谷曉凱　張海營(yíng)

摘? 要：在對(duì)2022年全國(guó)各地區(qū)100余份中考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行綜合分析的基礎(chǔ)上，將“數(shù)與式”部分的試題特點(diǎn)概括為重視基礎(chǔ)、聚焦能力、指向素養(yǎng). 針對(duì)2022年中考“數(shù)與式”部分的試題特點(diǎn)，精選了8道典型試題，重點(diǎn)圍繞試題考查內(nèi)容和解題思路進(jìn)行剖析. 在此基礎(chǔ)上，提出了三點(diǎn)具有方向性的中考復(fù)習(xí)建議，并給出了5道模擬題.

關(guān)鍵詞：重視基礎(chǔ)；聚焦能力；指向素養(yǎng)；中考試題

2022年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷的命制，恰逢《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）正式頒布之際. 雖然2022年的中考試題仍然要依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的內(nèi)容要求進(jìn)行命制，但是《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的“素養(yǎng)立意”的命題理念已經(jīng)滲透在各地區(qū)的中考試卷中，“數(shù)與式”部分的試題也不例外. 具體來(lái)看，兩版課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“數(shù)與式”部分的內(nèi)容要求變化不大（《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中增加了“了解代數(shù)推理”的內(nèi)容），主要內(nèi)容包括有理數(shù)、實(shí)數(shù)、整式和分式的相關(guān)概念和性質(zhì)，數(shù)與式的基本運(yùn)算，因式分解等. 從能力和素養(yǎng)層面來(lái)看，本部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力和抽象能力有較高要求，同時(shí)對(duì)學(xué)生的推理能力、幾何直觀(guān)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)也有一定的要求. 通過(guò)對(duì)2022年全國(guó)各地區(qū)中考試題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)“數(shù)與式”部分的試題體現(xiàn)出重視基礎(chǔ)、聚焦能力、指向素養(yǎng)的特點(diǎn). 下面對(duì)2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“數(shù)與式”部分的試題從解題角度進(jìn)行歸納分析，在此基礎(chǔ)上提出復(fù)習(xí)備考建議，并給出模擬題.

一、試題特點(diǎn)分析

1. 重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查

“數(shù)與式”部分的內(nèi)容是繼續(xù)學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ). 2022年中考“數(shù)與式”部分的試題高度重視對(duì)數(shù)與式的核心概念和基本原理的考查.

（1）考查核心概念.

“數(shù)與式”部分的概念較多，2022年中考相關(guān)試題主要圍繞相反數(shù)、數(shù)軸、絕對(duì)值、二次根式等核心概念進(jìn)行了重點(diǎn)考查. 例如，福建卷第1題、內(nèi)蒙古鄂爾多斯卷第1題和內(nèi)蒙古包頭卷第2題等分別從不同角度考查了相反數(shù)的概念. 對(duì)數(shù)軸概念的考查，注重與其他知識(shí)相結(jié)合，如北京卷第4題與實(shí)數(shù)結(jié)合，四川資陽(yáng)卷第6題與無(wú)理數(shù)的估計(jì)相結(jié)合等. 廣東卷第1題和湖北黃石卷第1題等考查了絕對(duì)值的概念. 對(duì)于二次根式概念，主要考查了二次根式有意義的條件，如云南卷第13題、青海卷第10題等.

（2）考查基本原理.

“數(shù)與式”部分的基本原理主要包括數(shù)與式的運(yùn)算法則、科學(xué)記數(shù)法、冪的運(yùn)算性質(zhì)、分式的性質(zhì)、乘法公式、因式分解等. 其中，運(yùn)算法則和分式的性質(zhì)主要通過(guò)設(shè)置相關(guān)數(shù)與式的運(yùn)算試題來(lái)考查；科學(xué)記數(shù)法是大多數(shù)試卷都會(huì)考查的內(nèi)容，此類(lèi)試題一般會(huì)設(shè)置豐富多彩的情境，如四川宜賓卷第6題以我國(guó)航天事業(yè)取得的成就為背景考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大數(shù)，山東青島卷第1題以我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化為背景考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)；冪的運(yùn)算性質(zhì)一般設(shè)置為選擇題，把多個(gè)性質(zhì)分布在每個(gè)選項(xiàng)中進(jìn)行綜合考查，如遼寧撫順卷第3題，而四川巴中卷第3題更是把冪的運(yùn)算性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查；對(duì)乘法公式和因式分解的考查通常是運(yùn)用公式進(jìn)行代數(shù)式的運(yùn)算，如江蘇鹽城卷第19題在整式的化簡(jiǎn)中綜合考查了平方差公式和完全平方公式，廣東深圳卷第17題在分式化簡(jiǎn)中綜合考查了提公因式法和公式法分解因式等.

