張 晶，夏小剛

數學問題情境化設計中的認知偏差及任務靶向

張 晶1，2，夏小剛1

（1．貴州師范大學 數學科學學院，貴州 貴陽 550001；2．瓊臺師范學院 理學院，海南 ?？?571127）

在素養(yǎng)時代下，數學問題情境化設計必須解決兩個方面的基本問題．一是消除問題情境化設計中的認知偏差，即情境內容選取的偏差、思維方式預設的偏差和問題設計的偏差，從而在問題情境化目標設定與學生認知基礎之間形成良好的匹配．二是為了增強問題情境化教學的有效性，需要明確問題情境化設計的任務靶向，創(chuàng)設合適的情境化問題來承載任務靶向，更好地促進學生在知識建構中發(fā)展數學素養(yǎng)．

數學問題；問題情境化；認知偏差；任務靶向

當前，中國基礎教育正邁向核心素養(yǎng)的新時代．《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出素養(yǎng)本位下教師應幫助學生“體會數學知識之間、數學與其它學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發(fā)現問題和提出問題，運用數學和其它學科的知識與方法分析問題和解決問題”的課程目標[1]．可見，問題與情境成為發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要載體，影響著學生的知識建構和思維發(fā)展．為此，需要教師對數學問題的情境化設計形成良好的認知．然而，受知識觀以及教學實踐諸多因素的影響和制約，教師對問題情境化設計中情境內容的選取、思維方式的預設及問題設計等方面的認識出現失真，形成了一些有失偏頗或有所缺漏的認知，制約了學生數學認知的發(fā)展．為了盡可能減少這種現象的發(fā)生，必須在問題情境化設計層面加以防范．

1 數學問題情境化設計的認知維度

數學問題的情境化設計主要指教師基于數學教學的目標指向，結合學生的認知特點，用能體現學生現實的數學語言對數學問題進行重構或重述，以此將數學問題置于與學生現實相關的背景中．這種重構或重述，意味著數學問題在學生面前以可以認識、理解和情感反應的方式表達出來，其目的在于激發(fā)學生的認知需求，引發(fā)學生的情感體驗，增強學生探究問題的針對性和有效性[2]．由此形成的情境化問題在結構上具有了整合性特點，即包含了背景、問題、任務以及目的等結構要素，其中，“背景”主要涉及生活的、經驗的、知識的相關信息，“問題”則指的是蘊含在情境中的數學問題．譬如，在“不等式”概念教學中，教師設計了如下情境化問題：一輛勻速行駛的列車在10:35距離M地150 km，要在11:05之前駛過M地，車速應該滿足什么條件？此問題中，列車行駛是“背景”，車速是多少是“問題”，根據要求求出車速是“任務”，理解不等式概念的含義是“目的”．

關于情境化問題的本質認識，研究者提出了一些具有共性的看法[3–8]，主要涉及以下5個方面的認識視角．一是基于數學的現實存在和意義；二是基于數學知識的認識和理解；三是基于學生數學興趣的激發(fā)；四是基于學生問題意識的發(fā)展；五是基于學生數學思維的發(fā)展．上述5個維度中，前兩個維度與情境化問題的知識層面的認知發(fā)展有關，后3個維度更多與學生思維層面的素養(yǎng)發(fā)展相關．因此，問題的情境化設計必須在素養(yǎng)的目標指向和學生已有知識與經驗之間形成較高的契合，否則，學生在知識理解、知識遷移與知識創(chuàng)生中的素養(yǎng)發(fā)展會受到制約．為了減少和避免這種現象的產生，在問題情境化設計中需要解決認知上的價值共識問題．

2 數學問題情境化設計中的認知偏差

早期，人們對情境化問題的關注大多來自教育心理學和學科教學研究領域．近20年來，情境化問題進入數學課堂，成為課堂教學的“?？汀保蠢碚f，教師對問題情境化設計已非常熟悉，然而，近些年來對一線教師的課堂觀察和研究發(fā)現，部分教師對問題情境化設計的認識并未深入．或許，由于經世致用的數學自古以來就被看作是學校啟蒙教育中一個不可缺少的內容，加上近百年來對知識特別是科學知識的普遍認同，人們在問題情境化設計的知識層面上，形成了有較高契合度的共同認識，即情境化問題對于數學知識的理解和應用是有益的．相比之下，對問題情境化設計的價值認識各有不同，由此形成的認知偏差，導致教師對問題情境化設計中的任務靶向認識模糊，甚至偏離學生核心素養(yǎng)的發(fā)展目標．

