摘? 要:精選2022年全國各地區(qū)中考“圖形的性質(zhì)”部分試題,剖析該部分試題的特點,對優(yōu)秀試題進行分析,并針對該部分內(nèi)容提出復習教學建議,以期對中考復習備考提供參考.
關(guān)鍵詞:圖形的性質(zhì);解題分析;中考試題;復習建議
在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《標準》)中,初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容分為“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題. 其中,“圖形的性質(zhì)”是從演繹證明的視角研究點、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系. 與“圖形的變化”“圖形與坐標”兩個主題相比,“圖形的性質(zhì)”既是后續(xù)進一步研究幾何圖形的基礎(chǔ),又是“圖形與幾何”課程內(nèi)容的主干知識,也是中考命題考查的核心內(nèi)容. 同時,2022年中考是“雙減”政策實施后的第一次中考,為了充分發(fā)揮中考對教育教學的引導作用,深化義務(wù)教育教學改革,促進減負提質(zhì),鞏固“雙減”成果,教育部辦公廳特別下發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于做好2022年中考命題工作的通知》,強調(diào)“嚴格依據(jù)課程標準命題、科學設(shè)置試卷難度”. 在這種背景下,綜觀2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學試卷,筆者認為,“圖形的性質(zhì)”部分的試題較好地落實了這個目標,在注重考查學生“四基”的同時,特別強調(diào)通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來考查學生研究圖形的能力,充分體現(xiàn)了對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.
一、試題特點分析
在《標準》中,“圖形的性質(zhì)”主要包括以下六個部分:(1)點、線、面、角;(2)相交線與平行線;(3)三角形;(4)四邊形;(5)圓;(6)定義、命題、定理. 與《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》不同,有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容融合到了這六部分內(nèi)容之中,不再單列. 筆者研究了2022年全國各地區(qū)近40份中考數(shù)學試卷,對其中關(guān)于“圖形的性質(zhì)”的試題從考查內(nèi)容、難度設(shè)置、題型設(shè)置等方面進行分析. 該部分內(nèi)容所占分值在整卷的比例不盡相同,大致占全卷總分值的15% ~ 40%,多數(shù)在30%左右,且在選擇、填空、解答等各種題型中都有體現(xiàn). 筆者認為,依據(jù)相關(guān)試題可以歸納出2022年中考“圖形的性質(zhì)”相關(guān)內(nèi)容的考查具有以下特點.
1. 立足基礎(chǔ),突出對圖形基本性質(zhì)的理解與運用
一般而言,性質(zhì)就是一類事物共有的特性. 但具體什么是幾何性質(zhì)呢?章建躍博士曾指出,幾何圖形組成要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系(大小關(guān)系、位置關(guān)系等)就是性質(zhì). 初中階段,“圖形與幾何”領(lǐng)域中研究的平面圖形都是由點、線、角等基本元素構(gòu)成的. 幾何學習的核心任務(wù)就是在幾何直觀基礎(chǔ)上,基于對圖形概念的理解,從定性到定量研究這些圖形組成要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系,獲得圖形的性質(zhì),為未來學習和研究更為復雜的圖形打好基礎(chǔ).
(1)基于圖形的概念,對圖形性質(zhì)的基本理解和簡單運用.
幾何圖形的學習,與小學階段更側(cè)重于幾何圖形的認識、對圖形性質(zhì)度量的感知不同,初中階段更注重對圖形概念的理解,并在概念的基礎(chǔ)上,研究圖形的性質(zhì)、關(guān)系和變化規(guī)律. 在中考試卷中,總有一類體現(xiàn)“雙基”的圖形性質(zhì)問題,通常是以單個圖形或簡單情境為背景,在幾何直觀的基礎(chǔ)上,運用幾何基本事實或幾何圖形的基本性質(zhì)進行簡單推理與證明,考查幾何圖形基本性質(zhì)的簡單應(yīng)用,通常設(shè)置為選擇題、填空題或者簡單的計算題與證明題.
例1 (福建卷)如圖1,點[B],[F],[C],[E]在同一條直線上,[BF=EC],[AB=DE],[∠B=∠E]. 求證:[∠A=∠D].
目標解析:此題主要考查學生的推理能力,以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運用.
解法分析:利用“[SAS]”證明[△ABC≌△DEF,] 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得[∠A=∠D].
試題分析:此題可以從各版本教材全等三角形章節(jié)中找到類似的圖形和問題,難度較低. 中考試卷中,像這樣以三角形、四邊形為對象,考查學生運用圖形的性質(zhì)進行推理論證的簡單解答題,體現(xiàn)的就是基礎(chǔ)性. 需要注意的是,在運用圖形的性質(zhì)解決問題的過程中,要注意表達規(guī)范、推理嚴密,避免因證明過程簡單而跳步導致失分. 例如,此題中對[BC=EF]的推理,要先得到[BF+FC=EC+FC,] 之后才有[BC=EF]. 在基礎(chǔ)題的推理論證表述中,跳過等量相加的這一步,既不明智,也不嚴謹.
