董建權(quán)，郭將，栗廣才，羅鋒

(1.武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院,武漢 430079；2.自然資源部航空地球物理與遙感地質(zhì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100083；3.武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心,武漢 430079)

0 引 言

精密單點(diǎn)定位(PPP)是指利用載波相位觀測(cè)值以及精密衛(wèi)星星歷和衛(wèi)星鐘差來(lái)進(jìn)行高精度單點(diǎn)定位的方法[1].與相對(duì)定位不同，PPP 采用單臺(tái)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)接收機(jī)，使用精密產(chǎn)品，同時(shí)采用精細(xì)化改正模型、參數(shù)估計(jì)或通過(guò)組合觀測(cè)值的方法對(duì)誤差進(jìn)行改正，以達(dá)到高精度定位的目的.由于PPP 無(wú)需參考站提供差分值，也就擺脫了距離的限制[2].因此，PPP 技術(shù)在低軌衛(wèi)星定軌[3]、變形監(jiān)測(cè)和災(zāi)害預(yù)報(bào)[4-6]、航空測(cè)量[7]等領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用.

對(duì)流層延遲是GNSS 定位的主要誤差源之一，其在天頂(U)方向延遲約為2～3 m，在高度角為10° 時(shí)的延遲約為20 m[8].其中，對(duì)流層延遲對(duì)高程方向定位精度影響最大，而高程測(cè)量誤差又是航空重力測(cè)量誤差的主要影響因素[9].因此，削弱對(duì)流層延遲對(duì)PPP 在航空重力測(cè)量等領(lǐng)域的應(yīng)用極為重要.目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)不同對(duì)流層延遲改正策略進(jìn)行了諸多研究，閆志闖等[10]利用分布全球的10 個(gè)國(guó)際GNSS服務(wù)(IGS)站數(shù)據(jù)分析了三種對(duì)流層參數(shù)估計(jì)方法對(duì)PPP 定位精度的影響，得出了單參數(shù)方法在U 方向的定位精度與分段常數(shù)法相比，最大差異超過(guò)了1.5 cm，而附加隨機(jī)漫步過(guò)程約束的分段常數(shù)法與分段常數(shù)法定位精度相當(dāng)?shù)慕Y(jié)論；翟樹(shù)峰等[11]利用分布于不同區(qū)域的IGS 站的觀測(cè)數(shù)據(jù)，比較了不同對(duì)流層映射函數(shù)對(duì)PPP 定位精度的影響，發(fā)現(xiàn)VMF1模型和GMF 模型的定位精度相似，而NMF 模型定位精度不如前兩者，并且模型差異會(huì)隨季節(jié)發(fā)生毫米級(jí)的變化；熊聚中[12]研究了估計(jì)對(duì)流層折射的隨機(jī)過(guò)程方法，提出了一種基于GPS 網(wǎng)的隨機(jī)過(guò)程方法用于對(duì)流層延遲改正，同時(shí)也給出了基于最小二乘估計(jì)的實(shí)現(xiàn)方法，并分析了隨機(jī)過(guò)程中的參數(shù)影響和選擇范圍.但是，目前對(duì)流層延遲改正方法的研究主要利用IGS 測(cè)站的靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)，而對(duì)流層模型在機(jī)載PPP 的性能還沒(méi)有被評(píng)估過(guò).因此，本文利用機(jī)載數(shù)據(jù)，分析了GMF、NMF、VMF1、VMF3 作為映射函數(shù)，以及作為隨機(jī)游走噪聲(RWN)參數(shù)對(duì)PPP 的影響.

1 對(duì)流層延遲改正

1.1 基本原理

當(dāng)衛(wèi)星信號(hào)通過(guò)對(duì)流層時(shí)產(chǎn)生折射，傳播速度變慢，傳播路徑彎曲.若真空中的折射系數(shù)n為1，則對(duì)流層延遲計(jì)算公式為

式中：n為對(duì)流層中某處的大氣折射系數(shù)；ray 和 vac 分別為信號(hào)的實(shí)際和理論(沿直線)傳播路徑；τ 為路徑彎曲，通?？珊雎訹13].