偏差1 情境內容的選擇：重自然屬性，輕教學加工

面對核心素養(yǎng)的價值訴求，問題情境化設計必須思考的一個教學問題，就是問題情境化的目的在于幫助學生解決生活世界中的真實情境，以獲得更多實踐性知識和技能，還是為了運用數學的知識，使學生在教師建構的問題情境中獲得知識能力的發(fā)展，抑或是兩者兼而有之？對這個問題的回答，反映了教師在問題情境化認知上的價值取向，也從中折射出情境化問題的兩種基本屬性——自然屬性和建構特征，其中，“自然屬性”主要強調的是情境的“客觀性”與“真實性”，其內容主要反映的是自然界與人類生活實踐中的規(guī)律與現象．對此，比利時教育家羅日葉在其《為了整合學業(yè)獲得：情境的設計和開發(fā)》一書中指出：這是一類建立在真實需要基礎上的、需要學生實際解決和完成的自然情境，但是這類情境賴以存在的需要不是為了學習的目的[9]．而“建構特征”則強調情境化的教學加工，即通過聯系學生的經驗世界，將數學問題置于數學知識發(fā)生發(fā)展的經驗性情境中，使之成為具有觸發(fā)學生思維、引發(fā)學生探究功能的“召喚”結構．經驗是實踐基礎上的感知與認識．立足于學生的生活經驗，幫助學生積累數學的活動經驗，發(fā)展數學的思維經驗，是情境化設計的應有之義．然而，生活經驗具有不同于活動經驗與思維經驗的特點，蘊含了學生現實生活中的“熟知點”和“興趣點”．由此，人們形成了這樣的認識，即數學學習更容易受到來自學生生活經驗的啟發(fā)．基于這樣的認識，教師在問題的情境化設計時，大多習慣聯系學生的生活經驗，或者通過模仿現實生活來設計情境化問題．但是，隨之而來的問題是，教師在“聯系”與“模仿”中常常忽略生活的基本常識和行為邏輯，使問題情境成為沒有意義的虛擬式場景．

譬如，在“比例尺”教學中，有教師創(chuàng)設了這樣的生活情境：你們去過成都嗎？重慶到成都的高速列車坐過嗎？高速列車美觀、舒適、速度快．現在從重慶到成都只需102分，比以前的普通列車快很多．可是，有只螞蟻只用6秒就從重慶到達了成都，可真厲害了！你知道是為什么嗎？這是一個有生活氣息的情境化問題，其設計意在通過螞蟻的“厲害”，激發(fā)學生興趣，幫助學生認識和理解比例尺．然而，螞蟻真的“厲害”嗎？要知道，“102分”指的是高速列車在行駛中從重慶到成都所花的時間，而“6秒”則是螞蟻從地圖上的“重慶”爬行到“成都”所用的時間．可見，“螞蟻真的厲害”的內容表述既不符合學生經驗世界中的基本常識，也不利于學生認識和理解“比例尺”問題的數學本質及其生活意義．

偏差2 思維方式的預設：重橫向數學化，輕縱向數學化

問題情境化設計是一種教學預設活動．“預設”指向素養(yǎng)目標的心理預期，意味著教師對情境化問題所承載的素養(yǎng)培育功能的教學規(guī)劃與安排．素養(yǎng)的核心是思維．學生思維的發(fā)展不僅具有生成性，而且離不開教師的精心預設．換言之，思維發(fā)展體現了預設與生成的和諧統(tǒng)一．為此，通過教學加工將數學思想方法蘊藏于情境化問題之中，以此把數學問題的思想方法轉化為學生可以展開的數學化思維方式，成為問題情境化設計中需要認識和把握的價值意蘊．

