顏閩秀，謝俊紅

(沈陽化工大學(xué) a.信息工程學(xué)院； b. 工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110142)

0 引言

混沌系統(tǒng)是隨時(shí)間不可預(yù)測的系統(tǒng)，對初始條件和參數(shù)的變化具有極端的敏感性。混沌用于許多非線性科學(xué)領(lǐng)域，如信息處理、安全通信等[1-2]。最近幾年，一些非線性混沌動(dòng)力系統(tǒng)的研究成為熱點(diǎn)。如Hyperjerk系統(tǒng)、多穩(wěn)態(tài)、共存吸引子混沌系統(tǒng)等[3-5]。這些混沌系統(tǒng)可以分為兩個(gè)主要類別：一是具有自我激發(fā)吸引子的系統(tǒng)類別；二是具有隱藏吸引子的系統(tǒng)類別。值得注意的是，有自我激發(fā)吸引子和隱藏吸引子兩者都存在的系統(tǒng)。如何生成混沌系統(tǒng)是個(gè)有趣的方向。

一種是在簡單的數(shù)學(xué)模型中發(fā)現(xiàn)非線性系統(tǒng)中的混沌，最具有代表性的是SprootB構(gòu)造了含有五項(xiàng)式和兩個(gè)非線性項(xiàng)以及六項(xiàng)式和一個(gè)非線性項(xiàng)的混沌系統(tǒng)[6]。另一種方法構(gòu)造具有特殊奇異吸引子的混沌系統(tǒng)，如多渦卷吸引子、多翼吸引子等[7-8]。平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)在一定程度上決定了動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。一般認(rèn)為，沒有平衡點(diǎn)的混沌系統(tǒng)能夠產(chǎn)生隱藏吸引子。大量的研究表明，具有多個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的混沌系統(tǒng)往往具有更豐富的動(dòng)力學(xué)行為且更容易產(chǎn)生吸引子的共存。因此許多學(xué)者傾向于構(gòu)造混沌系統(tǒng)，并通過平衡點(diǎn)的類型來區(qū)分動(dòng)力學(xué)特性，如鞍點(diǎn)、不穩(wěn)定焦點(diǎn)和其他類型平衡點(diǎn)的混沌系統(tǒng)[9-11]。

近期，混沌系統(tǒng)中吸引子的共存引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。Li等[12-13]通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究了Lorenz混沌系統(tǒng)中的吸引子的共存，并提出了產(chǎn)生共存吸引的方法。Kengne等[14]提出了Jerk系統(tǒng)中吸引子的共存。Bao等[15-16]發(fā)現(xiàn)，基于憶阻器的混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生不同類型的共存吸引子。Li等[17-18]深入研究了基于憶阻器的混沌系統(tǒng)中的共存吸引子，并考慮將其應(yīng)用在圖像加密中?；谝陨涎芯?，不難發(fā)現(xiàn)，較傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)，具有吸引子共存的混沌系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為更加復(fù)雜，應(yīng)用在同步通信中具有較好的潛力。因此，提出具有吸引子共存的混沌系統(tǒng)是有意義的。從建立具有簡單系統(tǒng)和復(fù)雜行為的角度出發(fā)，提出了一個(gè)具有無限多吸引子共存的混沌系統(tǒng)，且將雙曲正切函數(shù)加入該系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了必要的理論和實(shí)驗(yàn)研究。研究表明該系統(tǒng)所產(chǎn)生的吸引子共存具有可調(diào)性，理論研究上能夠產(chǎn)生無限多的吸引子共存。此外，將主動(dòng)反推全局同步控制的方法應(yīng)用在該系統(tǒng)中。該主動(dòng)控制方法是以嚴(yán)格反饋設(shè)計(jì)的形式實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)平衡點(diǎn)鎮(zhèn)定的遞推過程，反推同步控制方法廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的控制中[19-20]。進(jìn)一步，設(shè)計(jì)了反饋控制律，然后對反饋控制律進(jìn)行修正，進(jìn)而設(shè)計(jì)出真正的控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的全局同步控制。

