［摘? 要］ 教師的思維方式?jīng)Q定了教學(xué)方式，而教學(xué)方式又決定了學(xué)生的發(fā)展. 文章從本原思維的理論基礎(chǔ)出發(fā)，結(jié)合“五位一體”模型對(duì)“指數(shù)函數(shù)”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì). 具體從“應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn)，思維起點(diǎn)”“分析差距，確定問題”“橫縱分析，剖析原因”“應(yīng)然考慮，擬定方案”“實(shí)然考慮，最終定案”五方面揭示教師教學(xué)設(shè)計(jì)的思維歷程.

［關(guān)鍵詞］ 本原思維；指數(shù)函數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)

《中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)教師的思維能力提出了兩點(diǎn)要求：①主動(dòng)搜集并分析信息，在反思中改進(jìn)教育教學(xué)方式；②針對(duì)教育教學(xué)工作的實(shí)際需要與存在的問題，實(shí)施必要的探索研究. 從本質(zhì)上來看，學(xué)校教育需要的是“反思型教師”. 確實(shí)，會(huì)研究、善思考、能探索的教師是充滿智慧與能量的教師，是適應(yīng)時(shí)代發(fā)展需求的教師.

在教言教. 數(shù)學(xué)教學(xué)中，該如何基于實(shí)例提升教師本原思維素養(yǎng)呢？這是一個(gè)亟須研究的現(xiàn)實(shí)問題.

本原思維的理論基礎(chǔ)

本原思維屬于一種思維的范式. 一般情況下，具有一定的先后順序，即達(dá)成前一個(gè)步驟，才能進(jìn)入下一個(gè)思維環(huán)節(jié)，這個(gè)中間無法跨越，亦不可隨意調(diào)換順序［1］. 當(dāng)然，特殊情況另當(dāng)別論，有時(shí)根據(jù)實(shí)際需要可暫時(shí)簡(jiǎn)化或省略一些步驟. 如圖1所示，本原思維分為五個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)稱“五位一體”模型.

提升本原思維素養(yǎng)的措施

1. 應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn)，思維起點(diǎn)

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，先要確定一個(gè)應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn). 所謂的應(yīng)然，是指應(yīng)該有的樣子，實(shí)則是指實(shí)際情況，這里所說的應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn)實(shí)則為教學(xué)目標(biāo). 確定應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)施教學(xué)設(shè)計(jì)的前提，必須具備以下三個(gè)特征：①正確性. 正確的標(biāo)準(zhǔn)具有正確的導(dǎo)向性，可讓學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)獲得正確的認(rèn)識(shí). ②高且適度. 高標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)現(xiàn)高成效的基礎(chǔ)，但過高的標(biāo)準(zhǔn)又令人望塵莫及，因此又要講究一個(gè)“度”，高且適度則恰如其分，否則過猶不及. ③清晰性. 目標(biāo)明確，才能清晰教學(xué)思路.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，筆者結(jié)合學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和最近發(fā)展區(qū)，以及指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，經(jīng)過慎重考慮而制定，主要為：帶領(lǐng)學(xué)生研究指數(shù)函數(shù)圖像，將獲得的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)類比歐拉著作中的結(jié)論，讓學(xué)生經(jīng)歷類比猜想、歸納總結(jié)的過程，提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，從本質(zhì)上掌握并理解指數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)，并能利用所學(xué)內(nèi)容解決簡(jiǎn)單問題.

教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)的建構(gòu)與研究過程.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是圍繞問題的發(fā)現(xiàn)、提出與解決規(guī)律制定的，包括培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)思想方法的提煉等. 目標(biāo)是思維的起點(diǎn)，一旦明確了教學(xué)目標(biāo)，接下來的教學(xué)工作就有了明確的方向，任何教學(xué)活動(dòng)的開展，都基于教學(xué)目標(biāo)而實(shí)施. 不論課堂中發(fā)生怎樣的“意外”，最終都會(huì)朝著目標(biāo)前進(jìn).

