黃 翔，童 莉，宋亦然

當(dāng)數(shù)學(xué)與音樂在課程中相遇：“目標(biāo)”“內(nèi)容”與“教學(xué)”

黃 翔1，童 莉1，宋亦然2

（1．重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331；2．溫州肯恩大學(xué) 理工學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江 溫州 325060）

跨界與融合是教育發(fā)展的新趨勢(shì)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）》設(shè)置了《音樂中的數(shù)學(xué)》這一選修課程，這是數(shù)學(xué)與音樂兩門學(xué)科跨界與融合的體現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)與音樂從古至今皆有學(xué)科因緣，當(dāng)數(shù)學(xué)與音樂在課程中相遇時(shí)，碰撞出的課程目標(biāo)、內(nèi)容和教學(xué)具有深意：課程目標(biāo)注重聚焦核心素養(yǎng)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化、關(guān)注跨界思維、審美能力；課程內(nèi)容以“主線—主題—核心內(nèi)容”為結(jié)構(gòu)，以音樂為邏輯起點(diǎn)、數(shù)學(xué)為落腳點(diǎn)，以兩者的聯(lián)系為呈現(xiàn)方式；課程教學(xué)要善于在數(shù)學(xué)與音樂兩種語境的交叉關(guān)聯(lián)中尋找教學(xué)價(jià)值點(diǎn)，以問題探究的方式從音樂現(xiàn)象到數(shù)學(xué)理性，善于選取生動(dòng)典型的音樂素材進(jìn)行作品案例分析，注意突出數(shù)學(xué)的思想方法凸現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，運(yùn)用多樣化的學(xué)習(xí)方式培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神．

跨學(xué)科；音樂中的數(shù)學(xué)；課程目標(biāo)；課程內(nèi)容

隨著課程改革的推進(jìn)，跨界與融合成為教育發(fā)展的新趨勢(shì)，也必然帶來傳統(tǒng)學(xué)科邊界的軟化、交叉，STEAM教育理念以及芬蘭的“現(xiàn)象式教學(xué)”的核心都是跨學(xué)科教育．跨界融合思維下的教育突破了傳統(tǒng)的課程思維模式，帶來了教育改革的全新視角和啟示．特別是STEAM教育將“A”（art）這一綜合性的人文藝術(shù)融入其中，能幫助學(xué)生優(yōu)化不同學(xué)科知識(shí)的理解與應(yīng)用[1]．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）在選修D(zhuǎn)類課程中設(shè)置了美與數(shù)學(xué)、音樂中的數(shù)學(xué)、美術(shù)中的數(shù)學(xué)、體育運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)等4個(gè)專題．雖然《課標(biāo)》從整體上對(duì)高中數(shù)學(xué)課程理念、目標(biāo)、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及各類課程定位等做了設(shè)計(jì)，但對(duì)于選修D(zhuǎn)類課程，只是在內(nèi)容框架上做了規(guī)定，沒有進(jìn)行詳細(xì)解釋與說明，一線教師在教學(xué)中存在無從下手的困境．首次設(shè)置的《音樂中的數(shù)學(xué)》課程令人眼前一亮，音樂與數(shù)學(xué)感覺是截然不同的兩門學(xué)科，音樂與數(shù)學(xué)能跨界融合嗎？如何設(shè)置跨界融合的課程？如何進(jìn)行《音樂中的數(shù)學(xué)》教學(xué)？值得進(jìn)行深入思考．

1 學(xué)科因緣：山麓分手與山頂會(huì)合

數(shù)學(xué)與音樂盡管被人們認(rèn)為是分屬于不同領(lǐng)域、相隔甚遠(yuǎn)的兩個(gè)學(xué)科，但從歷史早期看，它們卻曾牽手而行．

古希臘時(shí)期，音樂與數(shù)學(xué)就是密不可分的．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派受所信奉的“萬物皆數(shù)”觀點(diǎn)的影響，將數(shù)推向一個(gè)可以統(tǒng)治宇宙的至高無上的地位，“他們?cè)噲D基于音樂的比例或者簡(jiǎn)單而典雅的幾何形態(tài)來解釋整個(gè)宇宙”[2]．并認(rèn)為數(shù)學(xué)研究的數(shù)、關(guān)系等就是音樂中所固有的因素．這一時(shí)期通過研究整數(shù)之間的比率來發(fā)展音階、構(gòu)成和聲就是這一觀點(diǎn)典型的反映．

