沈慈慈，王偉杰，侯為波

（1.淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000；2.淮北理工學院 教育學院，安徽 淮北 235000）

0 引言

2006年，中國金融期貨交易所正式成立，完善了我國金融市場體系，促進了實體經(jīng)濟的發(fā)展. 金融期貨市場為金融市場的投資者提供高效的風險管理工具. 因此，針對金融期貨市場的穩(wěn)定性進行相關(guān)研究，對整個金融期貨市場的發(fā)展有著借鑒意義.

迄今為止，學者們從多角度對金融時間序列的波動性有較為充分的研究. Bollerslev［1］提出廣義自回歸條件異方差（Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity，GARCH）模型，可以有效擬合具有長期記憶性的異方差函數(shù). Engle 等［2］建立單整廣義自回歸條件異方差（Integrated GARCH，IGARCH）模型擬合波動沖擊的持續(xù)性. Robert 等［3］將條件標準差引入均值方程提出GARCH 均值（GARCH-in-mean，GARCH-M）模型. 之后Zakoian［4］提出門限廣義自回歸條件異方差（Threshold GARCH，TGARCH）模型和Nelson［5］提出指數(shù)廣義自回歸條件異方差（Exponential GARCH，EGARCH）模型，這2種模型用于刻畫波動的非對稱效應(yīng). Yazdanfar［6］研究GARCH模型在波動方面的預測性能，得出GARCH模型對短期的預測效果最好. Laurent等［7］對多元廣義自回歸條件異方差（multivariate GRARCH，MGARCH）模型的預測性能使用4種統(tǒng)計損失函數(shù)進行評估，得出穩(wěn)定期與不穩(wěn)定期預測性能有顯著差別. Zhe［8］對上證指數(shù)進行研究，得出EGARCH模型的擬合優(yōu)度和預測性能最好. 王俊博［9］以滬深300股指期貨為研究對象建立GARCH類模型，得出反映杠桿的波動率模型的預測效果優(yōu)于沒有杠桿效應(yīng)的波動率模型. 文獻［10-11］以已實現(xiàn)波動率為評價衡量標準，采用M-Z 回歸和損失函數(shù)進行GARCH 類模型預測效果檢驗. 張勝杰［12］以滬深300指數(shù)為研究對象建立GARCH 族模型，得出傳統(tǒng)方法選擇的樣本內(nèi)最優(yōu)模型未必取得最優(yōu)的預測效果. 白娟娟［13］以中國股市為研究對象，6種損失函數(shù)為評價指標，評估已實現(xiàn)廣義自回歸條件異方差（Realized GARCH）模型的預測能力. 鄧亞東等［14］以7種損失函數(shù)為評價準則，得到Realized GARCH模型具有更優(yōu)的預測能力. 王新天等［15］對上海原油期貨數(shù)據(jù)擬合GARCH類模型，得出市場中存在較明顯的杠桿效應(yīng).

目前金融期貨的研究相對較少，在衡量模型預測的優(yōu)劣時，通常有2個標準：一是模型是否能刻畫歷史數(shù)據(jù)的特征，擬合波動率能力如何；二是模型能否預測未來的波動率. 本文以M-Z回歸和損失函數(shù)為評價標準，對滬深300股指期貨日收益率序列建立GARCH類模型且對樣本內(nèi)、外預測能力進行評價.

1 研究基礎(chǔ)

1.1 模型介紹

1.1.1 GARCH模型

GARCH（m，s）模型中均值方程和波動率方程結(jié)構(gòu)如下：

其中γi表示杠桿效應(yīng). 如果γi ＜0 ，則非對稱杠桿效應(yīng)存在.α1+γ1和α1-γ1表示模型對正沖擊（at-i ＞0）和負沖擊（at-i ＜0）的非對稱響應(yīng).

1.1.5 TGARCH模型

TGARCH（m，s）模型波動率方程如下：

式中t-i和t-j取值為正整數(shù)，γi表示杠桿效應(yīng). 如果γi ＞0，則非對稱杠桿效應(yīng)存在.Nt-i是關(guān)于at-i的指示變量. 好消息（at-i ＞0）時，Nt-i=0，壞消息（at-i ＜0）時，Nt-i=1.