2. 分析差距，確定問題

根據(jù)本原思維發(fā)展的規(guī)律，標(biāo)準(zhǔn)一旦確定，接下來就到了“分析差距，確定問題”的階段，差距的本質(zhì)就是目標(biāo)與現(xiàn)狀的距離. 想要發(fā)現(xiàn)差距，就要對(duì)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平有一個(gè)準(zhǔn)確、客觀的了解. 若找不出實(shí)然狀態(tài)與應(yīng)然狀態(tài)的差距，教學(xué)則無法進(jìn)行. 若差距過大，則需要回歸到上一個(gè)環(huán)節(jié)，反思所制定的教學(xué)目標(biāo)（應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn)）是否適度. 必要時(shí)還要對(duì)問題主次進(jìn)行分析，只有找出根源，才能解決問題.

問題1：指數(shù)運(yùn)算法則中的指數(shù)取值，是否可以從有理數(shù)推廣到實(shí)數(shù)的范圍？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)接觸axay=ax+y，（ax）y=axy，（ab）x=axbx（x，y∈Q）這部分內(nèi)容. 此問的目的在于勾起學(xué)生回憶，以便教師及時(shí)、準(zhǔn)確地觀察到學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際認(rèn)知水平.

從學(xué)生對(duì)此問的反饋情況來看，整體形勢(shì)不容樂觀. 雖然學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，但要說清楚這個(gè)問題卻存在較大的障礙. 由此，筆者確定此問即當(dāng)前學(xué)生需要解決的問題之一.

3. 橫縱分析，剖析原因

一般情況下，教師遇到教學(xué)障礙時(shí)會(huì)先思考如何解決這個(gè)問題，而非查找問題的根本原因. 這是一種本末倒置的處理方式. 想要從真正意義上解決問題，先要追根溯源，只有對(duì)問題進(jìn)行全面、深入地分析，才能獲得解決問題的對(duì)策［2］. 從問題的縱橫兩個(gè)方面，雙管齊下地進(jìn)行分析，或借助一些工具探尋問題的本原都是行之有效的方法.

那么，學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平與當(dāng)前教學(xué)目標(biāo)之間究竟存在多大的距離呢？該如何不著痕跡地處理好中間的差距呢？

學(xué)生探索問題1時(shí)，呈現(xiàn)出了如下思維歷程：

已知指數(shù)冪ax中的a是常數(shù)，x是變量，那么指數(shù)x就可以是任何確定的數(shù).

第一步，令指數(shù)x的取值為正整數(shù)，如1，2，3，…，則有a1，a2，a3，a4，a5，a6，…；如果x=0，那么a0=1.

第二步，令指數(shù)x的取值為負(fù)整數(shù)，如-1，-2，-3，…，可得，，，，…. 此時(shí)a≠0.

第三步，令指數(shù)x的取值為分?jǐn)?shù)，如，，，，，…，則有a，a，a，a，a，…. 此時(shí)a>0.

若指數(shù)x是無理數(shù)，雖然思考方法與以上類似，但學(xué)生理解起來確實(shí)存在較大的障礙，如a的值位于a2與a3之間.

結(jié)合學(xué)生的思維歷程，筆者認(rèn)為學(xué)生雖然對(duì)于axay=ax+y，（ax）y=axy，（ab）x=axbx（x，y∈Q）有所了解，但那還是初中階段所學(xué)內(nèi)容，奈何時(shí)間久遠(yuǎn)，出現(xiàn)遺忘現(xiàn)象純屬正常. 同時(shí)，從學(xué)生的心理來看，他們對(duì)指數(shù)函數(shù)內(nèi)容有一種畏懼感，覺得這部分內(nèi)容過于抽象，在思考問題時(shí)出現(xiàn)了畏懼現(xiàn)象.

4. 應(yīng)然考慮，擬定方案

只要知道問題的根源，則可“對(duì)癥下藥”. 想要從根本上解決以上問題，就要找出“一針見血”的化解方法. 在方法的選擇上，應(yīng)立足以下兩個(gè)原則：①明確應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn)，清晰解決問題的目標(biāo)是什么；②立足學(xué)生的認(rèn)知水平，基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)組織教學(xué).

