呂 洲,何 波,李志德

(1.廣州港科大技術(shù)有限公司,廣東 廣州 511458; 2.清華大學深圳國際研究生院,廣東 深圳 518055)

鋰離子電池使用過程中會產(chǎn)生熱量,過高的溫度會加速老化,甚至自燃、爆炸[1]。建立準確的電池熱過程模型,有利于優(yōu)化、監(jiān)測和控制電池系統(tǒng),提升使用過程的性能、壽命和安全性等。鋰離子電池的熱過程是一類典型的時變分布參數(shù)系統(tǒng),具有時變及強非線性特征,導致建模困難。

目前,不少學者針對鋰離子電池熱過程的模型原理展開了研究。宋文吉等[2]結(jié)合電池等效電路,構(gòu)建具有分層結(jié)構(gòu)的電-熱耦合模型,獲得電池的溫度分布,該模型的預測結(jié)果與傳感器測量的溫度較為吻合。戴海燕等[3]結(jié)合質(zhì)量守恒、能量守恒和電池內(nèi)部電化學反應等理論,建立單體電池的電化學-熱力學耦合模型,在2C倍率放電實驗中,溫度預測誤差在0.925%以內(nèi)。為研究極端條件下的電池熱失控行為,張培紅等[4]建立三元正極材料鋰離子電池的熱濫用模型。在直接接觸式加熱實驗中,該模型得到的電池表面平均溫度與實驗測量值在時間上的變化趨勢一致,具有較高的適用性。上述方法都屬于離線模型,無法反映電池物性參數(shù)時變條件的熱力學行為。盡管許多基于模型的在線方法,如基于電-熱耦合的在線建模方法[5],得到廣泛應用,但常適用于模型已知的情況,還有較多參數(shù)需要辨識,模型計算復雜度較大,因此,部分學者開始轉(zhuǎn)向基于卡洛南-洛伊(KL)方法的純數(shù)據(jù)在線時空模型[6-7],但KL方法是一種忽略非線性信息的全局線性降維方法,不能揭示熱過程的強非線性特征。

為解決模型未知的強非線性鋰離子電池熱過程在線建模問題,本文作者提出基于局部線性嵌入(LLE)方法和在線順序超限學習機(OS-ELM)的在線建模方法。首先,利用LLE實現(xiàn)電池溫度數(shù)據(jù)的非線性時空解耦;然后,使用OSELM構(gòu)建在線時序模型;最后,通過時空綜合,重構(gòu)完整的溫度分布。

1 鋰離子電池熱過程在線建模方法

1.1 問題描述

鋰離子電池的熱過程是一類典型的無限維分布參數(shù)系統(tǒng),控制方程可表示為[8]:

電池的邊界條件可描述為:

式(2)中:h為對流換熱系數(shù);Tair為環(huán)境溫度。

由式(1)、(2)可知,鋰離子電池熱過程模型構(gòu)建的難點在于:溫度分布具有時間/空間耦合特征,實現(xiàn)精準解耦操作是建模的關(guān)鍵;電池的密度及比熱容等物性參數(shù)均與溫度有關(guān),但溫度是時間的函數(shù),且環(huán)境溫度是一個變量,時刻變化;Q(S,t)函數(shù)涉及一系列復雜的物理/化學變化,難以準確建立偏微分方程。

1.2 建模框架

假設由溫度傳感器采集到鋰離子電池溫度數(shù)據(jù)為{T(S,ti),S=1,2,…,NS;i=1,2,…,Nt},其中NS為溫度傳感器的數(shù)量,Nt為總時間;鋰離子電池的輸入信號為{u(ti)=[E(ti),I(ti)]T,i=1,2,…,Nt},其中u(ti)∈?2為輸入向量,E(ti)為電池電壓,I(ti)為電池電流。

如圖1所示,首先通過構(gòu)建LLE模型,將電池溫度數(shù)據(jù)T(S,t)分離成空間基函數(shù)及時間系數(shù)。根據(jù)傅里葉變換,T(S,t)可以時空解耦為:

圖1 建?？蚣蹻ig.1 Modeling framework

式(3)中:φi(S)為單位正交的空間基函數(shù);ai(t)為時間系數(shù);N為模型的階數(shù)。

圖1中:(t)為預測的時間系數(shù);(S,t)為重構(gòu)的溫度值。

當獲得a(t)=[a1(t),…,aN(t)]T∈?N后,基于 OSELM構(gòu)建u(t)與a(t)間的動態(tài)時序模型。一般而言,非線性時序模型可表示為:

