段志貴，張 雯

也談高中數(shù)學(xué)形式化及其教學(xué)

段志貴1，張 雯2

（1．鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 鹽城 224000；2．南京師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210023）

有關(guān)數(shù)學(xué)形式化及其教學(xué)曾在20世紀(jì)90年代引發(fā)廣泛討論．伴隨著中國(guó)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)從2003年實(shí)驗(yàn)版到2017年版及其2020年的重新修訂，革新教學(xué)內(nèi)容、改革教學(xué)方式成為時(shí)代發(fā)展的必然要求，重新認(rèn)識(shí)和探討新時(shí)代數(shù)學(xué)形式化及其教學(xué)具有十分重要的意義．基于文獻(xiàn)研究和思辨性分析，提出數(shù)學(xué)形式化即是數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象化與數(shù)學(xué)概念的符號(hào)化．?dāng)?shù)學(xué)形式化具有過(guò)程性、層次性及關(guān)聯(lián)性等特點(diǎn)．與科學(xué)數(shù)學(xué)相比，學(xué)科數(shù)學(xué)重在傳承、生長(zhǎng)和理解，其形式化有所淡化．新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)形式化內(nèi)容表述的修訂并非舍棄形式化的學(xué)習(xí)要求，而是力求更客觀、更具體，體現(xiàn)適度性．改進(jìn)高中數(shù)學(xué)形式化內(nèi)容的教學(xué)要遵循“注重過(guò)程，漸進(jìn)導(dǎo)入”的教學(xué)原則，運(yùn)用情境化引入，降低形式化門檻；漸進(jìn)性鋪墊，搭建形式化平臺(tái)；符號(hào)化呈現(xiàn)，揭示形式化內(nèi)涵；鞏固性訓(xùn)練，促進(jìn)形式化理解．

高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)形式化；教學(xué)策略；注重過(guò)程；漸進(jìn)導(dǎo)入

1 問(wèn)題提出

自20世紀(jì)90年代以來(lái)，中國(guó)數(shù)學(xué)教育界對(duì)于是否需要“淡化概念”，怎樣處理數(shù)學(xué)教學(xué)中的“實(shí)質(zhì)”與“形式”，有過(guò)比較廣泛的討論[1]．陳重穆、宋乃慶兩位數(shù)學(xué)教育界前輩針對(duì)數(shù)學(xué)教育脫離教學(xué)實(shí)際的現(xiàn)象提出要基于學(xué)生年齡特點(diǎn)“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[2–3]．但也有人認(rèn)為，為適應(yīng)信息社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展以及相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容下移的要求，要逐步加強(qiáng)數(shù)學(xué)的形式化教學(xué)[4–5]．更多學(xué)者提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中要正確處理好數(shù)學(xué)形式化與非形式化之間的關(guān)系，兩者不可偏廢[6–7]．研究者曾就這一話題，與部分高中數(shù)學(xué)教師交流，讓人詫異的是不少教師對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)形式化教學(xué)并不關(guān)注，部分教師甚至根本不知道數(shù)學(xué)形式化的內(nèi)涵，錯(cuò)把數(shù)學(xué)形式化理解為一般意義上的一種教學(xué)方式．基于走訪調(diào)查和文獻(xiàn)分析，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)形式化教學(xué)上的困惑主要包括“什么是數(shù)學(xué)形式化”，“數(shù)學(xué)形式化具有哪些特點(diǎn)”，“新課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)形式化教學(xué)有否具體要求”以及“怎樣組織和實(shí)施高中數(shù)學(xué)形式化教學(xué)”等．針對(duì)這些問(wèn)題，立足學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)，結(jié)合進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)中國(guó)兩次頒布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)形式化內(nèi)容的教學(xué)要求，思辨性地探討高中數(shù)學(xué)形式化教學(xué)內(nèi)容及其教學(xué)方式，以期為高中數(shù)學(xué)形式化教學(xué)提供合理化建議和參考性樣例．

2 數(shù)學(xué)形式化的界定

2.1 數(shù)學(xué)形式化的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)形式化是指對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行提煉、整理、組織，使其從具體到一般，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)的過(guò)程[8–9]．概括地說(shuō)，就是內(nèi)容的抽象化與概念的符號(hào)化．其目的是從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)中提取出數(shù)學(xué)本質(zhì)或一般規(guī)律，用符號(hào)替代冗長(zhǎng)的表述或表達(dá)深刻的思想，以利于簡(jiǎn)化和概括，助推認(rèn)知、理解或深入研究．初等數(shù)學(xué)中的“用字母表示數(shù)”，即是一種最基本的數(shù)學(xué)形式化．形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，符號(hào)化則是形式化的高級(jí)形態(tài)．