結(jié)合應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，筆者經(jīng)過慎重思考，認(rèn)為可在本節(jié)課利用“HMN（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)關(guān)系）思想”拉近學(xué)生與知識(shí)的距離，即將歐拉關(guān)于指數(shù)冪的研究?jī)?nèi)容滲透在此處，能起到降低思維起點(diǎn)、鋪設(shè)臺(tái)階、激發(fā)興趣、啟發(fā)思維等作用.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)史的引入首先激發(fā)了學(xué)生的探究欲，讓學(xué)生體驗(yàn)到了知識(shí)的發(fā)展歷程，同時(shí)還為學(xué)生的思維鋪設(shè)了臺(tái)階，讓學(xué)生對(duì)問題1有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí). “HMN思想”的應(yīng)用，不論是在學(xué)生知識(shí)層面還是在心理層面都有了新的進(jìn)展，因此這是一個(gè)成功的應(yīng)用.

5. 實(shí)然考慮，最終定案

應(yīng)然方案一般是教師經(jīng)過深思熟慮而制定的解決問題的理想方案，踐行應(yīng)然方案之前，需要考慮：①能否順利解決問題，達(dá)成應(yīng)然標(biāo)準(zhǔn)，完成教學(xué)目標(biāo)？②若沒有順利解決問題，衍生出了新的問題該怎么辦？此時(shí)需要回歸到圖1中的②③步驟——反思問題、確定問題，橫縱分析問題形成的原因；若經(jīng)過分析，此處確實(shí)沒有問題，則需要回歸到圖1中的④步驟——反思擬定的教學(xué)方案是否存在不合理的地方，并及時(shí)調(diào)整.

（1）指數(shù)函數(shù)教學(xué)

①某種細(xì)胞分裂，由一個(gè)細(xì)胞會(huì)分裂成2個(gè)細(xì)胞，2個(gè)細(xì)胞又分裂成4個(gè)，以此類推，此類細(xì)胞分裂x次后，細(xì)胞個(gè)數(shù)y和分裂次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么？

②古人云“一尺之椎，日取之半，萬(wàn)世不竭”，取x次后，椎的剩余量y和x的函數(shù)關(guān)系式是什么？

學(xué)生經(jīng)獨(dú)立思考與合作交流，獲得結(jié)論：①y=2x（x∈N）；②y=

x（x∈N）. 若將其定義域更換為R，可得函數(shù)分別為：①y=2x（x∈R）；②y=

（x∈R）.

問題2：這兩個(gè)函數(shù)屬于冪函數(shù)嗎？若不是，它們與冪函數(shù)存在什么區(qū)別？

問題3：若用a替代以上兩個(gè)函數(shù)的底數(shù)，可得y=ax（x∈R），若此為一個(gè)函數(shù)，那么底數(shù)a能取所有實(shí)數(shù)嗎？（要求學(xué)生合作交流，探討這個(gè)問題）

設(shè)計(jì)意圖：古今結(jié)合的情境導(dǎo)入，有效驅(qū)動(dòng)了學(xué)生的研究熱情. 兩個(gè)情境的共同點(diǎn)為：底數(shù)均為常數(shù)，指數(shù)為變量x. 問題2，將指數(shù)函數(shù)類比冪函數(shù)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)；問題3，對(duì)底數(shù)a的規(guī)定是教學(xué)難點(diǎn)，采取合作交流的方式，能促進(jìn)學(xué)生深度思考：當(dāng)定義域?yàn)镽，a的取值范圍是什么？若a為0或負(fù)數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況？隨著問題的解決，可得a∈（0，+∞）.

值得注意的是，問題3的討論，并沒有排除a=1的情況，這為引出指數(shù)函數(shù)的定義奠定了基礎(chǔ).

問題4：結(jié)合冪函數(shù)的研究過程，想一想研究一個(gè)新的函數(shù)可以應(yīng)用哪些數(shù)學(xué)思想方法.（數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等）

問題5：請(qǐng)用描點(diǎn)法作出y=ax中，a的值分別為1，2，3時(shí)的圖像.

問題6：思考函數(shù)y=f（x），y=f（-x）的圖像之間存在什么聯(lián)系.