2. 聚焦對(duì)關(guān)鍵能力的考查

核心素養(yǎng)在初中階段的九個(gè)主要表現(xiàn)中，與“數(shù)與式”部分關(guān)系較為密切的主要有運(yùn)算能力、抽象能力、推理能力、幾何直觀(guān)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí). 2022年全國(guó)各地區(qū)中考“數(shù)與式”試題主要聚焦于對(duì)運(yùn)算能力、抽象能力和推理能力的考查.

（1）考查運(yùn)算能力.

運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力. 初中階段的運(yùn)算內(nèi)容主要分布在數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)中，但“數(shù)與式”部分的運(yùn)算是基礎(chǔ). 因此，中考試題在“數(shù)與式”部分首先突出對(duì)運(yùn)算能力的考查. 例如，山東煙臺(tái)卷第14題以“24點(diǎn)”游戲?yàn)楸尘?，考查了有理?shù)的混合運(yùn)算；北京卷第17題以解答題的形式考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算；內(nèi)蒙古赤峰卷第11題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，并滲透了整體思想；而遼寧鞍山卷第17題考查的分式化簡(jiǎn)求值類(lèi)題目，更是各地中考試題在“數(shù)與式”部分最常設(shè)置的題型.

（2）考查抽象能力.

初中階段的抽象能力主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、關(guān)系與方法的抽象上. 對(duì)“數(shù)與式”部分相關(guān)概念的獲得和運(yùn)算法則的總結(jié)，能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，提高學(xué)生的抽象能力. 因此，對(duì)抽象能力的考查也是本部分試題的應(yīng)有之義. 例如，云南卷第2題考查了正負(fù)數(shù)的意義，貴州六盤(pán)水卷第18題考查了列代數(shù)式，山東煙臺(tái)卷第13題考查了學(xué)生從“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”中獲得運(yùn)算程序的抽象能力.

（3）考查推理能力.

幾何課程是訓(xùn)練推理與證明能力的主要途徑，而代數(shù)課程在訓(xùn)練代數(shù)推理能力方面也起著不可替代的作用. 隨著《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》增加了代數(shù)推理的內(nèi)容，一些中考試卷設(shè)置了考查代數(shù)推理能力的試題，如河北卷第22題、重慶A卷第23題、浙江嘉興卷第19題等.

3. 指向?qū)诵乃仞B(yǎng)的考查

2022年全國(guó)各地區(qū)中考“數(shù)與式”部分的試題普遍體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求. 具體表現(xiàn)為：（1）注重問(wèn)題情境的設(shè)置，如江蘇鎮(zhèn)江卷第10題以“地形對(duì)氣溫的影響”為情境考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，四川達(dá)州卷第15題以“黃金比”為情境考查二次根式和分式的運(yùn)算，湖南長(zhǎng)沙卷第16題以“二維碼”為情境考查乘方的意義、冪的性質(zhì)等內(nèi)容；（2）設(shè)置探究性試題，如山東泰安卷第17題考查數(shù)字的變化規(guī)律，安徽卷第18題給出系列等式讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并進(jìn)行表達(dá)和證明，重慶A卷第6題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的規(guī)律；（3）體現(xiàn)對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的考查，如江西卷第14題考查分式混合運(yùn)算的過(guò)程，青海西寧卷第26題考查對(duì)因式分解的即時(shí)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程；（4）設(shè)置跨學(xué)科試題，如浙江杭州卷第6題考查了利用分式的加、減運(yùn)算對(duì)物理公式進(jìn)行變形，江西卷第4題以化學(xué)知識(shí)為背景進(jìn)行命制，湖北鄂州卷第6題以生物學(xué)知識(shí)為背景進(jìn)行命制.

二、優(yōu)秀試題分析

1. 數(shù)的相關(guān)概念

例1 （內(nèi)蒙古·鄂爾多斯卷）如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是（ ? ）.

目標(biāo)解析：此題主要考查相反數(shù)和數(shù)軸的概念，要求能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，借助數(shù)軸理解相反數(shù)的意義，并掌握求有理數(shù)相反數(shù)的方法. 此題把相反數(shù)和數(shù)軸相結(jié)合，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查，對(duì)學(xué)生的抽象能力有一定的要求.