由于 (n-1) 的數(shù)值很小，為方便計(jì)算，常令N=(n-1)×106，并將N稱為大氣折射指數(shù).大氣折射指數(shù)N可分為流體靜力學(xué)部分(干氣部分)Nd和非流體靜力學(xué)部分(濕氣部分)Nw.相應(yīng)地，對(duì)流層延遲可表示為

式中：ρd為對(duì)流層延遲干分量，主要由干燥氣體折射產(chǎn)生，占整個(gè)延遲量的80%～90%；ρw為對(duì)流層延遲濕分量，主要由水蒸氣折射產(chǎn)生，占整個(gè)延遲量的10%～20%.干分量部分通常采用對(duì)流層模型進(jìn)行改正.而濕分量部分極不穩(wěn)定，在U 方向上的變化可能達(dá)到6～8 cm/h，是干分量的3～4 倍[14]，難以完全用數(shù)學(xué)模型去描述，因此在PPP 中常將其作為待估參數(shù)求解.

此外，信號(hào)傳播路徑上的對(duì)流層延遲可以表示為天頂對(duì)流層延遲(ZTD)與投影函數(shù)(MF)的乘積，其中，ZTD 是天頂干延遲(ZHD)和天頂濕延遲(ZWD)之和.故(2)式可表示為

式中：E為衛(wèi)星高度角；ρZHD和 ρZWD分別為天頂對(duì)流層干延遲和天頂對(duì)流層濕延遲；md(E) 和mw(E) 分別是相應(yīng)地干延遲和濕延遲的投影系數(shù).

目前的GNSS 定位一般選取Hopfield[15]、Saastamoinen[16]等模型作為天頂對(duì)流層改正模型，再采用合適的映射函數(shù)轉(zhuǎn)換至非U 方向，其常用的投影函數(shù)有Marini[17]、NMF[18]、GMF[19]等模型.關(guān)于對(duì)流層改正模型已有許多文獻(xiàn)研究，本文主要介紹參數(shù)估計(jì)法和不同映射函數(shù)對(duì)PPP 的影響.

1.2 參數(shù)估計(jì)方法

由上述可知，濕延遲在時(shí)間和空間上都不穩(wěn)定，通過(guò)模型只能改正約70%的影響，仍存在一部分殘差無(wú)法消除.對(duì)于高精度定位而言，剩余的殘差仍有較大的影響.這些殘差可以用一個(gè)一階高斯-馬爾可夫過(guò)程來(lái)描述

式中：τρ為隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)時(shí)間；W(t) 是方差為 σ2W的零均值高斯白噪聲

式(1)～(4)的離散解為

式中，

當(dāng) τρ→∞ 時(shí)，一階高斯-馬爾可夫過(guò)程即變?yōu)殡S機(jī)游走過(guò)程

文獻(xiàn)[14]表明：隨機(jī)過(guò)程估計(jì)是目前最理想的對(duì)流層折射估計(jì)模型，且對(duì)于隨機(jī)游走過(guò)程估計(jì)來(lái)說(shuō)，σW的選擇對(duì)定位結(jié)果有一定的影響.故本文針對(duì)不同噪聲參數(shù)對(duì)PPP 定位結(jié)果的影響進(jìn)行了對(duì)比分析.

1.3 映射函數(shù)

在PPP 中，映射函數(shù)用于將U 方向上的ZTD 投影到傳播方向上，其性能好壞直接影響PPP 的定位精度.隨著國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究，目前最常用的映射函數(shù)主要有：NMF 模型、VMF 系列模型和GMF 模型，下面分別進(jìn)行介紹.

1.3.1 NMF 模型

NMF 模型是由Neill 在1996年建立的全球模型[18]，該模型中的映射函數(shù)由干分量映射函數(shù)md和濕分量映射函數(shù)mw兩部分組成.其中，干分量映射函數(shù)md的計(jì)算公式為

式中：E為高度角；H為正高；通過(guò)最小二乘法擬合九個(gè)仰角的高度校正得到的高程修改系數(shù)：aht=2.53×10-5；bht=5.49×10-3；cht=1.14×10-3.系數(shù)ad、bd、cd可由式(10)內(nèi)插后求得

式中：φ為測(cè)站緯度；t為年積日；p為系數(shù)ad、bd和cd；p0和p1分別為干延遲系數(shù)的年平均值和振幅.計(jì)算距離測(cè)站最近緯度的干延遲系數(shù)，如表1所示，最后通過(guò)線性插值得到測(cè)站處的系數(shù).當(dāng)測(cè)站緯度低于15°或高于75°時(shí)取臨界值，不需要進(jìn)行插值[20].

