文 /沈淑霞

引 言

在“知識(shí)時(shí)代”向“素養(yǎng)時(shí)代”轉(zhuǎn)型的新時(shí)代教育教學(xué)理念轉(zhuǎn)變背景下，如何讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)真正落地課堂成了所有教師迫切需要探索的問(wèn)題。幾何直觀是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要組成部分。作為一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幾何直觀不但是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效手段之一，而且在發(fā)展小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力方面有著重要作用。幾何直觀素養(yǎng)包含四個(gè)方面，分別是圖形認(rèn)識(shí)、空間想象力、圖形轉(zhuǎn)換和圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯，是一種綜合數(shù)學(xué)能力的表現(xiàn)。對(duì)于思維還不成熟的小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)具有一定的抽象性。眾多實(shí)踐表明，借助于幾何直觀這一媒介，能將抽象的邏輯問(wèn)題直觀地表現(xiàn)出來(lái)，有效解決學(xué)生思維直觀與數(shù)學(xué)知識(shí)抽象之間的矛盾，降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度。下面，筆者根據(jù)自己多年以來(lái)對(duì)幾何直觀這一數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究，理性剖析了當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)困境，并結(jié)合具體的案例提出了具體的實(shí)踐策略，以期能達(dá)到拋磚引玉的效果。

一、思考：小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)困境

（一）教師培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)的意識(shí)不強(qiáng)

長(zhǎng)期以來(lái)，部分教師對(duì)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀這一素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)不強(qiáng)，只在“幾何與圖形”這一領(lǐng)域教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀手段，而在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概念”等其他領(lǐng)域的知識(shí)教學(xué)中則很少運(yùn)用幾何直觀手段[1]。另一方面，部分教師對(duì)幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的意識(shí)淡薄，因而常常不評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，更沒(méi)有有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖這種直觀手段來(lái)解決問(wèn)題，從某種意義上不利于學(xué)生解決問(wèn)題能力的發(fā)展。

（二）當(dāng)前大部分學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)尚弱

綜觀當(dāng)下的很多小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，大部分教師側(cè)重于培養(yǎng)“認(rèn)識(shí)圖形”這一素養(yǎng)，而對(duì)“利用圖形描述問(wèn)題”和“利用圖形分析問(wèn)題”這兩方面的素養(yǎng)培養(yǎng)則研究得少。這樣的課堂教學(xué)現(xiàn)狀，使學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)只停留于淺層意義上，學(xué)生主動(dòng)自覺(jué)利用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)較弱，在一定程度上影響了解決問(wèn)題能力的發(fā)展。此外，學(xué)生當(dāng)前所具備的幾何直觀素養(yǎng)與學(xué)段要求不匹配。大部分低年級(jí)學(xué)生在認(rèn)識(shí)、識(shí)別圖形方面的整體水平幾乎沒(méi)有太大的差異，然而隨著年級(jí)的增加，幾何直觀素養(yǎng)要求的不斷提高，學(xué)生之間的幾何直觀素養(yǎng)便明顯地拉開(kāi)了距離。

（三）教師培養(yǎng)幾何直觀的教學(xué)手段不當(dāng)