“數學化”作為一種數學教學思想，最早是由弗賴登塔爾提出來的，意指“人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程”[10]．這是一個從現實生活逐漸抽象和形式化的思維過程．然而，從教學的現實圖景來看，教師對現實問題數學化的關注，遠勝于對數學本身的數學化的思考．具體到問題的情境化設計中，就是過于強調數學與現實生活的聯系，注重將橫向數學化（經驗歸納）的思維方式預設于情境化問題中．無疑，這種情境化設計有利于學生數學思維的預設性發(fā)展，即從現實問題的數學思考中抽象出數學知識，或者尋找、解釋數學知識在現實中的意義．然而，橫向數學化只是數學化的初級階段，過分和不恰當地強調指向現實生活的情境化，忽視來自數學自身的情境化，這會導致數學教學的“去數學化”．事實上，在教學時數相對穩(wěn)定的情況下，過多地關注數學問題的“現實生活化”，必然使學生的數學化思考過多停留在擬經驗的數學活動中，難以進入較高層次的數學思維發(fā)展階段．

以“平行四邊形的性質”教學案例為例．有教師以“折紙活動”為切入點，要求學生將一張紙對折，剪下兩個疊放的三角形紙片，并按長度相等的對邊重合的要求，拼接四邊形．問：有幾種拼接四邊形的方法？拼圖中有平行四邊形嗎？如果有，請說明理由．然后，教師將學生拼接的圖形通過投影儀展示，同時設問：哪些拼圖屬于平行四邊形？試歸類，并說明它們有何共性．以此引導學生抽象概括出平行四邊形的定義．其設計的目的，意在幫助學生通過“剪紙—拼圖—展示—觀察—歸納”的探究活動抽象概括出平行四邊形定義．顯然，其預設的橫向數學化方法，為學生實現由生活經驗向數學認知的發(fā)展提供了有利的條件．

然而，在平行四邊形概念問題的情境化設計中，教師對如何將學生的思維從生活引向數學并未給予足夠的關注．事實上，作為平行四邊形定義的數學化對象，無論是剪紙拼圖問題，還是拼圖展示問題，它們并未脫離學生的現實生活背景．數學源于生活，但高于生活．作為對此問題的一種改進和思考，教師可以將四邊形拼圖抽象為四邊形圖形，將投影中展示的四邊形拼圖問題轉化為有關四邊形圖形的探究問題，這不僅在四邊形圖形（而不是拼圖）的觀察與探究中預設了縱向數學化的思想方法，而且滲透了讓學生通過思維去認識和把握數學對象的教學思想．

偏差3 數學問題的設計：重難易度，輕層級性

思維是素養(yǎng)的核心，思維進階依賴于情境化問題的探索與解決．無疑，關注學生在問題解決中的思維表現，把握問題的難易度和層級性，成為問題情境化設計的基本要求．

應該說，教師對問題情境化設計的教學意義——促進學生知識建構和思維發(fā)展已形成基本共識．然而，囿于對情境的信息來源和問題難易度的認識不足，加上缺少對學生數學認知現狀的了解，教師在數學問題的情境化設計中，常常過于關注問題的邏輯性與難易度的轉化，輕視或有意規(guī)避情境化問題的層級性．譬如，在初中教學中，為了引入函數概念，有教師創(chuàng)設了這樣一個情境：一架飛機起飛時油箱內的油量為13 t，飛行時每分鐘耗油0.12 t，問：油箱內的剩余油量是怎樣受到飛行時間的影響和制約的？這是一個典型的情境化問題，其中，飛行和油量的背景信息反映了學生的生活經驗，而剩余油量和飛行時間之間具有的內在關系，反映了函數概念的本質——變量之間的依賴關系．然而，對于剩余油量與飛行時間之間的關系問題，教師未就如何從多個關系中引導學生理解和把握給予必要的關注．事實上，在學生思考這個問題之前，可以增設一組結構層次相對低的情境化問題，譬如給出一組具體的飛行時間，讓學生回答與每一個飛行時間相對應的剩余油量．這樣，情境化問題不僅體現了分層的設計思想，而且為學生在函數關系認識中的思維表現提供了針對性的前提和條件．

