許科挺, 毛孟杰
(海曙區(qū)集士港鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué),浙江 寧波 315171)
眾所周知,數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課具有數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、基本技能熟練化、數(shù)學(xué)思想方法外顯化等功能.浙教版《數(shù)學(xué)》教材中的復(fù)習(xí)課大多以“小結(jié)”和“目標(biāo)與評(píng)定”的形式來(lái)呈現(xiàn),其中“小結(jié)”主要羅列本章需要理解、掌握的基本知識(shí)與基本技能,“目標(biāo)與評(píng)定”是以習(xí)題的形式來(lái)評(píng)估學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握程度,以及學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力情況.事實(shí)上,復(fù)習(xí)課還可以用另一種課的形式——“一題一課”來(lái)演繹.“一題一課”就是教師通過(guò)對(duì)一道題或一個(gè)材料的深入研究,挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線(xiàn)索與數(shù)學(xué)本質(zhì),基于學(xué)情,合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng),以達(dá)成多維目標(biāo)的教學(xué)過(guò)程[1].
由此可見(jiàn),“一題一課”是一個(gè)由“題”化“課”、對(duì)教材素材進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程需要教師找出適當(dāng)?shù)牟牧匣蝾}目,通過(guò)改編、組合、加工和延拓,設(shè)計(jì)出一個(gè)彼此相關(guān)的“習(xí)題鏈”,從而達(dá)成學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、基本技能熟練化、思想方法外顯化和綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力等多維目標(biāo).因此,“一題一課”的目標(biāo)能否有效達(dá)成,很大程度上取決于“習(xí)題鏈”的設(shè)計(jì)是否具有針對(duì)性.本文以一道二次函數(shù)的習(xí)題為母題,通過(guò)全方位、多層次的思考與探究,設(shè)計(jì)出一個(gè)可生長(zhǎng)的、涵蓋初中數(shù)學(xué)主要知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題鏈.
例1如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4),求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)A,B的坐標(biāo).
圖1
(答案:y=-x2+2x+3,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).)
功能分析母題是由浙教版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué))九年級(jí)上冊(cè)第一章第3節(jié)“二次函數(shù)的圖像”的一道課后作業(yè)題改編而成.本題的價(jià)值主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn):
1)從代數(shù)角度來(lái)說(shuō),要確定拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,應(yīng)由3個(gè)條件確定,如拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn),或拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)2個(gè)點(diǎn)和它的對(duì)稱(chēng)軸,或拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)和另一點(diǎn).因此,由“拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)和y軸上的一點(diǎn),求其解析式”的問(wèn)題是一道常規(guī)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的方法有一般式、分解式和頂點(diǎn)式3種.根據(jù)題目給出的條件,顯然用一般式和頂點(diǎn)式較為合適,采用待定系數(shù)法列方程(組)來(lái)解決.因此,母題不僅能鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法,還有利于培養(yǎng)學(xué)生的解決問(wèn)題方法的選擇意識(shí),從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.
2)從幾何角度來(lái)說(shuō),題目中“拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)”的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成四邊形,坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)C,A構(gòu)成直角三角形,坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)C,B構(gòu)成等腰直角三角形,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D與點(diǎn)A,B構(gòu)成等腰三角形,整條拋物線(xiàn)是以“拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸”為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形.若讓點(diǎn)或線(xiàn)段分別在拋物線(xiàn)上或拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng),再結(jié)合相關(guān)的一些點(diǎn)和線(xiàn)段,就出現(xiàn)一系列有關(guān)長(zhǎng)度、位置、相似、特殊圖形存在性等問(wèn)題.這就有利于教師在設(shè)計(jì)習(xí)題過(guò)程中,把初中數(shù)學(xué)中的“代數(shù)與幾何”兩個(gè)重要領(lǐng)域有機(jī)融合起來(lái),從而達(dá)到“一題貫通一片”的目的.
生長(zhǎng)1周長(zhǎng)與面積問(wèn)題.