解法分析：需要先根據(jù)數(shù)軸確定點(diǎn)A表示的數(shù)是-2. 在確定-2的相反數(shù)時(shí)，既可以根據(jù)相反數(shù)的定義（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)），確定答案為2，也可以借助數(shù)軸，根據(jù)-2關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為2，得出答案選C.

試題分析：此題取材于人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“人教版教材”）七年級(jí)上冊(cè)“1.2.3 相反數(shù)”的內(nèi)容. 相反數(shù)的概念是歷年來(lái)各地中考經(jīng)?？疾榈母拍睿ǔＪ菑摹皵?shù)”的角度根據(jù)定義進(jìn)行考查. 此題把相反數(shù)和數(shù)軸相結(jié)合，突出了從“形”的角度進(jìn)行考查，從而賦予了試題更豐富的內(nèi)涵.

類(lèi)題賞析：（內(nèi)蒙古·包頭卷）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a + 3b - 4c的值為（ ? ）.

【評(píng)析】該題把相反數(shù)、倒數(shù)和整式求值問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，從“運(yùn)算”的角度突出對(duì)相反數(shù)的考查，即互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.

2. 數(shù)與式的性質(zhì)

例2 （四川·巴中卷）下列運(yùn)算正確的是（ ? ）.

目標(biāo)解析：此題主要考查冪的運(yùn)算性質(zhì)、二次根式性質(zhì)和負(fù)指數(shù)冪的意義，要求了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)，了解二次根式的概念和性質(zhì). 試題把多個(gè)知識(shí)點(diǎn)設(shè)置在四個(gè)選項(xiàng)中，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查.

解法分析：根據(jù)冪的乘方性質(zhì)可以直接得出答案選C；也可以用排除法，根據(jù)二次根式和負(fù)指數(shù)冪的意義排除掉選項(xiàng)A和選項(xiàng)B，再根據(jù)同底數(shù)冪相除的性質(zhì)排除選項(xiàng)D，從而得出答案C.

試題分析：此題把教材中考查相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的題目以選擇題的形式進(jìn)行了整合，符合中考試題要體現(xiàn)對(duì)知識(shí)綜合考查的要求. 學(xué)生常因?qū)ο嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)遺忘或掌握不牢固而出錯(cuò)，這就要求在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，不能停留在簡(jiǎn)單識(shí)記的層面，而應(yīng)深入挖掘知識(shí)的本質(zhì)，明確知識(shí)的來(lái)龍去脈. 例如，解答此題時(shí)，學(xué)生即使遺忘了冪的運(yùn)算性質(zhì)，也可以根據(jù)乘方的意義得出正確答案.

類(lèi)題賞析：（山東·棗莊卷）下列運(yùn)算正確的是（ ? ）.

（A）3a2 - a2 = 3

（B）a3 ÷ a2 = a

（C）（-3ab2）2 = -6a2b4

（D）（a + b）2 = a2 + ab + b2

【評(píng)析】此題是把冪的基本性質(zhì)、合并同類(lèi)項(xiàng)和乘法公式結(jié)合起來(lái)進(jìn)行了綜合考查.

3. 數(shù)的運(yùn)算

例3 （山東·煙臺(tái)卷）小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲. 游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌上的數(shù)字只能用一次），使得運(yùn)算結(jié)果等于24. 小明抽到的牌如圖2所示，試幫小明列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式 ? ? ? ? ? .

目標(biāo)解析：此題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，要求掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，指向?qū)\(yùn)算能力的考查. 試題設(shè)置為根據(jù)游戲規(guī)則列出算式，要求能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，指向?qū)?yīng)用意識(shí)的考查. 此題以開(kāi)放題的形式呈現(xiàn)，既考查了學(xué)生的發(fā)散性思維能力，又考查了學(xué)生的逆向思維能力，這些都指向?qū)?chuàng)新意識(shí)的考查.

解法分析：首先，提取題目中的關(guān)鍵信息，即2，3，5，6四個(gè)數(shù)必須都用且只能用一次，使結(jié)果為24，列出算式，然后根據(jù)結(jié)果按照規(guī)則“湊”出算式. 試題設(shè)置為開(kāi)放題，答案不唯一. 從不同的角度思考可以得到不同的答案，如5 × 6 - 2 × 3，6 × （5 - 3） × 2，（3 + 5） × 6 ÷ 2等.