類題賞析:類似的試題還有湖北武漢卷第18題、吉林卷第15題、陜西卷第18題、四川宜賓卷第20題、浙江溫州卷第22題等.
(2)基于圖形的性質(zhì),對圖形進行定性與定量分析.
義務(wù)教育階段,數(shù)學思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識或推理能力. 對于圖形的研究,不僅僅體現(xiàn)在對幾何直觀和推理能力的考查,也體現(xiàn)在對運算能力的考查. 對圖形進行周長、面積等方面的度量是在小學階段就有的,與小學階段不同的是,初中階段更注重基于圖形的性質(zhì)對圖形中相關(guān)線段、角、局部等對象進行定量分析,這是在更高層面上考查學生的運算能力,以促進學生對圖形的性質(zhì)的全面理解和整體把握.
例2 (天津卷)如圖2,已知菱形[ABCD]的邊長為2,[∠DAB=60°],[E]為[AB]的中點,[F]為[CE]的中點,[AF]與[DE]相交于點[G],則[GF]的長等于? ? ?.
目標解析:此題的圖形中融合了多個基本圖形,考查菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理等. 其中,出色的運算能力是順利解決此題的重要因素.
解法分析:求線段的長,首先需要思考將線段放在什么圖形中研究. 此題中,可以猜想“點[G]是線段AF的中點”. 如圖3,過點[C]作[CM⊥AB],交[AB]的延長線于點M,連接[FB]. 在[Rt△CBM]中,計算得[BM=1,][CM=3.] 再證明[BF]是[Rt△CEM]的中位線,可得[BF=][32]. 由勾股定理,可得[AF=192]. 然后由點[E]為AB的中點,且[BF∥EG],得到[EG]是[△ABF]的中位線,即[AG=FG],猜想成立,從而得出[GF=194.]
試題分析:此題以菱形為大背景,融入了三角形的中位線、含30°角的直角三角形等內(nèi)容. 在幾何直觀中,通過合理猜想構(gòu)造適當?shù)妮o助線,發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間的關(guān)系,并進行推理論證和精確計算. 這是幾何圖形研究的常用方法.
類題賞析:類似的試題還有江蘇蘇州卷第16題、海南卷第16題等.
(3)基于作圖操作,深化對尺規(guī)作圖原理和方法的理解與應(yīng)用.
《標準》中強化了尺規(guī)作圖,明確要求經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程,增強動手能力,能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形,理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法,發(fā)展空間觀念和空間想象力,并對傳統(tǒng)的五個基本作圖進行了適當?shù)恼{(diào)整和更新. 在中考試卷中,尺規(guī)作圖的問題設(shè)計題型有選擇題和填空題,要求學生根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡或問題描述的作法進行判斷,也有對尺規(guī)作圖操作后的解答. 無論哪一種,都不只是把尺規(guī)作圖作為一個知識考點. 更為重要的,是將尺規(guī)作圖作為深化理解作圖的原理和方法,幫助學生建立幾何直觀,促進學生演繹推理能力的提升.
例3 (山西卷)如圖4,在矩形[ABCD]中,[AC]是對角線.
(1)實踐與操作:利用尺規(guī)作線段[AC]的垂直平分線,垂足為點[O],交邊[AD]于點[E],交邊[BC]于點[F].(要求:尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡,不寫作法,標明字母.)
(2)猜想與證明:試猜想線段[AE]與[CF]的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
目標解析:此題主要考查尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等.
解法分析:(1)如圖5,EF即為所求作的線段[AC]的垂直平分線.
(2)可以在作出線段AC的垂直平分線EF之后,利用矩形的性質(zhì)證明[△AOE≌△COF,] 進而得出[AE=][CF.] 也可以利用線段垂直平分線的性質(zhì),證明四邊形[AECF]是菱形,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出結(jié)論.
試題分析:從本質(zhì)上講,這不算是一道新題,以前常見以“折疊矩形[ABCD,] 使點[A,C]重合”的視角來研究圖形,如求折痕EF的長度、圖形的面積等. 但此題融入了尺規(guī)作圖,設(shè)計兩道遞進的小題,以尺規(guī)作圖的作圖結(jié)果為起點,進一步展開對圖形性質(zhì)的推理和論證. 這既是深化學生對尺規(guī)作圖原理的理解,也是引導教師在教學中要加強對學生的幾何作圖能力的培養(yǎng). 退一步講,即使學生在考試時不會進行尺規(guī)作圖,在不嚴格作圖的情況下也能通過畫草圖完成第(2)小題的猜想與論證.
類題賞析:類似的試題還有江蘇無錫卷第24題、重慶A卷第18題、河南卷第18題、福建卷第23題等. 也有許多以選擇題、填空題的形式考查尺規(guī)作圖的試題,如湖北黃岡卷第8題、湖北宜昌卷第6題、江蘇連云港卷第16題、四川成都卷第13題、湖南長沙卷第10題等.