部分教師雖然重視對(duì)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，然而在實(shí)施過(guò)程中常常會(huì)出現(xiàn)一些偏頗，只是“一廂情愿”式地用直觀圖形向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)降低難度，不重視激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，在誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生運(yùn)用幾何直觀的意識(shí)上比較欠缺。另一方面，教師在運(yùn)用幾何直觀這一手段進(jìn)行引導(dǎo)時(shí)，往往忽視了給學(xué)生預(yù)留出一定的實(shí)踐操作空間，忽略了作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生的主觀能動(dòng)性，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法形成一定的知識(shí)感應(yīng)，教學(xué)效果常常是“事倍而功半”。在教學(xué)“長(zhǎng)方體”“正方體”這樣的幾何知識(shí)點(diǎn)時(shí)，不少教師為了壓縮課堂的時(shí)間，只是簡(jiǎn)單地用PPT展現(xiàn)一些生活中常見(jiàn)的長(zhǎng)方體、正方體圖片，在學(xué)生觀察圖形的基礎(chǔ)上直接揭示幾何概念，而沒(méi)有讓學(xué)生在實(shí)際的幾何體上充分地動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)口與動(dòng)腦。在這樣的課堂上，學(xué)生對(duì)幾何形體的屬性認(rèn)知無(wú)法全面、深入，容易與之前所學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形、正方形概念相混淆，難以正確建構(gòu)平面與立體之間的關(guān)系。顯然，教學(xué)手段運(yùn)用不當(dāng)，不但不能很好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀這一素養(yǎng)，反而會(huì)導(dǎo)致學(xué)生形成知識(shí)盲點(diǎn)。

二、實(shí)踐：小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)并非一朝一夕之事，而是需要一個(gè)長(zhǎng)期往復(fù)循環(huán)的過(guò)程。筆者認(rèn)為，可以做以下幾點(diǎn)嘗試。

（一）調(diào)動(dòng)多種感官，豐富直觀素材

愛(ài)玩、好動(dòng)是小學(xué)生的主要特點(diǎn)，且小學(xué)階段的學(xué)生思維模式以形象直觀為主。基于此，在課堂教學(xué)中，教師可通過(guò)多種教學(xué)手段讓學(xué)生用眼睛觀察，用手觸摸，用言語(yǔ)表達(dá)和用腦思考，借助視覺(jué)的沖擊、觸覺(jué)的感知、聽(tīng)覺(jué)的刺激等，從而感知到對(duì)應(yīng)的基本圖形，并形成圖像認(rèn)知，直至理解幾何圖形的基本屬性，并在大腦中正確建構(gòu)幾何圖形的概念。例如，在教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課時(shí)，筆者課前先讓學(xué)生將生活中常用的牙膏盒、各種禮品包裝盒等帶到課堂上，并利用課始3分鐘讓學(xué)生自主觀察這些盒子，然后再讓學(xué)生以小組為單位，在組內(nèi)互相說(shuō)一說(shuō)這些盒子的共同特點(diǎn)。筆者有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生從“面”“棱”“頂點(diǎn)”，分別說(shuō)出這些盒子的共同特點(diǎn)。在“看一看”“摸一摸”“說(shuō)一說(shuō)”等活動(dòng)后，筆者再用課件動(dòng)態(tài)地從實(shí)物中抽象出長(zhǎng)方體的幾何形體，使學(xué)生從“生活實(shí)物”的認(rèn)知上升為“幾何形體”，從而真正建構(gòu)起“長(zhǎng)方體”的數(shù)學(xué)意義。此外，筆者又安排學(xué)生繼續(xù)到生活中尋找長(zhǎng)方體，并嘗試探索怎樣算出長(zhǎng)方體的表面積。在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，筆者為學(xué)生提供了充分的實(shí)踐探索活動(dòng)，使學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體屬性由“基本外形的認(rèn)知狀態(tài)”進(jìn)入“深刻本質(zhì)的實(shí)踐狀態(tài)”，在深入理解長(zhǎng)方體本質(zhì)特征的同時(shí)，也有效地培養(yǎng)了幾何直觀這一數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）聚焦以形釋數(shù)，直觀表征概念

著名數(shù)學(xué)家華羅庚這樣說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！盵2]一直以來(lái)，數(shù)學(xué)作為一門(mén)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，給人們留下了“抽象”的印記，使得大多數(shù)小學(xué)生談“數(shù)”色變。小學(xué)數(shù)學(xué)教師有必要通過(guò)直觀的手段讓學(xué)生理解“抽象”的數(shù)學(xué)，讓抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)公式直觀呈現(xiàn)，讓學(xué)生體悟到數(shù)學(xué)知識(shí)的有趣化、可視化，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，從而讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)。

