劉 順，郭志東

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

0 引言

期權(quán)定價(jià)是當(dāng)代金融數(shù)學(xué)理論中的重要研究課題之一. 金融衍生產(chǎn)品定價(jià)發(fā)展至今，應(yīng)用最為普遍的模型是由Black和Scholes［1］于1973年建立的，被稱為經(jīng)典的B-S期權(quán)定價(jià)模型. 外匯期權(quán)是指投資者向賣方繳納一定數(shù)量的期權(quán)費(fèi)后，擁有的在將來一定時(shí)間內(nèi)進(jìn)行外匯交易的選擇權(quán). 應(yīng)用最為普遍的外匯期權(quán)定價(jià)模型由Garman等［2］提出，他們修改B-S模型服從的條件，給出歐式外匯期權(quán)的定價(jià)模型，簡(jiǎn)稱BS-GK 模型. 自此之后，大多數(shù)研究外匯期權(quán)定價(jià)問題的學(xué)者和專家都是基于BS-GK 模型進(jìn)行的.Foad等［3］研究帶有跳躍的混合分?jǐn)?shù)機(jī)制下的外匯期權(quán)定價(jià)問題，得到該模型下定價(jià)公式的顯示解，且數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證該模型的合理性. Sun［4］研究混合分?jǐn)?shù)機(jī)制下的外匯期權(quán)定價(jià)問題，得到該模型下定價(jià)公式的顯示解，實(shí)證研究證實(shí)理論結(jié)果并給出波動(dòng)率的估計(jì)量. Foad［5］研究帶有交易費(fèi)用的次擴(kuò)散分?jǐn)?shù)B-S模型下的外匯期權(quán)定價(jià)問題，運(yùn)用均值自融資delta對(duì)沖理論，給出在離散時(shí)間條件下外匯期權(quán)的價(jià)格，實(shí)證研究表明，時(shí)間步長(zhǎng)和長(zhǎng)程相關(guān)性對(duì)于期權(quán)定價(jià)有著顯著的影響. Amin［6］在假設(shè)決定期限結(jié)構(gòu)的波動(dòng)函數(shù)確定的條件下，得到貨幣期貨的封閉解. 吳永紅等［7］討論帶有利率的歐式外匯期權(quán)的定價(jià)問題，運(yùn)用鞅方法，得到模型下期權(quán)的價(jià)格.

B-S模型的隨機(jī)驅(qū)動(dòng)源為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，它不能描述原生資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的長(zhǎng)程相關(guān)性等特征，存在一定的缺陷. 許多研究人員嘗試修改B-S 模型的假設(shè)條件，以此來更好地描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的規(guī)律. 部分學(xué)者選擇分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)作為隨機(jī)驅(qū)動(dòng)源［8-10］. Bojdecki等［11］引入次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，與分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)相比，次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的增量在非重疊區(qū)間內(nèi)的相關(guān)性較弱，并且其協(xié)方差隨著區(qū)間間隔無(wú)窮大而迅速衰減. 根據(jù)這一特點(diǎn)，次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更加適用于國(guó)內(nèi)外金融市場(chǎng)的需求. 程志勇等［12］研究次分?jǐn)?shù)機(jī)制下有支付紅利的期權(quán)定價(jià)問題，運(yùn)用偏微分方程的方法得到該模型下價(jià)格的解析表達(dá)式，實(shí)證研究說明該模型比經(jīng)典的B-S模型更接近真實(shí)的股票價(jià)格. 徐峰［13］建立次分?jǐn)?shù)機(jī)制下交換期權(quán)的定價(jià)模型，利用公平保費(fèi)定價(jià)方法得到該模型下期權(quán)價(jià)格的顯示表達(dá)式. Wang等［14］建立次分?jǐn)?shù)機(jī)制下的幾何亞式冪期權(quán)定價(jià)模型，利用隨機(jī)微分方程理論得到該模型下期權(quán)價(jià)格的顯示表達(dá)式，結(jié)果表明次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)可以很好地模擬股票價(jià)格的變化. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，其擬合效果優(yōu)于幾何布朗運(yùn)動(dòng). 因此，將次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)作為隨機(jī)驅(qū)動(dòng)源能更好地刻畫標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化. 在上述文獻(xiàn)中，主要研究歐式期權(quán)、交換期權(quán)及亞式期權(quán)在次分?jǐn)?shù)機(jī)制下的定價(jià)問題，而外匯期權(quán)在次分?jǐn)?shù)機(jī)制下的定價(jià)問題均沒有考慮. 基于此，將探究外匯期權(quán)在次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的定價(jià)問題.

1 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

2 次分?jǐn)?shù)機(jī)制下的外匯期權(quán)定價(jià)模型

外匯期權(quán)是一種創(chuàng)新型金融衍生產(chǎn)品，常被用于外匯風(fēng)險(xiǎn)管理. 由于外匯期權(quán)具備回避不對(duì)稱性風(fēng)險(xiǎn)的作用，因此，越來越受到投資者的關(guān)注和青睞.

設(shè)外匯匯率St在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，滿足

3 次分?jǐn)?shù)機(jī)制下的外匯期權(quán)定價(jià)公式

上一節(jié)中求得次分?jǐn)?shù)機(jī)制下的外匯期權(quán)價(jià)格滿足的方程，求解定解問題（2）～（3），可以得到外匯期權(quán)的價(jià)格V.

定理2 到期日為T和實(shí)施價(jià)格為K的歐式外匯看漲期權(quán)的價(jià)格V可表示為

可得

4 數(shù)值計(jì)算

在本節(jié)中，將給出模型下的相關(guān)數(shù)值計(jì)算，并與經(jīng)典的BS-GK模型作比較.

根據(jù)文獻(xiàn)［3，5］，選取適當(dāng)參數(shù)：

由表1和圖1可得，敲定價(jià)格K以及赫斯特參數(shù)H會(huì)影響歐式外匯看漲期權(quán)的價(jià)格. 在赫斯特參數(shù)H固定的前提下，若敲定價(jià)格K越大，則期權(quán)的價(jià)格越??；另外，在同一敲定價(jià)格K下，若H越大，則期權(quán)的價(jià)格越小.

圖1 外匯期權(quán)價(jià)格V 的變化趨勢(shì)圖

表1 敲定價(jià)格K 和赫斯特參數(shù)H 取不同值的計(jì)算結(jié)果

圖2顯示在相同參數(shù)情況下，經(jīng)典的BS-GK模型和次分?jǐn)?shù)模型下的歐式外匯看漲期權(quán)的價(jià)格變化趨勢(shì)圖. 進(jìn)一步證明次分?jǐn)?shù)機(jī)制下的歐式外匯看漲期權(quán)定價(jià)公式的合理性與準(zhǔn)確性.

圖2 次分?jǐn)?shù)模型與經(jīng)典GK模型下外匯期權(quán)價(jià)格變化

5 結(jié)論

建立外匯期權(quán)的一個(gè)新的定價(jià)模型. 運(yùn)用Delta 對(duì)沖技術(shù)，無(wú)套利原理得到次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下歐式外匯看漲期權(quán)滿足的偏微分方程定解問題. 利用變量變換的方法，得到模型下期權(quán)定價(jià)公式的解析表達(dá)式. 數(shù)值計(jì)算顯示，在相同參數(shù)值下，該模型下期權(quán)的價(jià)格低于幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的價(jià)格. 另外，歐式外匯看漲期權(quán)的價(jià)格隨著K的增大而減小.