呂 巖 曹 菲 楊 劍 馮曉偉
①(火箭軍工程大學核工程學院 西安 710025)
②(中國人民解放軍 96746部隊 庫爾勒 841000)
③(火箭軍工程大學導彈工程學院 西安 710025)
目前,按一定最優(yōu)準則形成方向圖的波束導向陣列天線被稱為智能天線,也被視為自適應陣列[1,2]。智能天線本質(zhì)上意味著可通過計算機對天線進行控制,這將大幅提升陣列系統(tǒng)的性能[3]。自適應陣列處理技術能夠根據(jù)信號環(huán)境實時調(diào)整陣列天線的權值矢量,利用自適應波束形成算法將波束圖的主要增益指向期望信號(Signal Of Interest, SOI)方向,并抑制其他方向上的干擾信號[4,5]。該技術已被廣泛應用于雷達、聲吶、麥克風陣列語音處理、醫(yī)學成像、無線通信、天文學和地震學等領域[6–8]。然而,自適應波束形成算法對信源誤差和傳感器誤差非常敏感,例如信號方向誤差、傳感器位置擾動、幅度和相位誤差等。特別是當SOI分量存在于數(shù)據(jù)快拍中時,波束形成器的性能將會嚴重下降[9]。因此,有必要提高自適應陣列處理中波束形成算法的穩(wěn)健性。近幾十年來,許多穩(wěn)健自適應波束形成(Robust Adaptive Beamforming, RAB)算法相繼提出,如對角加載(Diagonal Loading, DL)算法、特征子空間方法、不確定性集約束算法和協(xié)方差矩陣錐化(Covariance Matrix Taper, CMT)方法[10–12],上述方法對于信號方向誤差和傳感器位置擾動是有效的,并且在某些失配條件下,能夠提高陣列輸出的信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)。然而,這些算法的采樣協(xié)方差矩陣(Sample Covariance Matrix, SCM)無法剔除SOI分量,這一性質(zhì)限制了算法在高信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)條件下的性能。
為了消除SOI分量的影響,已經(jīng)提出了許多基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣(Interference plus Noise Covariance Matrix, INCM)重建的RAB算法。文獻[13]首先通過結(jié)合Capon功率譜(Capon Power Spectrum, CPS)估計和SOI角扇區(qū)分離區(qū)域的積分來重構INCM。隨后,通過求解2次約束2次規(guī)劃(Quadratically Constrained Quadratic Programming, QCQP)問題修正SOI的導向矢量(Steering Vector, SV)。為了提升CPS估計的分辨率,文獻[14]推導了互質(zhì)陣列的INCM重構算法,雖然分辨率得到了提高,但大幅增加了算法的復雜度。文獻[15]基于兩個子空間相交處的SVs重構INCM,這可使估計的SV更準確。文獻[16]提出了基于SV和功率估計的INCM重構算法,但信源波達方向(Direction Of Arrival, DOA)的初步估計由CPS峰值搜索完成,這將使算法受限于CPS估計的分辨率。文獻[17]描述了一種基于空間功率譜采樣的低復雜度RAB方法,但該方法需要大量陣元才能達到與文獻[13]相近的性能。文獻[18]提出了一種基于梯度向量修正的SV估計方法,但本質(zhì)上該算法仍受限于CPS估計的分辨率。文獻[19]通過殘余噪聲消除和干擾功率估計提出了一種基于子空間的RAB算法,該算法需進行較多的矩陣乘積和求逆運算,增加了復雜程度。綜合以上分析可知,多數(shù)INCM重構算法忽略了CPS估計的分辨率,當干擾信號角度接近時,CPS估計將無法有效區(qū)分信源的DOA,這將導致INCM重構誤差。
盡管鄰近干擾可通過零陷展寬[20]技術予以解決,但零陷展寬算法未必能夠精準地在干擾方向上形成較深零陷,這可能影響陣列輸出的SINR。并且,該類算法可能導致波束圖的副瓣電平升高或主瓣展寬,在各種信號模型失配時的穩(wěn)健性尚有待驗證。針對以上問題,本文提出兩種RAB算法。所提算法通過搜索CPS峰值確定積分區(qū)間,然后對各區(qū)間積分所得的協(xié)方差矩陣進行特征值分解。將較大特征值所對應的特征向量作為信源SV的初步估計,而后采用兩種方法估計其與真實SV之間的誤差,得到雙層估計的SV和信源功率。最后通過重構INCM獲得陣列最優(yōu)權值矢量。計算機仿真實驗驗證了所提算法有效解決了CPS估計分辨率低的問題,較其他算法具備更好的綜合性能。
圖1 線性陣列模型