例4 (江蘇·揚州卷)【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積?
【初步嘗試】如圖6(a),已知扇形[OAB],試用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心[O]作一條直線,使扇形的面積被這條直線平分;
【問題聯(lián)想】如圖6(b),已知線段MN,試用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以[MN]為斜邊的等腰直角三角形[MNP];
【問題再解】如圖6(c),已知扇形[OAB],試用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點[O]為圓心的圓弧,使扇形的面積被這條圓弧平分.
友情提醒:以上作圖均不寫作法,但需保留作圖痕跡.
目標解析:此題考查尺規(guī)作圖、等腰直角三角形的性質(zhì)、扇形的面積等知識. 解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運用所學知識解決問題.
解法分析:圖6(a)中,通過分析,作[∠AOB]的平分線即可,如圖7所示,OP即為所求;圖6(b)中,作線段[MN]的垂直平分線(垂足為點C)后,在垂直平分線上再截取線段CP,使CP = MC,連接PM,PN,△MNP即為所求,如圖8所示;圖6(c)中,需要先構(gòu)造等腰直角三角形[OBE],使[OB]為斜邊,再以點[O]為圓心、OE為半徑畫弧,則[CD]即為所求,如圖9所示.
試題分析:此題是一道極具創(chuàng)新價值的尺規(guī)作圖試題,三道小題由淺入深,拾級而上,將尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)性要求、工具性應(yīng)用及思維性提升發(fā)揮到了較高的水平. 同時,在“問題再解”中,要求學生將在前兩道小題中積累形成的經(jīng)驗,在新背景中進行模仿遷移. 此題具有開放性,還有多種解題方法,為不同思維層次的學生提供了更多的可能.
類題賞析:值得注意的是,還有一類比尺規(guī)作圖要求更苛刻的試題,即只用無刻度的直尺在正方形網(wǎng)格中畫圖. 這類試題對學生來說挑戰(zhàn)更大,如天津卷第18題、江西卷第16題、湖北武漢卷第21題.
2. 注重能力,彰顯對“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容涉及的思想方法的領(lǐng)悟與遷移
數(shù)學知識是有層次的. 數(shù)學內(nèi)容中的基本事實、概念、定理等,通常統(tǒng)攝性較低,而更高一級的是數(shù)學的核心概念及思想方法,它們的抽象概括程度更高,屬于隱性知識,是從“四基”“四能”通往學科核心素養(yǎng)的必由之路. 數(shù)學思想方法是隨著數(shù)學概念、性質(zhì)、原理的掌握而逐漸發(fā)展的,其學習過程需要經(jīng)歷滲透、領(lǐng)悟、明晰和應(yīng)用四個階段. 在圖形的性質(zhì)的學習過程中,與之相關(guān)的數(shù)學思想主要包括方程思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想等. 因此,中考試卷中,通過設(shè)計相關(guān)問題考查學生對這些數(shù)學思想方法的理解、內(nèi)化和遷移應(yīng)用,是必不可少的一環(huán).
(1)運用方程思想.
例5 (浙江·金華卷)如圖10,木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點A,長邊與⊙O相切于點B,角尺的直角頂點為C. 已知AC = 6 cm,CB = 8 cm,則⊙O的半徑為? ? ? .
目標解析:此題主要考查了圓的切線性質(zhì)定理、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì). 依據(jù)題意添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
解法分析:如圖11,連接OA,OB,過點A作AD⊥OB于點D. 利用矩形的判定與性質(zhì),可得BD = AC = 6 cm,AD = BC = 8 cm. 設(shè)⊙O的半徑為r cm,在Rt△OAD中,利用勾股定理,有AD2 + OD2 = OA2,即[82+r-62=r2.] 解得[r=253]. 所以⊙O的半徑為[253]cm.
試題分析:此題生活氛圍濃郁,木工使用角尺的畫面感很強,甚至還有很強的代入感,如自行車輪頂著水泥臺階等. 在構(gòu)造輔助線的過程中,學生可能會想到連接AB,并且勾股數(shù)為6,8,10,好像也比較順暢,但對于研究圓的半徑長并不是最為本質(zhì)的. 在此題中,最為本質(zhì)的是切線的性質(zhì)的運用,即連接OB得到直角,再作垂線段AD得到直角三角形,利用勾股定理求解. 此題中蘊含了轉(zhuǎn)化思想和方程思想. 在運用方程思想時,多數(shù)都需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形,這就需要學生具有更為理性的幾何直觀和空間觀念,以實現(xiàn)對思想方法的靈活運用.
類題賞析:類似的試題還有海南卷第12題.
(2)運用分類思想.
例6 (河南卷)如圖12,在[Rt△ABC]中,[∠ACB=][90°],[AC=BC=22],點[D]為[AB]的中點,點[P]在[AC]上,且[CP=1],將[CP]繞點[C]在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),點[P]的對應(yīng)點為點[Q,] 連接[AQ,DQ.] 當[∠ADQ=90°]時,[AQ]的長為? ? ? .
