史周晰 趙臨龍

安康學院數學與統(tǒng)計學院 陜西安康 725000

1 問題背景

微分方程是伴隨著微積分創(chuàng)立而誕生的，牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數來求解。后來數學家歐拉、克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

微分方程的起源可追溯到17世紀末，為了解決物理問題、天文學問題，出現了微分方程。數學家曾借助于微分方程從理論上得到了行星運動規(guī)律，從而驗證了德國天文學家開普勒由實驗而得到的推想。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯也曾借助微分方程，在海王星被觀測到之前推算出它的方位。微分方程成為研究自然規(guī)律的強有力的工具。

同時，隨著今天數學建模的興起，微分方程解決實際問題的作用更加凸顯出來。1798年，馬爾薩斯人口增長模型成為利用微分方程研究社會問題的先例。盡管馬爾薩斯人口增長模型較粗糙地研究人口增長(較實際增長過快)，但推動了數學建模的興起，使常微分方程成為研究自然科學和社會科學中的有利工具。

2 解法研究

在《常微分方程》學習檢測中，對于一階微分方程

(xy+1)ydx-xdy=0

(1)

如何求其解，是非常有趣的問題。

通過初等變換，將微分方程(1)化為可以求的微分方程。

2.1 解法1：積分因子公式法

2.2 解法2：積分因子觀察法

2.3 解法3：化為變量可分離方程求解

(2)

(3)

2.4 解法4：化為伯努利方程求解

2.5 解法5：一階線性方程解法

2.6 解法6：常數變易法

(4)

(5)

由此猜想，方程的解的形式為y=xc(x)

xc′(x)+c(x)=c(x)+x2c2(x)

3 推廣探析

將微分方程(2)推廣為：

(6)

代回z=y1-r，t=x1-s

4 解法小結

對于微分方程的解法研究，是一個有趣的問題。首先，它不僅能給出問題的求解，而且還可以將結論進行推廣，獲得新的結果，豐富微分方程的理論。更重要的是，通過一題多解給出不同的解法，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維，提升解決微分方程的能力。

我們在微分方程學習與研究中，一直提倡“學習+研究”的方法，引導學生發(fā)表一系列論文[1-28]，不僅提高學生學習微分方程的積極性，而且成為參考文獻[29]的補充內容，以及參考文獻[30]展示的亮點。

5 成果亮點

學生能力得到極大提升，發(fā)表微分方程論文60余篇(核心期刊2篇)，考取的60名碩士研究生多數發(fā)表論文，成為考研的亮點。

在實踐活動中，針對大學生承擔的國家、省級等創(chuàng)新項目(共12項)完成的微分方程模型論文發(fā)表在核心期刊中，將微分方程融入競賽答題中，在國際和全國數學建模競賽獲得獎項60余項、陜西省“挑戰(zhàn)杯”競賽獎9項，成為學校學風建設的試點學院。

本課程先后被學校評為精品課、示范課、混合改革課等，課程考試改革評為優(yōu)秀等次；2016年《常微分方程》確定為學?？荚嚫母镎n程；2017年確立為校級教學示范課程建設項目；2017年確立為校級混合改革課程；2017年《基于常微分方程課程的“學習+研究”教學模式的構建與實踐》獲得學校教學成果一等獎；2018年該成果入選2018年全國大學數學課程論壇論(論文集：高等教育出版社)；2019年該成果在全國“新工科背景下大學數學及教材建設研討會”報告，并到相關高校做交流報告。2019年《興趣驅動、案例融入、學研結合的常微分方程課程教學改革與實踐》獲得學校教學成果特等獎。2020年《常微分方程》成為省級一流課程。

2001年，輔助教材《常微分方程研究新論》[30]憑借豐富的教學研究成果獲得陜西省教學成果二等獎。同時，以專題講授的方式，通過學習群傳遞老師的發(fā)表論文，引導學生開展學習研究，提升學習和研究能力。

2014年，教材《常微分方程》[29]第三次印刷，教學改革促進教師發(fā)展：2名青年教師晉升副教授，教授成為陜西省級特支人才(教學名師)。