以“最大公因數(shù)”這節(jié)課為例，傳統(tǒng)的教學(xué)方法大多采用的是直接告知的方法（教師簡(jiǎn)單板書(shū)兩個(gè)自然數(shù)，讓學(xué)生分別寫(xiě)出這兩個(gè)自然數(shù)的因數(shù)，繼而直接揭示公因數(shù)與最大公因數(shù)的概念）。顯然，這種教學(xué)方式只是讓學(xué)生對(duì)“公因數(shù)”和“最大公因數(shù)”這兩個(gè)概念的理解停留于淺層表面上，對(duì)于怎樣求最大公因數(shù)也只停留于“枚舉法”上。筆者在教學(xué)這節(jié)課時(shí)，則是將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)口和動(dòng)腦探究“形”的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)概念。在課堂上，筆者先出示一塊“長(zhǎng)18厘米，寬12厘米”的長(zhǎng)方形紙片，并拋出這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“如果要將這個(gè)紙片剪出幾個(gè)大小一樣的正方形，紙片不能有剩余，這個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)可能是多少？”在學(xué)生自主充分思考的前提下，筆者再引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位通過(guò)“剪一剪”“畫(huà)一畫(huà)”等方法動(dòng)手實(shí)踐操作。于是，便出現(xiàn)了多種不同的聲音，具體如下：有的小組認(rèn)為小正方形的邊長(zhǎng)可能是1厘米；有的小組認(rèn)為小正方形的邊長(zhǎng)可能是2厘米；有的小組認(rèn)為小正方形的邊長(zhǎng)可能是3厘米；有的小組認(rèn)為小正方形的邊長(zhǎng)可能是6厘米。最后，全班一起交流討論得出了“1厘米、2厘米、3厘米和6厘米”都有可能是小正方形的邊長(zhǎng)。在學(xué)生動(dòng)手操作與思維碰撞后，筆者適時(shí)說(shuō)：“像這樣，1、2、3和6都能同時(shí)被18和12整除，也就是說(shuō)1、2、3和6是18和12的公因數(shù)，其中6是18和12的最大公因數(shù)?！比缓?，筆者用韋恩圖呈現(xiàn)出來(lái)。這樣的課堂教學(xué)便可將抽象的“數(shù)”用直觀、可操作的“形”來(lái)呈現(xiàn)，將靜態(tài)的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)的實(shí)物操作，使學(xué)生不但能直觀地理解數(shù)學(xué)概念，而且能掌握“求兩個(gè)數(shù)的‘公因數(shù)’和‘最大公因數(shù)’”的方法。這種“以形釋數(shù)”的教學(xué)方法不僅有效降低了數(shù)學(xué)的抽象性帶給學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，通過(guò)“形”這個(gè)媒介直觀表征數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)意義，還使學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)得以培養(yǎng)。

（三）關(guān)注以形探理，直觀呈現(xiàn)算理

長(zhǎng)期以來(lái)，在很多人的心目中，數(shù)學(xué)不過(guò)只是“數(shù)字的游戲”而已。隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，手機(jī)使用頻率的不斷增加，又有不少人認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象而無(wú)用，尤其是在“運(yùn)算”上。殊不知，“數(shù)的運(yùn)算”背后隱含著的數(shù)學(xué)思維有著其他學(xué)科不可替代的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。由此，在進(jìn)行“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)將“數(shù)字演練”轉(zhuǎn)化成學(xué)生可動(dòng)手操作的、可視化的直觀圖形，為學(xué)生搭建形象直觀的支架，讓計(jì)算過(guò)程中隱含的思維看得見(jiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在直觀圖形與數(shù)字演算的相互轉(zhuǎn)譯中，有效地發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)與抽象思維品質(zhì)。