就當(dāng)時(shí)的學(xué)校課程來看，數(shù)學(xué)與音樂也是天然結(jié)緣且地位相當(dāng)?shù)模呥_(dá)哥拉斯學(xué)派曾對(duì)課程作了一個(gè)劃分，后來演變成為“四藝”，即：算術(shù)、音樂、幾何、天文．在四藝中，音樂是一門嚴(yán)格的數(shù)學(xué)科學(xué)，它被用來處理數(shù)的關(guān)系、比率和比例．這之后又逐漸增加語法、修辭學(xué)和邏輯學(xué)，四藝最終演化為了“七藝”，但是在演化過程中，音樂仍然是數(shù)學(xué)的附屬部分，這種情況在整個(gè)中世紀(jì)一直沒有改變．

就中國的教育傳統(tǒng)來看，音樂與數(shù)學(xué)在早期教育中也是相提并論的學(xué)習(xí)內(nèi)容，如春秋戰(zhàn)國時(shí)期讀書人必學(xué)的“六藝”——禮、樂、射、御、書、數(shù)，就把兩者并列其中．

在以后漫長的歷史進(jìn)程中，數(shù)學(xué)與音樂似乎在各自走著自己的路，特別是在嚴(yán)格、清晰的學(xué)科邊界劃分之下，它們成為了人們印象中互不關(guān)聯(lián)的學(xué)科．

但是，歷史的淵源是歲月隔不斷的．?dāng)?shù)學(xué)與音樂雖然在各自的科學(xué)與人文領(lǐng)域發(fā)展成特色鮮明的學(xué)科，但它們終有不解之緣．

誠如德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲所言：“音樂生于直覺，其基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)．”英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特表達(dá)得更是直白：“難道不能把音樂描述成感知的數(shù)學(xué)，而把數(shù)學(xué)描述成推理的音樂？它們的靈魂是相通的．”[3]音樂是藝術(shù)的，它離不開人的情感體驗(yàn)與情感表達(dá)，但音樂的認(rèn)識(shí)、表達(dá)、創(chuàng)作又是離不開物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的客觀規(guī)律的，它也需要科學(xué)的態(tài)度．更本質(zhì)的，數(shù)學(xué)與藝術(shù)的一致性表現(xiàn)在目的性是相同的，都是為了促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步[4]，音樂和數(shù)學(xué)追求的都是“真、善、美”，這是它們相互融合的共同價(jià)值基礎(chǔ)．這正如福樓拜所說：“越往前走藝術(shù)越是科學(xué)化，同時(shí)科學(xué)越是藝術(shù)化．兩者在山麓分手，有朝一日終將在山頂重逢．”

其實(shí)，人文性與科學(xué)性的連接點(diǎn)最根本的在于人的活動(dòng)．時(shí)代發(fā)展到今天，學(xué)校教育正需要從知識(shí)傳授向?qū)W科育人轉(zhuǎn)變，課程成為實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變最好的載體．?dāng)?shù)學(xué)與音樂在課程中攜手就成為新時(shí)代背景下課程育人的必然選擇．

2 作為課程的《音樂中的數(shù)學(xué)》

作為課程的《音樂中的數(shù)學(xué)》，首先需要明確的是：這是一門數(shù)學(xué)課程，不是音樂課程．作為數(shù)學(xué)課程，就要具有課程的結(jié)構(gòu)與模式，要符合《課標(biāo)》的整體設(shè)計(jì)與總體要求，聚焦其作為課程的理念、目標(biāo)、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容以及評(píng)價(jià)等，在過程中強(qiáng)化學(xué)生在其過程中核心素養(yǎng)的發(fā)展，關(guān)注學(xué)生能獲取的思維方法、情感態(tài)度等．

只有將課程目標(biāo)思考好、課程內(nèi)容安排好、課程方式設(shè)計(jì)好，才能更加科學(xué)地將片段式的教學(xué)內(nèi)容整合成課程，才能發(fā)揮出《音樂中的數(shù)學(xué)》在跨學(xué)科教學(xué)中的使命．

2.1 關(guān)于課程理念和目標(biāo)的聚焦點(diǎn)