1 系統(tǒng)模型

建立系統(tǒng)模型為

(1)

其中，x1,x2,x3為狀態(tài)變量，a,b為系統(tǒng)常數(shù)，當(dāng)a=-1.5,b=15,c=2,d=0.5時(shí)，系統(tǒng)(1)為混沌系統(tǒng)。在仿真中，將初值取為(0.1，0.1，0.1)，圖1展現(xiàn)了系統(tǒng)(1)的吸引子。

圖1 系統(tǒng)(1)的相圖Fig.1 Phase diagram of system (1)

當(dāng)參數(shù)a=-1.5,b=15,c=2,d=0.5時(shí)，計(jì)算出系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)為

L1=0.15,L2=0,L3=-1.17

(2)

通過式(2)可看出，最大李雅普諾夫指數(shù)為L1=0.15且指數(shù)之和總是為負(fù)數(shù)。

計(jì)算李雅普諾夫維數(shù)得到

(3)

其中,j滿足最大整數(shù)為

(4)

根據(jù)式(2)和式(3)看出，李雅普諾夫指數(shù)為(+,0,-)且維數(shù)為分?jǐn)?shù)維，符合混沌系統(tǒng)的基本性質(zhì)。

為了再次驗(yàn)證系統(tǒng)(1)為混沌系統(tǒng)，選取a作為控制參數(shù)，通過MATLAB繪制其分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)圖，如圖2所示。

圖2展現(xiàn)了系統(tǒng)(1)在a∈[-3,-1]區(qū)間的分岔圖及李雅普諾夫指數(shù)譜。圖2a分岔圖表明系統(tǒng)(1)在a∈[-3,-1]區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)a=-1.5時(shí)，圖2a的分岔圖中有成片的密集點(diǎn)且相對應(yīng)的圖2b的李雅普諾夫指數(shù)為(+,0,-)，再次說明了系統(tǒng)(1)是混沌的。

系統(tǒng)復(fù)雜度的特性是應(yīng)用在通信領(lǐng)域中的重要理論基礎(chǔ)，為了驗(yàn)證該混沌系統(tǒng)的復(fù)雜行為，以譜熵(SE)為例，SE采用傅式變換并與Shannon熵進(jìn)行結(jié)合得到SE的值，具體算法如下所示。

步驟1去直流。偽隨機(jī)序列的長度為N，利用式(5)除掉其中直流部分，能量的信號能夠被頻譜更加精確地表現(xiàn)。

(5)

步驟2對x(n)進(jìn)行離散傅式轉(zhuǎn)換。

(6)

其中，k=0,1,2,…,N-1。

步驟3計(jì)算相對功率譜，依據(jù)式(6)中的X(k)序列前半部分，根據(jù)Paserval定理，計(jì)算某個(gè)特定的頻率點(diǎn)功率譜。

(7)

其中，k=0,1,2,…,N/2-1

序列的總功率

(8)

那么，相對功率譜概率

(9)

步驟4根據(jù)式(7)、(8)和(9)，并與Shannon熵進(jìn)行結(jié)合，計(jì)算信號的譜熵

(10)

若PK=0，則PKlnPK=0，se的大小將在ln(N/2)處收斂，為了便于分析se，將其進(jìn)行歸一化處理

(11)

可見，若序列的振幅不明顯，則說明結(jié)構(gòu)簡單，那么，所得到的譜熵值也就越小，相應(yīng)地，復(fù)雜度也就越小，否則，復(fù)雜度就越大。

根據(jù)上述SE算法，對系統(tǒng)(1)進(jìn)行了計(jì)算，并于圖3展示了SE的計(jì)算結(jié)果。

圖3展示了系統(tǒng)(1)在a∈[-3,-1]區(qū)間譜熵的復(fù)雜度，譜熵的最大測量值接近于0.7且振幅較為明顯，因此，復(fù)雜度相對較高。一般地，譜熵的復(fù)雜度有明顯下降時(shí)，系統(tǒng)為周期態(tài)，反之，系統(tǒng)為混沌態(tài)，該仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與圖2基本一致。