從數(shù)學(xué)研究目的上看，數(shù)學(xué)以簡(jiǎn)潔的形式化符號(hào)（或其它數(shù)學(xué)語(yǔ)言）表征，揭示出現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)本質(zhì)與規(guī)律；從數(shù)學(xué)研究對(duì)象上看，數(shù)學(xué)研究的是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式逐級(jí)抽象后形成的形式化思想材料；從數(shù)學(xué)研究過(guò)程上看，各個(gè)數(shù)學(xué)模塊（或分支）經(jīng)過(guò)形式化的加工，都能構(gòu)成一個(gè)相對(duì)完整的公理體系，例如從自然數(shù)系開始形成的代數(shù)學(xué)和從歐幾里得幾何開始形成的各種幾何學(xué)，都是形式化數(shù)學(xué)的范例．縱觀數(shù)學(xué)的演進(jìn)與發(fā)展，不難發(fā)現(xiàn)形式化有助于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，有助于數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化、系統(tǒng)化和現(xiàn)代化．近現(xiàn)代數(shù)百年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程表明，中國(guó)數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)有著較大差距，原因之一就是西方較早創(chuàng)立數(shù)學(xué)符號(hào)并利用了數(shù)學(xué)的形式化．

數(shù)學(xué)形式化的形成與發(fā)展是人類智慧的結(jié)晶．千百年來(lái)，人類在適應(yīng)和改造自然的生活實(shí)踐中，經(jīng)歷識(shí)別、聯(lián)想、分析、推理、綜合和表征等思維過(guò)程，從中提煉數(shù)學(xué)思想、抽象數(shù)學(xué)符號(hào)并獲取各種數(shù)學(xué)意義；再回歸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中去，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行不斷地改造、簡(jiǎn)化或淬煉，以形成特定的數(shù)學(xué)形式和內(nèi)涵．?dāng)?shù)學(xué)形式化的學(xué)習(xí)，使得人們對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)不只知道“表示什么”，更能深入地了解這些符號(hào)“意味著什么”，從而為數(shù)學(xué)符號(hào)賦予“新的意義”，讓死板、枯燥的數(shù)學(xué)因?yàn)榉?hào)的參與具有了審美意趣，賞心悅目．

2.2 數(shù)學(xué)形式化的認(rèn)識(shí)和理解

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)最基本的思維方式[10]，形式化是其最顯著的特點(diǎn)之一．更全面地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)形式化的本質(zhì)，需要正確認(rèn)識(shí)并深刻理解數(shù)學(xué)形式化的過(guò)程性、層次性及其關(guān)聯(lián)性．

3 作為學(xué)科的數(shù)學(xué)形式化

學(xué)科，也稱科目，是依據(jù)一定的教學(xué)理論組織起來(lái)的科學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)體系[11]．為了滿足數(shù)學(xué)教學(xué)需求，學(xué)科數(shù)學(xué)需要對(duì)科學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行內(nèi)容篩選、調(diào)整并根據(jù)不同學(xué)段重新編排，力求切合各學(xué)段學(xué)生的年齡特點(diǎn)和身心發(fā)展規(guī)律[12]．

3.1 學(xué)科數(shù)學(xué)形式化與科學(xué)數(shù)學(xué)的比較

學(xué)科數(shù)學(xué)與科學(xué)數(shù)學(xué)，一個(gè)是數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，一個(gè)是數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別．學(xué)科數(shù)學(xué)是在合乎教學(xué)要求的基礎(chǔ)上，對(duì)科學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的取舍，它既包括了科學(xué)數(shù)學(xué)上有定論的、比較穩(wěn)定的、重要的基礎(chǔ)知識(shí)，如概念、原理、規(guī)律和基本事實(shí)等[13]，又涵蓋了對(duì)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)價(jià)值（應(yīng)用、思維等）的描述．與科學(xué)數(shù)學(xué)相比，學(xué)科數(shù)學(xué)的形式化有所弱化，主要緣于以下3個(gè)方面．