試題分析：此題取材于北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“北師大版教材”）七年級(jí)上冊(cè)“2.11 有理數(shù)的混合運(yùn)算”第66頁(yè)“做一做”的內(nèi)容，以經(jīng)典的“24點(diǎn)”游戲?yàn)楸尘?，突破了傳統(tǒng)的給出算式求結(jié)果的考查方式，而是給出結(jié)果列算式，體現(xiàn)了試題的開(kāi)放性. 這有利于考查學(xué)生的發(fā)散性思維能力，避免學(xué)生因不能綜合考慮各種運(yùn)算或不注意括號(hào)的運(yùn)用而找不到解題思路.

類(lèi)題賞析：（2021年山東·日照卷）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)小于7 × 1011的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1. 對(duì)任意正整數(shù)m，按照上述規(guī)則，恰好實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1的m所有可能取值的個(gè)數(shù)為（ ? ）.

（A）8 ? （B）6 （C）4 （D）2

【評(píng)析】此題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決問(wèn)題需要從運(yùn)算結(jié)果為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐次計(jì)算即可求出m的所有可能的取值. 此題對(duì)學(xué)生的逆向思維能力要求較高.

4. 式的運(yùn)算

例4 （江西卷）如圖3所示是某同學(xué)化簡(jiǎn)分式[x+1x2-4-1x+2÷3x-2]的部分運(yùn)算過(guò)程.

（1）上面的運(yùn)算過(guò)程中第 步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；

（2）試寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.

目標(biāo)解析：此題主要考查分式的混合運(yùn)算、約分、通分、因式分解，要求學(xué)生能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，能進(jìn)行分式的加、減、乘、除運(yùn)算. 試題指向?qū)\(yùn)算能力的考查，要求先找出錯(cuò)誤，再糾錯(cuò)并寫(xiě)出完整解答過(guò)程，指向?qū)W(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的考查.

解法分析：求解第（1）小題，需要認(rèn)真閱讀解題過(guò)程的前三個(gè)步驟，從中找出錯(cuò)誤之處，其中前兩步分別需要根據(jù)公式法、分解因式和通分的知識(shí)進(jìn)行判斷，第③步需要注意將括號(hào)內(nèi)的分式進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)分子中符號(hào)的變化. 第（2）小題要求寫(xiě)出完整的解答過(guò)程，這里需要在第（1）小題的基礎(chǔ)上，對(duì)第③步進(jìn)行糾錯(cuò)，再正確利用約分對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后要注意檢查結(jié)果是否為最簡(jiǎn)分式.

試題分析：分式的混合運(yùn)算問(wèn)題在各個(gè)版本教材的相關(guān)內(nèi)容中都有出現(xiàn). 此類(lèi)題目也是各地中考在“數(shù)與式”部分最常設(shè)置的題型. 究其原因，是因?yàn)榇祟?lèi)試題能綜合考查因式分解、通分、約分、最簡(jiǎn)分式、數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力的要求較高. 學(xué)生常犯的錯(cuò)誤主要有：用錯(cuò)公式，通分和約分出錯(cuò)，符號(hào)出錯(cuò)，與解分式方程混淆，沒(méi)有化成最簡(jiǎn)分式，等等. 此題取材于學(xué)生的錯(cuò)題資源，針對(duì)學(xué)生常犯的錯(cuò)誤設(shè)置問(wèn)題，這也要求我們?cè)趶?fù)習(xí)階段不要盲目追求做題的數(shù)量，應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思，強(qiáng)化計(jì)算時(shí)步步有據(jù)、及時(shí)檢查的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

類(lèi)題賞析：（浙江·臺(tái)州卷）如圖4所示的解題過(guò)程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是 ? ?.

【評(píng)析】此題考查對(duì)分式化簡(jiǎn)求值的糾錯(cuò)，針對(duì)的是另一類(lèi)常見(jiàn)錯(cuò)誤：混淆分式化簡(jiǎn)與解分式方程. 另外，此題設(shè)置成過(guò)程錯(cuò)誤、結(jié)果正確的形式，有利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后檢查時(shí)不能只關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注解題過(guò)程.

5. 代數(shù)推理能力

例5 （浙江·嘉興卷）設(shè)[a5]是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1 ≤ a ≤ 9）. 例如，當(dāng)a = 4時(shí)，[a5]表示的兩位數(shù)是45.