圖2 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性Fig.2 Dynamic characteristics of the system

圖3 SE復(fù)雜度Fig.3 SE complexity

2 可調(diào)數(shù)目的吸引子共存

基于系統(tǒng)(1)，為了使具有可調(diào)數(shù)目的吸引子共存，考慮建立雙曲正切函數(shù)的序列用于生成具有無限吸引子共存的混沌系統(tǒng)，建立函數(shù)

(12)

其中，n為非負(fù)整數(shù)，參數(shù)λ可調(diào)節(jié)，此時(shí)取λ=100?？煽闯觯S著n增大，函數(shù)θi(xi)的零點(diǎn)得到擴(kuò)展。利用θ1(x1)取代系統(tǒng)(1)中等式右邊的x1，那么在特定參數(shù)下，得到的新系統(tǒng)將會(huì)沿x1的方向產(chǎn)生共存吸引子。

首先，考慮沿x1軸的方向產(chǎn)生共存的吸引子，利用θ1(x1)取代系統(tǒng)(1)中等式右邊的x1，得到系統(tǒng)

(13)

系統(tǒng)(1)將會(huì)沿x1的方向產(chǎn)生混沌吸引子的共存，如圖4所示，分別給出了n=0,1時(shí)的系統(tǒng)(1)的吸引子共存。

圖4a和b分別展示了n=0和n=1時(shí)的混沌共存吸引子，其中，圖4a中的混沌共存吸引子對應(yīng)的初值為(2i-3,0.1,-0.1)，其中i=1,2，圖4b中的混沌共存吸引子對應(yīng)的初值為(2i-5,0.1,-0.1)，其中i=1,2,3,4。這些混沌吸引子的共存形狀相似，但是軌跡并不相同。若繼續(xù)增大n，系統(tǒng)將會(huì)沿x1軸方向產(chǎn)生更多的混沌吸引子共存。

圖4 混沌吸引子共存 Fig.4 Coexistence of chaotic attractors

其次，考慮用H2(x2)取代系統(tǒng)(13)中等式右邊的x2，得到系統(tǒng)(14)

(14)

系統(tǒng)(14)將會(huì)沿x1和x2軸方向產(chǎn)生共存的混沌吸引子，圖5分別給出了參數(shù)n=0,1時(shí)的吸引子。

圖5 x1和x2軸上的吸引子共存 Fig.5 Coexistence of attractors on x1 and x2 axes

圖5a和b分別展示了2×2,4×4的吸引子，這些吸引子對應(yīng)的初始條件分別為(2i1-3,2j1-3,-0.1),(2i2-5,2j2-5,-0.1)，其中，i1,j1=1,2，i2,j2=1,2,3,4。

最后，考慮用H3(x3)取代系統(tǒng)(14)中等式右邊的x3，得到系統(tǒng)(15)：

(15)

系統(tǒng)(15)將會(huì)沿x1、x2和x3軸方向產(chǎn)生共存的混沌吸引子，圖6分別給出了當(dāng)n=0,1時(shí)的系統(tǒng)(15)的吸引子。

圖6a和b分別展示了2×2×2,4×4×4的吸引子，它們所對應(yīng)的初始值分別為(2i1-3,2j1-3,2k1-2.8),(2i2-5,2j2-5,2k2-4.8)，其中，i1,j1,k1=1,2，i2,j2,k2=1,2,3,4。

圖6 x1、x2和x3軸方向上的吸引子共存Fig.6 Coexistence of attractors on x1,x2 and x3axes

通過上述研究表明，系統(tǒng)(1)在函數(shù)(12)的作用下，通過調(diào)整n可以改變吸引子共存的生成個(gè)數(shù)。通常，若沿r個(gè)方向來產(chǎn)生吸引子的共存，系統(tǒng)(13)(14)(15)生成的吸引子共存?zhèn)€數(shù)至少為Nr=(2n+2)r,r=1,2,3。當(dāng)n→∞,Nr→∞時(shí)，即吸引子共存?zhèn)€數(shù)趨近于無限多個(gè)。

