揭允康 葉曉東 王 昊 李 莉 陶詩飛

(南京理工大學電子工程與光電技術(shù)學院 南京 210094)

1 引言

2維頻率估計和波達方向估計(Direction Of Arrival, DOA)在雷達、通信、電子對抗、生物醫(yī)學等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在現(xiàn)有的2維估計方法中，基于子空間的估計算法具有優(yōu)良的分辨性能，因此得到了廣大學者的關(guān)注。如2維多重信號分類算法 (2-Dimensional MUltiple SIgnal Classification algorithm, 2D-MUSIC)[1–3]基于譜峰搜索，具有很高的分辨力和估計精度，然而在信號源維數(shù)增加時運算量也急劇增加；2維旋轉(zhuǎn)不變子空間方法(2-Dimensional Estimating Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques, 2D-ESPRIT)[4–8]、2維矩陣束方法 (2-Dimensional Matrix Pencil, 2DMP)[9,10]和2維傳播算子方法 (2-Dimensional Propagator Method, 2D-PM)[11,12]等利用陣元結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了2維參數(shù)的分維處理，通過特征分解分別得到兩組包含待估計參數(shù)信息的特征值。相比于MUSIC算法，基于特征值分維的ESPRIT類算法不需要進行譜峰搜索，在一定程度上降低了參數(shù)估計的復(fù)雜度，并且具有較高的分辨力。

但ESPRIT類算法的多維特征分解是互相獨立的，直接得到的估計結(jié)果并不會一一對應(yīng)，因此需要額外的步驟對估計結(jié)果進行配對。Rouquette等人[4]首先對2維參數(shù)的旋轉(zhuǎn)因子矩陣進行線性組合，再利用特征矩陣的相關(guān)特性進行排序，然而配對過程中存在模糊參數(shù)，若參數(shù)取值不當就無法得到正確的配對結(jié)果； Hua[9]和王秀等人[10]利用噪聲子空間與導(dǎo)向矢量的正交性實現(xiàn)2維參數(shù)配對，但是重復(fù)特征值會導(dǎo)致結(jié)果失配；Chen等人[13]通過構(gòu)造分塊矩陣將重復(fù)特征值與單特征值區(qū)分開來，然而同樣存在判斷特征值相等的模糊門限，文獻[14]對其進行了詳細的精度分析；Zoltowski等人[15]提出了一種基于酉ESPRIT算法的2維估計免配對算法，但并不適用于帶有衰減因子的信號模型，且存在陣列中心對稱的局限性；楊力強等人[16]提出了一種L型陣列下基于ESPRIT算法的2維參數(shù)配對方法，將矩陣以相同的特征矩陣同時對角化，通過對角線上元素的幅角進行排序來確定2維參數(shù)的配對順序，然而在部分情況下仍然存在失配的問題。

近年來許多研究都利用文獻[4,13,16]的方法進行多維參數(shù)配對[17–19]，然而上述方法仍然存在模糊參數(shù)，重復(fù)特征值導(dǎo)致失配等問題，因此本文提出了一種基于文獻[4]配對算法的修正算法。本文算法將特征值線性組合后生成一個判斷矩陣，根據(jù)矩陣不同維的對應(yīng)關(guān)系，按信號信噪比高低進行搜索配對，因此具有較好的抗噪特性，在有多對重復(fù)特征值的情況下也能準確配對。本文算法結(jié)構(gòu)簡單，計算復(fù)雜度低，相比于文獻[4,13]，沒有模糊參數(shù)，相比于文獻[16]，在存在多對重復(fù)特征值情況下也具備準確的配對能力，具有較高的實用性。

2 2維ESPRIT算法估計信號頻率

本節(jié)先回顧2維頻率估計問題和文獻[4]的2維ESPRIT算法。假設(shè)待估計的2維復(fù)值正弦信號模型為

3 2維參數(shù)配對

4 仿真驗證

仿真 1 設(shè)置信號個數(shù)K=3，頻率分別為f1=[0.24, 0.24, 0.26], f2=[0.24, 0.26, 0.24],α1=[–0.03, –0.03, –0.06], α2=[–0.03, –0.06, –0.03],SNR=25 dB；采樣參數(shù)M=N=20；矩陣參數(shù)P=Q=8。在每個條件下進行I=200次獨立實驗。為了比較不同算法的配對性能，將配對結(jié)果用2維散點圖表示。以頻率估計為例，如果配對結(jié)果集中在(0.24, 0.24), (0.24, 0.26), (0.26, 0.24)3個區(qū)域附近，說明配對結(jié)果正確。并且配對結(jié)果偏離3個點的距離也反映了估計結(jié)果的精度。

本文算法的配對結(jié)果由圖1所示，圖1(a)和圖1(b)分別是衰減因子和頻率的配對結(jié)果。由圖1(a)可知，本文算法適用于帶有衰減因子的信號模型，并且因為衰減因子與頻率的配對結(jié)果一致。為了更加簡便地比較算法配對性能，本文僅對頻率配對結(jié)果進行分析。由圖1(b)可以看到，200次獨立實驗中都沒有出現(xiàn)(0.26, 0.26)配對錯誤的情況，驗證了本文算法配對的準確性。本文算法配對過程中沒有模糊參數(shù)，因此也驗證了本文算法的非模糊性。