（1）嘗試：

① 當(dāng)a = 1時(shí)，152 = 225 = 1 × 2 × 100 + 25；

② 當(dāng)a = 2時(shí)，252 = 625 = 2 × 3 × 100 + 25；

③ 當(dāng)a = 3時(shí)，352 = 1 225 = ? ? ? ? ? ? ；

……

（2）歸納：[a52]與[100aa+1+25]有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由.

（3）運(yùn)用：若[a52]與100a的差為2 525，求a的值.

目標(biāo)解析：此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、完全平方公式、整式的運(yùn)算、代數(shù)式的比較等內(nèi)容，要求能發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化中的規(guī)律，能用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算，并通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理，考查了代數(shù)推理能力.

解法分析：求解第（1）小題，需要認(rèn)真觀(guān)察當(dāng)a = 1和a = 2時(shí)的式子，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并根據(jù)這個(gè)規(guī)律得到a = 3時(shí)的結(jié)果，即3 × 4 × 100 + 25.

求解第（2）小題，需要先理解式子“[a5]”的意義，可以寫(xiě)成10a + 5，比較[a52]與[100aa+1+25]的大小. 可以利用作差法，得[a52-100aa+1+25]= [10a+52-100aa+1+25=0]. 也可以根據(jù)第（1）小題得到的規(guī)律，通過(guò)式子的變形進(jìn)行驗(yàn)證，即[a52]= [10a+52]=[100a2+100a+25]=[100aa+1+25]，體現(xiàn)了解法的多樣性.

第（3）小題的求解略.

試題分析：此題改編自人教版教材八年級(jí)上冊(cè)第十四章“整式的乘法與因式分解”的數(shù)學(xué)活動(dòng)1，教材中給出了前三個(gè)算式，要求寫(xiě)出一般的規(guī)律并給出證明，考查了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和推理能力都有較高的要求. 此題是在題干中給出了“[a5]”的定義，需要學(xué)生先理解式子“[a5]”的意義. 在第（1）小題中，給出了當(dāng)a分別取1，2時(shí)的算式，要求寫(xiě)出a取3時(shí)的算式. 對(duì)于一般規(guī)律，是在第（2）小題直接給出的，讓學(xué)生說(shuō)明理由. 第（3）小題主要是與一元二次方程的知識(shí)相結(jié)合，體現(xiàn)了從一般到特殊的思路.

總體來(lái)看，例5降低了教材中數(shù)學(xué)活動(dòng)的難度，符合中考試題對(duì)難度的要求. 同時(shí)，突出了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，加強(qiáng)了知識(shí)之間的聯(lián)系，豐富了試題的內(nèi)涵. 此題也啟示教師在復(fù)習(xí)時(shí)要回歸教材，重視對(duì)教材資源的挖掘和使用，提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性.

類(lèi)題賞析：（河北卷）發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和.

驗(yàn)證：如[2+12+2-12=10]為偶數(shù). 試把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和；

探究：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，試論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確.

【評(píng)析】與例5相比，此題考查的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較少，但對(duì)學(xué)生的代數(shù)推理能力提出了更高的要求. 題目先以文字表述的方式給出了一個(gè)數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”，接著進(jìn)行了特例驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上要求用符號(hào)推理的方式對(duì)此題中的“發(fā)現(xiàn)”進(jìn)行證明. 解決此題的關(guān)鍵是正確理解“兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和”的意思，這也是此題的難點(diǎn).

6. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

例6 （湖南·長(zhǎng)沙卷）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大、保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無(wú)窮威力. 看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”. 通常，一個(gè)“二維碼”由1 000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專(zhuān)門(mén)用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1 000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼. 根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成2200個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)2200的理解如下：

YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2200就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；

DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；

JXND（覺(jué)醒年代）：2200的個(gè)位數(shù)字是6；

QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道210 = 1 024，103 =1 000，所以我估計(jì)2200比1060大.

其中對(duì)2200的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是 ? ? ? （填寫(xiě)網(wǎng)名字母代號(hào)）.

目標(biāo)解析：此題考查了乘方的意義、冪的性質(zhì)、數(shù)字規(guī)律探究、比較數(shù)的大小等知識(shí). 要求理解乘方的意義，考查了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和抽象能力；通過(guò)尋找數(shù)字的變化規(guī)律，考查了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想和學(xué)生的探究能力；通過(guò)比較數(shù)的大小，考查了轉(zhuǎn)化思想和學(xué)生的推理能力.