一方面，學(xué)科數(shù)學(xué)重在傳承，具有教書育人取向的社會(huì)性．科學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)的任務(wù)是探索、發(fā)現(xiàn)人類未知的數(shù)學(xué)規(guī)律，完善和發(fā)展數(shù)學(xué)的科學(xué)體系，解決數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用的前沿問(wèn)題．而學(xué)科數(shù)學(xué)的任務(wù)則是使學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的“四基”“四能”，能夠會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．

另一方面，學(xué)科數(shù)學(xué)重在生長(zhǎng)，遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律性．科學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、廣泛的應(yīng)用性．作為學(xué)科的數(shù)學(xué)，雖然也具有上述特點(diǎn)，但其抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性的程度卻沒(méi)有科學(xué)數(shù)學(xué)那么高，也不必那么高，它處于一種合理的“中間狀態(tài)”．因而，著眼于學(xué)生身心發(fā)展水平和認(rèn)知規(guī)律，采用相對(duì)具體、直觀的教學(xué)方式可能更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)理解和能力培養(yǎng)．

再一方面，學(xué)科數(shù)學(xué)重在理解，強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程性．對(duì)于科學(xué)數(shù)學(xué)而言，其工具性特點(diǎn)和高度簡(jiǎn)約化特征必然要求其從現(xiàn)實(shí)中剝離出來(lái)，概括、抽象并高度凝練，以達(dá)到一般化，實(shí)現(xiàn)形式化．排斥形式化即是限制科學(xué)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展．歷史上，拒絕萊布尼茲發(fā)明的微積分符號(hào)曾使得英國(guó)數(shù)學(xué)落后歐洲數(shù)學(xué)數(shù)十年．而對(duì)于學(xué)科數(shù)學(xué)，則一般是從生活情境入手，從人類認(rèn)識(shí)的初始狀態(tài)介入，通過(guò)暴露數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)或感悟，以利于不斷提高思維層次和認(rèn)識(shí)水平[14]．

3.2 學(xué)科數(shù)學(xué)形式化的課標(biāo)要求

2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱“實(shí)驗(yàn)版”）[15]對(duì)“數(shù)學(xué)形式化”明確提出要“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化．”“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．”值得關(guān)注的是，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“2020修訂版”）[16]刪除了這一表述．統(tǒng)計(jì)兩版課標(biāo)中出現(xiàn)的“形式”與“形式化”的次數(shù)及其文本呈現(xiàn)例證，如表1所示，不難發(fā)現(xiàn)，“2020修訂版”中對(duì)“數(shù)學(xué)形式化”的描述大篇幅減少，但是有關(guān)“形式”與“數(shù)學(xué)形式”的表述并沒(méi)有減少，在此顯示出較強(qiáng)的靈活性，讓實(shí)際教學(xué)具有了一定的彈性空間．

此外，研究也關(guān)注到與形式化密切相關(guān)的“語(yǔ)言”及其聯(lián)結(jié)詞，包括“自然語(yǔ)言”“生活語(yǔ)言”“圖形語(yǔ)言”“符號(hào)語(yǔ)言”“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”以及具體的“代數(shù)語(yǔ)言”“集合語(yǔ)言”“向量語(yǔ)言”等，在“實(shí)驗(yàn)版”中出現(xiàn)了78次，在“2020修訂版”中出現(xiàn)了82次；專門論述有關(guān)“自然語(yǔ)言”“圖形語(yǔ)言”“符號(hào)語(yǔ)言”之間遞進(jìn)關(guān)系的論述，“實(shí)驗(yàn)版”和“2020修訂版”出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，都是5次．

表1 課標(biāo)中的“形式”與“形式化”的統(tǒng)計(jì)

由此可見，“2020修訂版”課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)形式化內(nèi)容表述的修訂并非舍棄形式化的學(xué)習(xí)要求，而是力求更客觀地服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，更具體地貼近學(xué)生學(xué)習(xí)和學(xué)科教學(xué)的需要，對(duì)形式化既不片面拔高，也不無(wú)端忽視．概言之，高中階段的形式化不一定是完全意義上的形式化，帶有一定的相對(duì)性．正確認(rèn)識(shí)、理解和執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，就要明確高中數(shù)學(xué)形式化只能是向著數(shù)學(xué)形式化過(guò)渡的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，或是幫助理解具有數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的表達(dá)形式．這些數(shù)學(xué)語(yǔ)言或表達(dá)形式都是形式化教學(xué)的基本內(nèi)容和呈現(xiàn)方式，合乎培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的教學(xué)要求．