圖1 情境化問題的層級關系

可見，彌合認知偏差的關鍵，在于教師應對自身的認知局限保持敏感，避免陷入“自我感知良好”的尷尬．其重要突破口就在于教師應增強自身對問題情境化設計的教學認識，即以深化知識、發(fā)展思維為本，以數學認知與學習情感的交融為切入點，以情境化與數學化的關系均衡為尺度，對數學問題進行多層次和多水平的情境化設計．

3 數學問題情境化設計中的任務靶向

問題與情境是核心素養(yǎng)的落地之路．實現核心素養(yǎng)由課程目標向教學現實的有效轉化，不僅要彌合影響問題情境化設計的認知差異，而且要精心創(chuàng)設承載素養(yǎng)培育功能的情境化問題．

無疑，問題情境化設計的核心就是如何明確問題情境化設計中的任務靶向．然而，美國匹茲堡大學“QUASAR計劃”的研究表明，“并非所有的任務類型都有相同的結果，即不同的任務要求學生有不同層次和不同類型的思維，反之，不同層次和不同類型的思維或能力也需要不同的任務來培養(yǎng)”[12]．因此，問題情境化設計必須在學生數學活動的聚焦中，明確任務靶向，即結合課程標準的要求、教學內容的理解以及學生的認知基礎與訴求，通過情境化的教學加工，將數學問題轉化為具有思考性、探究性與層次性的數學任務，以便在“內容之知”的數學探究中，培育學生的“方法之知”——數學的學習方式與思維方式．為此，可以把問題情境化設計中的任務靶向分為兩個基本層面：一是學生新知學習能力的發(fā)展，二是學生綜合能力的發(fā)展．在明確了任務靶向的層次性之后，靶向任務的載體就自然落在了靶向式情境問題上．結合羅日葉關于“靶向情境”的內涵界定[9]，根據問題情境化教學加工程度不同，可以將情境化問題分為以下3種類型（見圖2）．

自然形態(tài)的情境問題——缺少教學加工，且外在于學生學習環(huán)境的情境化問題．

新知學習型情境問題——基于概念、原理、公式、法則等新知教學需要所設計的情境化問題．

綜合探究型情境問題——基于綜合能力發(fā)展需要所設計的情境化問題．

圖2 基于任務靶向的情境化問題

其中，新知學習型情境問題、綜合探究型情境是值得關注的兩類靶向式情境問題．

為了搭建指向素養(yǎng)發(fā)展的數學活動平臺，解決學生基于知識內化和思維提升的問題，靶向式情境問題設計必須遵循“經驗性”原則、“整合性”原則與“適切性”原則，其中“經驗性”原則是前提，“整合性”原則是核心，“適切性”原則是關鍵（關系圖見圖3）．

（1）“經驗性”原則．

經驗是學習的基礎，也是進一步學習的重要資源．早在《民主主義與教育》一書中，杜威就指出：教育即經驗的不斷改造．然而，在數學教學活動中，學生的經驗世界常常被教師排斥與拋棄，導致學習意義的缺失．因此，靶向式情境問題的設計，必須基于學生的經驗世界，把學生的生活經驗、活動經驗和思維經驗作為情境化問題對接學習體驗的切入口，并將數學問題通過經驗性情境進行教學加工，以此形成的數學情境化問題，才能成為數學思維的刺激物，引發(fā)有意義的數學學習才有可能．

在此意義下，情境化問題具有了“真實性”．這種“真實性”不是對現實生活的簡單模擬，而是通過教師的教學加工，使數學問題指向了學生的經驗世界，體現了學生經驗世界中的“日常邏輯”．譬如，有這樣一個問題：“2022年有365天，有多少個星期？還多幾天？”在有余數的除法教學中，這是一個新知學習型情境問題．不過，如果該問題只是現實生活中的問題，且結果只用于生活中的實際需要，那么它就只能是一個自然形態(tài)的情境問題．顯然，這兩種形態(tài)的問題都不違“日常邏輯”，它們都具有“真實性”．但是，兩者的價值指向卻各有不同，前者是對有余數的除法問題“365÷7=？”的生活情境化，其問題的解決蘊含了數學化的思想與方法，而后者只是出于生活環(huán)境的需要，不具有教學上的意義和價值．