作為一個(gè)課程，它除了在整體上應(yīng)體現(xiàn)《課標(biāo)》的目標(biāo)規(guī)定性外，更應(yīng)體現(xiàn)它作為該課程應(yīng)具有的、特有的育人價(jià)值性．有這樣幾點(diǎn)在課程實(shí)施中應(yīng)予以突出．

（1）立足素養(yǎng)培養(yǎng)．這是此次高中課程改革的核心價(jià)值取向，也是在這一理念指引之下，對(duì)課程整體設(shè)計(jì)貫穿的一條主線，其中明確要求“研究制定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”[5]．正如高中《課標(biāo)》所指出的那樣，數(shù)學(xué)教育“要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”[6]．這里的“三會(huì)”其實(shí)就是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)．《音樂中的數(shù)學(xué)》事實(shí)上為發(fā)展學(xué)生“三會(huì)”提供了很好的素材和平臺(tái)，它為學(xué)生提供了一個(gè)從數(shù)學(xué)去看音樂的視角．不僅能開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，也能促使學(xué)生借助數(shù)學(xué)獨(dú)有的眼光、思維、方法，去探究、認(rèn)識(shí)音樂的規(guī)律，更加理性地理解音樂、鑒賞音樂的美和感受音樂的魅力，從而促使自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)和音樂素養(yǎng)的提高．

（2）體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化．適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要，作為學(xué)校課程的數(shù)學(xué)，更應(yīng)該展示出一種大數(shù)學(xué)觀——數(shù)學(xué)文化觀念．這既是數(shù)學(xué)現(xiàn)代發(fā)展自身本質(zhì)（在人類文明中地位）的體現(xiàn)，也是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的現(xiàn)實(shí)需求．高中新課標(biāo)要求數(shù)學(xué)文化要全方位融入內(nèi)容與教學(xué)，并首次對(duì)數(shù)學(xué)文化的含義作了描述，特別提到它還包括“與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)”．這里的“相關(guān)的人文活動(dòng)”毫無疑問為數(shù)學(xué)與音樂的融合提供了導(dǎo)引．的確，從音樂角度感悟數(shù)學(xué)文化是一個(gè)素材豐富多樣的窗口，例如，眾多數(shù)學(xué)家（傅立葉、梅森、泰勒、伯努利等對(duì)樂音本質(zhì)、弦和膜振動(dòng)的探索以及畢達(dá)哥拉斯、中國古代算學(xué)家朱載堉）對(duì)音律發(fā)展的貢獻(xiàn)都是極好的素材．

（3）發(fā)展跨界思維．課程與教學(xué)中的跨界思維，是指不囿于學(xué)科邊界，重視學(xué)科內(nèi)部、外部的知識(shí)交叉、融合，通過跨界去整合知識(shí)，從而解決問題的思維方式，它的突出特征就是思維上的遷移、融會(huì)、貫通[7]．善于跨界思考問題應(yīng)成為學(xué)科教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的一種思維品質(zhì)．在數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐中往往有這種現(xiàn)象：數(shù)學(xué)的形式結(jié)構(gòu)及邏輯性要求極大促進(jìn)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，但也容易使學(xué)生固守學(xué)科邊界以維護(hù)所謂的“純粹”，這種思維定勢(shì)容易隔絕數(shù)學(xué)與其它知識(shí)，特別是人文知識(shí)之間原本可以融通的聯(lián)系，造成思維的局限性，這是值得反思的．

將數(shù)學(xué)思維跨界到音樂無疑可拓展學(xué)生的思維空間，讓數(shù)學(xué)在跨界思維中“活”起來．在教學(xué)中要善于利用這種思維的交叉、跳躍，讓數(shù)學(xué)的理性思維與音樂的感性思維有更多的交融、互啟、碰撞，在促進(jìn)大腦左、右半球協(xié)調(diào)發(fā)展中提升思維品質(zhì)，使學(xué)生更好地學(xué)會(huì)思考．

（4）獲得美的熏陶．教育，就它的育人本質(zhì)來看就是美的教育．追求美是學(xué)校教育的終極價(jià)值．新時(shí)代背景下的“五育”并舉方針把美育提到了更高的地位．?dāng)?shù)學(xué)課改以來，高中課程2004年版就提出了數(shù)學(xué)審美的目標(biāo)要求，2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步在目標(biāo)中提出，要使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的審美價(jià)值[6]．

