胡鵬龍　梁凱毓

摘? 要：結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，對(duì)2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”相關(guān)試題進(jìn)行解析，并給出典型試題的解題評(píng)析. 對(duì)中考評(píng)價(jià)中需要關(guān)注的重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行變式和分析，研究試題的創(chuàng)新趨勢(shì)，以期對(duì)中考復(fù)習(xí)教學(xué)提供有效幫助.

關(guān)鍵詞：方程與不等式；解題分析；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在初中階段，“方程與不等式”這部分內(nèi)容隸屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，是一類應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，幫助學(xué)生利用數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)模型解決問題，揭示了數(shù)學(xué)中最基本的相等關(guān)系和不等關(guān)系. 這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

“方程與不等式”部分主要包含一元一次方程、分式方程、二元一次方程組、一元二次方程、一元一次不等式和一元一次不等式組等內(nèi)容. 根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）的要求，針對(duì)這部分內(nèi)容，主要從概念、運(yùn)算和應(yīng)用等方面考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的掌握情況，從運(yùn)算能力、推理能力和模型思想等方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 在新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）中，對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)業(yè)要求略有調(diào)整，這會(huì)對(duì)未來本部分內(nèi)容的評(píng)價(jià)趨勢(shì)產(chǎn)生影響. 文章通過匯總2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分的試題，分析這部分內(nèi)容的評(píng)價(jià)方法和趨勢(shì)，進(jìn)而改進(jìn)這部分內(nèi)容的課堂教學(xué)，提升學(xué)科育人價(jià)值.

一、試題特點(diǎn)分析

2022年全國(guó)各地區(qū)中考“方程與不等式”內(nèi)容的考查遵循《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，借鑒《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的理念，從初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)際出發(fā)，關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)，注重能力掌握，突出聯(lián)系實(shí)際. 試題設(shè)置較為新穎，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

1. 注重面向全體，體現(xiàn)試題考查的基礎(chǔ)性

2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分均含有一定比例的基礎(chǔ)題，以考查方程、方程組、不等式、不等式組的解法的試題居多，且方程或不等式中較少出現(xiàn)含有分?jǐn)?shù)系數(shù)的項(xiàng)，計(jì)算的難度不大. 以考查二元一次方程組的解法為例，多數(shù)試題在使用代入消元法解題和使用加減消元法解題的步驟及復(fù)雜程度是相同的，即在解法上沒有傾向性. 在考查一元二次方程的試題中，除考查解法以外，也側(cè)重考查了一元二次方程根的判別式，但也僅是以直接考查為主，并未在計(jì)算的復(fù)雜性和思維的綜合性上做太多文章. 針對(duì)該部分內(nèi)容，試題的設(shè)計(jì)注重通性通法，難度適中，引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)知識(shí).

例1 （浙江·臺(tái)州卷）解方程組：[x+2y=4，x+3y=5.]

目標(biāo)解析：此題主要考查解二元一次方程組，以及學(xué)生的運(yùn)算能力. 解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵.

解法分析：解此題既可以使用代入消元法，也可以使用加減消元法. 例如，可以通過加減消元法消去x，求出y的值，再將y的值代入[x+2y=4]或[x+3y=5]，求出x的值即可得出答案. 原方程組的解為[x=2，y=1.]

試題分析：此題屬于各版本教材中的常見題型. 問題雖然簡(jiǎn)單，但是學(xué)生容易在加減消元的過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤. 為了避免出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重強(qiáng)調(diào)解題的一般方法，注意消元時(shí)兩個(gè)方程的運(yùn)算順序.

類題賞析：（湖北·隨州卷）已知二元一次方程組[x+2y=4，2x+y=5，] 則x - y的值為? ? ? .

【評(píng)析】此題無需解方程組，將兩式相減即可得到答案.

例2 （浙江·溫州卷）若關(guān)于x的方程x2 + 6x + c = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（? ）.

（A）36 （B）-36

（C）9 （D）-9

目標(biāo)解析：此題主要考查根的判別式，以及學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力. 解題的關(guān)鍵是明確一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)Δ = 0.

解法分析：由方程x2 + 6x + c = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可知Δ = 62 - 4c = 0. 由此即可計(jì)算出c的值為9. 故此題選擇C.