3.3 學(xué)科數(shù)學(xué)形式化教學(xué)的“度”

數(shù)學(xué)教材是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要工具，也是學(xué)生知識(shí)的重要來(lái)源．但數(shù)學(xué)教材上的知識(shí)（定義、演繹、推理等）一般只是呈現(xiàn)形式化的結(jié)果，有血有肉的探索性發(fā)現(xiàn)過(guò)程有可能被省略了．教師若照本宣科，則學(xué)生只是按照“記憶—應(yīng)用”的被動(dòng)模式學(xué)習(xí)，就會(huì)掩蓋數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，忽略數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示．

20世紀(jì)60年代西方推行的高中數(shù)學(xué)課程改革，即所謂的“新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)”，過(guò)分強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)化、抽象化和形式化，片面追求演繹推理，忽視歸納、類比推理，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了中學(xué)生的平均能力和身心成熟程度，最終以失敗告終．試想在高中“弧度制”內(nèi)容的教學(xué)中，如果教師僅僅告訴學(xué)生，“1弧度的概念是弧長(zhǎng)與半徑相等時(shí)所對(duì)應(yīng)的圓心角”，“弧度制是利用半徑與弧長(zhǎng)的比衡量角的新單位”，學(xué)生就可能既不清楚弧度制產(chǎn)生的必要性，也難以理解弧度的概念，更談不上靈活運(yùn)用了．有調(diào)查發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生在有關(guān)角的運(yùn)算問(wèn)題上，仍然下意識(shí)地采用角度制進(jìn)行計(jì)算，思維受限，效率低下，正是這個(gè)原因所造成的．

顯然數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)度形式化是不可取的，然而摒棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的形式化也是不科學(xué)的，繁雜冗長(zhǎng)的敘述同樣不是數(shù)學(xué)應(yīng)有的表現(xiàn)形式．實(shí)踐證明，高中數(shù)學(xué)適度形式化，不但有助于數(shù)學(xué)信息的記憶和使用，而且也能幫助學(xué)生加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解．試想如果教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容理解的不到位，降低或放棄形式化內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求，只教學(xué)生聯(lián)系實(shí)際或直觀看圖去理解、記憶概念，套用公式和題海戰(zhàn)術(shù)去掌握技能，長(zhǎng)此以往怎么能有效地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)？這樣教出來(lái)的學(xué)生往往缺少數(shù)學(xué)形式化的“澆灌”和“打磨”，開放性思維極可能受阻，遇到不曾見過(guò)的問(wèn)題必然束手無(wú)策，后續(xù)進(jìn)階學(xué)習(xí)也可能因此障礙重重，更談不上創(chuàng)新發(fā)展了．

4 高中數(shù)學(xué)適度形式化教學(xué)策略

基于數(shù)學(xué)形式化的特點(diǎn)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)兩個(gè)版本的共性要求，提出高中數(shù)學(xué)形式化及其教學(xué)既不能簡(jiǎn)單舍棄，也不能急速冒進(jìn)，要遵循“注重過(guò)程，漸進(jìn)導(dǎo)入”的教學(xué)原則．一方面，要精心創(chuàng)設(shè)生動(dòng)形象的問(wèn)題情境展示教學(xué)內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，揭示數(shù)學(xué)形式化表征與數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系；另一方面，要依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，低起點(diǎn)、有坡度，漸進(jìn)鋪墊，適時(shí)凝練，引領(lǐng)學(xué)生逐步建立抽象的數(shù)學(xué)形式化結(jié)構(gòu)．

遵循上述原則，在具體內(nèi)容的教學(xué)上，以“函數(shù)的單調(diào)性”一課為例，結(jié)合學(xué)情需要，把教學(xué)過(guò)程分解為“情境化引入、漸進(jìn)性鋪墊、符號(hào)化呈現(xiàn)、鞏固性訓(xùn)練”等4個(gè)階段，簡(jiǎn)稱為“引—墊—現(xiàn)—練”4個(gè)階段，如圖1所示．

