李 瑾

（隴川縣教科中心，云南 章鳳 678799）

現(xiàn)實的中學(xué)教學(xué)中，存在著學(xué)生拘泥于已有數(shù)學(xué)現(xiàn)實，按步就班，解決問題的過程中缺乏必要的靈活性。他們不會從不同角度、方法、層次等方面根據(jù)新的條件迅速確定思考問題的方向；難以靈活地運用所學(xué)的公式、定律、法則從一種解題方法轉(zhuǎn)向另一種方法，舉一反三、觸類旁通的意識和能力偏弱。只有培養(yǎng)起學(xué)生良好靈活的思維能力，學(xué)生才能對具體的數(shù)學(xué)知識進行有效的學(xué)習(xí)。如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的活性，是一個宜不斷深入的進行教學(xué)研究的現(xiàn)實問題。

一、數(shù)學(xué)思維的靈活性

數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)是衡量主體的思維發(fā)展水平的重要標(biāo)志，它主要表現(xiàn)于思維的言廣闊性、深刻性、靈活性、敏捷性、獨創(chuàng)性和批判性等六個方面。這六個方面既有各自的特點，但又互相聯(lián)系、互相補充的。[1]

首先，我們看下述問題的解法:

案例1:已知函數(shù)f（x）對x ＞0 有意義，且f（2）=1，f（m×n）=f（m）+f（n），則 下列答案正確的是:

思路一:注意到已知條件，由個人的經(jīng)驗和直覺，不妨令f（x）=log2x，

|f(4)|=|log24|=2，選（B）。

思路二:令m=n=1，則f（1）=2f（1）? f（1）=0，

類似地，偶函數(shù)f(x)在[-2，0]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的大小關(guān)系是

以上例子我們可明顯地看出，思路一具有鮮明的靈活性，而思路二多少帶有解題模式的色彩，且在某種程度上有些費時費力。類似此類的問題在中學(xué)數(shù)學(xué)各類問題中并不少見。

關(guān)于思維的靈活性，它是指思維活動的靈活程度。表現(xiàn)為對知識的運用自如，流暢變通，善于自我調(diào)節(jié)。思維不囿于固定的程序或模式，能夠根據(jù)情況及時換向，靈活調(diào)整思路以克服思維的定勢。在解決數(shù)學(xué)問題時，善于運用辯證思維對具體問題分析是思維靈活性的重要特征和。[1]

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維靈活性的途徑

本文認為，中學(xué)生數(shù)學(xué)思維靈活性，主要是指在解決具體問題時，能據(jù)條件及解決問題的要求，將對自己來說陌生或較復(fù)雜的問題，逐步轉(zhuǎn)化為熟悉的問題或基本的解題模式求解，而在直接應(yīng)用模式不能奏效或雖能奏效但費時費力時，能迅速擺脫模式的束縛，尋找轉(zhuǎn)化的途徑和辦法。

如何看待學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性的培養(yǎng)，盡可能地讓學(xué)生變得聰明些呢？我們以為在現(xiàn)實的教學(xué)中，宜關(guān)注以下幾個途徑。

（一）關(guān)注學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

斯托利亞爾指出:“在教學(xué)的每一步，不估計學(xué)生思維活動的水平、思維的發(fā)展、概念的形成和掌握教材的質(zhì)量，就不可能進行有效的教學(xué)。”

教師對教材與課程標(biāo)準(zhǔn)不可謂不重視。可為什么教學(xué)效果總不盡人意呢？固然原因是多方面的，但現(xiàn)實的中學(xué)教學(xué)中，無論是主觀還是客觀上，我們不得不面對的一個直接的問題是對學(xué)生的研究不夠或嚴(yán)重不夠，這是個不宜忽視的問題。

思維的靈活性，是以學(xué)生主體必須具備一定的思維水平，并對教材中的基礎(chǔ)知識和技能的掌握為前提條件的，學(xué)生需要積累自己基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、理解基本的數(shù)學(xué)思想方法。教師需要分析研究自己所處教學(xué)環(huán)境條件下的學(xué)生實際狀況，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，例如學(xué)生數(shù)學(xué)“四基”學(xué)習(xí)所面臨的主要障礙是心理因素、還是表達能力方面，或是思維方面；對數(shù)學(xué)題型及解題模式的實際掌握程度怎樣等，是否達到教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生是否形成了良好的認認知結(jié)構(gòu)，為后繼的學(xué)習(xí)奠定了必要的先備知識和技能、思維方法，倘若知識結(jié)構(gòu)殘缺，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題思維的靈活性的努力就成了無本之木。

