徐 斌，董書寧，尹尚先，戴振學，李樹霞，張潤畦

(1.華北科技學院 河北省礦井災害防治重點實驗室，北京 101601；2.中煤科工西安研究院(集團)有限公司，陜西 西安 710054；3.吉林大學 建設工程學院，吉林 長春 130026；4.中國礦業(yè)大學(北京) 地球科學與測繪學院，北京 100083)

注漿工程中，漿液擴散半徑是注漿孔間距設計的重要依據(jù)[1-4]。通過理論模型準確預測漿液擴散范圍[5]，尤其是有效擴散范圍，有助于現(xiàn)場工程制定合理的注漿參數(shù)，節(jié)約注漿工程費用。當前煤礦生產(chǎn)建設中的帷幕注漿、底板注漿主要是將漿液注入到裂隙介質(zhì)中，屬于裂隙注漿的范疇[6]。在注漿工程后期，漿液質(zhì)量濃度變大，常用的水灰比在0.8～1.0，屬于典型的賓漢姆流體[7-8]。賓漢姆流體漿液在裂隙介質(zhì)中運移的影響因素(注漿參數(shù)、裂隙介質(zhì)條件、漿體時變特性等)比較多[7]，導致有關(guān)漿液擴散半徑計算的理論還不夠完善，仍然需要進一步探討。

由于裂隙介質(zhì)注漿運移過程十分復雜，當前相關(guān)的注漿理論僅限于漿液在開度恒定、表面光滑單一裂隙中的運動規(guī)律研究[9]，且已有不少國內(nèi)外學者推導了賓漢姆流體漿液擴散半徑計算公式。LOMBARD[10]、HASSLER[11]推導了賓漢姆流體在水平裂隙的漿液擴散表達式，之后FUNEHA[12]通過實驗對以上理論公式進行了驗證；GUSTAFSON等[13-15]進行了賓漢姆流體漿液在裂縫中徑向流動的理論公式推導；羅平平[16]推導了賓漢姆流體漿液在光滑傾斜平板中的流動方程；由于Wittke-Wallner模型和Gustafson-Stille模型[15]使用較為方便，目前仍然用于注漿工程中漿液擴散半徑計算，甚至被列入《礦山帷幕注漿規(guī)范》[17]。然而，以上公式未考慮裂隙的粗糙度的影響，并未明確裂隙開度如何獲取。為了解決以上問題，部分學者[18-20]考慮裂隙粗糙度、裂隙傾角、漿液時變性等因素建立了賓漢姆流體漿液運動方程，并引入數(shù)值模擬的手段進行漿液擴散半徑計算；楊志全等[7]基于時變性賓漢姆流體本構(gòu)模型，建立了巖體裂隙注漿擴散模型；張慶松等[21-22]考慮賓漢姆流體時變性與空間變異性，推導了黏度時空變化的水平裂隙巖體擴散理論。以上方法雖有可行性，但由于計算時使用的參數(shù)多、計算復雜，難以推廣。為了解決計算問題，鄭長成[23]還推導了一種考慮注漿壓差、隙寬、傾角、粗糙度等因素，計算參數(shù)少的理論公式，但該理論與其他理論一樣，均認為賓漢姆流體漿液為穩(wěn)定型漿液。水灰比0.8～1.0的常用水泥基漿液的最終析水時間一般在30 min左右，析水率大于7%[24]，按照現(xiàn)有的漿液穩(wěn)定性的判定標準，認為靜置2 h析水率超過5%的漿液可視為非穩(wěn)定性漿液[10,25-26]，那么注漿工程中常用的賓漢姆流體漿液應為非穩(wěn)定型漿液[24]。目前尚未有考慮漿液非穩(wěn)定性的賓漢姆流體在裂隙介質(zhì)中運移規(guī)律的相關(guān)理論。

針對以上問題，筆者建立了考慮漿液非穩(wěn)定性的賓漢姆流體改進的分層充填物理模型，并提出了有效擴散半徑的概念；基于黏度時變的賓漢姆流體本構(gòu)模型，建立了考慮注漿壓差、隙寬、傾角、粗糙度4個主控變量的裂隙注漿擴散理論模型，并推導了方位角θ=90°時“有效擴散半徑”的計算公式；使用室內(nèi)物理模擬結(jié)果驗證了改進的分層充填物理模型的合理性；利用數(shù)值模擬方法驗證賓漢姆流體改進理論計算方位角θ=90°時“有效擴散半徑”的可靠性。