圖3 靶向式情境問題設計原則關系

可見，設計靶向式情境問題的前提，在于能否通過對接學生的經驗世界，遵循經驗世界的“日常邏輯”，還原知識的經驗性內容，將數學問題嵌入到學生可以感知的經驗性情境之中，從而使情境化問題的價值指向能夠在經驗性內容的“召喚”中被激發(fā)和顯現．

（2）“整合性”原則．

情境與問題是教學與思維的核心要素，正如杜威在《民主主義與教育》中指出的：“教學法的要素和思維的要素是相同的．這些要素是：第一，學生要有一個真實的經驗的情境——要有一個對活動本身感到興趣的連續(xù)的活動；第二，在這個情境內部產生一個真實的問題，作為思維的刺激物……”[13]由于素養(yǎng)源自情境問題中的思維張力，思維來自情境任務中的問題探索，因此，將問題與情境“整合”，使思維的張力轉化為均衡的數學化任務，并且置于學生的經驗世界之中，這成為問題情境化設計的基本要求．這里，“整合”的方式有兩種：一種方式是將問題中的概念及關系要素組織到經驗性情境中，同時指向橫向數學化的思維方式．以此構建的情境化學習任務，體現的是問題與情境的“橫向”加工方式．與此相對應的“縱向”加工方式，就是將蘊含在情境化問題中的數學任務分解為一組子情境任務，使這組子任務不僅體現融入這個情境任務討論的自然過程，而且指向縱向數學化的思維過程．

以“勾股定理”為例．勾股定理是平面幾何的一個基本定理，為了揭示直角三角形中蘊含的數形關系，即一個直角的“形”的特點決定了三邊之間的“數”的關系，有教師設計了如下情境化問題：如圖4所示的方格紙上分別呈現了4個直角三角形，請你在表格（略）中完成有關2、2、2的數值填寫，看看能從中發(fā)現直角邊、與斜邊之間有什么數量關系．

圖4 方格上的直角三角形

學生通過操作、計算、觀察，然后歸納表格中的數量關系，可以發(fā)現4個直角三角形中兩直角邊與斜邊之間的數量關系：2+2=2．在此基礎上，教師繼續(xù)設問：這種直角邊與斜邊之間數量關系對于一般直角三角形是否成立？這種情境化設計，有助于在探究中暴露學生已有的知識經驗，進而促進數學化思維的發(fā)展．

數學素養(yǎng)是“學生在今后的生活、學習和工作中所需要的數學知識與技能”（PISA），因此，整合情境化問題中的知識與技能，成為靶向式情境問題的設計的核心．為此，需要教師在“整合”中進一步優(yōu)化情境素材以及數學的關系和結構，以喚醒學生的生活經驗、活動經驗和思維經驗，進而調動更多的知識、技能與態(tài)度．