因此，只有充分研究施教對象，既重視教案的準(zhǔn)備，又更要注重教法的研究，才能在對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性培養(yǎng)方面有所成效，也才能不至于本末倒置。目前，隨著新課程的展開，各種教學(xué)模式的探討、嘗試如雨后春筍。但我們必需清醒的是，任何人成功的教學(xué)方法、經(jīng)驗，都是其所處特定教學(xué)環(huán)境條件下的產(chǎn)物。

（二）深入研究題型和解題模式與思維靈活性關(guān)系

日常的教學(xué)中，教師結(jié)合學(xué)生實際，日積月累，精選一些緊扣教材基礎(chǔ)知識、基本技能和方法、靈活性比教材要求稍高，又利于培養(yǎng)學(xué)生多角度觀察和解決問題的題目，教師指導(dǎo)學(xué)生對題型進行歸類，有較強針對性地來加強學(xué)生思維靈活性的訓(xùn)練，并通過實際訓(xùn)練對一些問題摸索解題模式，此種做法無疑為學(xué)生解決同類問題有著積極的指導(dǎo)意義，因為許多數(shù)學(xué)問題的最終解決，仍需歸結(jié)到基本的題型和解題模式上去。

但是，無論是中考還是高考，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考察已成為大勢所趨。而這種能力在學(xué)生思維的靈活性方面得到了體現(xiàn)。因此在重視指導(dǎo)學(xué)生概括解題模式的同時，對學(xué)生思維的靈活性的培養(yǎng)也應(yīng)視學(xué)生情況在某種程度上不失時機地予以加強。所謂時機，正如我們所熟知的教學(xué)階段（章節(jié)、單元、學(xué)期、學(xué)年等）結(jié)束之時，也往往是題型、解題模式為學(xué)生已基本掌握之機，這時不僅要進行知識系統(tǒng)化的復(fù)習(xí)，而且更要注重思維靈活性的訓(xùn)練，這對于不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的能力，有著積極的現(xiàn)實意義。

案例2 解方程 0.2x=3

同一問題，學(xué)生是采取兩邊同除以0.2 還是乘以5 僅僅是手段而已，其目的在于使x 的系數(shù)變?yōu)?。因此兩種方式可認為都是“通法”的活用。

案例3 :已知 ｛2x+3y=3 x-2y=5 求x+y的值。

若分別解出兩個求知數(shù)再進行求和，則做這類型三五題與十題八題是沒有什么差異的。事實上，在學(xué)生對方程組會解（即通法）的基礎(chǔ)上，要轉(zhuǎn)入進行初步的整體思想、方法的滲透，樹立對數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)的洞察和概括意識。事實上，｛2(x+y)+y=3 。(x+y)-3y=5 將視x+y 為一整體求出即可達到目的。

類似地 解方程｛3x-2y=3 xy=3 →｛3x+(-2y)=3 3x(-2y)=-18

將3x 和–2y 視為方程T2-3T-18=0 的兩個根進行求解。

（三）適度解決問題訓(xùn)練與思維靈活性

日常的教學(xué)甚至于部分的公開課中，課堂的大容量、快節(jié)奏的過度技能訓(xùn)練充分彰顯了教師教學(xué)的智慧與“聰明”，極少給乃至不給學(xué)生留有思考余地的現(xiàn)象并非鮮見，學(xué)生對于老師對問題的剖析、講解及結(jié)論的獲得，常不由自主地感嘆“我怎么（簡直）想不到呀” ？“老師怎么想到的” ？這一現(xiàn)象的成因，從教學(xué)方面來看，這是部分教師或是趕進度，或是存在著“多講比少講好”的認識，從學(xué)生學(xué)習(xí)方面來看，學(xué)生習(xí)忙于記筆記、照貓畫虎地進行解題，自己運用觀察、實驗、歸納、類比、聯(lián)想、猜測、試誤等合情推理方法，探索未知所進行的思考，進而來領(lǐng)會數(shù)學(xué)的基本思想的時間較少，在一定程度上喪失了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累過程的機會。對此現(xiàn)象，史寧中教授也認為，“現(xiàn)在，很多中學(xué)提出來，數(shù)學(xué)問題‘一看就會，一做就對’。怎么能這樣呢，不經(jīng)過思考的不是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不是技能訓(xùn)練。一定程度的熟練是必要的，但過分強調(diào)就走向反面?！盵2]