圖1 高中數(shù)學(xué)適度形式化“引—墊—現(xiàn)—練”教學(xué)策略

4.1 情境化引入 降低形式化門檻

正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說(shuō)，“學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)始于常識(shí)．”[19]他們對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)的認(rèn)識(shí)和理解總是從日常的、非正式的推理開始．高中數(shù)學(xué)形式化的課堂教學(xué)首先應(yīng)精選或創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)知識(shí)密切相關(guān)、符合學(xué)生實(shí)際，并且含有一定思維水平的情境引入問(wèn)題．有關(guān)情境及其問(wèn)題既不能脫離該節(jié)課學(xué)習(xí)的主題，也不能過(guò)于簡(jiǎn)單．前者只是象征性地走過(guò)場(chǎng)，還有可能會(huì)使部分學(xué)生產(chǎn)生誤解，后者則不能調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，對(duì)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)價(jià)值不大．這些情境和問(wèn)題應(yīng)能將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)性、漸次生長(zhǎng)的抽象性形象化地揭示出來(lái)．只有這樣，才能讓學(xué)生在具體的、可操作的活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，逐步提升抽象化思維水平．

天氣預(yù)報(bào)和氣溫變化圖是學(xué)生日常生活中比較熟悉的，并且也與函數(shù)單調(diào)性有著密切的聯(lián)系．在“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)的第一階段，不妨以當(dāng)?shù)啬程斓臍鉁刈兓瘓D為實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境．可以先讓學(xué)生仔細(xì)觀察氣溫隨時(shí)間的變化圖（如圖2所示），利用“氣溫變化的規(guī)律是什么？”“這一天什么時(shí)間段內(nèi)，氣溫在上升？什么時(shí)間段內(nèi)氣溫在下降？”等問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考，讓他們通過(guò)對(duì)給定一天氣溫變化的觀察，先直觀、具體地感受單調(diào)性，以形成對(duì)“單調(diào)遞增”“單調(diào)遞減”的初步理解．接著，進(jìn)一步提問(wèn)“如果從數(shù)學(xué)的角度看，這些規(guī)律又是什么呢？”“能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述嗎？”聚焦學(xué)生思維，引出課題——函數(shù)的單調(diào)性．這樣既能激發(fā)學(xué)生的求知欲，使其帶著問(wèn)題聽課，也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活．

圖2 某地某天氣溫變化

情境化的引入使得比較抽象的數(shù)學(xué)形式化內(nèi)容有了具體化“臺(tái)階”．這些富有啟發(fā)性的問(wèn)題情境，助力學(xué)生拾階而上，在對(duì)有關(guān)情境問(wèn)題的思考或作答過(guò)程中，不知不覺(jué)進(jìn)入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，突破抽象化的桎梏，為后續(xù)形式化內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

4.2 漸進(jìn)性鋪墊 搭建形式化平臺(tái)

情境化與形式化都十分重要，但二者并不一定直接相連．從情境化逐步形式化的過(guò)程應(yīng)是“非正式—預(yù)形式—形式化”．一般說(shuō)來(lái)，預(yù)形式是對(duì)情境化前提的一種數(shù)學(xué)化解讀，常常在小組討論和合作交流中發(fā)生發(fā)展．顯然預(yù)形式具有漸進(jìn)性鋪墊功能，為形式化概念的建立搭建了平臺(tái)．

教學(xué)中的鋪墊，不能簡(jiǎn)單地理解為學(xué)生小組討論，而是要在學(xué)生已經(jīng)了解具體問(wèn)題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生確定其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)成分及其關(guān)系、規(guī)則，厘清或架構(gòu)各成分之間可能存在的內(nèi)在關(guān)系，并嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)．簡(jiǎn)言之，就是將現(xiàn)實(shí)的或熟悉的情境性問(wèn)題逐步數(shù)學(xué)化，促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生由具體到抽象的認(rèn)知圖式．從方式方法上看，教學(xué)中的漸進(jìn)性鋪墊離不開師生之間的互動(dòng)交流．有的教師在教學(xué)過(guò)程中缺少這樣的鋪墊，總是迫不及待地想教給學(xué)生形式化的符號(hào)，這樣做欲速則不達(dá)，反而會(huì)使得一部分學(xué)生產(chǎn)生表達(dá)與理解上的困難，以致望而生畏，止步不前．