目標解析:此題考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì). 注意要分兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵.
解法分析:如圖13,當[∠ADQ=90°]時,即[DQ⊥][AB,] 根據(jù)[Rt△ABC]的相關(guān)條件,說明點[D,C,Q]應(yīng)當共線. 點[Q]除了在[CD]上,還有可能在[DC]的延長線上. 針對兩種情況,分別利用勾股定理進行計算即可得AQ的長為[5]或[13].
試題分析:此題要求學生從圖形組成要素的位置變化上研究相關(guān)點、線段的數(shù)量關(guān)系. 其實試題并不難,以等腰直角三角形為背景,由CP的長度是定值,不難想象到點[Q]的運動軌跡是以點[C]為圓心、[CP]長為半徑的圓. 解題的難點在于不容易想到“點[Q]在線段[DC]的延長線上”的情況,造成漏解.
類題賞析:類似的試題還有江西卷第12題、云南卷第18題等.
(3)運用轉(zhuǎn)化思想.
例7 (安徽卷)已知點O是邊長為6的等邊三角形ABC的中心,點P在△ABC外,△ABC,△PAB,△PBC,△PCA的面積分別記為[S0,S1,S2,S3]. 若[S1+S2+S3=2S0],則線段[OP]長的最小值是(? ).
(A)[332] (B)[532]
(C)[33] (D)[732]
目標解析:此題考查等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積等知識. 解題的關(guān)鍵是證明[S1,S2,S3]中有一個是定值.
解法分析:已知點P在△ABC外,但究竟在哪里呢?如圖14,不妨假設(shè)點P在直線AB的左側(cè),由此時的位置關(guān)系,可以得到四個三角形之間的面積關(guān)系為[S2+S3=S0+][S1]. 結(jié)合已知條件,可以得到[2S1=S0]. 這也就證明了△PAB的面積[S1]是定值,所以邊AB上的高也是定值. 過點P作AB的平行線PM,推出點P的運動軌跡就是直線PM. 連接CO,延長CO交AB于點R,交PM于點T,可求出[OT=532]. 故此題選擇選項B.
試題分析:此題是一道有關(guān)圖形的問題,卻沒有給出圖形. 此題的玄機其實就在這里. 解題的難點在于確定點P的位置,即如何應(yīng)用已知中給出的四個三角形之間的面積關(guān)系式. 解題的突破口就是先假設(shè)一個點P的位置,并由其位置研究[S0]與[S1],[S2],[S3]之間的數(shù)量關(guān)系. 由已知可得[S0=93]是一個定值,將已知條件轉(zhuǎn)化到[S1,S2,S3]中,得某個三角形的面積與等邊三角形ABC的面積[S0]之間的數(shù)量關(guān)系,從而得到其高,再思考OP在什么情況下最小,這樣解題就輕松了. 像此題這樣研究某條線段的最小值,是近年中考考查圖形運動變化的熱點問題,通常對學生的能力要求比較高.
類題賞析:類似的試題還有湖北武漢卷第9題等.
3. 聚焦素養(yǎng),強化圖形性質(zhì)的探究、開放與綜合
《教育部關(guān)于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》中明確要求:堅持正確導向,提升試題科學化水平,既要注重考查基礎(chǔ)知識、基本技能,還要注重考查思維過程、創(chuàng)新意識,以及分析問題和解決問題的能力,提高探究性、開放性、綜合性試題的比例. 正因如此,在圖形的性質(zhì)的考查中,聚焦幾何直觀、抽象能力和推理能力,發(fā)展空間觀念,強化圖形性質(zhì)的形成和發(fā)展過程,提高試題的探究性、開放性和綜合性就成為一種應(yīng)然.
(1)探究性問題.
《標準》指出:探索是指在特定的問題情境下,獨立或合作參與數(shù)學活動,理解或提出數(shù)學問題,尋求解決問題的思路,獲得確定結(jié)論. 探究性問題需要在特定的問題情境中經(jīng)歷過程獲得結(jié)論. 解決與圖形的性質(zhì)有關(guān)的探究性問題,就是需要在圖形不斷變化的過程中,發(fā)現(xiàn)圖形中要素與要素之間保持不變的關(guān)系的過程,或是圖形經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象,逐漸歸納概括出某種性質(zhì)或規(guī)律,而后又從一般到特殊遷移應(yīng)用的過程.
例8 (山東·泰安卷)問題探究:
(1)在[△ABC]中,BD,CE分別是[∠ABC]與[∠BCA]的平分線.
① 若[∠A=60°,AB=AC,] 如圖15(a),試證明[BC=][CD+BE];
② 將①中的條件“AB = AC”去掉,其他條件不變,如圖15(b),問①中的結(jié)論是否成立?并說明理由.