因此，教師要給予學(xué)生一定的時間和思考機會，開展適度的針對性訓(xùn)練是必要的，但要從學(xué)生的實際出發(fā)，把握好一個度，這個度來自于對自己所教班級學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的了解和理解。

（四）通過變式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性

數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是在建構(gòu)主義等理論指導(dǎo)下的教學(xué)。具體而言就是在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，變換問題的條件或形式，而問題的實質(zhì)不改變，或通過引入新條件、新關(guān)系，將所給問題或條件變換成具有新形態(tài)、新性質(zhì)的問題或條件，以達到改善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練學(xué)生思維和提高能力的目的。變式教學(xué)的途徑有著很高的教育價值，同時是一種重要的思想的方法。通過變式可使封閉式問題變?yōu)殚_放式問題；使常規(guī)問題變?yōu)榉浅Ｒ?guī)問題，促使收斂性思維轉(zhuǎn)向發(fā)散思維。變式教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活的培養(yǎng)有著直接而現(xiàn)實的意義和作用。

教材中的例題、習(xí)題、思考題等從不同的角度進行改變條件等等方式的引申、改編，將一個單一性問題變化為多種形式、輻射成具有多種內(nèi)容的問題。此類變式使問題層層深入，有助于學(xué)生的思維靈活性。

案例4:在復(fù)數(shù)集中解方程 X2－4X＋5＝0

筆者以為，在不增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)的前提下，可對此例的要求進行如下內(nèi)容變式教學(xué):

題型1 若方程x2-4x+5=0 的一根為2+i，則另一根是（）；把x^2-4x+5 分解因式結(jié)果為（）

題型2 （a）若方程x2-4x+k=0 的一根為2-i，則實數(shù)k 值為（）

（b）若方程x2+2kx+5=0（k ∈R）的一根是2-i，則k=

（c）若方程2kx2－4x+5=0 的一根為2－i，則實數(shù)k ＝

（d）若方程x2+px+q=0 的一根為2-i，則實數(shù)p 值是: 實數(shù)q 值是:

（此類題可用虛根成對原理與韋達定理求解，也可將根代入求解）

題型3 若方程x2－2x+k=0 的一根是i，則另一根是:

（此類題型學(xué)生易套用虛根成對原理而出錯）

題型4 方程x2－4x ＋k+1=0（其中k ∈R）的一個虛根的模是√5 ，則k值為

題型5 若方程x2-4x+k=0 的有兩個虛根X1 和X2，│X1－X2│＝2，則實數(shù)k=

題型6 兩根為2＋i 與2－i 的最簡一元二次方程是:

此例的變式，是對本章涉及的相關(guān)內(nèi)容的輻射及已學(xué)過知識的靈活應(yīng)用，對于學(xué)生的思維訓(xùn)練起到了積極作用。

各類水平測試中，公式恒等變形后的應(yīng)用、性質(zhì)、定理的等價表述、逆向思維的考查等都屬于內(nèi)容變式，可以說內(nèi)容變式反映了在教學(xué)中要使學(xué)生有相應(yīng)的應(yīng)變能力。

三、結(jié)束語

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，這一工作過程本身對教師的教學(xué)提出了較高的要求。是否能在開放中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，關(guān)鍵是教師的觀念要更新,要給學(xué)生創(chuàng)新求異的機會,要鼓勵學(xué)生敢于與眾不同，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位地靈活思考問題[3]。教師要在教學(xué)實踐中深刻感悟中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法的特征，真正地讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累過程的機會，結(jié)合自身所處教學(xué)環(huán)境條件，不斷創(chuàng)新，超越自我，形成自己所處條件下的一套教學(xué)風(fēng)格，才能使學(xué)生數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)不斷得到優(yōu)化和提升。