1 裂隙分層充填物理模型

為了構(gòu)建適用于賓漢姆流體非穩(wěn)定性漿液的物理模型，基于現(xiàn)有充填物理模型，將分層充填[22]、“脊背”狀充填[1]、驅(qū)替充填[8,27-28]3個理論進行結(jié)合，構(gòu)建出改進的分層充填理論，充填物理模型如圖1所示。

圖1 裂隙充填物理模型示意Fig.1 Physical model diagram of grout filling in fractures

改進的分層充填理論中，3個區(qū)域具有如下特點：

(1)混合區(qū)(Ⅰ)，漿液流速快，處于紊流狀態(tài)，不易沉積，形成半徑(rkp)較小的非沉積混合區(qū)，隨著分層充填累積次數(shù)的增加，漿液顆粒的充填，裂隙隙寬減小，混合區(qū)漿液流速有所增加，第i層分層對應的混合區(qū)半徑rkpi有所增加。

(2)分層擴散區(qū)(Ⅱ)，漿液處于層流狀態(tài)，水泥顆粒開始沉積，從漿液中分離出來，逐步減小裂縫的寬度，漿液在擴散中滿足驅(qū)替充填的特性；分層充填擴散時，假定漿液達到最大擴散半徑(R)前，漿液擴散方式視為驅(qū)替充填，漿液達到最大擴散半徑后，漿液顆粒迅速發(fā)生析水沉淀，完成一次分層充填過程，當分層擴散區(qū)裂縫達到可注性極限寬度時，對應的擴散半徑Ri為有效擴散半徑最大值。

(3)分層沉積區(qū)(Ⅲ)，分離出的水泥顆粒在裂隙底面開始沉積，形成層狀充填，隨著注漿時間的增加，分層充填次數(shù)增多，裂隙逐漸變窄，直到裂縫基本填滿(如圖1中紅色的虛線所示)，而隨著裂隙變窄，漿液擴散半徑逐漸變小，漿液沉積區(qū)域整體呈現(xiàn)“脊背”狀的形態(tài)(圖1)，其他學者[1,28]在構(gòu)建漿液物理充填模型時，也認為漿液在裂隙中會形成“脊背”狀的沉積物。

2 賓漢姆流體漿液分層擴散理論

2.1 基本假設

賓漢姆分層充填理論模型考慮裂隙傾角、裂隙粗糙度、地下水的影響，針對賓漢姆流體建立起非穩(wěn)定漿液在粗糙裂隙內(nèi)運移擴散的理論模型，建立這些理論模型時，基于以下假設[5,7,23,27]： ① 漿液為不可壓縮的均質(zhì)各向同性流體；② 裂隙隙寬小，流速緩慢，漿液除了在灌漿孔周圍局部區(qū)域的流態(tài)呈紊流狀態(tài)外，皆為層流；③ 漿液在裂隙中流動時，壁面無滑移條件成立，即漿液在壁面流速為0；④ 裂隙為等厚光滑的理想裂隙，裂隙壁面不透水，流體中的水不向圍巖中滲透；⑤ 在注漿過程中，漿液流型保持不變；⑥ 賓漢姆流體的動切力在運動中基本不變；⑦ 漿液的可注性較好，不發(fā)生堵塞現(xiàn)象，漿液在裂隙平面上發(fā)生輻射徑向流動；⑧ 漿液前峰面在靜水壓力作用下不發(fā)生稀釋現(xiàn)象，即漿液與地下水的交界面是突變的；⑨ 在漿液的塑性強度達到臨界值前可以重復注漿；⑩ 漿液在運動過程中無沉淀發(fā)生，沉淀析水過程發(fā)生在單次分層充填后，即漿液到達最大擴散半徑后，迅速沉淀析水，充填裂隙；漿液黏度同步變化，相同時間不同位置的漿液黏度相同。

2.2 漿液擴散理論模型

假設平板縫隙開度等效水力隙寬為bh，在注漿孔壓力P0作用下在裂隙中做徑向輻射流動，取流場中任一流體微元六面體進行受力分析，如圖2所示。

傾斜裂隙在計算漿液擴散半徑時，需要考慮重力作用對漿液運移擴散的影響。為方便研究，可以將水平坐標系旋轉(zhuǎn)一定角度，獲得與傾斜裂隙面匹配的新坐標系。垂直于裂縫平面的各徑向平面間無剪應力作用。設粗糙裂縫寬度為bm，其等效水力隙寬為bh，裂隙傾角為α，如圖2(a)，(b)建立柱坐標系(r，θ，z)，其中，r為漿液流動的方向，z為裂隙張開的方向，r順著裂隙傾向時，對應的方位角θ=0°，r軸的坐標原點位于注漿孔軸線上，z軸的原點取在縫隙的中心。