圖3 3個(gè)初等函數(shù)圖象

圖4 反比例函數(shù)圖象

漸進(jìn)性鋪墊有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的逐步提高，有助于他們數(shù)學(xué)建模等能力的逐步發(fā)展，學(xué)生在與教師、其他同學(xué)的互動(dòng)交流中，能夠逐步理解概念的本質(zhì)，完善精確概念的表達(dá)，也能從中建立起概念本質(zhì)與數(shù)學(xué)形式化之間的聯(lián)系，把那些碎片化、非正式的數(shù)學(xué)理解過(guò)渡到結(jié)構(gòu)化、形式化的數(shù)學(xué)表征上來(lái)[20]．

4.3 符號(hào)化呈現(xiàn) 揭示形式化內(nèi)涵

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家詹姆斯·希伯特和托馬斯·卡朋特合作建構(gòu)的“表示—聯(lián)系”理解框架[21]，明確提出學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念意義的理解來(lái)自兩方面：一是數(shù)學(xué)符號(hào)與其它表示形式之間的聯(lián)系；二是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言內(nèi)部的聯(lián)系．對(duì)形式化數(shù)學(xué)結(jié)果的理解與記憶是高中課堂教學(xué)最基本的目標(biāo)，因此，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)在學(xué)生對(duì)相關(guān)情境性問(wèn)題思考的基礎(chǔ)上，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的整體性與結(jié)構(gòu)化，關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)，促進(jìn)學(xué)生形成特定內(nèi)容模塊的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．

4.4 鞏固性訓(xùn)練 促進(jìn)形式化理解

值得注意的是，有關(guān)數(shù)學(xué)形式化的教學(xué)并非一節(jié)課就能徹底完成．事實(shí)上，人們對(duì)數(shù)學(xué)形式化的認(rèn)識(shí)是分階段，逐步遞進(jìn)和加深的[22]．因此，一節(jié)課內(nèi)容往往只是形式化內(nèi)容的初步建立，也許還不夠完善，還需要在后續(xù)學(xué)習(xí)中進(jìn)一步充實(shí)，使之內(nèi)涵更豐富，運(yùn)用更便捷，表達(dá)更清晰．就函數(shù)單調(diào)性形式化表達(dá)的建立來(lái)說(shuō)，除了在高一年級(jí)第一學(xué)期“函數(shù)的概念與性質(zhì)”這一模塊教學(xué)中出現(xiàn)，在其它時(shí)間、其它內(nèi)容的學(xué)習(xí)上還可能經(jīng)常遇見，即人們常說(shuō)的“螺旋式上升”．為此，在后續(xù)有關(guān)單調(diào)性相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)上，教師可以通過(guò)適切的設(shè)問(wèn)誘思及其鞏固性訓(xùn)練，幫助學(xué)生夯實(shí)理解基礎(chǔ)，提升抽象思維水平和符號(hào)化表達(dá)能力，為不斷進(jìn)階的函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)建構(gòu)通道．

正如宋乃慶、陳重穆所說(shuō)的那樣：“淡化（形式）是相對(duì)的，不是不重視，更不是取消形式．”數(shù)學(xué)形式化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分．遵循“注重過(guò)程，漸進(jìn)導(dǎo)入”的數(shù)學(xué)教學(xué)原則，相信高中數(shù)學(xué)形式化內(nèi)容及其教學(xué)決不是跨不過(guò)去的坎、趟不過(guò)去的河．只要在日常教學(xué)中能夠結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)，準(zhǔn)確把握課標(biāo)要求，“引—墊—現(xiàn)—練”，因材施教，就一定能把冰冷美麗的數(shù)學(xué)形式化內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生火熱的思考，助推學(xué)生在積極主動(dòng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中提升關(guān)鍵能力，發(fā)展核心素養(yǎng)．

[1] 羅靜，王光明．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中形式化與非形式化的研究綜述[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（5）：49-50，59．

[2] 陳重穆，宋乃慶．淡化形式，注重實(shí)質(zhì)——兼論《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1993，2（2）：4-9．

[3] 宋乃慶，陳重穆．再談“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5（2）：15-18．

[4] 數(shù)學(xué)教育研究小組．?dāng)?shù)學(xué)素質(zhì)教育的熱點(diǎn)透視[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，1994（2）：2-4．

[5] 方厚良，羅燦．學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本要求[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（9）：57-59．

[6] 王光明，張文貴．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)形式與非形式的幾個(gè)問(wèn)題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教師，1997（10）：4-8．

[7] 鄭毓信．再談“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”——《淡化形式，注重實(shí)質(zhì)》讀后[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1994，33（8）：6-7．