有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，美是人的自然屬性和社會(huì)屬性、感性和理性相統(tǒng)一的中介．而數(shù)學(xué)自身，它的美與音樂本身所具有的音樂美，這兩種美是各有特點(diǎn)的，由于數(shù)學(xué)所具有的抽象美、對(duì)稱美、順序美、和諧美等更多體現(xiàn)為一種形式美，這種美顯得“高冷”（與學(xué)生有一定距離），而音樂所具有的旋律美、形象美、情感美、色彩美更外在、易感，無疑這兩種美的交融、互補(bǔ)能為學(xué)生提供一種獨(dú)特的體驗(yàn)，從而為課堂審美教育拓展出新的空間．例如，通過某一音樂作品旋律的模進(jìn)、倒影手法體會(huì)數(shù)學(xué)的平移、對(duì)稱等變換，輔之以這一作品主題本身的意義詮釋和情感渲染，讓學(xué)生不僅能感悟到其中共有的美，而且能在比較中去主動(dòng)欣賞美．所以在《音樂中的數(shù)學(xué)》教學(xué)中，追求的最高境界就是提供一個(gè)美的課程環(huán)境，讓學(xué)生得到美的熏陶，這是超然于數(shù)學(xué)和音樂之上的更高的追求．

2.2 關(guān)于課程內(nèi)容的具體安排

此次高中數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容上強(qiáng)調(diào)突出主線[8]，以“主線—主題—核心內(nèi)容”為結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)課程內(nèi)容．根據(jù)《課標(biāo)》要求，基于課程的特點(diǎn)，可以將《音樂中的數(shù)學(xué)》從3條線展開：樂音基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)視角、樂曲中的數(shù)學(xué)、樂器中的數(shù)學(xué)．這3條線又可以具體安排為5個(gè)主題，每個(gè)主題再細(xì)化為若干內(nèi)容點(diǎn)[9]．在這里反映出一個(gè)課程內(nèi)容上的明顯特點(diǎn)，即：知識(shí)的邏輯起點(diǎn)一般來說是音樂，但知識(shí)學(xué)習(xí)的落腳點(diǎn)是數(shù)學(xué)，重點(diǎn)是在兩者間找到聯(lián)系，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想、方法去分析、解決音樂中的問題．

表1對(duì)該課程內(nèi)容主題、音樂知識(shí)點(diǎn)、相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化案例、課時(shí)建議等提供了一個(gè)設(shè)計(jì)方案（課時(shí)按《課標(biāo)》規(guī)定設(shè)置）．

表1 《音樂中的數(shù)學(xué)》課程安排設(shè)計(jì)方案

3 對(duì)《音樂中的數(shù)學(xué)》的教學(xué)思考

3.1 善于在數(shù)學(xué)與音樂兩種語境的交叉關(guān)聯(lián)中找到教學(xué)的價(jià)值點(diǎn)

《課標(biāo)》對(duì)該課程內(nèi)容的設(shè)定前提是學(xué)生已經(jīng)具有了與高中水平相適應(yīng)的音樂知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)，也就是說作為知識(shí)來看，對(duì)于學(xué)生來說并非具有完全意義上的“新”（當(dāng)然，由于此前學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，部分學(xué)生在音樂上有欠賬又另當(dāng)別論）．那么教學(xué)點(diǎn)在哪兒呢？如前所言，《音樂中的數(shù)學(xué)》希望提供一個(gè)用數(shù)學(xué)的眼光去看音樂的視角，所以關(guān)鍵是在數(shù)學(xué)、音樂兩種語境的交叉、關(guān)聯(lián)中，提升學(xué)生的認(rèn)知水平，即讓學(xué)生能跳出來看問題、想問題，從認(rèn)知發(fā)展上看這應(yīng)是一種元認(rèn)知的要求了．這樣的眼光、思維方法不僅能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，更能促進(jìn)其整個(gè)思維品質(zhì)的提升．