2.3 漿液擴散半徑公式推導

在流場中取任一流體微元六面體的受力分析，運用牛頓第二運動定律，當漿液壓差動力與漿液阻力相等時，漿液達到最大擴散半徑。

對于不可壓縮黏性流體滿足N-S(Navier-Stokes)動量平衡方程，沿柱坐標系(r，θ，z)中r軸的分量式為

(1)

式中，Xr為單位流體重力在r方向的分量；ρ為流體的密度，kg/m3；ν為運動黏滯系數(shù)，m2/s；uθ為沿圓周切向方向的流速分量。

賓漢姆流體在柱坐標體系中滿足[23]：

(2)

式中，g為重力加速度，m/s2；uz為沿軸的流速分量。

賓漢姆流體屬于不可壓縮流體，滿足連續(xù)性方程：

(3)

經(jīng)過化簡變化，忽略微量單元，式(1)可變?yōu)?/p>

(4)

式中，γg為漿液容重，γg=ρg。

賓漢姆流體滿足以下本構(gòu)方程：

τ=τ0+μpγ

(5)

式中，τ為剪切應力，kPa；γ為應變率；τ0為漿液的初始切動力，kPa；μp為漿液初始動力黏度,N·s/m2。

柱坐標體系中：

(6)

式中,τzr為作用于平行于z平面、平行r方向的剪切應力。

對式(6)求偏導數(shù)，可得

(7)

利用式(7)，可以簡化賓漢姆流體動量平衡方程中的黏性動量項，同時，忽略微量單元，式(7)可化簡[23,27]得

(8)

式(8)變換可得

(9)

為了簡化公式，令Ps滿足以下等式：

Ps=P-γgrsinαcosθ

(10)

將式(10)代入式(9)，積分可得

(11)

式中，c1為常數(shù)項。

將z=0時,τ=0代入式(11)，可得c1= 0，于是得出

(12)

研究表明[12]賓漢姆流體流動時存在著流核，在柱坐標系統(tǒng)中，平面裂隙中，流核剖面高度為z(圖2(c))，zb為流核高度的一半，流核內(nèi)部無相對位移，則有邊界條件：z=zb， du/dz=0，將其代入式(11)可得

τ=τ0

(13)

將式(13)代入式(12)可得

(14)

由式(14)可得流核計算式[12]為

(15)

從以上流核公式可以看出，流核高度與壓力梯度有直接關(guān)系，當注漿壓力變化很大時，流核高度很小，注漿孔附近壓力變化很大，則注漿口附近流核高度較??；隨著擴散半徑的增加，Ps變小，壓力梯度也變小，流核高度變大。

將式(12)和式(14)代入式(6)，可得

(16)

將式(16)從|z|=zb到|z|=bh/2積分，壁面無滑移，則有|z|=bh/2，u=0，經(jīng)過變化可得zb≤|z|≤bh/2的流速表達式[27]為

(17)

當z=zb時，可以得流核流速：

(18)

將速度沿z軸平均，則得出斷面平均流速為

(19)

注漿漿液具有黏時變特性，基本滿足以下方程[8]，即

μp=μp(t)=μp(0)ekt

(20)

將式(20)代入式(19)可得

(21)

(22)

式(22)化簡可得

(23)

將Ps代入式(23)，沿r方向從r0(注漿孔半徑)至R積分，整理后得賓漢姆流體在隙寬恒定為等效水力隙寬為bh的光滑裂隙最大擴散半徑

(24)

式中，P0為被注裂縫鉆孔注漿口處的壓力，kPa。

當裂隙傾角α=0°時，式(24)可以簡化為

(25)

式(25)與《礦山帷幕注漿規(guī)范》[17]中賓漢姆流漿液擴散半徑計算公式基本相同。

2.4 漿液擴散半徑的修正

式(24)應用于粗糙裂隙時還需要進行修正，粗糙裂隙中最大擴散半徑R′與光滑裂隙最大擴散半徑[23]R滿足：

R′=ξR

(26)

將式(26)代入式(24)可得

(27)

等效水力隙寬bh與實際中常用力學bm描述粗糙裂隙的隙寬有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系[29]：

(28)