式(4)中:da為最大輸入延時;du為最大控制延時;F為需要使用OS-ELM擬合的未知函數(shù)。

最后,根據(jù)式(3)重構(gòu)溫度分布,得到式(5)。

1.3 局部線性嵌入(LLE)方法

局部線性嵌入(LLE)方法是一種利用局部鄰域的線性關(guān)系實現(xiàn)全局非線性降維的方法。

以向量T(∶,ti)為例,如圖2所示,利用歐氏距離選擇T(∶,ti)的K個近鄰,作為集合Qa(i),并設計重構(gòu)公式為:

圖2 向量T(∶,ti)的LLE流程Fig.2 Modeling process of local linear embedding(LLE)of vector T(∶,ti)

式(6)中:T(∶,tj)為T(∶,ti)的K近鄰向量;ωij為重構(gòu)權(quán)值向量ωi的元素。

為求出向量ωi,設計目標函數(shù):

利用KKT條件求解式(7),獲得重構(gòu)權(quán)值為:

式(8)中:Cm為局部協(xié)方差矩陣,其元素為(Cm)pq=[T( ∶,ti)-T( ∶,tp)]T[T( ∶,ti)-T( ∶,tq)]|p,q∈Qa(i);l=(1,…,1)T∈?K,為元素為1的向量。

假設T(∶,ti)在低維度對應的投影為y(ti),K個近鄰點對應的投影為,則最小化損失函數(shù)ε(Y)為:

式(9)中:Y=[y(t1),…,y(tNt)];Ii為單位矩陣I的第i列;(W)ij=ωij,為權(quán)值向量的矩陣形式;Wi為矩陣W的第i列;tr為矩陣的跡;M=(I-W)(I-W)T。

為最小化式(9),構(gòu)建函數(shù)L(Y,λ):

式(10)中:λ為拉格朗日乘子。

對式(10)求導并為0,得到:

式(12)中:λ′=-λ。

假設求得M的特征值為λ′0＜λ′1＜…＜λ′Ni,舍棄特征值為λ′0的特征向量,則特征值(λ′1,…,λ′Ni)所對應的特征向量即為式(12)的解。為確定式(3)中的階數(shù)N,使用式(13)計算系數(shù)η:

在特征值(λ′1,…,λ′Ni)中,從大到小選擇,當η≥0.99時,即可確定階數(shù)N。最終特征值(λ′N,…,λ′Ni)所對應的特征向量即為所得YT。基于快照法,空間基函數(shù)使用式(14)計算:

式(14)中:Yki為矩陣Y的第k行第i列元素。

1.4 基于OS-ELM的在線時序模型

1.4.1 初始學習階段

在初始學習階段,ELM利用初始數(shù)據(jù)集?0,將模型輸入z(t)及模型輸出a(t)表示為:

式(16)中:h(z)∈?Nh,為隱含層輸出;Nh為隱含層節(jié)點數(shù);β∈?Nh×N,為輸出權(quán)值;g為激活函數(shù);θ∈?(N+2)×Nh,為輸入權(quán)值;b∈?Nh,為隱含層閾值;θ及b為隨機生成的變量。

式(16)中,只有β為未知參數(shù)。假設Nt＞Nh,則β可由式(17)獲得:

式(17)中:H0={h[z(2)]T,…,h[z(Nt)]T}∈?(Nt-1)×Nh,為隱含層輸出的矩陣形式;,A0=[a(2),…,a(Nt)]∈?(Nt-1)×Nh,為輸出矩陣。

1.4.2 在線序列學習階段

式(18)中:ΔH1={h[z(Nt+1)]T,…,h[z(Nt+L1)]T}T,為?1的隱含層輸出;ΔA1=[a(Nt+1),…,a(Nt+L1)],為相對應的模型輸出。

根據(jù)Woodbury公式,P1可化簡為:

式(18)最終可表示為:

結(jié)合更新的輸出權(quán)值,在線時序模型可表示為:

一旦獲得時間系數(shù),即可用式(5)重構(gòu)電池溫度分布。

2 實驗驗證

2.1 實驗設置

實驗采用三元正極材料軟包裝鋰離子電池(佛山產(chǎn)),額定容量為32 Ah,額定電壓為3.7 V,長度、寬度分別為240 mm、156 mm,厚度為8 mm。該鋰離子電池的長和寬比厚度大得多,因此實驗過程僅考慮二維平面溫度。30個PT150接觸式溫度傳感器(深圳產(chǎn))均勻分布在電池表面,用于采集電池溫度,如圖3所示。

圖3 三元正極材料軟包裝鋰離子電池溫度傳感器的分布Fig.3 Distribution of temperature sensors of the ternary cathode material pouch Li-ion battery