由于CPS估計只需已知陣列的結(jié)構信息,不需信源數(shù)等其他先驗信息,所以目前多數(shù)基于INCM重構的RAB算法利用CPS估計入射信號的DOA或功率信息。但對于DOA估計,CPS估計技術的分辨率較低,因此當兩個干擾信號角度接近時,其功率譜將會疊加重合,此時通過CPS僅可觀察到一個峰值,這一局限性勢必會導致RAB算法的輸出SINR受到損失。下面將通過仿真驗證CPS估計的局限性,假設1個功率為25 dB的SOI以?5?到達10陣元的均勻線陣,3個干擾信號的干噪比(Interference to Noise Ratio, INR)同樣為25 dB,分別以非鄰近信號(入射角為?30?,30?和4 0?)和鄰近信號(入射角為?30?,36?和4 0?)兩種場景入射該陣列,快拍數(shù)K=30,圖2為兩種場景的CPS估計結(jié)果,所得曲線為200次蒙特卡羅實驗的平均值。
圖2中紅色虛線代表非鄰近場景,此時CPS估計可準確分辨出所有入射信號。藍色實線表示鄰近干擾場景,可以看出當兩個信號入射角接近時,其CPS將會彼此重合疊加,估計的DOA也會發(fā)生偏移。
圖2 兩種場景的CPS
圖3 估計SV和真實SV的關系示意
為解決入射角接近時,CPS估計會出現(xiàn)疊加偏移的問題,所提算法首先利用式(17)計算入射信號所在區(qū)間的積分,獲得與入射信號相關的全部信息
根據(jù)圖4可知,積分區(qū)間內(nèi)的信號數(shù)量和信號模型是否存在誤差對特征值的幅度影響較大,但通過合理設置門限值(γ=0.95),能夠準確地區(qū)分積分區(qū)間內(nèi)所含的信號數(shù)量,即可得參數(shù)η,并且所設門限對鄰近或非鄰近干擾條件均適用。此時,可將特征向量vη作為陣列入射信號SV的初步估計,選取η個較大特征值所對應的特征向量進行后續(xù)分析,接下來將提出兩種方法修正vη,使其盡量與信源的真實SV接近一致。
圖4 特征值分布
方法1 顯然,vη與R?l的最小特征值所對應的特征向量vM正交,即vηHvM=0 。通過向vη添加一個由其正交向量vM組成的比例梯度,并歸一化模值,可得
其中,e⊥為修正SV和a?l(θl) 之間的誤差,ξ代表e⊥的上界。式(23)與不確定集約束算法的不同之處在于添加了a?l(θl)和e⊥正交的約束條件,目的在于限制算法在a?l(θl)的正交空間更加精準地搜索最優(yōu)值。式(23)為2次優(yōu)化(Quadratic Programming,QP)問題,可使用凸優(yōu)化(ConVeX optimization,CVX)工具箱[21]求解。最終可得a?l(θl)=a?l(θl)+e⊥和P?(a?l),并利用式(21)和式(22)得到重構的INCM。
SOI的SV同樣可使用所提算法進行估計,記為a?s=a?0(θ0)。綜上,可得權值矢量
仿真基于10陣元的均勻線陣,陣元間距為入射信號半波長。SOI的DOA為–5°,3個干擾信號的DOA分別設置為–30°, 36°和40°,INR=25 dB,積分區(qū)間限定為CPS峰值所在位置±8°范圍內(nèi),積分角度間隔設置為 ?θ=0.5°。當比較RAB算法的輸出S I N R 和輸入S N R 關系時,快拍數(shù)設置為K=30,當對比輸出SINR隨快拍數(shù)的變化關系時,SNR設置為20 dB,仿真實驗所得的結(jié)果均為200次蒙特卡羅實驗的平均值。
為進一步驗證算法的性能,將所提算法與基于子空間的RAB算法[12]、基于CPS積分的算法[13]、基于CPS峰值搜索和功率估計的算法[16,18,19]性能進行對比。對于文獻[12]算法,假設信源數(shù)為已知;文獻[16]算法的參數(shù)設置為L=7;對于文獻[18],設置?θl=10?,η? =0.1 和N=20;文獻[19]算法設置N=3 ;對于所提算法1,設置D=0.1,C=20和γ=0.95 ;所提算法2中設置參數(shù)ξ=0.01。
表1 所提算法步驟
實驗1 波束圖對比。在第1個實驗中,主要檢驗RAB算法在信號模型無誤差的條件下,生成波束圖的性能。快拍數(shù)設置為K=30, SNR=20 dB,利用式(9)和式(12)計算各個算法生成的波束增益如圖5所示。
根據(jù)圖5可知,所有算法均能將波束主瓣指向SOI,并在?30?方向形成零陷,然而文獻[12,16,18,19]算法無法精確地在兩個鄰近干擾方向同時形成零陷,進一步驗證了CPS估計的分辨率局限性,這必將對陣列輸出的SINR產(chǎn)生影響。由于文獻[13]算法對除SOI所在的區(qū)域進行整體積分,重構的INCM中包含干擾信號的全部信息,所以可在 36?和4 0?方向同時形成零陷。所提算法首先通過區(qū)間積分矩陣的特征值分布判定所含信號數(shù)量,又按照INCM的理論形式進行重構,所以形成的零陷比文獻[13]更深。此外,由于所提算法2采用改進不確定集約束的思想對SV進行精準估計,因此形成的零陷優(yōu)于算法1。
