傅昊升 洪 靈 戴奉周*

①(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

②(陜西師范大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 西安 710062)

1 引言

最近，基于超材料孔徑(Metamaterial Aperture,MA)的計算微波成像(Computational Microwave Imaging, CMI)系統(tǒng)以其使用便攜的硬件設(shè)備進(jìn)行信息檢索而受到廣泛關(guān)注[1–8]。現(xiàn)有的微波成像體制主要包括合成孔徑微波成像和實(shí)孔徑微波成像。合成孔徑微波成像利用目標(biāo)場景與測量系統(tǒng)的相對運(yùn)動形成一個電大尺寸虛孔徑以獲得高方位向分辨率，例如合成孔徑雷達(dá)[9]。實(shí)孔徑成像系統(tǒng)是利用多個收發(fā)通道構(gòu)成的真實(shí)物理孔徑獲得方位向分辨率，例如MIMO (Multiple Input Multiple Output)[10]。不同于傳統(tǒng)的實(shí)孔徑微波成像方案利用陣列天線生成窄波束對場景進(jìn)行掃描，MA-CMI可視為壓縮感知微波成像，通過控制MA生成多種隨機(jī)輻射模式構(gòu)建測量矩陣對場景進(jìn)行多次測量，其中測量矩陣的每一行都表示一個有效輻射模式[4]。MA-CMI的最大優(yōu)勢在于它僅需要一對收發(fā)通道即可，大大降低了系統(tǒng)的硬件成本。根據(jù)壓縮感知理論，當(dāng)測量矩陣各列的相關(guān)性足夠小時，近似保持約束等距條件，可從壓縮測量數(shù)據(jù)中準(zhǔn)確恢復(fù)稀疏信號[11]。現(xiàn)有的MA主要分為兩類：頻率分集超材料孔徑(Frequency Diversity Metamaterial Apertures, FDMAs)[2,5–8]和動態(tài)超材料孔徑(Dynamic Metamaterial Apertures, DMAs)[3,4]。FDMAs可以產(chǎn)生高度獨(dú)立的隨頻率變化的隨機(jī)輻射模式，然而這需要FDMA支持較大的工作帶寬以獲得足夠多的有效測量模式。DMAs通過獨(dú)立控制超材料單元上加載的開關(guān)器件的通斷狀態(tài)，進(jìn)行隨機(jī)孔徑編碼獲得大量隨機(jī)輻射模式?；贒MAs的CMI系統(tǒng)不依賴于頻率變化，因此其可以工作在單頻點(diǎn)下，相比于FDMAs大大節(jié)省了頻譜資源。

近年來，眾多國內(nèi)外學(xué)者對基于MA-CMI系統(tǒng)的成像算法展開了研究。由于MA-CMI可視為壓縮感知成像，稀疏信號重構(gòu)(Sparse Signal Reconstruction, SSR)算法，如正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)[5]、兩步迭代收縮/閾值(Two-step Iterative Shrinkage/Thresholding,TwIST)算法[6]或稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian Learning, SBL)[7,8]等被用于MA-CMI系統(tǒng)。SSR方法需要將場景區(qū)域離散化并假設(shè)目標(biāo)散射中心位于離散網(wǎng)格點(diǎn)上。然而，在實(shí)際應(yīng)用中這一假設(shè)通常不能被滿足，場景離散化必然造成網(wǎng)格失配使得成像質(zhì)量變差。針對這一問題，國內(nèi)外已有許多基于SBL的離網(wǎng)格(Off-grid)誤差校正方法。例如，對目標(biāo)的轉(zhuǎn)向矢量在其鄰域網(wǎng)格上進(jìn)行泰勒近似展開，在此基礎(chǔ)上，利用稀疏貝葉斯推理[12,13]、塊稀疏貝葉斯推理[14]或多項(xiàng)式求根[15]等方法校正離網(wǎng)格誤差。最近，文獻(xiàn)[16]提出了一種基于信號子空間匹配的Off-grid波達(dá)方向(Direction Of Arrival,DOA)估計方法，文獻(xiàn)[17]將該方法應(yīng)用于MIMO雷達(dá)微波關(guān)聯(lián)成像中。然而，在上述所有離網(wǎng)格誤差校正的SBL方法中，都要求轉(zhuǎn)向矢量可以用數(shù)學(xué)公式描述。對于MA-CMI系統(tǒng)生成的隨機(jī)輻射模式無法用數(shù)學(xué)公式描述，且MA-CMI是一個單快拍SSR問題。使得上述所有方法都不適用于MA-CMI系統(tǒng)。