式中，σb為開度的標準差；ξ為無因次粗糙度系數(shù)，一般取0.64～0.78。

由前文構(gòu)建的賓漢姆流體漿液分層擴散模型可知，漿液在天然粗糙裂縫中運移時，裂隙被漿液逐步分層充填，考慮到漿液分層充填，漿液在裂縫中充填一層，增加的厚度為漿液結(jié)石體厚度，若假定漿液的析水率為η，則頂部第i層未充填裂隙的力學隙寬bm(i)為

bm(i)=bm(1)ηi-1

(29)

式中，bm(1)為初始裂隙的等效水力隙寬，cm；η為漿液析水率；i為分層充填次數(shù)，充填的次數(shù)可根據(jù)漿液的最小可注隙寬確定。

若將粗糙裂隙中未充填的力學隙寬bm(i)對應的未充填的等效水力隙寬定義為b′h，則可得到

b′h=ξ2bm(i)=ξ2bm(1)ηi-1

(30)

將式(28)代入式(24)可得粗糙裂隙頂部第i次分層充填時的賓漢姆漿液擴散半徑最大值：

(31)

注漿工程中最關(guān)注的擴散半徑為粗糙裂隙方位角θ=90°的漿液擴散半徑，將方位角θ=90°代入式(31)，忽略注漿孔半徑r0，可得第i層R′i90：

(32)

式中，R′i90為第i次充填的最大擴散半徑，cm，當i取最大值時，為漿液擴散的有效擴散半徑。

2.5 與常用理論模型對比

(1)Wittke-Wallner模型。維特克(Wittke)和沃爾尼(Wallner)[30]推導的賓漢姆流體擴散半徑的公式在注漿工程中使用最多，現(xiàn)已被錄入《礦山帷幕注漿規(guī)范》，其表達式為

Rmax=bΔP/(2τ0)+r0

(33)

式中，ΔP為注漿壓差，kPa；Rmax為擴散半徑最大值，cm；b為裂隙寬度，cm。

(2)Gustafson-Stille 模型[15]。

Rmax=bΔP/(2τ0)

(34)

將賓漢姆流體改進模型與2個常用理論模型公式應用于同一案例，計算方位角為90°的漿液擴散半徑，其中，裂隙傾角α=0°，粗糙裂隙寬度bm(1)=2.4 cm，可注粗糙裂隙為0.24 mm，漿液密度為1.3 t/m3，ΔP=1,2,3,4,5,6,7,8 MPa(終孔注漿壓差一般為靜水壓力的1.0～1.5倍[1]，表1中的注漿壓差選取能滿足絕大多數(shù)工程終孔注漿壓差設置)，ξ= 0.7，r0=7.6 cm，τ0=4 Pa，漿液的析水率η=0.1[11]，分層充填次數(shù)i=2后，第3層充填時bm(3)= 0.24 mm。參數(shù)代入3個理論模型(式(32)～(34))后，漿液擴散半徑計算值見表1。

表1 漿液擴散半徑計算值對比

從表1中可知，常用2個理論公式漿液擴散半徑計算值遠大于改進模型計算值，而現(xiàn)有的裂隙介質(zhì)注漿工程中，漿液有效擴散半徑現(xiàn)場經(jīng)驗值一般取15～40 m[6]，改進的理論模型計算值與現(xiàn)場工程經(jīng)驗值為同一數(shù)量級，相差較小，當注漿壓差為8 MPa時，改進分層擴散理論模型的有效擴散半徑值為82.38 m，為經(jīng)驗值的2倍左右，這也符合注漿工程中為了確保注漿效果，注漿孔的擴散范圍進行疊加的要求，而使用Wittke-Wallne 模型和Gustafson-Stille模型計算的有效擴散半徑是改進理論模型的300倍左右，遠大于工程經(jīng)驗值，若作為注漿參數(shù)，使用時誤差較大。導致這一現(xiàn)象的主要原因：① 賓漢姆流體改進的分層充填理論修正了裂隙寬度，認為裂隙隙寬隨著分層充填而減小，而常用理論公式未考慮裂隙隙寬的變化，假定漿液為驅(qū)替充填；② 改進的模型考慮了粗糙度的影響，更加符合自然狀態(tài)下，裂隙粗糙不平的現(xiàn)象?？梢哉f，2個常用理論模型是改進分層充填理論的特例，相當于改進模型中充填次數(shù)i=1的情形，假定驅(qū)替充填能一次性能將裂隙充填滿，為此，可以用它來計算漿液最遠擴散范圍，改進的理論公式計算的是完全充填滿的擴散范圍。同時，改進的理論模型還能合理地解釋以下現(xiàn)象：