試題分析：此題難度不大，但學(xué)生在計(jì)算方程62 - 4c = 0時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤. 教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重強(qiáng)調(diào)解一元一次方程的一般步驟，避免學(xué)生出現(xiàn)移項(xiàng)不變號(hào)或者系數(shù)不化為1等情況.

類題賞析：（山東·濱州卷）一元二次方程2x2 - 5x + 6 = 0的根的情況為（? ）.

（A）無實(shí)數(shù)根

（B）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

（D）不能判定

【評(píng)析】此題雖然與例2的考查方式不同，但都主要考查根的判別式. 解答此類題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的根的情況與根的判別式的關(guān)系.

例3 （江蘇·蘇州卷）解方程：[xx+1+3x=]1.

目標(biāo)解析：此題主要考查解分式方程，以及學(xué)生的運(yùn)算能力. 解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的一般步驟，特別要注意解分式方程必須檢驗(yàn).

解法分析：先將分式方程兩邊同時(shí)乘[xx+1]，化為整式方程[x2+3x+1=xx+1.] 解整式方程，得x[=][-32]，再檢驗(yàn)即可得答案.

試題分析：此題本身不難，但學(xué)生容易忘記驗(yàn)根. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行分析，對(duì)“為什么分式方程必須檢驗(yàn)”進(jìn)行解釋說明，以加深學(xué)生對(duì)分式方程的解法的理解.

類題賞析：江蘇宿遷卷第20題.

2. 注重知識(shí)融合，體現(xiàn)試題考查的綜合性

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》優(yōu)化了課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，指出“以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為統(tǒng)領(lǐng)，基于核心素養(yǎng)發(fā)展要求，遴選重要觀念、主題內(nèi)容和基礎(chǔ)知識(shí)，設(shè)計(jì)課程內(nèi)容，增強(qiáng)內(nèi)容與育人目標(biāo)的聯(lián)系，優(yōu)化內(nèi)容組織形式. 設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動(dòng)課程綜合化實(shí)施，強(qiáng)化實(shí)踐性要求”. 2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間、學(xué)科之間的相互關(guān)聯(lián)，全面考查學(xué)生的綜合素質(zhì). 既有以其他學(xué)科知識(shí)為背景的試題，也有以方程與不等式、方程組與不等式、方程與函數(shù)、方程組與函數(shù)知識(shí)融合的試題，要求學(xué)生能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

例4 （山東·濱州卷）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流I跟導(dǎo)體兩端的電壓U、導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I[=UR]，去分母得IR = U，那么其變形的依據(jù)是（? ）.

（A）等式的性質(zhì)1

（B）等式的性質(zhì)2

（C）分式的基本性質(zhì)

（D）不等式的性質(zhì)2

目標(biāo)解析：此題主要考查等式的基本性質(zhì)，以及學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力. 等式的基本性質(zhì)主要包括如下兩點(diǎn)：（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；（2）等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.

解法分析：將等式I[=UR]去分母，得IR = U. 實(shí)質(zhì)上是在等式的兩邊同時(shí)乘R，用到的是等式的基本性質(zhì)2. 故此題選擇B.

試題分析：此題從數(shù)學(xué)的角度研究導(dǎo)體中的電流I和導(dǎo)體兩端的電壓U、導(dǎo)體的電阻R之間的關(guān)系，既關(guān)注了對(duì)等式性質(zhì)的考查，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的融會(huì)貫通，體現(xiàn)了綜合與實(shí)踐的最新要求. 此題的問題情境來源于物理中的一個(gè)常見公式. 如果學(xué)生對(duì)等式的基本性質(zhì)或者分式的基本性質(zhì)理解不深刻，易錯(cuò)選選項(xiàng)A或選項(xiàng)C. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)，以加深學(xué)生對(duì)等式的基本性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)的理解.

類題賞析：（吉林卷）密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)容器的體積V（單位：m3）變化時(shí)，氣體的密度ρ（單位：kg / m3）隨之變化. 已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖1所示.

（1）求密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式.

（2）當(dāng)V = 10 m3時(shí)，求該氣體的密度ρ.