本文針對MA-CMI系統(tǒng)測量過程存在離網(wǎng)格誤差的情況提出一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的Sinc插值離網(wǎng)格成像方法(Off-Grid based on Sinc Interpolation Sparse Bayesian Learning, OGSISBL)方法。首先，第2節(jié)針對MA-CMI系統(tǒng)的測量矩陣無法用數(shù)學(xué)公式表示的問題，提出新的離網(wǎng)格觀測模型，其對不在初始劃分網(wǎng)格上的散射體的回波數(shù)據(jù)用2維(Two-Dimensional, 2D)Sinc函數(shù)插值逼近在網(wǎng)格上的MA的實(shí)測輻射模式。此外，由于Sinc函數(shù)的非線性性質(zhì)，對其執(zhí)行1階泰勒展開得到其線性近似式，使得算法的推導(dǎo)易于處理；第3節(jié)基于上述觀測模型開發(fā)了一種具有離網(wǎng)格誤差校正能力的成像算法。提出的成像算法基于SBL并在期望最大化(Expectation Maximization, EM)算法框架下迭代消除離網(wǎng)格誤差；第4節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)對本文提出的成像方法進(jìn)行驗(yàn)證；第5節(jié)為結(jié)論。

2 基于超材料孔徑計算微波成像系統(tǒng)的觀測模型

如第1節(jié)所述，MA-CMI系統(tǒng)通過生成多種隨機(jī)輻射模式探測目標(biāo)場景，同時接收天線收集場景內(nèi)目標(biāo)的回波。將目標(biāo)場景在2D角域劃分均勻網(wǎng)格，網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)矩陣D可表示為

3 2D離網(wǎng)格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)

3.1 稀疏貝葉斯模型

3.2 稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(SBL)

根據(jù)第2節(jié)得到的觀測模型。對MA-CMI系統(tǒng)測量結(jié)果進(jìn)行離網(wǎng)格誤差校正可描述為如式(18)的最大后驗(yàn)(MAximum Posteriori, MAP)推斷問題

其中，diagM(·)表示取矩陣對角線元素構(gòu)成列向量，(·)*為共軛算子，(·)H是共軛轉(zhuǎn)置算子。/

算法迭代終止判據(jù)由式(32)定義

4 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

本節(jié)通過幾個數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所提方法的性能。本節(jié)的所有成像實(shí)驗(yàn)使用的測量矩陣H是通過對一款FDMA-CMI系統(tǒng)在微波暗室環(huán)境下采集的輻射方向圖數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到的。FDMA-CMI系統(tǒng)由FDMA作為發(fā)射天線，喇叭天線作為接收天線組成(如圖2所示)，此系統(tǒng)的詳細(xì)設(shè)計在本文之前的工作中已給出[20]。圖3為34.4 GHz, 36.65 GHz和38.15 GHz頻點(diǎn)激勵下的FDMA輻射模式圖。最終，本文采集得到104種有效輻射模式。文獻(xiàn)[21]作為在網(wǎng)(On-grid)模型算法的代表與本文所提算法進(jìn)行比較，本文中稱該算法為On-grid SBL。為了揭示本文所提算法對場景稀疏目標(biāo)的重構(gòu)性能，采用均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)作為目標(biāo)位置的重構(gòu)性能度量，定義為

圖1 本文OGSISBL算法流程圖

圖2 FDMA-CMI系統(tǒng)

圖3 FDMA在不同頻點(diǎn)的歸一化輻射模式

實(shí)驗(yàn)1 假設(shè)一個位于空域xoy平面的目標(biāo)場景，其 中x ∈[?860 mm, 860 mm],y ∈[?860 mm,860 mm]，F(xiàn)DMA-CMI距離場景500 mm。根據(jù)空域與角域的轉(zhuǎn)換關(guān)系可知場景在角域的范圍為?∈[–60°, 60°]和θ∈[–60°,60°]。將目標(biāo)場景在角域均勻離散化為31×31個網(wǎng)格點(diǎn)，即俯仰和方位維的網(wǎng)格間距r均為4°。信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)設(shè)置為10 dB。為充分證明所提算法對稀疏目標(biāo)場景的重構(gòu)能力，本文仿真了3種不同場景，分別是：五邊形目標(biāo)、五角星形目標(biāo)和雪花形目標(biāo)。圖4顯示了本文所提算法與On-grid SBL算法[21]對3種不同場景的重構(gòu)結(jié)果。圖4(a1)、圖4(b1)和圖4(c1)分別為加入隨機(jī)離網(wǎng)格誤差作為擾動后的3種目標(biāo)場景。其中用紅色十字標(biāo)記散射體的真實(shí)位置，而黃色網(wǎng)格標(biāo)記了散射體所在的初始網(wǎng)格；圖4(a4)、圖4(b4)和圖4(c4)分別為3種場景的真實(shí)散射體在空域的歸一化幅度。圖4(a2)和圖4(a5)、圖4(b2)和圖4(b5)、圖4(c2)和圖4(c5)分別為3種目標(biāo)場景的On-grid SBL算法重構(gòu)結(jié)果?？梢钥闯鯫n-grid SBL算法沒有更新網(wǎng)格，即該算法不能處理離網(wǎng)格誤差，且其成像結(jié)果中存在很多高幅度假峰。其中最高假峰的幅度約為0.43，幾乎為重構(gòu)真實(shí)目標(biāo)散射體最低幅度的66%，并且隨著場景中目標(biāo)數(shù)量的增加，高幅度假峰的數(shù)量也在增加，這在實(shí)際應(yīng)用中是不允許的。本文所提算法對3種稀疏目標(biāo)場景的重構(gòu)結(jié)果分別如圖4(a3)和圖4(a6)、圖4(b3)和圖4(b6)、圖4(c3)和圖4(c6)所示。由圖4(a6)、圖4(b6)和圖4(c6)可以看出所提方法的重構(gòu)結(jié)果中盡管仍存在假峰，但最高假峰幅度約為0.15，是重構(gòu)真實(shí)目標(biāo)散射體最低幅度的20%，成像質(zhì)量得到了很大提高。為了定量分析本文所提算法對離網(wǎng)格誤差的校正效果，表1給出了3種稀疏目標(biāo)場景200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)不同SNR下消除離網(wǎng)格誤差的能力。由表1可知，本文所提算法在SNR=20 dB時，3種目標(biāo)場景的平均離網(wǎng)格誤差均可以被減小到初始誤差的52.6%左右；即使在SNR=10 dB的情況下，對于場景1的平均離網(wǎng)格誤差也可以減小約初始網(wǎng)格的66.0%左右，但隨著場景中稀疏目標(biāo)個數(shù)增加算法校正離網(wǎng)格誤差的能力略有下降。當(dāng)SNR=5 dB時，對于3種目標(biāo)場景，算法均無消除離網(wǎng)格誤差的能力，這是由于此時噪聲能量可以比擬目標(biāo)能量。值得注意的是對于場景3，結(jié)合圖4(c2)和圖4(c5)可以看出，On-grid SBL算法失效而本文提出的算法仍然保持很好的重構(gòu)結(jié)果(參見圖4(c3)和圖4(c6))。