(1)漿液注漿量達到設計要求，而注漿效果不佳的現(xiàn)象。

如圖1所示，隨著漿液分層充填，裂隙逐步減小，而裂隙變小后，漿液擴散阻力增大，漿液擴散半徑會逐步減小，最后被漿液完全充填的裂隙的擴散范圍非常有限。為了區(qū)分完全充填和部分充填的擴散半徑，筆者將裂隙被完全充填、能達到防滲堵漏作用的擴散范圍定義為“有效擴散半徑”，反之，裂隙未被完全充填、不能達到注漿要求的擴散范圍稱為“無效擴散半徑”。注漿工程中漿液的“有效擴散半徑”是確定注漿孔間距的關(guān)鍵，若注漿參數(shù)不合理，“無效擴散半徑”大，甚至出現(xiàn)數(shù)公里外水井冒出漿液的情況[31]，而“有效擴散半徑”未注滿注漿孔間距范圍，則出現(xiàn)漿液注漿量大，而注漿效果會出現(xiàn)不佳的現(xiàn)象；若注漿參數(shù)合理，“有效擴散半徑”能覆蓋注漿孔間距范圍，則會出現(xiàn)注漿量小，而注漿質(zhì)量效果好的現(xiàn)象。為此，注漿工程中注漿參數(shù)選擇時使用的漿液擴散半徑實際上應為本文定義的“有效擴散半徑”。

(2)非穩(wěn)定漿液在裂隙中的多余水分如何排除？

漿液在裂隙中運移時，只有5%～25%的水參與水化作用，剩余75%～95%為多余水量，當水泥顆粒到達預定位置后，多余水量應該排出。目前主要有2種理論[1,32]解釋如何排出多余水分：“流動沉積”和“固結(jié)排水”理論。

流動沉積排水理論認為，漿液進入巖體裂隙后，多余的水分通過頂部微小的縫隙以清水的形式排到遠方，直至巖石裂隙完全填滿為止。這一理論缺陷是無法解釋在重力作用沉積時，水灰比越大，結(jié)石體不出現(xiàn)密度、力學強度明顯減小的現(xiàn)象。

固結(jié)排水理論最先由庫茨納爾(德國)于1964年提出[1]，認為注漿過程存在2個階段：首先是“填滿”階段，然后是“飽和”階段，在“填滿”階段，在前端最先形成類似“止水塞”的固結(jié)體，并填滿了絕大部分的裂隙；在“飽和”階段，漿液中多余的水分被飽和壓力擠壓排出，水泥顆粒被保留下來，形成類似太沙基固結(jié)土體，這一理論的缺陷是無法解釋漿液在堅硬和透水性差的巖體裂縫中的排水機理。

而改進的分層充填理論則能有機結(jié)合以上2個理論的優(yōu)勢，并彌補它們的缺陷，認為裂隙在分層充填前期“流動沉積排水”占主導作用，分層充填后期“固結(jié)排水”占主導作用，注漿前期，漿液在分層擴散區(qū)形成沉積，逐步將裂隙充填滿，多余的水分可以通過頂部裂隙流到遠處，合理解釋了漿液在堅硬和透水性差不能排水的問題；注漿后期，當裂隙縮小到一定隙寬時，也就是漿液充滿大部分裂隙時，漿液壓力通過擠壓作用將多余的水分從頂部微小的縫隙擠出，同時，漿液壓力會對前期形成的結(jié)石體進行擠壓，使得結(jié)石體的力學強度和密度得到加強，合理解釋了水灰比較大時，結(jié)石體的力學強度、密度不會隨之變小的問題。

3 漿液分層擴散試驗

3.1 模擬試驗裝置

多主控變更的可視化裂隙注漿試驗裝置為吉林大學與西安煤科院共同開發(fā)完成(圖3)[33]，注漿模擬試驗系統(tǒng)主要包括四大系統(tǒng)：① 水壓恒定系統(tǒng)；② 可視化注漿平臺；③ 數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)；④ 注漿系統(tǒng)。試驗裝置尺寸為0.6 m×1.2 m，裂縫寬度有4個，分別是2，5，8，10 mm。裂隙表面貼有人工原巖貼膜，實現(xiàn)模擬不同裂隙隙寬、裂隙粗糙度條件下的注漿模擬；裂隙平臺表面貼有透明網(wǎng)格(圖4)，可以快速獲取漿液擴散半徑；平臺還配有角度調(diào)節(jié)器能使平板裂隙0°～90°旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)傾斜裂縫的模擬。