比如音樂的節(jié)拍，這應(yīng)該是學(xué)生在平時(shí)的唱歌等音樂活動(dòng)中都已經(jīng)接觸到了的、有感性認(rèn)知的知識(shí)．節(jié)拍反映到譜子上，就有拍號(hào)，四二拍、四三拍、四四拍等，這個(gè)看起來很簡(jiǎn)單的一個(gè)拍號(hào)，它的本質(zhì)是什么呢？你可以抓住這樣一個(gè)問題把它引向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)的角度來看樂譜拍號(hào)，就可以在很多層次上挖掘到它的數(shù)學(xué)教學(xué)意義：借助分?jǐn)?shù)的意義及運(yùn)算法則對(duì)具體樂譜案例中的節(jié)拍數(shù)、時(shí)長、各種拍號(hào)之間的轉(zhuǎn)換做分析；也可以對(duì)改變節(jié)奏的休止符、附點(diǎn)、連音符的實(shí)質(zhì)作分析；還可以借助運(yùn)算創(chuàng)造一些新的節(jié)拍，等等．

又如“振動(dòng)弦”周期函數(shù)與樂音基本要素的研究、（調(diào)和）平均數(shù)與音的頻率比的關(guān)系、連分?jǐn)?shù)理論與探求音階中音頻率的最佳數(shù)值比等都是這方面極好的素材．

3.2 以問題探究的方式從音樂現(xiàn)象入手上升到數(shù)學(xué)的理性分析

音樂中的一些規(guī)律，常常表現(xiàn)為一些現(xiàn)象，人們更多也是結(jié)合具體作品進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，形成音樂中的常識(shí)．若能結(jié)合音樂發(fā)展的歷史線索和具體情境，設(shè)置問題情境[10]，構(gòu)造問題鏈，驅(qū)動(dòng)探究路徑，引發(fā)層層思考，將現(xiàn)象和常識(shí)上升到數(shù)學(xué)的理性分析，將會(huì)收到“知其然，更知其所以然”的效果．

比如還是一個(gè)最簡(jiǎn)單的音樂常識(shí)：通過“1（do）、2（re）、3（mi）、5（sol）、6（la）”可以構(gòu)成五聲音階，加上“4（fa）、7（si）”這兩個(gè)音又可以構(gòu)成七聲音階，大家都認(rèn)為從來就是這么規(guī)定的，其實(shí)它的背后有許多值得探索的問題，教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么恰恰選擇這幾個(gè)音呢？它們又是按照什么規(guī)律來構(gòu)成音階的呢？

運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來思考，又有若干子問題可探究：畢達(dá)哥拉斯是如何通過弦長比的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)八度、五度、四度音的？通過弦長（或頻率）的整數(shù)比是如何構(gòu)造音階的？從數(shù)學(xué)角度看，中國古代的“三分損益法”與畢氏的“五度相生律”有什么異同？它們和“純律”有什么關(guān)系？十二平均律與上述3種構(gòu)造音階方法有什么本質(zhì)不同？

在此基礎(chǔ)上，還可以提出一些深度思考的問題，如：（1）為什么頻率比是比較小的整數(shù)比時(shí)，兩個(gè)音聽起來會(huì)相對(duì)和諧呢？（此問題可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用泛音序列的知識(shí)來解決）（2）為什么要用十二平均律來構(gòu)成音階呢？這一律制有什么優(yōu)勢(shì)呢？（該問題可用等比數(shù)列、連分?jǐn)?shù)等知識(shí)來解決）

在學(xué)完相關(guān)知識(shí)后，還可以結(jié)合數(shù)學(xué)、音樂史，從數(shù)學(xué)文化的角度做進(jìn)一步的課題研究．如人教版《音樂中的數(shù)學(xué)》在這部分就按如下線索作了問題設(shè)計(jì)[9]．

探究：數(shù)學(xué)計(jì)算是如何解決音律發(fā)展過程中的關(guān)鍵問題的？

（1）中國古代用三分損益法產(chǎn)生音律時(shí)，從起始音黃鐘開始，最終不能完全回歸到黃鐘本律，即所得到的音和最初的音不能形成八度關(guān)系，這在音律上構(gòu)成“不能還原”問題．

（2）無獨(dú)有偶，西方音樂律制發(fā)展中也遇到同樣的問題，畢達(dá)哥拉斯運(yùn)用五度相生法生律過程中，會(huì)出現(xiàn)被稱為畢達(dá)哥拉斯音差（Pythagorean Comma）的現(xiàn)象．查閱有關(guān)資料并通過頻率計(jì)算，探討這一現(xiàn)象出現(xiàn)的原因．