解法分析：根據(jù)乘方的意義，可以判斷網(wǎng)友“YYDS”的理解正確，網(wǎng)友“DDDD”的理解錯(cuò)誤.

判斷網(wǎng)友“JXND”的理解需要探究2200的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律：由21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，可知2n的尾數(shù)按照2，4，8，6的順序每四個(gè)一循環(huán)，因此2200的個(gè)位數(shù)字是6.

判斷網(wǎng)友“QGYW”的理解需要比較2200與1060的大小，結(jié)合兩個(gè)冪的特征和題目中給出的條件，可以把2200與1060變成指數(shù)相同的冪. 根據(jù)冪的乘方性質(zhì)，可得2200 = （210）20 = （1 024）20，1060 = （103）20 =1 00020，從而有2200 > 1060. 所以理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是“DDDD”.

試題分析：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展離不開(kāi)具體的情境與問(wèn)題，素養(yǎng)立意的中考命題導(dǎo)向也要重視試題情境的創(chuàng)設(shè). 此題以生活中常見(jiàn)的二維碼為情境，挖掘二維碼中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界. 通過(guò)展示四位網(wǎng)友對(duì)2200的不同理解，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理進(jìn)行判斷，從而引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界. 此題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)是判斷網(wǎng)友“QGYW”的理解，即比較2200與1060的大小. 學(xué)生的困難主要是不能靈活運(yùn)用冪的基本性質(zhì)對(duì)2200與1060進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 此題啟示我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)和復(fù)習(xí)中，要注重創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中掌握知識(shí)、提升能力、發(fā)展素養(yǎng).

類(lèi)題賞析：（四川·宜賓卷）《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書(shū)中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí). 一為從隅，開(kāi)平方得積.”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即為S =[14c2a2-c2+a2-b222]. 現(xiàn)有周長(zhǎng)為18的三角形的三邊滿(mǎn)足a∶b∶c = 4∶3∶2，則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為 ? ? ? ? .

【評(píng)析】此題主要考查了二次根式的運(yùn)算. 試題以中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化為背景，介紹了用“秦九韶公式”求三角形面積的方法，既考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，又展現(xiàn)了我國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，有利于增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，滲透育人價(jià)值.

7. 設(shè)置探究性試題

例7 （山東·泰安卷）將從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)按如圖5所示的規(guī)律排列.

若有序數(shù)對(duì)（n，m）表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如（3，2）表示6，則表示99的有序數(shù)對(duì)是? ? ? .

目標(biāo)解析：此題主要考查對(duì)數(shù)字排列規(guī)律的探究，要求理解有序數(shù)對(duì)（n，m）的意義，能用含n，m的式子描述試題中數(shù)字的排列規(guī)律，考查了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和抽象能力；通過(guò)尋找表示99的有序數(shù)對(duì)，考查了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和學(xué)生的推理能力.

解法分析：解決此題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)所給材料中蘊(yùn)含的規(guī)律，并能用式子表示規(guī)律. 首先，根據(jù)第n行的最后一個(gè)數(shù)是n2，確定99 = 102 - 1在第10行倒數(shù)第二個(gè)位置；再根據(jù)第n行有（2n - 1）個(gè)數(shù)，得出第10行的數(shù)有19個(gè)，從而得到表示99的有序數(shù)對(duì)是（10，18）.

試題分析：此題改編自青島版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第三章“有理數(shù)的運(yùn)算”綜合練習(xí)第12題. 教材題目是把“-1，2，-3，4，-5，6，

-7，…”這列數(shù)按如圖5所示的形式排列起來(lái)，求第8行從左數(shù)第2個(gè)數(shù)是多少. 例7去掉了數(shù)字的符號(hào)規(guī)律，引入有序數(shù)對(duì)表示數(shù)的位置，把教材中題目的設(shè)問(wèn)改編為已知數(shù)，求它的位置. 學(xué)生解題時(shí)的難點(diǎn)在于不易發(fā)現(xiàn)數(shù)列中每行最后一個(gè)數(shù)的規(guī)律. 教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從特殊位置的數(shù)開(kāi)始，按照從特殊到一般的思路進(jìn)行規(guī)律探究.