【評(píng)析】此題與例4均體現(xiàn)了跨學(xué)科（數(shù)學(xué)與物理）之間的融合，問題情境均來源于物理中的常見公式，但此題主要考查函數(shù)知識(shí).

例5 （重慶B卷）關(guān)于x的分式方程[3x-ax-3+x+13-x=]1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組[y+9≤2y+2，2y-a3>1]的解集為y ≥ 5，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（? ）.

（A）13 （B）15

（C）18 （D）20

目標(biāo)解析：此題主要考查分式方程的解、解一元一次不等式組、求一元一次不等式的整數(shù)解，以及學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力. 正確求解分式方程、一元一次不等式組、一元一次不等式是解決問題的關(guān)鍵.

解法分析：此題需要先解分式方程得出x = a - 2. 然后結(jié)合題意和分式方程的意義求出a > 2且a ≠ 5. 解不等式組得出[y≥5，y>a+32.] 結(jié)合題意得出a < 7. 進(jìn)而得出2 < a < 7，且a ≠ 5. 繼而得出所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為3 + 4 + 6 = 13. 故此題選擇A.

試題分析：此題雖然難度較大、綜合性較強(qiáng)，但問題的解決仍然離不開教材中對(duì)解分式方程、解一元一次不等式組、解一元一次不等式等知識(shí)的基本要求. 學(xué)生解題過程中有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：一是容易忽略a ≠ 5，這樣就得到了錯(cuò)解C；二是錯(cuò)誤地認(rèn)為a的值可以是7，這樣就得到了錯(cuò)解D. 要防范學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重強(qiáng)調(diào)解分式方程、解一元一次不等式的基本步驟、基本方法和基本原理，避免學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)掌握得含糊不清、模棱兩可.

類題賞析：重慶A卷第11題.

例6 （四川·瀘州卷）某經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品. 已知購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品2件，B種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品1件，B種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元.

（1）A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格分別是多少？

（2）該經(jīng)銷商計(jì)劃用不超過5 400元購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件，且A種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過B種農(nóng)產(chǎn)品件數(shù)的3倍. 如果該經(jīng)銷商將購(gòu)進(jìn)的農(nóng)產(chǎn)品按照A種每件160元，B種每件200元的價(jià)格全部售出，那么購(gòu)進(jìn)A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品各多少件時(shí)獲利最多？

目標(biāo)解析：此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用和一次函數(shù)的應(yīng)用，以及學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識(shí). 解此題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出利潤(rùn)關(guān)于件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.

解法分析：（1）設(shè)每件A種農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格是x元，每件B種農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格是y元. 根據(jù)“購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品2件，B種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品1件，B種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組[2x+3y=690，x+4y=720.] 解之即可得出A種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格是120元，B種農(nóng)產(chǎn)品每件的價(jià)格是150元.

（2）設(shè)該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)m件A種農(nóng)產(chǎn)品，則購(gòu)進(jìn)[40-m]件B種農(nóng)產(chǎn)品，根據(jù)“總價(jià) = 單價(jià) × 數(shù)量”，結(jié)合購(gòu)進(jìn)A種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過B種農(nóng)產(chǎn)品件數(shù)的3倍且總價(jià)不超過5 400元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組[m≤340-m，120m+15040-m≤5 400.] 解之即可得出m的取值范圍為20 ≤ m ≤ 30.

設(shè)兩種農(nóng)產(chǎn)品全部售出后獲得的總利潤(rùn)為w元，利用“總利潤(rùn) = 每件的銷售利潤(rùn) × 銷售數(shù)量”，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式[w=160-120m+200-150 ·][40-m=-10m+2 000.] 再利用一次函數(shù)的性質(zhì)可知w隨m的增大而減小. 所以當(dāng)m = 20時(shí)，w取得最大值，此時(shí)40 - m = 40 - 20 = 20，即可解決問題.

試題分析：此題以日常生活、生產(chǎn)活動(dòng)中的實(shí)際問題為背景命制，雖然綜合性較強(qiáng)，但問題的解決仍離不開教材中對(duì)二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，以及一次函數(shù)的應(yīng)用的基本要求. 學(xué)生在解題過程中可能會(huì)遇到兩個(gè)問題：一是不知道怎樣找等量關(guān)系；二是不知道怎樣列函數(shù)關(guān)系式. 為了解決這兩個(gè)問題，建議教師在教學(xué)過程中幫助學(xué)生明確找等量關(guān)系、列函數(shù)關(guān)系式的基本方法，助力學(xué)生理解到位.