例如，在教學(xué)六年級(jí)（上冊(cè)）的“分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)”這節(jié)計(jì)算課時(shí)，考慮到六年級(jí)學(xué)生抽象思維還不強(qiáng)，他們?cè)诶斫夥謹(jǐn)?shù)乘法的算理時(shí)有一定的難度，而且大部分學(xué)生只停留于掌握算法上，筆者先利用課件創(chuàng)設(shè)情境，在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題列出算式之后，直接讓學(xué)生嘗試用自己喜歡的方法探索“的計(jì)算方法。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)諸如等錯(cuò)誤結(jié)果時(shí)，筆者啟發(fā)學(xué)生利用分?jǐn)?shù)的意義并通過(guò)數(shù)學(xué)畫(huà)圖的方法繼續(xù)探索。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖馬上找到了正確的算法，他們借助各種畫(huà)圖的方法，自主理解算理。最后，筆者再用課件逐層呈現(xiàn)圖形（如圖1），讓學(xué)生結(jié)合圖形，進(jìn)一步將的算理闡述清楚。在這樣的課堂教學(xué)中，教師能夠引導(dǎo)學(xué)生將算式轉(zhuǎn)譯成圖形，并結(jié)合圖形轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)思維。這種直觀的圖形表征能讓數(shù)學(xué)思維可視化，促使學(xué)生深刻理解算理、掌握算法，同時(shí)能有效促進(jìn)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)。

圖1

（四）重視數(shù)形結(jié)合，直觀理解關(guān)系

皮亞杰曾說(shuō)：“兒童思維是從動(dòng)作開(kāi)始的，切斷動(dòng)作與思維的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展?！盵3]小學(xué)是學(xué)生抽象思維能力發(fā)展的重要階段。幾何直觀手段能很好地為學(xué)生打通走向抽象思維能力發(fā)展的通道。正所謂“眼見(jiàn)為實(shí)”，只有讓思維看得見(jiàn)，讓數(shù)量關(guān)系清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，學(xué)生才能順利地找到解決問(wèn)題的路徑。當(dāng)遇到數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或數(shù)學(xué)信息比較隱蔽的題目時(shí)，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生將其轉(zhuǎn)譯為直觀圖形，促使他們通過(guò)直觀圖形準(zhǔn)確分析數(shù)量關(guān)系，體會(huì)幾何直觀這一手段的優(yōu)勢(shì)，從而強(qiáng)化幾何直觀素養(yǎng)。例如，筆者給學(xué)生呈現(xiàn)了這樣一道題：“在一個(gè)等腰三角形里，其中頂角是一個(gè)底角的2倍，頂角是多少度？”很多學(xué)生認(rèn)為底角是單位“1”，而頂角就是“2個(gè)1”，因而想當(dāng)然地列式為“180°÷（2＋1）”。這樣的列式忽略了還有一個(gè)隱含的底角（等腰三角形中兩個(gè)底角相等）這一數(shù)學(xué)信息。由此，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤思路時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖的形式來(lái)直觀呈現(xiàn)題目中的數(shù)學(xué)信息，實(shí)現(xiàn)將“文字語(yǔ)言”轉(zhuǎn)譯為“圖形語(yǔ)言”。“圖形語(yǔ)言”能直觀地呈現(xiàn)出清晰的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)畫(huà)圖的方式，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)“底角+底角+頂角=180°”，列式應(yīng)是“180°÷（2+1+1）×2”或“180°÷2”。這樣的教學(xué)導(dǎo)引能夠讓學(xué)生感受到“幾何直觀”的重要價(jià)值，有效地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，隨著新課程改革的縱深推進(jìn)與“雙減”政策的出臺(tái)，“促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，讓學(xué)生獲得帶得走的能力”顯得尤為重要。幾何直觀作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，應(yīng)引起小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。教師應(yīng)通過(guò)合宜的教學(xué)手段，讓學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算算理和數(shù)量關(guān)系等，致力于將抽象問(wèn)題具體化、直觀化，讓數(shù)學(xué)思維可視化，架起直觀圖形與抽象知識(shí)的橋梁，高品質(zhì)地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。