圖1 本文算法的配對結(jié)果

為了說明模糊參數(shù)對估計結(jié)果的影響，對文獻[4,13]算法原理進行分析，其配對結(jié)果分別如圖2、圖3所示。

文獻[4]利用參數(shù)β將F1和線性組合以避免出現(xiàn)重復(fù)特征值，其中β的取值范圍為(0, 1)，但是具體的數(shù)值并不能確定。若β取值不當，線性組合后的矩陣仍然存在重復(fù)特征值，導(dǎo)致配對錯誤或精度下降。為了直觀比較不同β取值的配對性能，將算法估計精度用均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)表示

由圖2(a)可知文獻[4]中β取值與均方根誤差的關(guān)系，當β=0.35時，均方根誤差最低；當β=0.50時，均方根誤差最高。配對結(jié)果分別如圖2(b)、圖2(c)所示?？梢钥吹綀D2(b)配對準確，估計精度較高，而圖2(c)表明β參數(shù)取值不當會影響估計結(jié)果，導(dǎo)致算法估計精度降低。

圖2 文獻[4]中不同β取值的配對結(jié)果

文獻[13]首先需要根據(jù)特征值之間的歐氏距離判斷是否存在重復(fù)的特征值，然而文中并沒有給出判斷門限ε的取值。當ε選取過大時，會將相近特征值看作相等特征值，導(dǎo)致虛警；當ε選取過小時，無法發(fā)現(xiàn)重復(fù)特征值，導(dǎo)致漏警。并且判斷門限ε的最佳取值也會隨著來波信噪比的變化而并不一致。在本算例中，對ε隨機取3個數(shù)值來驗證ε的取值對配對結(jié)果的影響。由圖3可以看到，圖3(b)中ε=0.05時配對結(jié)果較接近理想結(jié)果，圖3(a)中ε=0.10時，存在(0.26, 0.26)配對錯誤的情況，圖3(c)中ε=0.01時，算法估計精度較低。

圖3 文獻[13]中不同ε取值的配對結(jié)果

文獻[16]提出了兩種沒有模糊參數(shù)的配對算法，并且相比已有的配對算法其準確率有明顯改善[16]，圖4是兩種算法的配對結(jié)果。算法1對F1和F2′以相同的特征矩陣同時進行對角化，在低快拍時估計精度較低。算法2利用算法1估計結(jié)果的對角矩陣幅角順序進行排序，具有較高的估計精度。由圖4可以看到，算法1估計結(jié)果精度較低，算法2在本算例中能取得較好的估計結(jié)果。

圖4 文獻[16]算法配對結(jié)果

為了直觀比較新算法的估計精度，本文算法，文獻[4,13,16]配對算法的均方根誤差隨SNR的變化曲線如圖5所示。由圖5可以看到，除了文獻[16]的算法1外，其余算法的最佳性能都近似相等，此時這些方法都能準確配對。但由前文分析可知，若文獻[4,13]算法的參數(shù)選擇不當，會導(dǎo)致估計結(jié)果失配或精度降低，相比之下本文算法的配對過程中并沒有模糊參數(shù)，具有更高的實用性。

圖5 不同算法均方根誤差隨SNR的變化

仿真 2 為了進一步比較本文算法和文獻[16]算法2的配對性能，考慮存在多對重復(fù)特征值的情況：設(shè)置信號個數(shù)K=4；其頻率分別為f1=[0.24,0.24, 0.26, 0.26], f2=[0.24, 0.32,0 .28, 0.32]；衰減因子α1=[–0.03, –0.03, –0.06, –0.06], α2=[–0.03,–0.09, –0.07, –0.09], SNR=25 dB；采樣參數(shù)M=N=20；矩陣參數(shù)P=Q=8。每種方法進行I=200次獨立實驗。

本文算法，文獻[16]算法2的配對結(jié)果如圖6所示。文獻[16]算法2利用了矩陣同時對角化的原理，然而如果F1存在重復(fù)特征值，其對角化的特征矩陣不是對角矩陣而是分塊對角矩陣，在待估計參數(shù)相近的情況下，對角線上元素幅角的排序并不是正確的配對順序。由圖6(b)可以看到，文獻[16]算法2出現(xiàn)(0.24, 0.28)，(0.26, 0.24)配對錯誤的情況。相比之下，本文的配對算法在有多對重復(fù)特征值時仍然具有準確的配對能力。

圖6 不同算法配對結(jié)果

5 結(jié)論

本文提出一種基于ESPRTI類算法特征值分維的多維參數(shù)配對方法，有效解決了配對過程中存在模糊參數(shù)，以及特定情況下參數(shù)失配的問題。本文算法首先對包含參數(shù)信息的特征值進行線性組合，構(gòu)造一個判斷矩陣，再根據(jù)矩陣不同維對應(yīng)關(guān)系實現(xiàn)多維參數(shù)的自動配對，具有較高的估計精度。仿真結(jié)果表明，相比已有的配對算法，本文算法在配對過程中沒有模糊參數(shù)，在存在多對重復(fù)特征值時也能準確配對，具有更高的實用性。