類題賞析：四川廣元卷第23題.

3. 注重聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)試題考查的應(yīng)用性

我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)有過這樣精辟的論述：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個(gè)方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn).《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出：關(guān)注社會(huì)生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)；在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，能夠克服困難，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，欣賞并嘗試創(chuàng)造數(shù)學(xué)美；養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從學(xué)生的生活背景和已有生活體驗(yàn)出發(fā)，聯(lián)系生活教數(shù)學(xué)，把生活問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題生活化. 2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中的“方程與不等式”試題也不乏以日常生活、生產(chǎn)活動(dòng)中的實(shí)際問題為背景的試題，注重結(jié)合當(dāng)?shù)氐纳顚?shí)際和文化特色，引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

例7 （重慶B卷）學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生參加義務(wù)植樹，第一年共植樹400棵，第三年共植樹625棵. 設(shè)該校植樹棵數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（? ）.

（A） [6251-x2=400]

（B） [4001+x2=625]

（C）625x2 = 400

（D）400x2 = 625

目標(biāo)解析：此題主要考查列一元二次方程解決實(shí)際問題，以及學(xué)生的推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識(shí). 讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是解決此題的關(guān)鍵.

解法分析：根據(jù)“第三年的植樹量 = 第一年的植樹量 × （1 + 年平均增長(zhǎng)率）2”，把相關(guān)數(shù)值代入即可得[4001+x2=625.] 故此題選擇B.

試題分析：此題關(guān)注了社會(huì)生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，難度不大. 但學(xué)生如果對(duì)年平均增長(zhǎng)率的理解不到位，就容易選擇錯(cuò)誤選項(xiàng). 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)年平均增長(zhǎng)率的理解.

類題賞析：重慶A卷第8題.

例8 （山東·泰安卷）泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購(gòu)進(jìn)了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費(fèi)6 000元；第二次購(gòu)進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%，該店又購(gòu)進(jìn)了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費(fèi)5 100元. 求第一次購(gòu)進(jìn)的A，B兩種茶每盒的價(jià)格.

目標(biāo)解析：此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，以及學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識(shí). 找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

解法分析：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)A種茶的價(jià)格為x元 / 盒，購(gòu)進(jìn)B種茶的價(jià)格為y元 / 盒. 利用“總價(jià) = 單價(jià) × 數(shù)量”，即可以得到關(guān)于x，y的二元一次方程組[30x+20y=6 000，20×1+20%x+15×1+20%y=5 100.] 解之即可得出第一次購(gòu)進(jìn)A種茶的價(jià)格為100元 / 盒，B種茶的價(jià)格為150元 / 盒.

試題分析：此題以泰安本地的生活實(shí)際為背景進(jìn)行命制，體現(xiàn)了很強(qiáng)的地域文化特色，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中對(duì)家鄉(xiāng)的文化有更多的了解，理論聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)家鄉(xiāng)的自豪感，滲透了德育教育. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生明確找等量關(guān)系的基本方法，助力學(xué)生理解到位.

類題賞析：浙江舟山卷第8題.

例9 （四川·樂山卷）第十四屆四川省運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2022年8月8日在樂山市舉辦. 為保證省運(yùn)會(huì)期間各場(chǎng)館用電設(shè)施的正常運(yùn)行，市供電局為此進(jìn)行了電力搶修演練. 現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千米遠(yuǎn)的市體育館進(jìn)行電力搶修. 維修工人騎摩托車先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)體育館. 已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度.

目標(biāo)解析：此題主要考查分式方程的應(yīng)用，以及學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識(shí). 找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

解法分析：設(shè)摩托車的速度為x千米 / 時(shí)，則搶修車的速度為1.5x千米 / 時(shí). 根據(jù)“時(shí)間 = 路程 ÷ 速度”，結(jié)合騎摩托車的維修工人比乘坐搶修車的工人多用10分鐘到達(dá)，即可得出關(guān)于x的分式方程[20x-201.5x=][1060]. 解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出摩托車的速度為40千米 / 時(shí).