3 混沌系統(tǒng)的主動(dòng)反推全局同步控制

反推控制的設(shè)計(jì)方法是針對不確定系統(tǒng)的一種系統(tǒng)化的控制器綜合方法，它能夠應(yīng)用在線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)中。特別地，應(yīng)用在非線性復(fù)雜系統(tǒng)中時(shí)，它能使在線計(jì)算時(shí)間的目的減少，同時(shí)，通過設(shè)計(jì)反推使得V函數(shù)和控制器的設(shè)計(jì)過程系統(tǒng)化及結(jié)構(gòu)化。

這里，基于含有雙曲正切函數(shù)的系統(tǒng)(14)，采用主動(dòng)反推同步控制的方法用于實(shí)現(xiàn)非線性復(fù)雜系統(tǒng)的同步控制。

選取系統(tǒng)(14)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，如式(16)：

(16)

其中，x1,x2,x3為狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)的參數(shù)。

相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)如式(17)：

(17)

其中，yi為狀態(tài)變量，ui是反饋控制律，i=1,2,3。

系統(tǒng)(16)和系統(tǒng)(17)之間的同步誤差定義為

(18)

同步誤差系統(tǒng)為

(19)

考慮設(shè)計(jì)反饋制律為

(20)

將式(20)代入式(19)，誤差系統(tǒng)簡化為

(21)

選取李雅普諾夫函數(shù)為

(22)

其中，

θ1=e1

(23)

對式(22)進(jìn)行求導(dǎo)得到

(24)

其中，令：

θ2=e1+e2

(25)

簡化式(24)為

(26)

接下來，選取李雅普諾夫函數(shù)為

(27)

進(jìn)行求導(dǎo)得到

(28)

同理，

(29)

經(jīng)過反推得到

(30)

令n=-3e1-5e2-3e3-kθ3，得到

N=-kθ3

(31)

將式(30)代入式(29)得到

(32)

其中，它在R6上是半正定和二次的函數(shù)。

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知， 當(dāng)t→∞時(shí)，全部的ei(0)∈R,(i=1,2,3),誤差系統(tǒng)ei(t)→0,(i=1,2,3)。誤差系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)全局同步。

最后，將反饋控制律更新為

(33)

圖7 系統(tǒng)(16)和(17)誤差同步Fig.7 Error synchronization of system (16) and (17)

其中，k為控制增益，k>0，控制增益k取值越大，同步誤差收斂于零的速度越快，所需要的時(shí)間就越短。如圖7所示，系統(tǒng)(16)和(17)實(shí)現(xiàn)誤差同步。

數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，選擇參數(shù)(a,b,c,d)=(1.5,15,2,0.5)，控制增益k=20，初值驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)X(0)=(0.1,0.1,0.1)和響應(yīng)初值Y(0)=(5.8,-4.9,-1)。

圖7表明誤差同步在較短的時(shí)間內(nèi)收斂于零。數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。驗(yàn)證了該方法的有效性。

4 結(jié)論和展望

本文提出了一種模型較為簡單的混沌系統(tǒng)。描述了該系統(tǒng)的基本特性，為能夠生成混沌吸引子提供了基礎(chǔ)。進(jìn)一步地，將雙曲正切函數(shù)加入該系統(tǒng)，使得該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生無限多吸引子共存且吸引子的個(gè)數(shù)具有可調(diào)性。理論研究表明該系統(tǒng)能夠生成無限多個(gè)吸引子的共存，為生成無限多吸引子共存的混沌系統(tǒng)提供了理論依據(jù)。此外，在含有雙曲正切函數(shù)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了反饋控制律及系統(tǒng)的控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的全局同步控制。理論研究和數(shù)值模擬仿真驗(yàn)證了主要研究結(jié)果。該系統(tǒng)具有無限多個(gè)可調(diào)數(shù)目的吸引子共存，與傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)相比其動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜。下一步計(jì)劃將其應(yīng)用在安全通信中。