表1 干分量投影函數(shù)系數(shù)表

濕分量的映射函數(shù)mw的計(jì)算公式為

當(dāng)測(cè)站緯度在15°～75°時(shí)，對(duì)于濕分量的系數(shù)aw、bw、cw來(lái)說(shuō)，由于沒(méi)有季節(jié)變化，因此可直接通過(guò)查表2得到分段緯度濕延遲系數(shù)，然后對(duì)測(cè)站進(jìn)行插值.

表2 濕分量投影函數(shù)系數(shù)表

1.3.2 VMF 系列模型

VMF 系列模型是由奧地利維也納理工大學(xué)BOEHM 等[19]所建立.從早期的VMF 模型[21]，逐漸發(fā)展為VMF1 模型[22]以及VMF3 模型[23]，其形式與NMF 類似，區(qū)別就是系數(shù)的取值不同.

1) VMF1 模型

VMF1 中的系數(shù)ad和aw是該大學(xué)依據(jù)實(shí)測(cè)氣象資料而生成的格網(wǎng)圖來(lái)提供的，用戶可以從網(wǎng)站上下載，內(nèi)插后使用，但存在34 h 的延遲.而系數(shù)bd、cd則是根據(jù)歐洲中尺度天氣預(yù)報(bào)中心(ECMWF)的氣象資料求得.其中bd為常數(shù)，取0.002 9，cd用式(12)計(jì)算：

式中：c0=0.062，而c1、c2和φ根據(jù)測(cè)站位置進(jìn)行選擇，當(dāng)測(cè)站位于北緯地區(qū)時(shí)，c10=0.006，c11=0.000，ψ=0；當(dāng)測(cè)站位于南緯地區(qū)時(shí)，c10=0.006，c11=0.001，ψ=π.bw和cw采用NMF 濕延遲映射函數(shù)在緯度為45°處的值，即bw=0.001 46，cw=0.043 91[24].

2) VMF3 模型

Landskron 等在2018年提出了VMF3 模型[23]，VMF3 在低衛(wèi)星高度角延遲等方面更優(yōu)于VMF1.其中，干濕系數(shù)b、c的計(jì)算公式為

式中：B0為年平均值；B1和C1為年振幅；B2和C2為半周年振幅.VMF3 中的ad和aw可以從網(wǎng)站上下載，也可以直接通過(guò)GPT 模型得到，便于進(jìn)行實(shí)時(shí)定位.

1.3.3 GMF 模型

為解決VMF1 的時(shí)延問(wèn)題，BOEHM 等[19]又提出了GMF 模型.它借鑒了NMF 模型中的做法而具有較好的精度，又解決了VMF1 的時(shí)延問(wèn)題[25].GMF模型與NMF 模型的區(qū)別在于系數(shù)不同.在GMF 模型中，ad和aw的計(jì)算公式為

式中：doy是以1980年1月1日為起始?xì)v元計(jì)算得到；A0為年平均值；A1為周年振幅，均利用9 階球諧函數(shù)展開(kāi).bd和cd、bw和cw的計(jì)算公式與VMF1 模型相同.

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 數(shù)據(jù)獲取及解算軟件

本文采用機(jī)載動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于海南省機(jī)載實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)路徑全長(zhǎng)約500 km，具體飛行路徑如圖1所示.飛機(jī)搭載NovAtel GPScard 接收機(jī)，采集時(shí)段從2021-03-27 UTC 06：29：00—11：50：00.

圖1 2021-03-27 機(jī)載實(shí)驗(yàn)路徑示意圖

在數(shù)據(jù)處理時(shí)，考慮到雙差解算的定位精度和穩(wěn)定性整體優(yōu)于非差解算[26]，使用RTKLIB 軟件雙差解算結(jié)果作為坐標(biāo)的真值參考值.此外，由于飛機(jī)和基準(zhǔn)站的高差較大，本研究在基線解算時(shí)設(shè)置了更大的對(duì)流層參數(shù)過(guò)程噪聲來(lái)提高雙差模糊度固定成功率，最終基線解模糊度固定成功率達(dá)到99.3%，因此可將其作為可靠的參考值使用.然后使用PRIDE PPP-AR 軟件處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù).該軟件可應(yīng)用于動(dòng)態(tài)移動(dòng)平臺(tái)，適用于航空攝影測(cè)量、船載重力測(cè)量等，可滿足本實(shí)驗(yàn)解算需求.