圖3 試驗裝置實體示意Fig.3 Experimental device entity diagram

圖4 漿液分層-分區(qū)擴散實物Fig.4 Layered slurry-zoning spread physical diagram

3.2 試驗材料及性質(zhì)

試驗材料為純水泥漿，水泥型號為鼎鹿牌復合硅酸鹽水泥P.C32.5R，水泥品質(zhì)符合GB 175—2007《通用硅酸鹽水泥》標準。

3.3 試驗方案

為了驗證賓漢姆流體漿液擴散分層擴散現(xiàn)象，進行了人工原巖裂隙漿液擴散試驗，其中，水灰比為0.8、粗糙裂隙隙寬為4.4 mm、粗糙度為0.3 mm，裂隙中充滿水，注漿壓力ΔP，即注漿口壓力與靜水壓力的差值，分別取20，30 kPa，裂縫傾角為0°，試驗重復3次。

3.4 漿液擴散形態(tài)

通過對所有試驗組擴散形態(tài)分析發(fā)現(xiàn)，漿液在裂隙中擴散運移時有分區(qū)、分層擴散試驗現(xiàn)象。賓漢姆流體漿液在ΔP=20 kPa發(fā)生充填時，經(jīng)過一段時間后，水泥漿液停止運動，即，水泥漿液在粗糙裂隙中達到最大擴散半徑，水泥漿液停止運動后，擴散主區(qū)內(nèi)的漿液在較短時間內(nèi)發(fā)生漿-水分離，形成一層沉積層，觀測發(fā)現(xiàn)粗糙裂隙未被水泥漿充滿。將注漿壓差ΔP調(diào)為30 kPa后，水泥漿液再次能夠進入粗糙裂隙，在擴散過程中，新的漿液在第1沉積層上發(fā)生驅(qū)替運移，而第1沉積層前端漿液未發(fā)生移動(圖4(a))，擴散一段時間后，漿液再次停止，達到第2次充填的最大擴散半徑，并迅速形成第2沉積層，以上現(xiàn)象在其他2組實驗中重復出現(xiàn)。

除了漿液充填過程中出現(xiàn)分層現(xiàn)象以外，漿液在單層運移時有明顯的分區(qū)現(xiàn)象(圖4)，這與裂隙分層充填物理模型中的分區(qū)假設也十分吻合，漿液在擴散過程中可分為：混合區(qū)、分層擴散區(qū)、分層擴散前鋒面區(qū)(圖4)。本次試驗中的分層分區(qū)現(xiàn)象與張慶松等[21]在動水環(huán)境條件下的分層分區(qū)擴散非常類似，其試驗中也發(fā)現(xiàn)漿液在流動中漿液前鋒面(漿-水界面)小范圍內(nèi)發(fā)生明顯的分層現(xiàn)象，漿液的大部分區(qū)域在漿液流動運移時，未發(fā)生明顯的分層現(xiàn)象。由于分層區(qū)域面積相對于整個擴散范圍來說可以忽略，這一試驗現(xiàn)象為本論文的假定提供重要的依據(jù)，即，在裂隙中發(fā)生單層流動擴散時，非穩(wěn)定賓漢姆體漿液不考慮漿液沉淀析水。

4 數(shù)值模擬驗證

由于室內(nèi)模擬試驗平臺短邊尺度較小(30 cm)，漿液擴散半徑易到達平臺邊界，導致室內(nèi)物理模擬試驗無法驗證稍大尺度條件下改進理論公式的可靠性，為此需要引入數(shù)值模擬的方法。在使用數(shù)值模擬驗證理論公式前，首先需要驗證數(shù)值模擬軟件Fluent模擬賓漢姆流體的可靠性。由于論文中使用數(shù)值模擬方法主要用于最后一層漿液擴散半徑值進行計算，為此，室內(nèi)物理試驗與數(shù)值模擬對比的主要目的是檢驗賓漢姆流體漿液單層充填時數(shù)值模擬結(jié)果的可靠性。于是，本次研究將數(shù)值模擬分為2類：室內(nèi)物理試驗與數(shù)值模擬對比分析類、理論模型與數(shù)值模擬對比分析類，并相應的進行了2組數(shù)值模擬。

4.1 數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗對比

(1)幾何模型。建立的數(shù)值模擬模型尺寸與室內(nèi)試驗平臺嚴格匹配，130 cm長×60 cm寬，注漿孔直徑20 mm，注漿口位置位于平板模型中心位置，使用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分法對建立起來的三維模型進行網(wǎng)格劃分，注漿口和出流口位置進行網(wǎng)格加密處理，建立的三維模型及其網(wǎng)格劃分如圖5(俯視圖)所示。