1.2 預測的評估

1.2.1 波動率的預測

以GARCH模型為例，其中ah和σh在時刻h處是已知的. 向前1步預測的條件方差為：

1.2.2 計算已實現(xiàn)波動率

用高頻收益數(shù)據(jù)計算得出的低頻收益的波動率就叫做已實現(xiàn)波動率（realized volatility，RV），用來衡量GARCH類模型的預測能力，第t日的已實現(xiàn)波動率計算公式如下：

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取

選取滬深300股指期貨的主力連續(xù)合約從2010年4月16日至2021年8月13日的日收盤價數(shù)據(jù)，共2 756個數(shù)據(jù)，用于估計模型參數(shù). 對各模型樣本內(nèi)（從2020年8月13日至2021年8月13日，245個交易日）擬合的波動率和樣本外（2021年8月14日至2021年8月20日，5個交易日）預測的波動率能力進行評價. 由于只能得到金融資產(chǎn)的觀測價格數(shù)據(jù)，真實波動率不能通過數(shù)據(jù)直接得出，以日內(nèi)高頻收益數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動率是真實波動率的無偏估計量［16］，所以用已實現(xiàn)波動率作為真實波動率. 選取從2020年8月13日至2021年8月20日（250個交易日）共12 000個5 min高頻收盤價數(shù)據(jù)，所有高頻數(shù)據(jù)根據(jù)式（10）計算出已實現(xiàn)波動率RV，共得到250個數(shù)據(jù)，用于對GARCH 類模型樣本內(nèi)、外預測能力進行評估.所有數(shù)據(jù)來源于同花順，對數(shù)據(jù)的實證分析結(jié)果均由R語言軟件編程完成. 本文采取對收盤價Pt取對數(shù)再差分，計算得出日收益率序列rt，共得到2 755個收益率數(shù)據(jù)，相比較收盤價而言，對數(shù)差分可以消除數(shù)據(jù)的異方差性.

2.2 數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征

首先對選取的數(shù)據(jù)做自相關(guān)性、平穩(wěn)性和自回歸條件異方差（ARCH效應(yīng)）檢驗. 來判斷序列是否適合建立GARCH類模型.

2.2.1 自相關(guān)性檢驗

自相關(guān)函數(shù)（Autocorrelation Function，ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（Partial Autocorrelation Fun-ction，PACF）是描述自身在不同時間點的相關(guān)程度. 下面對序列rt的自相關(guān)性進行分析.

圖1中ACF值和PACF值在正負2倍標準差范圍以內(nèi)，則在5%顯著性水平下與零沒有顯著差別. 序列rt中除幾個滯后項存在較小的自相關(guān)性之外，不存在顯著的序列相關(guān). 而對數(shù)收益率序列的平方r2t和絕對值 ||rt都是相關(guān)序列. 可知序列rt不是相關(guān)序列但是存在相依性，并不是獨立純隨機序列.GARCH類模型就是在刻畫序列的這種相依性.

圖1 滬深300股指期貨日對數(shù)收益率序列rt 相關(guān)圖

2.2.2 平穩(wěn)性檢驗和ARCH效應(yīng)檢驗

本文用ADF（Augmented Dickey-Fuller ）對序列進行單位根檢驗. 用拉格朗日乘數(shù)（Lagrange Multiplier，LM）對序列進行ARCH效應(yīng)檢驗，即ARCH-LM檢驗.

表1中ADF檢驗和ARCH-LM檢驗對應(yīng)的P值均小于0.01，在1%的顯著性水平下序列rt拒絕存在單位根的原假設(shè)和拒絕序列不存在ARCH效應(yīng)的原假設(shè)，因此序列為平穩(wěn)序列且存在ARCH效應(yīng). ARCHLM檢驗滯后階數(shù)的選擇并不影響檢驗結(jié)果［17］.

表1 rt 序列檢驗

2.3 GARCH類模型檢驗

表2中，5個模型的GED分布檢驗P值均大于0.05，所以在5%的顯著性水平下，5個模型GED分布均不能拒絕符合標準化殘差的經(jīng)驗分布的原假設(shè)，因此最優(yōu)為GED分布. 而TGARCH模型中Skewed-students-t分布和GED分布P值均大于0.05，所以在5%的顯著性水平上，TGARCH模型中這兩個分布都可以接受，GED分布更優(yōu).