2.2 數(shù)據(jù)處理方法

本文旨在研究不同映射函數(shù)對(duì)PPP 結(jié)果的影響，同時(shí)也探究了隨機(jī)游走噪聲的選擇對(duì)定位精度的影響.在數(shù)據(jù)處理時(shí)，以相對(duì)定位結(jié)果作為參考真值，基線解模糊度固定成功率達(dá)到99.3%.然后使用PRIDE PPP-AR 軟件處理數(shù)據(jù)，為研究不同映射函數(shù)對(duì)定位結(jié)果的影響，分別選取GMF、NMF、VMF1 和VMF3 作為映射函數(shù)進(jìn)行解算.而實(shí)際應(yīng)用表明，隨機(jī)游走參數(shù)一般取1 0 ～30 mm/比較合適[14].考慮到對(duì)流層延遲對(duì)高程比較敏感，且載具運(yùn)動(dòng)范圍較大，故本文擴(kuò)大參數(shù)的范圍，選取作為隨機(jī)游走噪聲參數(shù)，以適應(yīng)對(duì)流層大幅度變化的情況.

解算時(shí)位置當(dāng)作白噪聲(WN)參數(shù)來(lái)估計(jì)，每歷元以標(biāo)準(zhǔn)單點(diǎn)定位解作為初值；接收機(jī)參數(shù)也當(dāng)作WN 參數(shù)估計(jì)，噪聲給定為 9 000 m/；電離層延遲通過(guò)無(wú)電離層組合消除；需要注意的是由于飛行速度很大，其所處對(duì)流層環(huán)境變化劇烈，因此本研究采用了每歷元單獨(dú)估計(jì)對(duì)流層參數(shù)的策略，具體解算策略如表3所示.

表3 PPP 解算策略

2.3 位置精度對(duì)比分析

1)不同模型對(duì)定位精度的影響

對(duì)獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行PPP 解算，分別選取GMF、NMF、VMF1 及VMF3 作為映射函數(shù).圖2顯示了不同映射函數(shù)下東(E)、N、U 三個(gè)方向誤差序列，表4顯示了不同模型在三個(gè)方向定位偏差的均方根(RMS)值.可以看出，四種模型的定位結(jié)果大致相同，均在零值附近波動(dòng)，能起到較好地改正效果.但基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ虶MF 與NMF 的PPP 對(duì)流層估值由于沒(méi)有考慮氣壓、濕度、地形等信息，其估值非常平穩(wěn)，只在飛機(jī)起飛降落時(shí)有“突變”，并沒(méi)有很好地描述長(zhǎng)距離飛行過(guò)程中的對(duì)流層變化趨勢(shì).相應(yīng)地，其高程方向定位誤差偏大，僅為14.13 cm.

圖2 GMF、NMF、VMF1、VMF3 模型定位結(jié)果圖

表4 不同模型在E、N、U 方向定位偏差的RMS 值 cm

與經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒煌氖牵诰雀叩母煞至?、濕分量改正的VMF1 和VMF3 在對(duì)流層變化劇烈的環(huán)境中具有更好的表現(xiàn)，對(duì)流層估值相比經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ兔枋隽烁唷白兓?xì)節(jié)”.相應(yīng)地，基于VMF1 模型的PPP 高程方向定位精度達(dá)到了13.45 cm，相比GMF模型提高了5%.但在N 方向VMF 模型定位結(jié)果較GMF 降低了8%.

2) RWN 對(duì)定位精度的影響

為對(duì)比RWN 對(duì)定位精度的影響，分別設(shè)置隨機(jī)游走過(guò)程的噪聲參數(shù) σ 為映射函數(shù)均為VMF3 模型.圖3顯示了不同噪聲參數(shù)下E、N、U 三個(gè)方向的定位結(jié)果與真值偏差的時(shí)間序列，表5顯示了不同模型在三個(gè)方向定位偏差的RMS.可以看出，隨著 σ 選取的增大，E 和N 方向的定位精度均有所提高并趨于穩(wěn)定，但 σ 的值過(guò)大時(shí)，U方向的定位精度則會(huì)降低.這說(shuō)明 σ 的選取對(duì)定位精度有一定影響，針對(duì)不同需求需選擇合適的 σ 值.