試題分析：此題同樣體現(xiàn)了很強(qiáng)的地域特色，素材來源于樂山當(dāng)?shù)氐膶?shí)際背景，滲透了德育教育. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生明確“為什么列分式方程解應(yīng)用題要雙重檢驗(yàn)”，助力學(xué)生理解到位.

類題賞析：吉林長(zhǎng)春卷第17題.

4. 注重創(chuàng)新思維，體現(xiàn)試題考查的創(chuàng)新性

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，初中階段核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一就是創(chuàng)新意識(shí). 創(chuàng)新意識(shí)主要是指主動(dòng)嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題. 初步學(xué)會(huì)通過具體的實(shí)例，運(yùn)用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗(yàn)證；勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題. 創(chuàng)新意識(shí)有助于形成獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度與理性精神. 而中考命題中的創(chuàng)新會(huì)給學(xué)生的發(fā)展以方向性的引導(dǎo)，通過創(chuàng)新性試題引導(dǎo)教師注重提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生切合實(shí)際的創(chuàng)新性思維. 2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分的一些試題通過設(shè)置新穎的呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式，合理創(chuàng)設(shè)情境，有效促進(jìn)學(xué)生積極思考、學(xué)以致用.

例10 （四川·樂山卷）如果一個(gè)矩形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優(yōu)美矩形”. 如圖2所示，“優(yōu)美矩形”ABCD的周長(zhǎng)為26，則正方形d的邊長(zhǎng)為? ? ? .

目標(biāo)解析：此題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，以及學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識(shí)，兼顧幾何直觀. 找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

解法分析：設(shè)正方形b的邊長(zhǎng)為x，則正方形a的邊長(zhǎng)為2x，正方形c的邊長(zhǎng)為3x，正方形d的邊長(zhǎng)為5x. 利用矩形的周長(zhǎng)計(jì)算公式，即可得出關(guān)于x的一元一次方程[3x+5x+5x×2=26.] 解之即可求出x = 1. 從而得出正方形d的邊長(zhǎng)為5.

試題分析：此題設(shè)置了一個(gè)較為新穎的試題呈現(xiàn)方式，新定義了一個(gè)“優(yōu)美矩形”，看似無從下手，但其實(shí)質(zhì)是考查一元一次方程的應(yīng)用. 只需找準(zhǔn)等量關(guān)系，即可解決問題. 教師在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材中的基礎(chǔ)知識(shí)，找到試題與教材知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法解題.

類題賞析：（浙江·寧波卷）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b[=1a+1b]. 若（x + 1）?x =[2x+1x]，則x的值為? ? ? ? .

【評(píng)析】此題同樣以新定義的方式設(shè)置了一道較為新穎的試題. 不同的是，此題定義了一種新運(yùn)算，但其實(shí)質(zhì)是考查解分式方程. 只需根據(jù)新定義列出分式方程并解出未知數(shù)的值即可解決問題.

二、優(yōu)秀試題分析

2022年中考諸多“方程與不等式”試題立意明確、背景新穎、選材精當(dāng)、設(shè)問靈活、層次清晰，且實(shí)測(cè)難度合適，區(qū)分度優(yōu)秀，較好地實(shí)現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)“選拔、評(píng)價(jià)、引導(dǎo)、反撥”一體化的測(cè)評(píng)功能，反映了中考數(shù)學(xué)的命題方向.

例11 （吉林·長(zhǎng)春卷）不等式x + 2 > 3的解集是（? ? ）.

（A）x < 1 （B）x < 5

（C）x > 1 （D）x > 5

目標(biāo)解析：此題主要考查解一元一次不等式，以及學(xué)生的運(yùn)算能力. 熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

解法分析：直接移項(xiàng)解一元一次不等式即可. 此題選擇C.

試題分析：此題要求學(xué)生能夠運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式. 試題雖然簡(jiǎn)單，但是學(xué)生答題過程中既要知道移項(xiàng)需要變號(hào)，又要清楚不等號(hào)的方向什么時(shí)候需要改變，不失為一道好題.