例2如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4).聯(lián)結(jié)AC,CD,BD.
圖2
1)求四邊形ABDC的周長(zhǎng);
2)求四邊形ABDC的面積.
設(shè)計(jì)意圖我們知道,長(zhǎng)度、角度和面積等是平面幾何重要的研究對(duì)象.從求點(diǎn)的坐標(biāo)深入到求圖形的周長(zhǎng)和面積,是母題不斷深化的過(guò)程.學(xué)生在求四邊形ABDC的周長(zhǎng)時(shí),應(yīng)先通過(guò)勾股定理求出線(xiàn)段AC,CD和BD的長(zhǎng)度,體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想;在求四邊形ABDC的面積時(shí),需要把一般四邊形進(jìn)行分割,化成熟悉的直角三角形和直角梯形來(lái)解決,這較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“化歸”思想.而數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)的“本質(zhì)”與“精神”.
生長(zhǎng)2函數(shù)與角度問(wèn)題.
例3如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4).聯(lián)結(jié)BD,在BD上方的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H,PH交BD于點(diǎn)Q,聯(lián)結(jié)PB,PD,BC.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,PQ的長(zhǎng)度為s.
圖3 圖4
1)求s關(guān)于t的函數(shù)解析式;
2)當(dāng)PD∥BC時(shí),求s的值以及∠PBH的正切值.
1)解如圖4,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E,則
即
則
QH=6-2t,
從而
PQ=PH-QH=-t2+2t+3-(6-2t)
=-t2+4t-3,
于是
s=-t2+4t-3(其中1 2)欲求s的值,先求t的值. 方法1如圖4,設(shè)DE與BC交于點(diǎn)M,PH與BC交于點(diǎn)N.由∠BOC=90°,OC=OB=3,知Rt△MEB和Rt△NHB都是等腰直角三角形,則 ME=EB=3-1=2, NH=BH=3-t, 從而 DM=DE-ME=4-2=2, PN=PH-NH=-t2+2t+3-(3-t)=-t2+3t. 由PD∥BC,PN∥DM,得四邊形DMNP是平行四邊形,則 DM=PN, 即 -t2+3t=2, 解得t=1(舍去)或t=2.下略. 方法2由PD∥BC得直線(xiàn)DP的斜率和直線(xiàn)BC的斜率相等,即 解得t=1(舍去)或t=2. 當(dāng)t=2時(shí), s=-t2+4t-3=-22+4×2-3=1, PH=-t2+2t+3=-22+2×2+3=3, BH=3-t=3-2=1, 故 設(shè)計(jì)意圖由BD上方的拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)P,引起PQ,PN,QN和NH等線(xiàn)段長(zhǎng)度的變化,從而使圖形由封閉走向開(kāi)放、從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài).在兩個(gè)變化數(shù)量之間探索彼此相互依存的關(guān)系,這就是數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)思想.在探究s與t的函數(shù)解析式的過(guò)程中,用到銳角三角函數(shù)或相似三角形性質(zhì);在探求“當(dāng)PD∥BC時(shí),求s的值以及∠PBH的正切值”的問(wèn)題中,用到了等腰直角三角形、平行四邊形和直線(xiàn)斜率等性質(zhì).學(xué)生在用圖形的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程中,有利于提升自身的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 生長(zhǎng)3全等與相似問(wèn)題. 例4如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4).設(shè)M是拋物線(xiàn)上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)AC與MB,若△MNB∽△AOC,求點(diǎn)M的坐標(biāo). 圖5 圖6 解由△MNB∽△AOC且∠MNB=∠AOC=90°,得 這樣的點(diǎn)M有4處M1,M2,M3,M4,如圖6所示.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-t2+2t+3. 1)對(duì)于點(diǎn)M1,有 M1N1=3BN1, 即 -t2+2t+3=3(3-t), 解得t=2或t=3(舍去).由 -t2+2t+3=-22+2×2+3=3, 知點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(2,3). 2)對(duì)于點(diǎn)M2,有 M2N2=3BN2, 即 -(-t2+2t+3)=3(3-t), 解得t=-4或t=3(舍去).