惠州市惠陽中山中學(516211) 朱天輝

惠州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院(516007) 王海青

1 基于變式理論的習題課教學結(jié)構(gòu)

變式教學理論是中國數(shù)學教育的特色與智慧結(jié)晶,最早由顧泠沅教授帶領(lǐng)團隊基于“青浦實驗”數(shù)學教學改革成果的凝練[1-6].變式是指教師在教學中有目的有計劃地變換材料的形式,對命題進行適當?shù)臈l件或結(jié)論轉(zhuǎn)化,在變換過程中探究不變的規(guī)律和性質(zhì),從而掌握數(shù)學對象的本質(zhì)屬性.變式教學分為概念性變式和過程性變式兩類,其中過程性變式主要聚焦于問題解決,有層次地推進問題解決的過程中構(gòu)建聯(lián)系緊密富有邏輯的數(shù)學知識體系.

習題課的有效開展有助于促進學生的深度學習,它是對概念和原理的進一步鞏固和深化,是在問題解決的過程中引導學生探究,使之掌握相應的知識與思想方法并學會思考.基于已有的變式教學理論,研究對過程性變式的結(jié)構(gòu)和策略進一步細化,構(gòu)建形成數(shù)學習題課教學的基本結(jié)構(gòu),如圖1.該結(jié)構(gòu)表明,習題課的教學過程可以大致分為兩部分.首先是提出一個有代表性或典型性的問題,為了解決這個問題可能需要通過類比與特殊化的思想將問題變得更為簡單和容易求解,在解決特殊問題的過程中獲得一些特殊的結(jié)論與方法,從而為解決原問題找到方向或思路.原問題得到全面解決后,再運用類比和一般化的思想將之進行拓展推廣,得到變式1、變式2 等問題,為了解決這些新的問題通常又需要經(jīng)過一般到特殊、化未知為已知、化繁為簡的化歸變式不斷向已知的、熟悉的問題靠攏,最后得到一般性的結(jié)論與方法.

圖1

2 對一類圓錐曲線中心弦與準線問題的探討

下面結(jié)合數(shù)學習題課教學的基本結(jié)構(gòu),以一道關(guān)于橢圓中心弦與準線的最值問題為例展開習題課的探究教學,最后得到一類圓錐曲線中心弦與準線問題的解決方法以及一般性結(jié)論,在整個教學探究過程中一直注重數(shù)學思想方法的滲透與強化.

問題1如圖2,橢圓=1 中,A,B分別橢圓的左右頂點,l是橢圓的右準線,點P是橢圓上異于A,B的動點,直線AP、BP分別交l于M,N兩點,求線段MN的最小值.

圖2

(1)常規(guī)思路,順勢求解

分析本題考查圓錐曲線的動點與最值問題,根據(jù)題目的條件學生常會想到以下兩個思路.思路1:直接設P點坐標,再利用直線AP、BP的方程與直線l相交求出M,N兩點坐標,然后根據(jù)兩點間的距離公式及年巴爾干數(shù)學奧林匹克試題,文獻基本不等式求出線段MN的最小值;思路2:設M,N兩點坐標,利用直線MA、NB的交點為P且P在橢圓上的條件進行求解.這兩個思路比較簡單直接但計算較為繁瑣,具體解答如下.

(2)反思過程,優(yōu)化解法

直接從題目的條件看,似乎沒有什么特別隱含的信息.如果將問題條件特殊化,把“橢圓”變?yōu)椤皥A”,其它條件不變,此時AB則變?yōu)閳A的直徑,點為圓上一動點.

顯然,由直徑所對的圓周角是直角這一結(jié)論容易得到,直線AP,BP的斜率之積為一定值-1.于是猜想:如果是橢圓,直線AP,BP的斜率之積也為某一定值.不難證明這個結(jié)論,具體過程如下.

運用這個結(jié)論,上述兩個解法將大大簡化解答過程和減少運算量.

優(yōu)化解法1解題思路與解答過程如下,

優(yōu)化解法2解題思路與解答過程如下,

(3)歸納升華,提煉性質(zhì)

如圖2,點P為橢圓上異于長軸兩端點A,B的動點,則直線AP,BP的斜率之積為一定值.如果線段AB為過橢圓中心的任一條弦,稱之為橢圓的中心弦,如圖3.此時,直線AP,BP的斜率之積是否為一定值? 不難證明,其斜率之積仍為定值.

圖3

性質(zhì)1橢圓=1 中,過橢圓中心的直線交橢圓于A,B兩點,P為橢圓上異于A,B的一動點,則當直線AP,BP斜率存在時,斜率之積為-1+e2.

在歷年的高考數(shù)學中,也有不少考題將橢圓的中心弦融入其中,比如下面這道題.

高考鏈接(2011 年高考江蘇卷第18 題)如圖4,在平面直角坐標系xOy中,M,N分別是橢圓=1 的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中P在第一象限.過P作x軸的垂線,垂足為C.連接AC,并延長交橢圓于點B.設直線PA的斜率為k.對任意k ＞0,求證:PA⊥PB.

圖4

根據(jù)前面的探究和性質(zhì)1,可以對問題1 的條件進行弱化,得到如下更一般的問題2.

問題2如圖5,橢圓=1 中,過橢圓中心的直線l1交橢圓于A,B兩點,l是橢圓的右準線,點P是橢圓上異于A,B的動點,直線AP、BP分別交l于M,N兩點,求線段MN的最小值.

圖5

(4)拓展延伸,變式提升

自然地會提出這樣一個問題,關(guān)于橢圓中心弦的性質(zhì)及其與準線相關(guān)的最值問題,是否也可以類比到雙曲線上? 通過類似的方法探究,同樣可以得到類似的結(jié)論和問題.

性質(zhì)3雙曲線=1 中,過雙曲線中心的直線交雙曲線于A,B兩點,P為雙曲線上異于A,B的一動點,則當直線AP,BP斜率存在時,斜率之積為-1+e2.

3 小結(jié)

習題課的教學應重視圍繞一個問題展開多角度多層次的探討,在一題多解中深入理解問題的本質(zhì).進而通過變式拓展將問題一般化,在這個過程中突出通性通法的講解,得出一般性的方法與結(jié)論,最終引領(lǐng)學生形成整體的數(shù)學知識體系.特別地,習題課的教學應重視解題思路的剖析,將數(shù)學思想方法貫穿始終,關(guān)注數(shù)學思維的培養(yǎng),通過教學教會學生思考發(fā)展核心素養(yǎng).當然,在拓展延伸的過程中應注意結(jié)合學生的實際把握適當?shù)膹V度、深度和難度,比如前面的問題2,一般性的問題對于大部分學生還是有一定困難.但教師應該能站在更高的角度看待這類問題,具備更完善豐富的知識,以便能根據(jù)學生情況高屋建瓴地對問題的條件和結(jié)論進行靈活處理.