遷移運用:
(2)若四邊形[ABCD]是圓的內(nèi)接四邊形,且[∠ACB=][2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,] 如圖15(c),試探究線段[AD,][BC,AC]之間的等量關(guān)系,并證明.
標解析:此題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識. 解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線,創(chuàng)造條件運用規(guī)律解決問題.
解法分析:第(1)小題中,第①問是一種特殊情況,由[△ABC]是等邊三角形,很容易得到結(jié)論.
第②問是一種變式,結(jié)論仍然成立. 論證的總體思路是“截長”. 如圖16,設(shè)[BD]與[CE]相交于點[O],在[BC]上取一點[G],使得[BG=BE]. 連接[OG],分別證明[△EBO≌△GBO SAS],[△OCD≌][△OCG ASA,] 推出[CD=CG],即可得到結(jié)論.
對于第(2)小題,首先類比猜想結(jié)論為[AC=AD+BC]. 思路是以AC為底邊,在AC上方,也構(gòu)造如圖15(b)所示的圖形. 如圖17,作點[B]關(guān)于[AC]的對稱點[E](或以點C為頂點,[DC]為邊,作[∠ECD=∠DCA],在CE上截取[CE=CB]),連接[AE,EC]. 化歸證明滿足第(1)小題第②問的條件,并利用其中的結(jié)論解決問題.
試題分析:此題要探究含60°角的三角形的內(nèi)心具有的性質(zhì),先從等邊三角形出發(fā),通過變式得到一般的結(jié)論,然后遷移到圓的特定背景中. 通過添加輔助線構(gòu)造滿足條件的三角形,應(yīng)用探究得到的規(guī)律解決問題. 像這樣以圖形的規(guī)律為焦點,通過特殊情況感知規(guī)律、通過變式猜想規(guī)律、通過論證證明規(guī)律、通過遷移應(yīng)用規(guī)律,這個完整的過程體現(xiàn)的就是歐氏幾何的基本思想.
類題賞析:類似的試題還有河南卷第23題、陜西卷第26題、江西卷第23題、山東臨沂卷第22題等. 這些試題大都設(shè)置在試卷的壓軸或次壓軸的位置,對學生來說具有一定的挑戰(zhàn)性.
(2)開放性問題.
例9 (浙江·舟山卷)小惠自編一題:“如圖18,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AC⊥BD,OB = OD. 求證:四邊形ABCD是菱形”,并將自己的證明過程與同學小潔交流.
這個題目還缺少條件,需要補充一個條件才能證明.]
若贊同小惠的證法,在第一個方框內(nèi)打“√”;若贊成小潔的說法,試補充一個條件,并證明.
目標解析:此題考查菱形的判定、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形判定等知識.
解法分析:此題答案不唯一. 根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”,在已知對角線垂直的情況下,只需要說明該四邊形是平行四邊形. 在有OB = OD的背景下,只需要補充OA = OC,或補充其他條件,如∠DAC = ∠ACB,由內(nèi)錯角相等,通過證明三角形全等得到結(jié)論. 如果考慮到垂直平分線,運用“四邊相等的四邊形是菱形”,則可以補充一組鄰邊相等,如AB = BC或AD = DC.
試題分析:此題為條件開放題,整體難度并不大. 但不同的答案體現(xiàn)了學生思維的層次性,有各美其美之感. 在中考試卷的解答題中設(shè)置條件開放題,所見并不多. 2021年中考浙江杭州卷第19題、2021年中考湖南岳陽卷第18題也曾有此創(chuàng)新.
類題賞析:類似的試題還有湖北荊州卷第12題、湖北黃岡卷第12題等,不過是以填空題的形式呈現(xiàn).
(3)綜合性問題.
例10 (湖北·武漢卷)問題提出:如圖19(a),在[△ABC]中,[AB=AC],[D]是[AC]的中點,延長[BC]至點[E],使[DE=DB],延長[ED]交[AB]于點[F],探究[AFAB]的值.
問題探究:(1)先將問題特殊化. 如圖19(b),當[∠BAC=60°]時,直接寫出[AFAB]的值;
(2)再探究一般情形. 如圖19(a),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.
問題拓展:(3)如圖19(c),在[△ABC]中,[AB=][AC,] [D]是[AC]的中點,[G]是邊[BC]上一點,[CGBC=1n][n<2,] 延長[BC]至點[E],使[DE=DG],延長[ED]交[AB]于點[F]. 直接寫出[AFAB]的值(用含[n]的式子表示).
目標解析:此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識. 作輔助線構(gòu)造全等三角形,以及涉及線段比值的運算是解題的關(guān)鍵.
解法分析:第(1)小題是一種特殊情況. 如圖20,取[BC]的中點[H],連接[DH],根據(jù)三角形的中位線性質(zhì),可以得到[DHAB=12],且DH = AD = DC. 再證明[△DBH≌△DEC],得[BH=EC],則[EBEH=32]. 再根據(jù)[DH∥AB],得[△EDH∽△EFB.] 所以[FBDH=EBEH=32.] 所以[FBAB=34]. 從而得出[AFAB=14].