由 -t2+2t+3=-(-4)2+2×(-4)+3=-21, 知點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(-4,-21). 3)對(duì)于點(diǎn)M3,有 BN3=3M3N3, 即 3-t=3(-t2+2t+3), 4)對(duì)于點(diǎn)M4,有 BN4=3M4N4, 即 3-t=-3(-t2+2t+3), 評(píng)注當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3)時(shí),△MNB≌△AOC. 設(shè)計(jì)意圖三角形相似是平面幾何中一種只要求保角的圖形變換,而三角形全等可看做相似比為1的相似變換,它是一種要求既保角又保距的圖形變換,因此全等與相似是幾何中重要的圖形變換.在探求符合“與已有的Rt△AOC相似的△MNB”的點(diǎn)M坐標(biāo)中,由于涉及兩個(gè)相似三角形直角邊不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系和直角邊MN的不同表示方法,學(xué)生在解題中需要用到“分類(lèi)討論”思想.“分類(lèi)討論”思想不僅是數(shù)學(xué)的本質(zhì),更是學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的一種具體表現(xiàn). 生長(zhǎng)4最值與定值問(wèn)題. 例5如圖7,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4),P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線(xiàn)段PQ=1(點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方).分別聯(lián)結(jié)CP和AQ,求CP+AQ的最小值. 圖7 圖8 解如圖8,過(guò)點(diǎn)Q作QE∥PC交y軸于點(diǎn)E,則 CP=EQ,CE=PQ=1. 聯(lián)結(jié)線(xiàn)段BE交直線(xiàn)m于點(diǎn)G,由于點(diǎn)A,B關(guān)于直線(xiàn)m對(duì)稱(chēng),從而 AQ=BQ, 于是 CP+AQ=EQ+BQ. 欲求CP+AQ的最小值,只需求EQ+BQ的最小值.根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”得:當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí),EQ+BQ的值最小,最小值為線(xiàn)段BE的長(zhǎng)度.由點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),CE=1,得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2),從而 圖9 證明設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),點(diǎn)N(x2,y2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N的直線(xiàn)解析式為 代入y=-x2+2x+3,整理得 由韋達(dá)定理,得 則 所以 生長(zhǎng)5圖形與存在問(wèn)題. 例6如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4),問(wèn):在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸m上是否存在一點(diǎn)P,使△PBD是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖10 圖11 2)若BD=BP,則點(diǎn)P,D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),故t=-4; 3)若PD=PB,則 (4-t)2=(0-t)2+(3-1)2, 引申1把例6中的點(diǎn)P改為在y軸上,把“△PBD是等腰三角形”改成“△PBD是直角三角形”,其他條件不變,問(wèn):這樣的點(diǎn)P是否存在?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明. (答案:如圖12,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3.5)或(0,-1.5)或(0,1)或(0,3),使得△PBD是直角三角形.) 圖12 圖13 引申2在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4),問(wèn):在平面上是否存在一點(diǎn)P,使得以P,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. (答案:如圖13,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-1)或(4,1)或(-2,7),使得以P,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.) 設(shè)計(jì)意圖學(xué)生探究特定圖形是否存在的問(wèn)題,屬于探究性問(wèn)題.它需要一定的構(gòu)造方法,通過(guò)該類(lèi)問(wèn)題的解決能有效地發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).