圖5 幾何模型與網(wǎng)格劃分示意Fig.5 Geometric model and mesh diagram

(2)參數(shù)設置。數(shù)值模擬中使用Herschel-Bulkley流變模型模擬賓漢姆流體[19,33-35]；邊界條件：注漿口為恒壓入口邊界，出流口為恒壓出口，流體壁面為靜止固壁，無滑移邊界條件。

(3)工況設置。漿液類型為純水泥漿，水灰質(zhì)量比為0.8，漿液密度1 501 kg/m3，注漿靜水壓力環(huán)境為14 kPa，漿液黏度μ(t)=19.9e0.023 3t；漿液剪切應力τ=5.321+0.022 9γ；溫度為15 ℃；水的密度為999.1 kg/m3；水的黏度為1.404 mPa·s。注漿壓差、裂隙傾角、隙寬、粗糙度4個參數(shù)設置4個變量，詳見表2，其中隙寬主要通過粗糙度進行控制，隙寬=2 mm-2Ra，其中Ra為巖石表面粗糙度，mm，共計10種工況條件。

表2 理論模型與數(shù)值模擬模擬對比方案

(4)數(shù)值模擬與試驗結(jié)果對比。通過對比10種工況條件下的室內(nèi)試驗和數(shù)值模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，使用Fluent數(shù)值模擬軟件模擬單層賓漢姆流體漿液在單裂隙中運移過程時具有一定的可靠性。筆者使用注漿壓差為2 kPa、裂隙傾角為0°、隙寬為1.4 mm、粗糙度為0.3 mm的工況舉例說明。

漿液密度的形態(tài)能夠直接反映漿液形態(tài)的變化，為此，數(shù)值模擬結(jié)果中通過漿液密度可以反映漿液形態(tài)的變化，圖6中紅色部分為初始漿液密度，密度最大，藍色部分為水的密度，密度最小，其他部分為水-漿液混合密度，密度居中。擴散形態(tài)對比顯示，室內(nèi)模型試驗和數(shù)值模擬漿液擴散形態(tài)在達到短邊出流邊界前呈現(xiàn)為“近圓形”，當漿液擴散至無出流邊界后，漿液呈現(xiàn)“橢圓形”，漿液擴散前鋒面有過渡帶，兩者吻合度較高；擴散速度對比顯示，漿液擴散初期(0～10 s)，漿液擴散范圍(擴散半徑)增長速率快，擴散后期(10 s后)，漿液擴散半徑增長速率減慢，2者在數(shù)值上略有差異，但數(shù)量級上基本保持一致。其余9組工況的對比結(jié)果與此類似，數(shù)值模擬漿液擴散形態(tài)與室內(nèi)模擬實驗擴散形態(tài)基本吻合，同一時間內(nèi)的漿液擴散半徑有一定的誤差，但誤差值控制在30%內(nèi)，滿足工程模擬的精度需求。綜上分析，可以使用數(shù)值模擬的方法計算賓漢姆流體最后一層漿液擴散半徑值。

圖6 漿液擴散形態(tài)對比Fig.6 Comparison of slurry diffusion patterns

4.2 數(shù)值模擬與改進理論對比

本部分數(shù)值模擬主要用于驗證賓漢姆流體漿液在漿液最后一層裂隙擴散時，粗糙裂隙方位角θ=90°的漿液有效擴散半徑理論計算式(32)的可靠性。

(1)幾何模型。建立的幾何模型及網(wǎng)格剖分如圖7所示。有限元模型為三維模型，尺寸為長2 m×寬2 m，注漿孔直徑為20 mm，注漿口位于平板模型中心位置，建立的三維模型是通過非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分法進行網(wǎng)格劃分，進漿口位置進行網(wǎng)格加密處理。

圖7 幾何模型與網(wǎng)格劃分示意Fig.7 Geometric model andmesh diagram

(2)參數(shù)設置。與4.1中參數(shù)設置一致。

(3)工況設置。由于式(32)計算最大有效擴散半徑時，不受傾角的影響，主要受到最后一次充填隙寬、注漿壓差、粗糙度的影響，而隙寬與粗糙度設置在數(shù)值模擬建模時相互影響(見4.1節(jié)中論述)，數(shù)值模擬時可進行簡化，為此，數(shù)值模擬主要考慮注漿壓差的影響。根據(jù)注漿壓差不同，設置注漿壓差ΔP=10，20，30，40 kPa的4種工況。其他具體參數(shù)設置參考4.1節(jié)。