類題賞析：（湖南·衡陽卷）不等式組[x+2≥1，2x

（A）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（B） [-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（C）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（D）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

【評(píng)析】此題除了要求學(xué)生能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式以外，還要求學(xué)生能在數(shù)軸上表示出解集．具體來講，就是解兩個(gè)不等式，然后把每個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．

例12 （四川·涼山州卷）解方程：x2 - 2x - 3 = 0.

目標(biāo)解析：此題主要考查解一元二次方程，以及學(xué)生的運(yùn)算能力. 熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

解法分析：通過觀察方程形式，可用配方法、公式法、因式分解法中的任意一種方法進(jìn)行解答（此題方程左側(cè)的多項(xiàng)式可用十字相乘法因式分解，《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中對(duì)此方法未做必會(huì)要求）. 例如，此題可以采用配方法，由x2 - 2x - 3 = 0，得到x2 - 2x + 1 = 3 + 1. 從而得到[x-12=4]. 解得[x1=-1，x2=3．]

試題分析：此題雖然簡(jiǎn)單，但無論采用哪種方法解題都不會(huì)在解題的復(fù)雜性上有太大區(qū)別，體現(xiàn)了解法上的公平性.

類題賞析：（天津卷）方程x2 + 4x + 3 = 0的兩個(gè)根為（? ? ）.

（A）x1 = 1，x2 = 3 （B）x1 = -1，x2 = 3

（C）x1 = 1，x2 = -3 （D）x1 = -1，x2 = -3

【評(píng)析】此題以選擇題的形式呈現(xiàn)，除了直接解方程外，也可以充分利用選擇題選項(xiàng)的提示功能，將選項(xiàng)依次代入方程得到答案．

例13 （江蘇·揚(yáng)州卷）某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計(jì)劃由八年級(jí)（1）班的4個(gè)小組制作360面彩旗，后因1個(gè)小組另有任務(wù)，其余3個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做3面彩旗才能完成任務(wù). 如果這4個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名？

目標(biāo)解析：此題考查學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識(shí). 要求學(xué)生能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，找等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵和難點(diǎn).

解法分析：此題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出分式方程是解決問題的關(guān)鍵. 設(shè)每個(gè)小組有x名學(xué)生，由題意，得[3603x-3604x=3]. 解得x = 10. 檢驗(yàn)后即可得出答案．

試題分析：此題與一般分式方程應(yīng)用題相比稍顯復(fù)雜，但尋求等量關(guān)系離不開教材中的常見方法. 需要注意的是：此題不僅要解分式方程并檢驗(yàn)，還要根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理，即需要雙重檢驗(yàn).

類題賞析：四川自貢卷第21題．

例14 （吉林卷）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛. 1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒x斛、1個(gè)小桶可以盛酒y斛. 根據(jù)題意，可列方程組為? ? ? ? ? ? ? ? ?.

目標(biāo)解析：此題考查學(xué)生的推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識(shí)，要求學(xué)生能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程組. 找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn).

解法分析：此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二元一次方程組是解決問題的關(guān)鍵. 1個(gè)大桶可以盛酒x斛、1個(gè)小桶可以盛酒y斛，根據(jù)題意，可列方程組為[5x+y=3，x+5y=2.]

試題分析：此題來源于人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第八章“二元一次方程組”復(fù)習(xí)題第8題. 問題背景取材于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載的典故，引用了體現(xiàn)中國(guó)數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)的素材，反映了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就，注重了情境素材的育人功能，增強(qiáng)了學(xué)生的文化自信和民族自豪感，同時(shí)很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的傳承與創(chuàng)新.

類題賞析：（浙江·紹興卷）元朝朱世杰的《算學(xué)啟蒙》一書記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之．”其題意為：“良馬每天行240里，劣馬每天行150里，劣馬先行12天，良馬要幾天追上劣馬？”答：良馬追上劣馬需要的天數(shù)是? ? ? ?.