第(2)小題雖然是一般情況,但方法依舊. 如圖21,取[BC]的中點[H],連接[DH],利用“ASA”證明[△DBH≌][△DEC,] 得[BH=EC.] 則[EBEH=32.] 再根據(jù)[DH∥AB,] 得[△EDH∽△EFB.] 從而得出與第(1)小題相同的答案.
第(3)小題很有挑戰(zhàn)性. 如圖22,取[BC]的中點H,連接DH,由第(2)小題,同理可證明[△DGH≌△DEC,] 得[GH=CE.] 所以[HE=CG]. 所以[HEBC=1n]. 再根據(jù)[DH∥][AB],得[△EDH∽△EFB]. 所以[HEBE=DHBF]. 接下來可以得到以下線段之間的數(shù)量關(guān)系:[HC=12BC,] [HE=][1nBC],[CE=GH=1n-12BC],[BE=1n+12BC],[BF=]
[n+22DH,] [AF=2-n+22DH=][2-n2DH]. 最后得到[AFAB=][2-n4.](為了減少障礙,可以設(shè)定BC,DH的長試題分析:此題是一道以三角形為背景的綜合性試題,具有很強的探究性,對學生的推理能力和運算能力要求都很高. 三道小題以“A”型相似圖形為基礎(chǔ),拾級而上,從特殊到一般,融合了全等與相似知識,要求學生利用幾何推理論證和代數(shù)思維求線段的比值. 特別是第(3)小題的拓展探究,是在一個抽象程度更高的背景下進行研究的. 雖然此時全等和相似的對象變化了,但是問題的本質(zhì)沒有改變,解題方法沒有改變,對學生代數(shù)思維的素養(yǎng)要求上升到了一個更高的層次.
類題賞析:類似的試題還有福建卷第24題、浙江寧波卷第23題等. 除了通常的全等與相似、代數(shù)與幾何融合之外,有的試題還融入了三角函數(shù),如浙江杭州卷第23題、湖北黃岡卷第23題. 有些綜合性問題還與圖形的變化融為一體,如河南卷第23題.
二、優(yōu)秀試題分析
例11 (安徽卷)如圖23,四邊形ABCD是正方形,點E在邊AD上,△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形,EF,BF分別交CD于點M,N,過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G. 連接DF,試完成下列問題.
(1)∠FDG的度數(shù)為? ? ? ;
(2)若DE = 1,DF =[22],則MN的長為? ? ? .
題意理解:此題主要考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識. 本質(zhì)上是在同一條直線上并排排列的兩個正方形,由位置關(guān)系研究相關(guān)線段、角之間的數(shù)量關(guān)系.
思路探求:對于第(1)小題,由幾何直觀可以猜想得到∠FDG = 45°. 后續(xù)論證時,由“一線三直角”可以得到∠DEF = ∠ABE. 又因為∠A = ∠G = 90°,BE = EF,從而可得△ABE ≌ △GEF. 得出EG = AB,GF = AE. 由AD = AB,得EG = AD,AE = DG,DG = GF. 推得△DGF為等腰直角三角形,則∠FDG = 45°.
對于第(2)小題,如圖24,過點F作HF⊥CD于點H. 由第(1)小題的結(jié)論得出FG = 2,CD = GE = 3,再根據(jù)△EDM ∽ △FHM,△FHN ∽ △BCN,由相似三角形的性質(zhì)分別求出[MH=43,] [HN=25,] 所以[MN=2615]. 也可以如圖25,分別延長GF,BC交于點H,求出DM,NC的長.
回顧反思:此題的設(shè)計亮點體現(xiàn)在以下兩個方面. 一是取材于教材,與人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》(以下統(tǒng)稱“人教版教材”)八年級下冊第18章“平行四邊形”復習題18第14題聯(lián)系緊密. 與教材習題相比,此題的最大區(qū)別是交換了條件“BE = EF”與“DF是外角平分線”. 同時,與人教版教材八年級下冊第17章“勾股定理”習題17.2第6題也有千絲萬縷的聯(lián)系,甚至還可以將這個圖形進一步演化為弦圖;二是考查內(nèi)容從研究幾個圖形的性質(zhì)開始,到與圖形有關(guān)的代數(shù)求值結(jié)束,融合自然、難度適中,能夠較好地體現(xiàn)中考試題聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)、強化主干內(nèi)容、考查關(guān)鍵能力的要求. 也許正因如此,這個素材也成為不同區(qū)域中考試卷中一道變式較為豐富的圖形研究樣例. 例如,四川瀘州卷第12題與此題設(shè)計風格基本上一致. 再如,內(nèi)蒙古呼和浩特卷第23題就是直接從教材回顧開始變式,讓點運動起來,在動態(tài)中研究線段之間的數(shù)量關(guān)系.