圖3 不同RWN 下PPP 在E、N、U 方向定位結(jié)果

表5 不同RWN 下PPP 在E、N、U 方向定位偏差的RMS 值

此外，從上述結(jié)果可以看出，不同對(duì)流層模型對(duì)U 和N 方向定位結(jié)果的影響較大，分別達(dá)到約3 mm 和4 mm，對(duì)E 方向定位結(jié)果影響最小，僅有約1 mm.

2.4 ZTD 對(duì)比分析

將所得到的數(shù)據(jù)經(jīng)PRIDE PPP-AR 軟件處理后，得到了不同模型下的ZTD、ZHD、ZWD 的值，如圖4所示.對(duì)比不同模型發(fā)現(xiàn)，相比GMF 和NMF 模型，采用VMF1 和VMF3 模型的ZHD 較平穩(wěn)，未能反映飛機(jī)起飛降落時(shí)的變化；而對(duì)于ZWD 來(lái)說(shuō)，四種模型均能在反映飛機(jī)起飛降落時(shí)的變化，但VMF1 和VMF3 模型變化較平滑，GMF 和NMF 模型變化較劇烈.

圖4 四種模型的ZHD、ZWD、ZTD 值

而對(duì)比不同噪聲發(fā)現(xiàn)，噪聲選取對(duì)ZTD 估值具有一定影響，噪聲選取越小，ZTD 越平滑，反之則越粗糙，如圖5所示，選擇10 mm/既不會(huì)因 σ 太小導(dǎo)致不符合實(shí)際，也不會(huì)因 σ 太大導(dǎo)致畸變.

圖5 不同隨機(jī)游走噪聲下E、N、U 方向的ZHD、ZWD、ZTD 值

2.5 驗(yàn)后殘差對(duì)比分析

圖6繪制了不同模型定位后相位殘差和偽距殘差.可以看到，對(duì)于偽距殘差，幾種模型的結(jié)果基本相同.而對(duì)于相位殘差，VMF1 和VMF3 模型較GMF和NMF 模型更大，采用1 0 mm/的噪聲后相位殘差有所減小，但還是不如GMF 和NMF 模型.

圖6 五種模型的殘差圖

為進(jìn)一步研究，表6和表7記錄了不同模型下相位殘差和偽距殘差的最大值(Max)、最小值(Min)及GPS、GALONASS、北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)三個(gè)衛(wèi)星系統(tǒng)的RMS 值.對(duì)比發(fā)現(xiàn)，不同模型偽距殘差僅存在毫米級(jí)的差別，而相位殘差存在分米級(jí)的差別.其中，VMF1 和VMF3 模型結(jié)果較差，RMS 值也略大.

表6 相位殘差的Max、Min 及GPS、GALONASS、BDS 三個(gè)衛(wèi)星系統(tǒng)殘差的RMS 值cm

表7 偽距殘差的Max、Min 及GPS、GALONASS、BDS 三個(gè)衛(wèi)星系統(tǒng)的RMS 值m

經(jīng)檢查后發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)中的G09、C09 號(hào)衛(wèi)星殘差結(jié)果偏差過(guò)大，從圖6中也可以看出VMF 系列相位殘差中有衛(wèi)星異常突起.這兩顆衛(wèi)星在觀測(cè)弧段平均高度角約30°，推測(cè)殘差異常是VMF 系列映射函數(shù)與GMF 在低高度角衛(wèi)星處理上的差異導(dǎo)致.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用開(kāi)源的PRIDE PPP-AR 軟件對(duì)機(jī)載實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以相對(duì)定位結(jié)果作為真值，對(duì)比了不同對(duì)流層模型、參數(shù)估計(jì)模型對(duì)定位精度的影響.結(jié)果表明：

1)不同對(duì)流層模型對(duì)N、U 方向定位結(jié)果影響較大，分別達(dá)到約3 mm 和4 mm，對(duì)E 方向定位結(jié)果影響最小，僅約有1 mm.

2)四種模型均能滿足機(jī)載PPP 定位需求，獲得水平厘米級(jí)、高程約1～2 dm 的定位精度.其中，VMF1和VMF3 模型定位結(jié)果基本相同，GMF 和NMF 模型定位結(jié)果基本相同.此外，VMF1 和VMF3 模型在高程方向上定位精度優(yōu)于GMF 和NMF 模型，提高約5%，但在N 方向VMF 模型定位結(jié)果較GMF 降低了8%.因此，針對(duì)不同需求應(yīng)采用合適的對(duì)流層模型進(jìn)行改正，以滿足用戶的定位需求.