表1 比較不同信噪比下本文所提算法對散射體位置的重構(gòu)效果(3種不同場景)(mm)

實(shí)驗(yàn)2 本實(shí)驗(yàn)研究了2種算法對于不同離散網(wǎng)格間隔r隨SNR的RMSE變化曲線以及對于不同SNR隨離散網(wǎng)格間隔r的算法平均運(yùn)行時間變化曲線。本實(shí)驗(yàn)采用五角星形場景(如圖4場景2)，圖5(a)為2種算法200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)不同離散網(wǎng)格間隔下RMSE隨SNR的變化曲線。從中可以看出2種算法的RMSE均隨SNR的增大而減小，且r越小重構(gòu)性能越好；在SNR為0 dB和5 dB時，無論r取多少，2種算法重構(gòu)失??；當(dāng)r一定時，本文所提算法性能始終優(yōu)于On-grid SBL；當(dāng)選取相對較粗的網(wǎng)格時，On-grid SBL算法隨著SNR提升重構(gòu)效果并沒有明顯改善，相比之下，本文提出算法的重構(gòu)效果大大提升，這是由于本文方法考慮了測量過程中存在離網(wǎng)格誤差，并在算法中對其進(jìn)行了校正，且SNR越高，網(wǎng)格間隔越小，2種算法的重構(gòu)效果差異越顯著。圖5(b)為2種算法在不同離散網(wǎng)格間隔r和SNR下的平均運(yùn)行時間。從中可以看出對于不同SNR，2種算法得平均運(yùn)行時間均隨r的增大快速下降，這是由于當(dāng)目標(biāo)場景范圍確定時，網(wǎng)格間隔大小直接決定了劃分的網(wǎng)格數(shù)量，進(jìn)而決定了計算數(shù)據(jù)的維度；對于不同網(wǎng)格間隔，On-grid SBL的運(yùn)行時間始終低于本文所提算法，這是因?yàn)镺n-grid SBL不考慮離網(wǎng)格誤差使得其計算量大大降低，但也造成其重構(gòu)效果很差；當(dāng)r一定時，2種算法的平均運(yùn)行時間均對SNR變化不敏感，這說明了網(wǎng)格間隔是影響算法計算效率的主要因素。由圖5可知本文所提方法在重構(gòu)性能與網(wǎng)格間隔間存在反比關(guān)系，使得本文方法在實(shí)際應(yīng)用中需要對其進(jìn)行折中考慮以選取合適的網(wǎng)格間隔。

圖5 單快拍、不同信噪比和網(wǎng)格間隔的2種算法的重構(gòu)性能

5 結(jié)束語

本文首先針對MA-CMI系統(tǒng)的測量矩陣是一個偽隨機(jī)矩陣，無法直接進(jìn)行數(shù)學(xué)操作的情況，提出了一種基于2維Sinc插值函數(shù)的離網(wǎng)格觀測模型。在稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)框架下，基于此觀測模型對離網(wǎng)格誤差進(jìn)行校正，獲得較好的成像效果，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了本算法的有效性。針對本成像算法的快速算法有待于進(jìn)一步的研究。