表2 GARCH類模型的標準化殘差經(jīng)驗分布和理論分布的泊松擬合優(yōu)度檢驗

根據(jù)以上結(jié)果，擬合標準化殘差服從GED分布的GARCH類模型，見表3. 首先用Ljung-Box Q 統(tǒng)計量檢驗標準化殘差的自相關(guān)性，此檢驗原假設(shè)為序列不相關(guān). 若標準化殘差序列{εt}和序列{ε2t}是不具有自相關(guān)的序列，則分別說明均值方程和波動率方程擬合充分. {εt}的ARCH-LM檢驗，用于檢驗?zāi)Ｐ褪欠裣蛄械漠惙讲钚?yīng).

表3 GED分布下的GARCH類模型擬合結(jié)果及檢驗

表3中GA（1，1）、GA（1，1）-M、IGA（1，1）模型α1和β1表示外部的沖擊（新沖擊）和內(nèi)部的沖擊（舊沖擊）對波動率的影響情況. 模型計算結(jié)果說明在滬深300股指期貨市場的波動性中受新沖擊要小于舊沖擊的影響. 自由度（Shape）估計值均小于2，說明標準化殘差具有厚尾特征. 其中IGA（1，1）模型中β1=1-α1，所以除了IGA（1，1）模型的參數(shù)β1沒有T統(tǒng)計值外，GA（1，1）、GA（1，1）-M、IGA（1，1）這3個模型的其余參數(shù)都在5%顯著水平上顯著. EGARCH模型和TGARCH模型非對稱項參數(shù)γ1不顯著，則認為rt序列不存在波動的非對稱效應(yīng).

5個模型中εt的Ljung-Box Q（5）檢驗、ε2t的Ljung-Box Q（5）檢驗以及εt的ARCH效應(yīng)檢驗，顯示模型的均值方程、波動率方程擬合充分以及殘差不存在ARCH效應(yīng). 因此5個模型擬合是成功的.

2.4 GARCH類模型的預測評估

為全面比較模型樣本內(nèi)預測的好壞，對以上5個模型擬合的波動率進行預測評估. 根據(jù)M-Z回歸式（11）和損失函數(shù)式（12）、（13）和（14），計算結(jié)果見表4.

表4 GARCH類模型的樣本內(nèi)預測評估

表4中M-Z回歸結(jié)果，擬合優(yōu)度R2均較低. 但大部分的金融時間序列實證表明R2普遍小于0.1，所以R2在0.1以上認為擬合比較好.β的系數(shù)檢驗均顯著不為零，根據(jù)β接近1且α不顯著，預測效果最好的為GARCH（1，1）模型. 從擬合優(yōu)度來看EGARCH（1，1）模型最好. 從損失函數(shù)來看，GARCH（1，1）模型各損失函數(shù)值均較小，其預測能力是最好的. 綜合來看，樣本內(nèi)預測能力最好的為GARCH（1，1）模型.

接下來對5個模型分別根據(jù)式（8）和（9）進行向前1步至5步預測，進行樣本外預測評估. 經(jīng)過計算向前1步至5步的預測表現(xiàn)一致，因此只列出向前預測5步的計算結(jié)果，見表5.

表5 GARCH類模型的樣本外預測評估

表5中M-Z回歸結(jié)果，α和β的系數(shù)檢驗均不顯著而且β系數(shù)值遠大于1，回歸結(jié)果較差，依據(jù)M-Z回歸不能評價模型預測好壞. 從損失函數(shù)來看，GARCH（1，1）模型各損失函數(shù)值均較小，其預測能力是最好的. 對于滬深300股指期貨日對數(shù)收益率來說，不管樣本內(nèi)還是樣本外最好的預測模型為標準殘差服從GED分布的GARCH（1，1）模型. 由GARCH（1，1）模型預測效果圖2和圖3可以看出，即便是預測能力最強的GARCH（1，1）模型，也難以預測極端損失.

圖2 已實現(xiàn)波動率與樣本內(nèi)預測波動率

3 結(jié)論

文章在高斯分布、學生-t分布、偏斜-學生-t分布、廣義誤差分布4 個殘差分布假定下分別擬合GARCH、GARCH-M、IGARCH、EGARCH、TGARCH 5個模型. 首先經(jīng)過泊松擬合優(yōu)度檢驗得出廣義誤差分布是最優(yōu)的殘差假定分布，其次建立GED分布下的GARCH類模型，最后對模型樣本內(nèi)、外預測效果以已實現(xiàn)波動率為衡量標準通過M -Z回歸和損失函數(shù)進行檢驗. 結(jié)果表明，有GED分布的GARCH（1，1）模型是樣本內(nèi)和樣本外預測滬深300股指期貨日收益率的波動率最佳模型.