類(lèi)題賞析：（四川·德陽(yáng)卷）古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)整數(shù)進(jìn)行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關(guān)系，“多邊形數(shù)”也稱(chēng)為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結(jié)合物. 用點(diǎn)排成的圖形如圖6所示.

其中，圖6（a）的點(diǎn)數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個(gè)三角形數(shù)是1，第二個(gè)三角形數(shù)是1 + 2 = 3，第三個(gè)三角形數(shù)是1 + 2 + 3 = 6，……

圖6（b）的點(diǎn)數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個(gè)正方形數(shù)是1，第二個(gè)正方形數(shù)是1 + 3 = 4，第三個(gè)正方形數(shù)是1 + 3 + 5 = 9，……

……

依此類(lèi)推，圖6（d）中第五個(gè)正六邊形數(shù)是 ? ? .

【評(píng)析】此題是從幾何圖形的角度探究規(guī)律，以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“多邊形數(shù)”為背景，給出了點(diǎn)的排列方式，解題時(shí)需要認(rèn)真觀(guān)察圖形，結(jié)合前兩個(gè)圖形中三角形數(shù)和正方形數(shù)的規(guī)律，類(lèi)比探究出六邊形數(shù)的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律列出算式計(jì)算結(jié)果.

8. 設(shè)置跨學(xué)科試題

例8 （浙江·杭州卷）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理，用公式[1f=1u+1v v≠f]表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u等于（ ? ）.

（A）[fvf-v] （B）[f-vfv]

（C）[fvv-f] （D）[v-ffv]

目標(biāo)解析：此題主要考查分式的基本性質(zhì)、通分、分式的加減運(yùn)算等知識(shí)，要求能利用分式的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力.

解法分析：解決此題可以利用分式的運(yùn)算對(duì)公式進(jìn)行變形：由[1u=1f-1v=v-ffv]，得[u=fvv-f]. 故答案選C；也可以把公式看成關(guān)于u的分式方程，通過(guò)解分式方程求出結(jié)果.

試題分析：《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出要探索命制多學(xué)科融合類(lèi)試題，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科之間的聯(lián)系. 此題設(shè)置為利用分式的運(yùn)算對(duì)物理公式進(jìn)行變形，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在物理學(xué)科中的應(yīng)用. 學(xué)生容易在通分時(shí)出錯(cuò)，教師教學(xué)時(shí)注意要求學(xué)生在運(yùn)算時(shí)做到步步有據(jù).

類(lèi)題賞析：（湖北·鄂州卷）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型. 在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過(guò)分裂來(lái)繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來(lái)表示. 即：21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，……. 試推算22 022的個(gè)位數(shù)字是（ ? ）.

（A）8 （B）6

（C）4 （D）2

【評(píng)析】此題以生物學(xué)中的細(xì)胞分裂為背景，指出解決這個(gè)問(wèn)題需要建立的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)模型中蘊(yùn)含的規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科與生物學(xué)科的聯(lián)系.

三、復(fù)習(xí)備考建議

結(jié)合以上對(duì)2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中部分“數(shù)與式”試題的分析，針對(duì)2023年中考“數(shù)與式”部分的復(fù)習(xí)備考，提出如下建議.

1. 重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)

2022年全國(guó)各地區(qū)中考“數(shù)與式”試題普遍難度較小，更多關(guān)注對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查. 因此，“數(shù)與式”部分的復(fù)習(xí)重點(diǎn)是幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí). 在中考第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以通過(guò)思維導(dǎo)圖等形式幫助學(xué)生完整構(gòu)建該部分內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生把每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)放在整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中進(jìn)行復(fù)習(xí). 對(duì)本部分內(nèi)容的核心知識(shí)，如數(shù)軸、絕對(duì)值、相反數(shù)、同類(lèi)項(xiàng)、分式、數(shù)與式的運(yùn)算法則、冪的性質(zhì)、乘法公式等，要注重其與其他知識(shí)之間的聯(lián)系，在知識(shí)的聯(lián)系中強(qiáng)化對(duì)核心知識(shí)的理解. 在中考第二輪復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視解題的依據(jù)，在應(yīng)用中強(qiáng)化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的深度理解. 在中考第三輪復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)重視對(duì)錯(cuò)題資源的利用，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行有針對(duì)性地查漏補(bǔ)缺.