為充分激發(fā)電池溫度,充電電流及相應電壓見圖4。

圖4 三元正極材料軟包裝鋰離子電池的充電電流及電壓Fig.4 Charging current and voltage of the ternary cathode material pouch Li-ion battery

為驗證所提方法對未知溫度邊界的響應能力,將鋰離子電池放置在溫控箱內(nèi),溫度控制在25～30℃。整個實驗過程維持3 474 s,充電電流、電壓及電池溫度每1 s采集一次,共得到3 474組數(shù)據(jù)。為驗證所提出的模型,將前2 500組數(shù)據(jù)用于模型訓練,后974組數(shù)據(jù)用于模型在線測試。

仿真開始前,需要將所有數(shù)據(jù)歸一化到[-1,1]之間,算法參數(shù)設置如下。

①LLE方法,近鄰數(shù)K=20;②OS-ELM方法,隱含層節(jié)點數(shù)Nh=50,激活函數(shù)g為Sigmod函數(shù),輸入權(quán)值θ及隱含層閾值b均在區(qū)間[-1,1]中隨機生成,在線測試過程中,每次到達的新數(shù)據(jù)集?k+1的數(shù)據(jù)大小,Lj均取5。

2.2 結(jié)果分析

圖5為3 000 s時電池表面的溫度分布。

圖5 3 000 s時電池表面溫度對比Fig.5 Comparison of battery surface temperature at 3 000 s

從圖5可知,所提出的在線時空建模方法得到溫度分布與實際測量的近似。

在同樣的實驗參數(shù)設置下,LLE-ELM及所提出的在線建模方法在3 000 s時鋰離子電池表面溫度的絕對相對誤差(ARE)[8]結(jié)果見圖6。

圖6 3 000 s時A RE結(jié)果Fig.6 Absolute relative errors(A RE)results at 3 000 s

從圖6可知,在3 000 s時,LLE-ELM的ARE值在0.40以內(nèi),而所提方法的ARE值在0.35以內(nèi)。這是因為所提方法是一種在線模型,可實時利用新到達的數(shù)據(jù)改善建模性能,而LLE-ELM是一種離線建模方法,對鋰離子電池熱過程時變行為的適應能力較弱。

后974組測試數(shù)據(jù)的時間標準絕對誤差[8](TNAE)仿真結(jié)果見圖7,其中KL-OS-ELM為整合KL與OS-ELM的時空建模方法,而Th2Sim為在線的電-熱建模方法[5]。

圖7 3種方法的T NAE對比Fig.7 Comparison between three methods in temporal normalized absolute error(T NAE)

從圖7可知,所提出方法的TNAE在[0.052 4,0.076 4]之內(nèi)。這表明,與KL-OS-ELM及Th2Sim相比,所提方法在時間方向有更好的建模性能。

3種方法的仿真時間與均方根誤差[8](RMSE)結(jié)果如表1所示。

表1 模型性能對比Table 1 Comparison of model performance

從表1可知,KL-OS-ELM在數(shù)據(jù)訓練階段有較好的時間學習優(yōu)勢,但在測試階段,RMSE明顯差于LLE-OS-ELM。這是因為盡管KL-OS-ELM能夠?qū)崿F(xiàn)在線學習,但KL方法是一種全局線性降維方法,學習時間雖短但無法精確反映鋰離子電池熱過程的非線性特性。Th2Sim盡管具有較好的RMSE值,但熱分布模型需要使用有限元方法求解,計算時間偏長。

相比于傳統(tǒng)熱過程建模方法,所提方法具有以下優(yōu)勢:①所提方法是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動方法,能夠解決電池模型未知時的建模問題;②LLE方法是一種流形學習方法,能夠?qū)崿F(xiàn)鋰離子電池熱過程的溫度數(shù)據(jù)的非線性降維;③基于OS-ELM的在線時序模型可以實現(xiàn)模型的實時更新,解決鋰離子電池熱過程的時變行為捕捉問題。

3 結(jié)論

本文作者提出基于LLE和OS-ELM的鋰離子電池熱過程在線時空建模方法:首先,使用LLE方法實現(xiàn)鋰離子電池溫度場的非線性時空解耦,由此獲得時間系數(shù);然后,提出基于OS-ELM的時序模型,實現(xiàn)鋰離子電池熱過程的在線學習;最后,通過時空整合,重構(gòu)電池溫度分布。相比于部分現(xiàn)有的建模方法,所提方法可將TNAE控制在[0.052 4,0.0764]之內(nèi),RMSE則達到0.075 2。此外,在相同條件下,所提方法表現(xiàn)出仿真時間較短的優(yōu)勢,適用于實時應用的情景。