【評(píng)析】此題不僅要求學(xué)生能列出方程，還要解方程，并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理．

以上試題中，例11和例12是基礎(chǔ)題，考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，注重面向全體學(xué)生，兼顧不同層次的學(xué)生，可以客觀、公正地評(píng)價(jià)每名學(xué)生的學(xué)習(xí)水平；例13改編于教材中的習(xí)題，例14更是教材中的原題．由以上例題可以看出，2022年中考“方程與不等式”試題的命制注重對(duì)核心知識(shí)與能力，以及過程與方法的考查，盡可能體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，試題內(nèi)容考查要求及呈現(xiàn)方式力爭(zhēng)符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律；重視對(duì)基礎(chǔ)題的考查，重視試題與教材的銜接與關(guān)聯(lián). 因此，教師在教學(xué)中要逐漸增加教材選題或以教材中的問題作為生長(zhǎng)點(diǎn)變式編題的數(shù)量，將教材中的閱讀與思考和數(shù)學(xué)活動(dòng)等內(nèi)容作為編題素材，即注重基礎(chǔ)、重視教材．

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)，未雨綢繆

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》刪除了《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中小學(xué)階段方程的部分，加強(qiáng)了對(duì)用字母表達(dá)數(shù)量關(guān)系的要求，將小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容整合為“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”，注重在小學(xué)階段的算術(shù)教學(xué)中滲透代數(shù)思維；初中階段增加了“了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”，并要求了解代數(shù)推理. 這些變化呈現(xiàn)出一個(gè)明顯特征：以學(xué)科內(nèi)容為核心，實(shí)現(xiàn)對(duì)小學(xué)與初中內(nèi)容的整體理解. 初中教師應(yīng)該關(guān)注這一導(dǎo)向，調(diào)整以往的教學(xué)思路，制訂符合《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的教學(xué)方案，加大對(duì)初中方程知識(shí)的教學(xué)力度.

2. 回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

中考試題注重對(duì)學(xué)生將來學(xué)習(xí)和生活中不可或缺的知識(shí)、能力和素養(yǎng)的考查. 無論試題以什么形式出現(xiàn)，都不會(huì)脫離數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最本質(zhì)的核心知識(shí)，而核心知識(shí)都來源于教材，因此教學(xué)最終應(yīng)回歸教材，極盡夯實(shí)基礎(chǔ). 只有根基足夠深厚，才能枝繁葉茂.

綜觀2022年全國(guó)各地區(qū)中考“方程與不等式”試題，較少出現(xiàn)單獨(dú)考查一元一次方程解法的試題，以考查二元一次方程組、分式方程、一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次方程解法的試題居多. 但仔細(xì)思考會(huì)發(fā)現(xiàn)：解二元一次方程組需要通過消元化為一元一次方程；解一元二次方程需要通過降次化為一元一次方程；解分式方程也需要通過“去分母”轉(zhuǎn)化為一元一次方程；解一元一次不等式需要遵循解一元一次方程的基本步驟，即去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1. 綜上，以上方程（組）或不等式（組）的解法，均需要從一元一次方程的解法出發(fā)，即一元一次方程的解法仍然是教學(xué)的核心，需要引起重視.

3. 梳理知識(shí)，形成網(wǎng)絡(luò)

以“方程和不等式”這部分內(nèi)容為例，其各知識(shí)點(diǎn)之間不是孤立的，而是處于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中. 通過前面的例題可以看到，中考中不乏有將方程（組）與不等式結(jié)合、方程（組）與函數(shù)結(jié)合進(jìn)行考查的試題. 因此，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中形成具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

綜觀2022年中考“方程和不等式”試題，單獨(dú)考查一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元一次不等式和一元一次不等式組時(shí)，主要以概念、運(yùn)算和應(yīng)用檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)方程與不等式內(nèi)容相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的掌握情況，以及學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而一元二次方程除上述內(nèi)容外，還要求學(xué)生會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等. 因此，對(duì)于“方程與不等式”內(nèi)容，建議抓住“概念—等式（不等式）的基本性質(zhì)—解法—應(yīng)用”這一主線進(jìn)行教學(xué). 在一次函數(shù)的教學(xué)中，需要將其與二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式建立聯(lián)系；在反比例函數(shù)的教學(xué)中，需要將其與分式方程建立聯(lián)系；在二次函數(shù)的教學(xué)中，需要將其與一元二次方程建立聯(lián)系（高中階段還會(huì)與一元二次不等式建立聯(lián)系）. 學(xué)生只有厘清這些知識(shí)之間的聯(lián)系，才能將頭腦中碎片化的知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.