2. 重視復(fù)習(xí)課中的運(yùn)算教學(xué)

多數(shù)中考“數(shù)與式”試題離不開(kāi)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的考查. 歷年中考評(píng)卷的試題分析表明，學(xué)生丟分的一大原因是運(yùn)算出錯(cuò)，“會(huì)而不對(duì)”的現(xiàn)象大量存在. 因此，在復(fù)習(xí)課中，教師要重視運(yùn)算教學(xué)，避免只重解題思路的明晰而忽視解題過(guò)程的完善及結(jié)果的正確等眼高手低的現(xiàn)象.

3. 重視復(fù)習(xí)課中的素養(yǎng)導(dǎo)向

2022年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題普遍體現(xiàn)了素養(yǎng)立意的命題導(dǎo)向. 就“數(shù)與式”試題來(lái)看，除了運(yùn)算能力外，抽象能力、推理能力、幾何直觀(guān)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)也是考查的重點(diǎn). 因此，在中考復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)該精選體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向的題目，如應(yīng)用題、探究題、開(kāi)放題和新定義題等. 同時(shí)，要特別重視解題后的反思，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反思鞏固知識(shí)、梳理方法、感悟思想、提升素養(yǎng).

四、典型模擬題

1. 我國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”. 如圖7，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿(mǎn)七進(jìn)一，用來(lái)記錄孩子出生后的天數(shù). 由圖7可知，孩子出生后的天數(shù)是（ ? ）.

（A）67 （B）124

（C）210 （D）469

答案：A.

2. 按如圖8所示的程序計(jì)算，若輸入m = 20，輸出結(jié)果是82；若輸入m = 5，輸出結(jié)果是90. 若開(kāi)始輸入的數(shù)m為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為58，則開(kāi)始輸入的數(shù)m的所有可能的值為? ? ? ? ?.

答案：3或14.

3. 下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

[a2-1a2+2a+1+1÷aa+1]

=[a+1a-1a+12+1÷aa+1]…第一步

=[a-1a+1+1÷aa+1]…第二步

=[a-1+1a+1÷aa+1]…第三步

=[aa+1÷aa+1]…第四步

=[aa+1 ? a+1a]…第五步

= 1…第六步

任務(wù)一：填空.

① 以上化簡(jiǎn)步驟中，第一步進(jìn)行的運(yùn)算是（? ? ）.

（A）整式乘法 （B）因式分解

② 第 ? ? 步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是 ? ? ? ? ?；

任務(wù)二：試直接寫(xiě)出該分式化簡(jiǎn)的正確結(jié)果；

任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，試根據(jù)平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，就分式的化簡(jiǎn)過(guò)程寫(xiě)出一條注意事項(xiàng).

答案：任務(wù)一：① B；② 三；錯(cuò)誤的原因是分式相加時(shí)，沒(méi)有對(duì)1通分（答案不唯一，合理即可）.

任務(wù)二：2.

任務(wù)三：答案不唯一. 例如，最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式；括號(hào)前是“[-]”，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)均要變號(hào)；分式化簡(jiǎn)不能與解分式方程混淆；等等.

4. 已知下列等式：① 22 - 12 = 3；② 32 - 22 = 5；③ 42 - 32 = 7；……

（1）仔細(xì)觀(guān)察前三個(gè)式子的規(guī)律，寫(xiě)出第④個(gè)式子 ? ? ? .

（2）找出規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)式子 ? ? ? .

（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1 + 3 + 5 + 7 + … + 997 + 999.

答案：（1）[52-42=]9.

（2）[n+12-n2=2n+1].

（3）原式 =[12+22-12+32-22+42-32+…+4992-] [4982+5002-4992]=[5002]= 250 000.

5. 閱讀與計(jì)算：閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的《度量》一書(shū)中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式”：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)p =[a+b+c2]，則三角形的面積S =[pp-ap-bp-c].

我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術(shù)）：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則三角形的面積S =[14a2b2-a2+b2-c222].

（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，6，7，則這個(gè)三角形的面積等于 ? ? ? ；

（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是[5， 6， 7]，求這個(gè)三角形的面積.

答案：（1）[66]；

（2）[262].

參考文獻(xiàn)：

［1］鮑建生，章建躍. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的表現(xiàn)之二：運(yùn)算能力［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（6）：3-8.

［2］王爍. 2021年中考“數(shù)與式”專(zhuān)題解題分析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（1 / 2）：23-30，40.

基金項(xiàng)目：河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目——基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)策略研究（JCJYB210310041）.

作者簡(jiǎn)介：谷曉凱（1972— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

張海營(yíng)（1964— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，河南省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.