例12 (湖北·隨州卷)《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽著作,是數(shù)學發(fā)展史的一個里程碑. 在該書的第2卷“幾何與代數(shù)”部分,記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論,利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.
(1)我們在學習許多代數(shù)公式時,可以用幾何圖形來推理,觀察下列圖形,找出可以推出的代數(shù)公式.(如圖26 ~ 29所示的各圖形均滿足推導各公式的條件,只需填寫對應(yīng)公式的序號.)
公式①:[a+b+cd=ad+bd+cd];
公式②:[a+bc+d=ac+ad+bc+bd];
公式③:[a-b2=a2-2ab+b2];
公式④:[a+b2=a2+2ab+b2].
圖26對應(yīng)公式? ? ? ,圖27對應(yīng)公式? ? ? ,圖28對應(yīng)公式? ? ? ,圖29對應(yīng)公式? ? ? .
(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式[a+ba-b=a2-b2]的方法,如圖30,試寫出證明過程;(已知圖中各四邊形均為矩形.)
(3)如圖31,在等腰直角三角形[ABC]中,[∠BAC=][90°],[D]為[BC]的中點,[E]為邊[AC]上任意一點(不與端點重合),過點[E]作[EG⊥BC]于點[G],作[EH⊥AD]于點[H],過點[B]作[BF∥AC]交[EG]的延長線于點[F]. 記[△BFG]與[△CEG]的面積之和為[S1],[△ABD]與[△AEH]的面積之和為[S2].
① 若[E]為邊[AC]的中點,則[S1S2]的值為? ? ?;
② 若[E]不為邊[AC]的中點時,試問①中的結(jié)論是否仍成立?若成立,寫出證明過程;若不成立,試說明理由.
題意理解:此題題干很長,讀下來要有一定的耐心. 問題核心是從圖形面積出發(fā),考查學生對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和運用.
思路探求:第(1)小題是對數(shù)形結(jié)合思想方法的感悟,通過回憶教材在講授整式乘法時利用圖形面積計算方法來解釋法則或公式的過程,由直觀不難得到相應(yīng)的結(jié)論. 圖26對應(yīng)公式①,圖27對應(yīng)公式②,圖28對應(yīng)公式④,圖29對應(yīng)公式③.
第(2)小題是運用數(shù)形結(jié)合思想方法的嘗試. 回到《幾何原本》的研究,由圖可分別求得各矩形的面積. 例如,可以先研究矩形[AKHD]的面積,再剪裁拼接到以a為邊長的正方形BCEF中,最后得到結(jié)論.
第(3)小題自然就是對數(shù)形結(jié)合思想方法的遷移應(yīng)用了. 思考的方法很多,如設(shè)定某線段長度,然后表示出所有相關(guān)圖形的面積.
第①問是一種特殊情況. 設(shè)[BD=m],可得[AD=][CD=m,] [HE=DG=AH=12m,] [CG=12m,BG=32m,S1=][S△BFG+S△CEG=54m2,] [S2=S△ABD+S△AEH=58m2,] 得[S1S2=2].
第②問是研究一般情況,可以選兩條線段來分別設(shè)定字母,然后用含這兩個字母的式子表示[S1,S2.] 例如,設(shè)[BD=a,DG=b,] 可得[EG=CG=a-b,] [FG=] [BG=a+b],[S1=S△BFG+S△CEG=12a+b2+12a-b2=a2+]
[b2,] [S2=S△ABD+S△AEH=12a2+12b2=12a2+b2.] 從而得出不變的結(jié)論.
回顧反思:此題的亮點體現(xiàn)在以下兩方面. 一是取材于《幾何原本》,體現(xiàn)了《標準》指出的“教材中要介紹數(shù)學文化、數(shù)學發(fā)展前沿等……展現(xiàn)數(shù)學發(fā)展史中偉大數(shù)學家……如介紹《九章算術(shù)》《幾何原本》……”. 近幾年來,本著“弘揚數(shù)學文化,彰顯育人價值”的理念,在一些地區(qū)的中考試卷中常有這類體現(xiàn),如湖南株洲卷第18題以中國元代《四元玉鑒》中記載的“方田圓池結(jié)角池圖”研究圓與正方形兩邊相切的問題,湖北武漢卷第16題以歐幾里得證明勾股定理的“風車”圖形展開等;二是此題可以算得上是閱讀理解題,題干很長,但解題的書寫量卻并不是很多,難度適中. 這對于學生而言,既是挑戰(zhàn)也是機遇. 一方面,要注重引導學生全面發(fā)展,注意提高閱讀理解能力,將文字語言轉(zhuǎn)換成圖形語言或符號語言;另一方面,可以更深刻地理解文本所提出的數(shù)形結(jié)合思想方法.
三、復習備考建議
以人教版教材為例,幾何內(nèi)容共13章約為153課時,占總課時數(shù)的43.8%,其中可以劃分到“圖形的性質(zhì)”主題的約為109課時,占總課時數(shù)的31.2%. 另外,從一線教學的實際來看,在九年級有限的復習時間里,用于這部分內(nèi)容復習的時間約20課時. 因此,教師先要轉(zhuǎn)變觀念,打破“以考定教、以考定學”的模式,把功夫用在平時,在日常教學中做到應(yīng)教盡教.