問題7：思考函數(shù)y=2x，y=

的圖像之間存在什么聯(lián)系；函數(shù)y=3x，y=

x的圖像之間又存在哪些聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖：這幾個(gè)問題意在引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合與特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法在研究函數(shù)圖像時(shí)的應(yīng)用. 問題7，由于在指數(shù)函數(shù)教學(xué)前，學(xué)生已經(jīng)接觸過“函數(shù)圖像的變換”等內(nèi)容，因此函數(shù)y=

x，y=

x的圖像，在不描點(diǎn)的情況下也是可以獲得的，這里涉及對(duì)稱變換的內(nèi)容.

（2）知識(shí)建構(gòu)

帶領(lǐng)學(xué)生觀察在同一坐標(biāo)系中，以下幾類函數(shù)圖像的形狀：①y=2x；②y=3x；③y=

x；④y=

x；⑤y=1x.

顯而易見，y=1x的圖像與眾不同，只有這一函數(shù)圖像為一條直線，其余幾個(gè)函數(shù)圖像均是曲線. 根據(jù)這個(gè)特征以及以上問題的解決，輕松獲得指數(shù)函數(shù)的概念——函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）稱為指數(shù)函數(shù)，x為自變量，R為定義域.

問題8：類比冪函數(shù)的研究過程，現(xiàn)在可以從什么角度來探索指數(shù)函數(shù)？（奇偶性、單調(diào)性、定義域、值域、定點(diǎn)等）

設(shè)計(jì)意圖：在獲得指數(shù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，類比冪函數(shù)的研究方法，明確后續(xù)待研究的主題. 類比過程，既是研究方法的回顧，又是新知建構(gòu)的基礎(chǔ)，同時(shí)還明晰了后續(xù)研究的方向.

接下來，師生共同將本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與歐拉在《無窮分析引論》中所記載的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行類比分析：

分析函數(shù)y=2x，y=3x的圖像特征，不難獲得指數(shù)函數(shù)y=ax（a>1）的性質(zhì)；分析函數(shù)y=

x，y=

x的圖像特征，可以獲得指數(shù)函數(shù)y=ax（0

歐拉在《無窮分析引論》中記有：

ax的取值依賴常數(shù)a的取值. ①若a=1，不論x的取值如何，均能獲得ax=1；②若a>1，ax的取值則會(huì)隨著x取值的變大而變大，若x無窮大，趨向于+∞時(shí)，則ax也趨向無窮大；若x=0，則ax=1；若x<0，則01，如果記=b，那么ax=b-x，因此01的情形推導(dǎo)而來.

繼續(xù)觀察歐拉的研究，發(fā)現(xiàn)如下內(nèi)容：

令y=ax（a>0且a≠1），若a>1，在x>0時(shí)，則y>1；在x=0時(shí)，則y=1；在x<0時(shí)，則00時(shí)，則01.

從歐拉的研究分析來看，不難獲得指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（見表1）.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)的最高層次就是知識(shí)的重構(gòu). 教師在此帶領(lǐng)學(xué)生一起追溯指數(shù)函數(shù)的歷史起源，不僅通過歐拉研究激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，還基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)重構(gòu)了知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，讓學(xué)生從根源上理解并掌握了指數(shù)函數(shù)的本質(zhì).

縱觀本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，不論是教學(xué)目標(biāo)的制定，還是“問題串”的設(shè)置，抑或“HMN思想”的應(yīng)用，無不體現(xiàn)出教師超高的本原思維素養(yǎng). 借鑒冪函數(shù)的研究方法，借助歐拉研究指數(shù)函數(shù)的過程，不僅凸顯了教師的智慧，還讓學(xué)生在寓教于樂中感受數(shù)學(xué)文化的博大精深，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

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［2］? 朱智賢，林崇德. 思維發(fā)展心理學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

基金項(xiàng)目：南通市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃專項(xiàng)課題“基于實(shí)例提升高中數(shù)學(xué)教師本原思維素養(yǎng)的實(shí)踐研究”（FZ2020012），主持人為成倩文.

作者簡(jiǎn)介：成倩文（1989—），本科學(xué)歷，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.