4. 關(guān)注“文化”，聯(lián)系生活

中華文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng).《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確指出：注重情境素材的育人功能，如體現(xiàn)中國(guó)數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)的素材，幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨(dú)特的數(shù)學(xué)智慧，增強(qiáng)文化自信和民族自豪感. 在2022年全國(guó)各地區(qū)中考“方程與不等式”試題中，出現(xiàn)了很多以中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化為背景的試題，需要引起注意.

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：注重情境的多樣化，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界的廣泛應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值. 因此，中考試題的命制會(huì)關(guān)注與國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展，科學(xué)技術(shù)進(jìn)步，生產(chǎn)、生活實(shí)際等緊密相關(guān)的內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)避免與之脫節(jié). 生活中的許多事情都與數(shù)學(xué)知識(shí)有著千絲萬縷的聯(lián)系，它們貌不相似，神卻相通. 因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該多挖掘生活內(nèi)容，將數(shù)學(xué)與生活實(shí)際結(jié)合起來，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題.

5. 聚焦素養(yǎng)，勇于創(chuàng)新

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 教師在教學(xué)中應(yīng)該注意制訂指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)，選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式，進(jìn)一步加強(qiáng)綜合與實(shí)踐，改進(jìn)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí). 預(yù)計(jì)未來的中考數(shù)學(xué)試題命制仍會(huì)將“堅(jiān)持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向”作為首要原則，逐漸加大考查學(xué)生探索新方法、積極主動(dòng)解決問題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生勇于擺脫思維定式，創(chuàng)新問題的設(shè)問及考查方式，靈活多變，形成對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效考查. 教師在教學(xué)中應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)散思維，勇于擺脫思維定式的束縛，不斷創(chuàng)新.

四、典型模擬題

1. 若[m]，[n]是方程[x2-2 022x+1=0]的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則[m2n+mn2]的值為? ? ? .

答案：2 022.

【評(píng)析】此題要求學(xué)生結(jié)合因式分解和一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系來解決問題，注重知識(shí)之間的融合，體現(xiàn)了試題考查的綜合性.

2. 俄羅斯當(dāng)?shù)貢r(shí)間2022年2月4日，俄羅斯天然氣工業(yè)股份公司發(fā)布了一份聲明，宣布俄氣公司每年向中國(guó)供應(yīng)天然氣480億立方米. 若自2022年起，俄氣公司供應(yīng)的天然氣逐年增加，2024年達(dá)到580.8億立方米. 那么，這兩年俄氣公司向中國(guó)供應(yīng)天然氣的年平均增長(zhǎng)率是多少？

答案：[10%].

【評(píng)析】此題以實(shí)際問題為背景，體現(xiàn)了試題考查的應(yīng)用性，注重引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

3. 已知兩個(gè)方程組[x+y=5，ax+by=8]和[x-3y=1，2ax+3by=15]的解相同，求[a]，[b]的值.

答案：[a=94，] [b=-1].

【評(píng)析】此題的實(shí)質(zhì)是要求學(xué)生解方程組，但需要學(xué)生對(duì)“方程組的解”有較深的理解. 教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考、學(xué)以致用，體現(xiàn)了試題考查的創(chuàng)新性.

方程與不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，是解決數(shù)學(xué)問題和生活實(shí)際問題的有力工具，也是中考考查的重要內(nèi)容. 通過以上的解題分析，我們可以得到以下的思考啟示：立足基礎(chǔ)，注重能力，聚焦素養(yǎng)，勇于創(chuàng)新.

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基金項(xiàng)目：吉林省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度一般課題——初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)的成因及應(yīng)對(duì)策略的研究（GH22687）；

吉林省教育學(xué)院2022年度院級(jí)一般課題——“雙減”背景下初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試評(píng)價(jià)研究與實(shí)踐（JL2022Y16）.

作者簡(jiǎn)介：胡鵬龍（1982— ），男，二級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)和考試評(píng)價(jià)研究；

梁凱毓（1980— ），男，講師，博士研究生，主要從事教育測(cè)量與評(píng)價(jià)和數(shù)學(xué)教學(xué)研究.