本次使用的水泥為普通水泥，主要成分的粒徑約為50 μm，最大粒徑80 μm，根據(jù)裂隙可注性判定標準[1]，裂隙隙寬大于最大粒徑的3倍以上，則裂隙巖體可注性極限裂寬為0.24 mm，為此，為了驗證改進理論的準確性，本次數(shù)值模擬的裂縫寬度選為0.25 mm，粗糙度為0.3 mm。

(4)數(shù)值模擬結(jié)果。圖8中紅色部分為初始漿液，藍色部分為水，其他部分為水-漿液混合。從圖8可以看出，① 隨著注漿壓差的增大，漿液擴散半徑增大；② 賓漢姆流體在平板裂隙中的流動以注漿孔為中心，具有較好的對稱性；③ 注漿壓差越大，賓漢姆流體水-漿液混合區(qū)面積變大。

圖8 漿液擴散形態(tài)隨注漿壓差變化Fig.8 Simulation spread shape of Bingham fluidchanges with grouting pressure

(5)數(shù)值模擬與理論計算結(jié)果對比。本次賓漢姆流體中的等效水力隙寬計算可得b′h=0.206 mm，將注漿壓差ΔP=10，20，30，40 kPa，裂隙傾角α=0°，注漿孔半徑r0=1 cm，無因次粗糙度系數(shù)ξ=0.8，漿液密度1 501 kg/m3，漿液黏度μ(t)=19.9e0.023 3t，τ=5.321+0.022 9γ等參數(shù)代入式(32)，計算出粗糙裂隙方位角θ=90°的漿液有效擴散半徑。計算結(jié)果詳見表3。

表3 賓漢姆流體改進理論計算值與數(shù)值模擬值對比

從表3可以看出，賓漢姆流體改進的漿液擴散半徑計算值與數(shù)值模擬計算值相對誤差最小值為2.16%，相對誤差最大值為12.94%，平均誤差為7.05%，均小于15%，表明改進的分層擴散理論模型計算漿液有效擴散半徑時具有一定的可行性。

5 結(jié) 論

(1)賓漢姆流體改進分層充填理論認為注漿過程中“有效擴散半徑”是確定注漿孔間距的關(guān)鍵，若注漿參數(shù)不合理，“無效擴散半徑”大，而“有效擴散半徑”未注滿注漿孔間距范圍，則出現(xiàn)漿液注漿量大，而注漿效果會出現(xiàn)不佳的現(xiàn)象；若注漿參數(shù)合理，“有效擴散半徑”能覆蓋注漿孔間距范圍，則會出現(xiàn)注漿量小，而注漿質(zhì)量效果好的現(xiàn)象。

(2)賓漢姆流體漿液擴散實驗表明，水泥基賓漢姆漿液運移時確實有分層運移的現(xiàn)象，且漿液在平面上的分布可分為3個區(qū)域：漿液混合區(qū)、分層擴散區(qū)和分層擴散前鋒面區(qū)，這一現(xiàn)象與數(shù)值模擬中漿液在最后一層充填時有明顯的密度分區(qū)，漿液擴散前鋒分層區(qū)、擴散區(qū)和混合區(qū)相比較一致，較好地驗證了賓漢姆流體改進分層充填物理模型。

(3)與前人所推導的公式相比，基于賓漢姆流體改進的分層模型，推導的理論公式與前人理論公式有基本相同的形式，但進行了2處修正，一是修正了裂隙寬度，認為裂隙隙寬隨著分層充填次數(shù)增加而減小，而前人理論公式未考慮裂隙隙寬的變化，假定漿液為驅(qū)替充填，相當于改進模型中充填次數(shù)i=1的情形；二是改進的理論模型考慮了粗糙度的影響，符合自然狀態(tài)下裂隙粗糙不平的現(xiàn)象。

(4)通過數(shù)值模擬結(jié)果與室內(nèi)相似模擬試驗對比發(fā)現(xiàn)，選用的數(shù)值模擬軟件能用于模擬賓漢流體在裂隙中的運移過程，在驗證數(shù)值模擬可靠的基礎(chǔ)上，驗證了推導的改進理論公式在中尺度條件下，計算裂隙走向“有效擴散半徑”時具有可行性；目前，推導的賓漢姆流體改進理論公式未在野外大尺度條件下進行檢驗，建議下一步開展相關(guān)研究工作，以便理論公式能更好地指導現(xiàn)場工程。