[8] 王躍紅．?dāng)?shù)學(xué)形式化及其存在問(wèn)題[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2006，45（3）：16-19．

[9] 張敏，何小亞．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)原則的反思與重構(gòu)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2017（19）：1-5，53．

[10] 李昌官．?dāng)?shù)學(xué)抽象及其教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（4）：61-64．

[11] 中國(guó)大百科全書出版社編輯部．中國(guó)大百科全書·教育[M]．北京：中國(guó)大百科全書出版社，1985：5-6．

[12] 喻平，董林偉，郭慶松．中學(xué)生數(shù)學(xué)品格與價(jià)值觀的問(wèn)卷設(shè)計(jì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（4）：12-18．

[13] 蘇帆．關(guān)于學(xué)科數(shù)學(xué)與科學(xué)數(shù)學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（1）：34-36．

[14] 路江江，王亞妮．高中數(shù)學(xué)教育中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——王尚志教授訪談錄[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（2）：67-70．

[15] 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M]．北京：人民教育出版社，2003：2–11．

[16] 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020：5-8．

[17] 張奠宙，王振輝．關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（2）：1-4．

[18] 羅展華．高中數(shù)學(xué)教學(xué)中形式化與非形式化的表現(xiàn)特征[J]．中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2009（4）：12-14．

[19] 趙曉燕．荷蘭現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)設(shè)計(jì)原則——逐步形式化[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2012，51（8）：20-24．

[20] 王欽敏，余明芳．?dāng)?shù)學(xué)思維素養(yǎng)深度涵育：教學(xué)的進(jìn)路與方略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（6）：56-60．

[21] MULLIS I V S, MARTIN M O, SMITH T A, et al. TIMSS assessment frameworks and specifications 2003 [M]. 2nd ed. US: International Study Center, Lynch School of Education, Boston College, 2003: 9-34.

[22] 馬淑杰，張景斌．高中學(xué)生數(shù)學(xué)原有知識(shí)水平和學(xué)習(xí)認(rèn)知負(fù)荷對(duì)數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)效率的影響研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（2）：26-31．

Also on High School Mathematics Formalization and Its Teaching

DUAN Zhi-gui1, ZHANG Wen2

(1. School of Mathematics and Statistics, Yancheng Normal College, Jiangsu Yancheng 224000, China;2. School of Teacher Education, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210023, China)

The formalization of mathematics and its teaching have aroused extensive discussion in the 1990s. With the revision of the mathematics curriculum standard of senior high school in China from the experimental version in 2003 to 2017 and its revision in 2020, the innovation of teaching contents and teaching methods has become the inevitable requirement of the development of the times. It is of great significance to re-understand and explore the formalization of mathematics and its teaching in the new era. Based on literature research and speculative analysis, it is proposed that mathematical formalization is the abstraction of mathematical content and the symbolization of mathematical concepts. Mathematical formalization has the characteristics of process, hierarchy and relevance. Compared with scientific mathematics, subject mathematics focuses on inheritance, growth and understanding, and its formalization has been diluted. The revision of the formal content expression of the new mathematics curriculum standard in senior high school is not to abandon the formal learning requirements, but to strive to be more objective, more specific, and appropriate. To improve the teaching of formal content of mathematics in senior high school, we should follow the teaching principle of “paying attention to process and gradual introduction”, using situational introduction to lower the formal threshold, gradually paving the way and building a formal platform, symbolizing presentation to reveal formal connotation, and strengthening training to promote formal understanding.

high school mathematics; mathematical formalization; teaching strategies; process-oriented; progressive introduction

G632

A

1004–9894（2022）06–0060–05

段志貴，張?chǎng)舱劯咧袛?shù)學(xué)形式化及其教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（6）：60-64．

2022–07–11

江蘇高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)課題——《鄉(xiāng)村教師支持計(jì)劃（2015—2020）》下的鄉(xiāng)村教師身份認(rèn)同與專業(yè)成長(zhǎng)研究（2017ZDIXM151）；江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——數(shù)學(xué)學(xué)慢生“慢學(xué)習(xí)”的實(shí)踐研究（B-b/2020/02/217）；鹽城師范學(xué)院教育教學(xué)改革重點(diǎn)課題——師范類專業(yè)認(rèn)證背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)論課程教學(xué)改革的探索和思考（2018YCTUJGZ011）

段志貴（1966—），男，江蘇鹽城人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]