（3）上述結(jié)果表明，采用弦長（或頻率）成整數(shù)比的調(diào)音方法不會(huì)得到音階序列中音的完整循環(huán)，從而無法解決移調(diào)、轉(zhuǎn)調(diào)問題．那為什么說中國明代朱載堉于1584年首次提出的“新法密率”成功地解決了這一問題？他的突破點(diǎn)在哪里？

3.3 善于選取生動(dòng)典型的音樂素材通過作品案例分析實(shí)施教學(xué)

對(duì)學(xué)生而言，他們?cè)谌粘Ｉ钪幸呀?jīng)積累了大量音樂活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，有很多自己熟悉的音樂家、歌唱家以及他們的作品．教學(xué)中有意識(shí)地選取有關(guān)的作品案例進(jìn)行數(shù)學(xué)解剖、討論，不僅能使學(xué)生有新鮮感、親近感，而且能從數(shù)學(xué)的角度增強(qiáng)學(xué)生對(duì)音樂作品的鑒賞能力和分析能力．

如黃金分割，其本質(zhì)上是通過對(duì)對(duì)象整體進(jìn)行分割所獲得的部分與整體間的一種比例關(guān)系，這種比例關(guān)系不僅給人以美感，而且揭示了對(duì)象勻稱、和諧的內(nèi)在屬性規(guī)律．同樣，一首樂曲是具有整體功能的作品，為使整體功能更好地發(fā)揮，必須優(yōu)化它的結(jié)構(gòu)，這就要涉及樂曲高潮點(diǎn)的安排，節(jié)奏、調(diào)式的轉(zhuǎn)換，以及不同曲式內(nèi)部結(jié)構(gòu)的分配，等等．很自然地黃金分割所特有的藝術(shù)審美價(jià)值和功能就為音樂藝術(shù)家們所青睞，并把它有意或無意地運(yùn)用于作品結(jié)構(gòu)的處理之中．

為使學(xué)生能體會(huì)到這一點(diǎn)，在教學(xué)中，可選取一些典型案例通過不同的結(jié)構(gòu)點(diǎn)來進(jìn)行分析．如：在曲式結(jié)構(gòu)上的黃金點(diǎn)（莫扎特的“C大調(diào)鋼琴奏鳴曲（K545）”、舒曼的“夢(mèng)幻曲”等）；反映樂曲高潮的黃金點(diǎn)（“長江之歌”“映山紅”等）；主歌、副歌轉(zhuǎn)換的黃金點(diǎn)（“我的祖國”“英雄贊歌”等）；情境對(duì)比的黃金點(diǎn)（“在那桃花盛開的地方”“敢問路在何方”等）；樂曲調(diào)式轉(zhuǎn)換的黃金點(diǎn)（“在太行山上”等）；節(jié)奏轉(zhuǎn)換的黃金點(diǎn)（“我愛你塞北的雪”等）．

另外，通過德國古典音樂家巴赫的作品（如“賦格的藝術(shù)”）來欣賞、分析斐波那契數(shù)列的運(yùn)用，從音樂充溢著的對(duì)稱性、秩序感與節(jié)律美中，體會(huì)其具有的濃濃的數(shù)學(xué)味，這也是兼具探索性和趣味性的學(xué)習(xí)活動(dòng)．

3.4 始終注重突出數(shù)學(xué)的思想和方法凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)

《音樂中的數(shù)學(xué)》落腳點(diǎn)是數(shù)學(xué)，因此，突出數(shù)學(xué)、思想方法是教學(xué)中必須注意的重點(diǎn)．

例如，提出一個(gè)思考問題：“人們常說，五線譜與簡(jiǎn)譜相比有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，就是在五線譜上你能清楚地看到音的位置，這是為什么呢？”從音樂角度講，人們通常的解釋是，在五線譜上某個(gè)音的位置是固定的，能直觀地看到，而簡(jiǎn)譜卻看不到．那為什么呢？這就可以從數(shù)學(xué)的角度來思考：在二維平面中若要確定一個(gè)點(diǎn)的位置，需要找到點(diǎn)在坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，通過表示它的坐標(biāo)的二元數(shù)組（，），就能唯一確定它的位置．同樣可以把五線譜視為坐標(biāo)系（以音階的高低作為縱坐標(biāo)、節(jié)拍的長短作為橫坐標(biāo)），一個(gè)樂音的位置就通過五線譜這個(gè)坐標(biāo)系來確定了．對(duì)這樣一個(gè)問題的分析突出的是形數(shù)對(duì)應(yīng)、點(diǎn)的位置唯一確定的數(shù)學(xué)思想、方法．

