13］提出利用障礙Lyapunov 函數(shù)研究狀態(tài)約束系統(tǒng)的反步設(shè)計(jì)控制問(wèn)題. 文獻(xiàn)［14］中利用障礙Lyapunov 函數(shù)考慮一類(lèi)全狀態(tài)約束系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問(wèn)題，文獻(xiàn)［15］解決一類(lèi)帶有執(zhí)行器飽和的時(shí)滯動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步控制問(wèn)題. 然而，盡管有不少文獻(xiàn)都對(duì)約束問(wèn)題進(jìn)行深入的研究，但目前這些方法都不能直接處理狀態(tài)約束脈沖非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題［14，16-17］. 本文提出一種特殊的狀態(tài)反饋控制器，利用矩陣?yán)碚摵屯狗治龇椒ǎ治鲩]環(huán)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡的穩(wěn)定性問(wèn)題，以解決帶有脈沖擾動(dòng)的狀態(tài)約束動(dòng)力系統(tǒng)的控制問(wèn)題.

1 模型簡(jiǎn)介與理論基礎(chǔ)

本文考慮如下一類(lèi)混雜動(dòng)力微分方程：

集合T0表示系統(tǒng)的不變集，對(duì)任意的x0∈T0，當(dāng)t≥0, 始終有x(t,x0)∈T0. 下面給出一個(gè)混雜系統(tǒng)不變集的充分條件.

定理1 設(shè)D是Rn中的一個(gè)有界域，若對(duì)任意的正數(shù)μk≤1 和α，都存在一個(gè)正定函數(shù)V(t)?V(x(t))滿足：

注1 在定理1中，如果取μk=1 和α=0，定理顯然也成立，可以作為推論在后面的理論分析中起到很關(guān)鍵的作用. 此結(jié)論可以分析比較著名的彈跳球系統(tǒng)或者小車(chē)碰撞模型問(wèn)題，這些都是比較典型的約束混雜系統(tǒng). 比如考慮如下模型，如圖1 所示，假設(shè)這里x(t)表示球的高度，y(t)表示震蕩平臺(tái)的高度，e1(t)表示相對(duì)位移，e2(t)表示相對(duì)位移的速度，g表示重力加速度，m表示球的質(zhì)量（相對(duì)于平臺(tái)的質(zhì)量忽略不計(jì)），假設(shè)只受重力的影響，所有的碰撞都是瞬間完成的，彈跳球模型建模如下

圖1 彈跳球系統(tǒng)模型

根據(jù)定理1，可以得到球最終將停留在平臺(tái)上面，和平臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)，圖2是仿真的彈跳球系統(tǒng)運(yùn)行軌跡.

圖2 系統(tǒng)（2）的狀態(tài)軌跡

2 狀態(tài)約束脈沖動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的控制設(shè)計(jì)

考慮如下一類(lèi)耦合非線性動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的鎮(zhèn)定問(wèn)題

根據(jù)定理1，很容易得到系統(tǒng)（4）的狀態(tài)始終停留在Θ中并且收斂到0，結(jié)論得證.

3 結(jié)論

文章主要考慮一類(lèi)混雜狀態(tài)受限的系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題，利用不變集原理，數(shù)學(xué)歸納法，構(gòu)造障礙Lyapunov 函數(shù)考慮脈沖復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的控制問(wèn)題，本文構(gòu)造的障礙函數(shù)是一類(lèi)對(duì)稱(chēng)的Lyapunov 函數(shù)，可解決一類(lèi)對(duì)稱(chēng)約束問(wèn)題，而非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題還需要進(jìn)一步考慮，非對(duì)稱(chēng)的障礙函數(shù)的構(gòu)造也是一個(gè)待解決的主要問(wèn)題.