（3）“適切性”原則．

“適切性”意指問題情境化設計中情境諸要素與數學的關系和結構之間形成的相關性，表現為合適、恰當、適應等方面特征．換言之，面對培育學生核心素養(yǎng)的時代要求，問題情境化設計不僅要契合教學目標的要求，而且要與知識本質的理解、學生的認知基礎相匹配．其核心要義就是，根據教學任務的需要，將情境化問題的難易度保持在合理水平．無疑，情境化問題的基本構成決定了影響其難易度的兩個基本因素——表征背景的復雜度和去背景問題的難易度，“表征背景中關系的復雜程度，反映了從背景問題中抽象出無背景問題的難易”[14]，而“去背景問題”的難易度與問題表征的關系密切．事實上，Ktovsky等研究者在對中國益智游戲——九連環(huán)的研究中發(fā)現，“問題難度的來源之一就是對于如何操作的發(fā)現過程，因為他們發(fā)現，信息程度提示高的變式比較容易解決，反之，則不易解決”[15]．國內也有類似的研究結論，即“給背景問題加入合適的提示后，會降低問題解決的難度，并且提示的作用在中等難度的背景問題中最為明顯”[14]．因此，在問題情境化設計中，可以通過以下方式，賦予情境化問題所需要的難度水平：第一，強化（或弱化）背景表征的復雜性以及背景所涉及的知識基礎；第二，增加（或減少）去背景問題的信息提示．其教學加工的強弱程度，取決于情境任務的靶向需求和學生已有的知識與經驗．如在“探索相似三角形的條件”教學中，有教師設計了這樣的情境化問題：與同伴合作，兩個人分別畫△和△，使得∠=∠=30°，∠=∠=45°，此時，這樣的兩個三角形相似嗎？說說理由．為了增強問題的數學特征，教師改變了問題中的數學信息，即將“30°”“45°”分別改為給定的“∠”“∠”（0°<∠，∠<90°），這樣，學生要判斷△和△是否相似，就得考慮“∠”和“∠”的任意性及由此產生的歸納推理．進一步地，教師對問題的背景信息進行改變，將“畫圖”改為了“幾何畫板演示”，由此得到一個新的情境化問題：（用幾何畫板演示）改變角的大小，但是始終保持∠=∠、∠=∠，觀察 △和△是否相似？無疑，這增強了三角形相似判定的視覺特征，也同時增加了三角形相似判定的信息提示．盡管在一定程度上降低了情境化問題的難度水平，但是對于學生在理解和掌握相似三角形判定方法中，提高分析問題、解決問題的能力具有積極意義．

4 結束語

問題情境化對學生數學素養(yǎng)的發(fā)展具有重要影響．基于學生的經驗世界，將數學問題與背景信息進行整合，使情境化問題不僅契合教學目標的要求，而且促進學生在理解知識本質的同時，發(fā)展數學素養(yǎng)，這成為教育新時代的教學主旋律．因此，對于問題情境化設計必須在認知上進行深化和引導，同時增強問題情境化教學的有效性．為此，數學教學中的問題情境化設計必須解決兩個方面的基本問題：一是消除問題情境化設計中的認知偏差，即情境內容選取的偏差、思維方式預設的偏差和問題設計的偏差；二是需要明確問題情境化設計的任務靶向，創(chuàng)設合適的情境化問題來承載任務靶向，更好地促進學生在知識理解、遷移與創(chuàng)生中，發(fā)展數學的核心素養(yǎng)．由此彰顯問題情境化設計的教學意義，進而促進核心素養(yǎng)由課程理念向教學的現實轉化．

[1] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程該標準（2022年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2022：11．

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[7] 夏小剛．數學課堂熱點問題討論系列（4）本期話題：你創(chuàng)設的情境有意義嗎?（續(xù)）情境創(chuàng)設≠情境的生活化、趣味化[J]．人民教育，2006（9）：24-26．

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Cognitive Bias and Task Target in Situational Design of Mathematical Problems

ZHANG Jing1, 2, XIA Xiao-gang1

(1. School of Mathematics and Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China;2. School of Science, Qiongtai Normal University, Hainan Haikou 571127, China)

In the era of literacy, two basic problems must be solved in mathematical problems situational design. First, the cognitive bias in the situational design should be eliminated, involving the bias in the situational content selection, the bias in the way of mathematical method preset and the deviation in the mathematical problem designing, so as to form a good match between the goal setting of the problem situation and students’ cognitive foundation of; Second, in order to enhance the effectiveness of problem-based contextualized teaching, it is necessary to clarify the task target of problem-based contextualized design, create appropriate contextualized problems to carry the task target, and better promote the development of students’ mathematical literacy in knowledge construction.

mathematical problems; situational design; cognitive bias; task target

G420

A

1004–9894（2022）06–0075–05

張晶，夏小剛．數學問題情境化設計中的認知偏差及任務靶向[J]．數學教育學報，2022，31（6）：75-79．

2022–07–05

全國教育科學“十三五”規(guī)劃課題——面向核心素養(yǎng)的數學問題情境教學測評模型研究（XHA180286）；瓊臺師范學院校級一流本科課程建設項目（QTjg2022-52）

張晶（1984—），女，吉林集安人，瓊臺師范學院講師，貴州師范大學博士生，主要從事數學教育研究．夏小剛為本文通訊作者．

[責任編校：周學智、張楠]