這樣的例子還有很多，如：討論樂音的振動(dòng)、音階的度數(shù)關(guān)系、鋼琴鍵的排列、節(jié)拍的重復(fù)變化等問題時(shí)可揭示其蘊(yùn)含的周期性、對(duì)稱性等思想；將音的頻率比轉(zhuǎn)換成音程時(shí)運(yùn)用的對(duì)數(shù)思想方法；探討在同一個(gè)時(shí)長之下兩個(gè)旋律節(jié)奏相互匹配的對(duì)應(yīng)思想和最小公倍數(shù)方法；討論旋律中基本音型的對(duì)稱、平移、反射等作曲手法所體現(xiàn)的變換思想，等等．

3.5 運(yùn)用多樣化的學(xué)習(xí)方式培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神

該課程的教學(xué)，為改變傳統(tǒng)的單一演練習(xí)題式的學(xué)習(xí)方式，提供了極大空間．教學(xué)中可根據(jù)課程特點(diǎn)采用更具針對(duì)性的、形式多樣化的教學(xué)形式，如：資料收集、作品欣賞、專題討論、聲樂表演、論文撰寫、樂曲創(chuàng)作、小樂器制作，等等．通過學(xué)習(xí)方式的改變提高學(xué)生的活動(dòng)性、參與性、親歷性，促使學(xué)生在多樣化的學(xué)習(xí)中積累數(shù)學(xué)與音樂活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從中不僅感悟數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)與音樂之美，還能在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神．

例 圖1中的譜例取自歌曲“我和我的祖國”（張藜詞，秦詠誠曲）前3個(gè)樂句，請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的思想分析第一、三樂句旋律線的特點(diǎn)．

圖1 《我和我的祖國》前3個(gè)樂句

可以這樣展開活動(dòng)．步驟一，哼唱：首先通過輕輕哼唱這兩個(gè)樂句，從旋律上感覺這兩句在音高和音的組合上的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)．步驟二，觀察：結(jié)合五線譜，觀察這兩樂句的結(jié)構(gòu)以及每個(gè)音的位置特點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們都由8個(gè)音構(gòu)成，這8個(gè)音在各自樂句中的節(jié)拍位置都是一樣的，而兩樂句相對(duì)應(yīng)的音在音階上分別都相差1度．步驟三，畫圖：在譜子上，用曲線分別連接這兩個(gè)樂句，得到它們的直觀圖形（旋律線）．步驟四，結(jié)論：若將音階和節(jié)拍分別視為縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)單位，第三樂句是第一樂句所作的向上1個(gè)單位、向右12個(gè)單位（想想為什么？）的平移變換．步驟五，討論：從音樂的角度討論為什么要采用這種方法，讓學(xué)生體會(huì)這種平移在作曲手法上叫“模進(jìn)”，在此例中，采用這一手法不僅重復(fù)強(qiáng)調(diào)了中心旋律，且進(jìn)一步渲染了樂曲所要表達(dá)的情感．

此例還可作拓展，如讓學(xué)生查閱其它音樂資料去尋找更多的這種模進(jìn)的樂句（類似的做法也可用于對(duì)稱變換）；自行設(shè)定一個(gè)旋律，采用平移（以及對(duì)稱）的方法，發(fā)展這個(gè)旋律，在課堂上通過演唱、彈奏來分享自己的小創(chuàng)作．