例6和它的兩個(gè)引申分別把所求的點(diǎn)放在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸、y軸和平面上,探究等腰三角形、直角三角形和平行四邊形是否存在的問(wèn)題.學(xué)生解決這些題除了要用到等腰三角形、直角三角形和平行四邊形知識(shí)外,還需要用到圓和線(xiàn)段中垂線(xiàn)的知識(shí),更需要具備分類(lèi)討論思想和幾何直覺(jué)能力. 筆者認(rèn)為,教師要進(jìn)行“一題一課”的習(xí)題設(shè)計(jì),需要注意以下3個(gè)方面. 作為生長(zhǎng)為“習(xí)題鏈”的母題,它的素材主要源自教材中的典型例題、習(xí)題、中考題或?qū)W生熟悉的學(xué)習(xí)與生活背景.這些素材由于較為經(jīng)典或者廣為學(xué)生熟知,素材也較為貼近學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維方式,因此它比較容易激發(fā)學(xué)生的興趣,使學(xué)生進(jìn)入積極參與探究活動(dòng)的心理狀態(tài). 由收集得到的素材改編成為的母題,它應(yīng)該具有習(xí)題的基本功能,比如母題既能有效考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法,又能提升學(xué)生解決問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí);它還應(yīng)該具有潛在的生長(zhǎng)功能,比如,母題由于具有良好的結(jié)構(gòu),因此可以適當(dāng)改變它的條件,去探索結(jié)論的變化,或者給定一些特定的結(jié)論,去探索使結(jié)論成立的條件,或者它與數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域相結(jié)合,在更大的空間中探求問(wèn)題的變化等. 我們認(rèn)為,在將母題設(shè)計(jì)出一個(gè)習(xí)題系列時(shí),一般有以下3種方法:1)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜.當(dāng)母題具有可以深化探究的可能時(shí),設(shè)計(jì)習(xí)題可以從“簡(jiǎn)單到復(fù)雜”.例如,例2是從母題結(jié)論中“拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)”出發(fā),與已知條件中的兩點(diǎn)結(jié)合,設(shè)計(jì)出“探求四邊形的周長(zhǎng)與面積”的問(wèn)題.2)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài).當(dāng)母題條件處于封閉、靜止?fàn)顟B(tài)時(shí),設(shè)計(jì)習(xí)題可以“從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)”.例如,母題中的拋物線(xiàn)、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)、拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等都是靜態(tài)的、確定的,我們?cè)趻佄锞€(xiàn)上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)和在對(duì)稱(chēng)軸上設(shè)置動(dòng)線(xiàn)段,就出現(xiàn)了相應(yīng)線(xiàn)段長(zhǎng)度的變化,從而為探求變量之間的函數(shù)關(guān)系和相關(guān)量的最值問(wèn)題提供了可能.3)從單一到多維.當(dāng)母題條件較為單一時(shí),設(shè)計(jì)習(xí)題可以“從單一到多維”.例如,母題中的條件僅有拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)和其他4個(gè)定點(diǎn),我們可以分別加上“平行”“相似”“等腰三角形”“直角三角形”和“平行四邊形”等元素,使習(xí)題變得更有韻味. 設(shè)計(jì)好一系列習(xí)題后,接下去應(yīng)關(guān)注習(xí)題之間的銜接,使之成為層次分明的“習(xí)題鏈”.習(xí)題之間的銜接,主要是數(shù)學(xué)知識(shí)間的銜接、數(shù)學(xué)思想方法間的銜接和思維層次上的銜接. 習(xí)題鏈設(shè)計(jì)要有針對(duì)性,有利于“一題一課”教學(xué)多維目標(biāo)的達(dá)成.首先,每一道習(xí)題要有主干知識(shí)的考查,促使學(xué)生形成較為完備的數(shù)學(xué)知識(shí)體系;其次,習(xí)題要有重要數(shù)學(xué)思想的滲透,從而彰顯數(shù)學(xué)精神;最后,習(xí)題更要有對(duì)學(xué)生核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng),尤其要突出對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何直觀等方面素養(yǎng)的提升[2].3 3點(diǎn)思考
3.1 注重素材收集,思辨母題功能
3.2 研究習(xí)題生長(zhǎng),關(guān)注題間銜接
3.3 彰顯數(shù)學(xué)精神,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)
中學(xué)教研(數(shù)學(xué))2023年2期