圖5 波束圖
實驗2 DOA隨機誤差。在本實驗中,主要檢驗SOI和干擾信號DOA均出現(xiàn)隨機誤差條件下對陣列輸出SINR的影響,其真實DOA隨機分布在區(qū)間[θl ?5?,θl+5?]內(nèi)。圖6(a)為陣列輸出SINR隨輸入SNR的變化趨勢,可知文獻[12]算法隨著SNR的增大性能迅速下降,由于重構的INCM中包含全部的干擾信號信息,所以所提算法和文獻[13]算法性能要優(yōu)于其他算法。圖6(b)為所提算法和文獻[13]算法與最優(yōu)SINR之間的偏差,由圖可以看出算法2與最優(yōu)SINR之間的偏差最小,并且輸出曲線較為穩(wěn)定,未出現(xiàn)大幅波動。圖6(c)為輸出SINR隨快拍數(shù)的變化情況,根據(jù)圖6(c)可知在快拍數(shù)小于20時,所提算法輸出的SINR和文獻[13]相近,當快拍數(shù)大于20后,所提算法輸出的SINR高于其他算法且曲線平緩,輸出較為穩(wěn)定。
圖6 DOA隨機誤差的測試結(jié)果
實驗3 幅度誤差和相位擾動。在第3個實驗中,主要考察RAB算法對于接收信號的幅度和相位擾動誤差的穩(wěn)健性。當信號模型存在幅相誤差時,式(2)的第m項可表示為
其中,κm為高斯分布N(1,0.052),表示幅度誤差,τm代表相位誤差,服從N(0,(5?)2)的高斯分布。圖7分別為陣列輸出SINR隨輸入SNR的變化趨勢、與最優(yōu)SINR之間的偏差和輸出SINR隨快拍數(shù)的變化情況。根據(jù)圖7可知,所提算法和文獻[13]算法的輸出SINR高于其余算法,隨快拍數(shù)變化較為穩(wěn)定,但SNR較低時文獻[13]算法性能優(yōu)于所提算法,隨著SNR逐漸升高,所提算法2性能達到最優(yōu)。
圖7 幅相誤差的測試結(jié)果
實驗4 非相干局部散射。在本實驗中,主要測試SOI的非相干局部散射對波束形成器性能的影響。假設SOI具備時變性質(zhì),則可表示為
其中,Φ{·}表示取矩陣最大特征值所對應的特征向量。非相干局部散射條件下的測試結(jié)果如圖8所示。分析圖8可知,所提算法和文獻[13]算法的性能超過了其他算法,所提算法2的性能優(yōu)于算法1,且輸出較為穩(wěn)定,文獻[13]算法隨SNR增大,輸出的SINR出現(xiàn)了一定程度的波動。
圖8 非相干局部散射的測試結(jié)果
實驗5 陣元位置擾動加DOA隨機誤差。在最后一個仿真實驗中,主要測試RAB算法在信號模型同時存在陣元位置擾動和DOA隨機誤差復雜條件下的性能。此時,假設陣元位置在[?0.05λ,0.05λ]的范圍內(nèi)隨機擾動,DOA誤差的條件設置同實驗2。圖9(a)為陣列輸出SINR隨輸入SNR的變化趨勢,可知SNR較低時,文獻[12]算法輸出的SINR高于其他算法,隨著SNR的逐漸增加,文獻[12]算法性能下降,所提算法達到最優(yōu)。圖9(b)為與最優(yōu)SINR之間的偏差情況,由于信號模型失配嚴重,條件比較復雜,3種算法均出現(xiàn)了不同程度的波動。相比于文獻[13],所提算法的波動程度較小,且算法2與最優(yōu)SINR之間的偏差最小,在高SNR條件下最為接近最優(yōu)值。圖9(c)為輸出SINR隨快拍數(shù)的變化情況,根據(jù)圖9(c)可知所有算法的輸出SINR隨快拍數(shù)的增加均出現(xiàn)了一定程度的波動,但相比于其他算法,本文所提兩種算法始終處于最優(yōu)位置。
圖9 陣元位置擾動加DOA隨機誤差的測試結(jié)果
針對INCM重構過程中CPS估計分辨率低的問題,本文提出兩種RAB算法。所提算法首先通過搜索CPS的峰值確定積分區(qū)間,然后對各區(qū)間積分所得的協(xié)方差矩陣進行特征值分解,通過合理設置判定門限確定區(qū)間內(nèi)所含的入射信源數(shù)量,并將較大特征值所對應的特征向量作為信源SV的初步估計。而后,所提算法1利用最小特征值所對應的特征向量,向初步估計的SV中添加正交比例梯度,得到雙層估計的SV。與所提算法1不同,算法2通過求解QP問題得到修正的SV,最后通過重構INCM獲得陣列最優(yōu)權值矢量。通過無誤差條件下的波束圖、信源DOA隨機誤差、幅相誤差、非相干局部散射和陣元位置擾動加DOA隨機誤差5個仿真實驗的結(jié)果表明,算法2由于采用求解QP問題雙層優(yōu)化信源的SV,比算法1利用固定比例梯度的正交向量性能更優(yōu)。此外,需要說明的是所提算法同樣適用于非鄰近干擾條件下的穩(wěn)健波束形成。