4 結(jié)語

高中數(shù)學(xué)選修D(zhuǎn)類課程中的《音樂中的數(shù)學(xué)》雖然是供有志于學(xué)習(xí)體育、藝術(shù)（包括音樂、美術(shù)）類學(xué)生選擇的課程，但也是數(shù)學(xué)與音樂兩門學(xué)科跨界融合課程的體現(xiàn)，學(xué)生可以通過此課程發(fā)展核心素養(yǎng)、體會(huì)數(shù)學(xué)文化、培養(yǎng)跨界思維和審美能力．課程內(nèi)容以“主線—主題—核心內(nèi)容”為結(jié)構(gòu)，有3條主線5個(gè)主題，每個(gè)主題再細(xì)化為若干內(nèi)容點(diǎn)，內(nèi)容的邏輯起點(diǎn)是音樂，最終的落腳點(diǎn)是數(shù)學(xué)，在兩者的關(guān)聯(lián)中進(jìn)行具體呈現(xiàn)．因此，建議在該課程教學(xué)中，要善于在數(shù)學(xué)與音樂兩種語境的交叉關(guān)聯(lián)中尋找教學(xué)價(jià)值點(diǎn)，以問題探究的方式從音樂現(xiàn)象上升到數(shù)學(xué)的理性分析，善于選取生動(dòng)典型的音樂素材進(jìn)行作品案例分析，注意突出數(shù)學(xué)的思想方法凸現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，運(yùn)用多樣化的學(xué)習(xí)方式培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神．

[1] 胡焱，蔣秋．?dāng)?shù)學(xué)教育與STEM（STEAM）教育的融合：機(jī)遇與挑戰(zhàn)——基于數(shù)學(xué)教育與STEM（STEAM）教育國際學(xué)術(shù)研討會(huì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（6）：92–94．

[2] 阿里·馬奧爾．音樂是怎樣算成的[M]．張嶺，譯．北京：北京聯(lián)合出版公司，2021：23．

[3] 周明儒．?dāng)?shù)學(xué)與音樂[M]．北京：高等教育出版社，2015：126．

[4] 楊耕文，趙尊禹，徐本順．?dāng)?shù)學(xué)與藝術(shù)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5（3）：79–84．

[5] 史寧中．高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（1）：8–10．

[6] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020：5．

[7] 黃翔，童莉，史寧中．談數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的跨學(xué)科思維[J]．課程·教材·教法，2021，41（7）：106–111．

[8] 史寧中，呂世虎，李淑文．改革開放四十年來中國中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的歷程及特點(diǎn)分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（1）：1–11．

[9] 人民教育出版社課程教材研究所普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)選修課程用書數(shù)學(xué)編委會(huì)．音樂中的數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)D類）[M]．北京：人民教育出版社，2021：29．

[10] 黃翔，王尚志，張思明，等．關(guān)于高中數(shù)學(xué)課程性質(zhì)與基本理念的新思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（1）：22–26．

Mathematics Encounters with Music in Curriculum:“Objective” “Content” “Teaching”

HUANG Xiang1, TONG Li1, SONG Yi-ran2

(1. School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China;2. Department of Mathematics, Institute of Technology, WENZHOU-KEAN University, Zhejiang Wenzhou 325060, China)

The new trend in the development of education is cross-boundary and integration.is an elective course set in, which reflects the cross-boundary and integration of mathematics and music. Mathematics and music have been related to each other since ancient times. When mathematics and music meet in the curriculum, the curriculum objectives, contents and teaching that come out of the collision have profound meanings: the curriculum objectives should focus on core literacy, reflect mathematical culture, pay attention to boundary crossing thinking and aesthetic ability; the course content is structured with “mainline - theme - core content”, with music as the logical starting point, mathematics as the foothold, and the relationship between the two as the way of presentation; the course teaching should be good at finding teaching value points in the cross-correlation between mathematics and music, from the music phenomenon to explore the mathematical rationality in the way of question inquiry, be good at selecting vivid and typical music materials for case study, pay attention to the outstanding mathematical thought and method to highlight the essence of mathematics, and use a variety of learning methods to cultivate students’ practical ability and innovative spirit.

interdisciplinary; mathematics in music; curriculum objectives; curriculum contents

G420

A

1004–9894（2022）06–0006–05

黃翔，童莉，宋亦然．當(dāng)數(shù)學(xué)與音樂在課程中相遇：“目標(biāo)”“內(nèi)容”與“教學(xué)”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（6）：6-10．

2022–06–24

全國教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題——新課改十年數(shù)學(xué)課堂的變化研究（GOA107012）

黃翔（1947—），男，湖北恩施人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究．童莉?yàn)楸疚耐ㄓ嵶髡撸?/p>

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]