1. 以生為本,落實素養(yǎng)要求
《標準》指出:數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用. 義務(wù)教育數(shù)學課程應(yīng)使學生通過數(shù)學的學習,形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng). 無論是復習課教學,還是平時的新授課教學,都要注重以學生發(fā)展為本,以核心素養(yǎng)為導向,開展單元整體教學,創(chuàng)設(shè)真實的問題情境,讓學生在經(jīng)歷問題解決的過程中落實數(shù)學核心素養(yǎng)的要求.
2. 注重“雙基”,夯實知識技能
教師要以《標準》為依據(jù),領(lǐng)悟《標準》對“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容的要求,研究每一個要求達到的標志是什么;要堅持注重基礎(chǔ)知識和基本技能的數(shù)學教育傳統(tǒng),引導學生梳理基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),加強對典型問題的研究,對重點內(nèi)容的理解和掌握,加強對通性通法的理解,對易錯、易混淆內(nèi)容進行針對性訓練,夯實“雙基”教學. 當然,在這個過程中,教師需要注意不要刻意把一些所謂的模型、套路、公式、秒殺技強加給學生,以免誤導學生,不利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展.
3. 感悟思想,抓實思維能力提升
在復習教學中,教師需要保有一定的開放性,不可唯教輔而論. 在“圖形的性質(zhì)”教學內(nèi)容設(shè)計上,注意整合內(nèi)容、精選問題、著力變式,創(chuàng)設(shè)具有開放性、拾級而上的探究性,且內(nèi)容與能力共融的綜合性問題,注重設(shè)置一些有利于弘揚數(shù)學文化、提高學生閱讀理解能力、促進學生動手畫圖操作實踐的問題情境,引領(lǐng)學生參與到數(shù)學活動之中,鼓勵他們學會從不同的角度思考問題,用不同的方法解決問題,領(lǐng)悟數(shù)學思想方法,實現(xiàn)對數(shù)學思想方法的自主遷移與運用.
4. 加強探究,壓實一般觀念引領(lǐng)
研究一個幾何圖形的一般思路是什么?章建躍博士多次強調(diào)要注重一般觀念的引領(lǐng). 在“圖形的性質(zhì)”復習教學中,我們要重視知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),從圖形的概念、組成要素和相關(guān)要素的關(guān)系出發(fā),建立起有意義的認知結(jié)構(gòu),整體把握學習圖形的性質(zhì)的主要脈絡(luò),牢牢抓住“概念—性質(zhì)—判定—聯(lián)系—應(yīng)用”的研究主線,創(chuàng)設(shè)富有探究性的教學活動,讓學生學會從特殊到一般、從具體到抽象的探究方法,在觀察、實驗、計算、操作、猜測、驗證、推理中體會并運用數(shù)學思想和方法,獲得數(shù)學基本活動經(jīng)驗,實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”,再到“何由以知其所以然”的跨越性表現(xiàn).
四、典型模擬題
問題提出:如圖32,△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,D是AB的中點,繞點A旋轉(zhuǎn)△ADC,得到△AMN,連接CM,BN,G,H分別為CM,BN的中點,研究GH與MC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?
問題解決:(1)先將問題特殊化. 如圖33,當旋轉(zhuǎn)角為0°,即處于起始位置時,則GH與MC的數(shù)量關(guān)系是 ? ?,位置關(guān)系是 ? ?.
(2)繼續(xù)研究特殊情形. 如圖34,當△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到BN經(jīng)過點M時,上述結(jié)論是否成立?若成立,證明你的結(jié)論;若不成立,說明你的理由.
(3)由此猜想歸納一般結(jié)論. 如圖32,在旋轉(zhuǎn)過程中,GH與MC之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是什么?
拓展應(yīng)用:(4)如圖35,應(yīng)用上述探究得到的規(guī)律,當△ADC繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°時,若△MCH的面積為[38],求邊AC的長.
答案:(1)[MC=2GH,GH⊥MC].
(2)仍然成立. 理由略.
(3)[MC=2GH,GH⊥MC].
(4)AC = 1.
參考文獻:
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[2]陳莉紅,段碧. 2021年中考“圖形的性質(zhì)”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學教育(初中版),2022(1 / 2):79-87.
[3]陳莉紅,曹經(jīng)富. 2021年中考“圖形的性質(zhì)”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育(初中版),2022(1 / 2):68-78.
基金項目:東莞市教育科研“品質(zhì)課堂”專項課題——素養(yǎng)導向的初中學科單元整體教學的實踐研究(2022PZZX01).
作者簡介:張青云(1968— ),男,正高級教師,主要從事初中數(shù)學教育和青年教師工作室培養(yǎng)研究.