孫鋒　楊明

摘? 要：2022年全國(guó)各地區(qū)中考“函數(shù)”試題注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解；以現(xiàn)實(shí)生活和熱點(diǎn)話(huà)題設(shè)置函數(shù)應(yīng)用情境，強(qiáng)化函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)；重視函數(shù)與其他知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，將抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖象相結(jié)合，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)導(dǎo)向. 從目標(biāo)解析、解法分析、試題分析和類(lèi)題賞析四個(gè)方面對(duì)優(yōu)秀試題進(jìn)行解析，在此基礎(chǔ)上對(duì)2023年中考“函數(shù)”專(zhuān)題的復(fù)習(xí)備考提出建議.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；解題分析；本質(zhì)理解；應(yīng)用意識(shí)；素養(yǎng)發(fā)展

從2022年全國(guó)各地區(qū)180余份中考數(shù)學(xué)試卷中對(duì)“函數(shù)”試題的考查來(lái)看，內(nèi)容和分值分布與2021年基本保持一致，與教材內(nèi)容所占比例基本相當(dāng). 2022年是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）頒布后實(shí)施新的課程標(biāo)準(zhǔn)而使用舊教材的中考命題的第一年，“函數(shù)”試題承載的考查目標(biāo)導(dǎo)向核心素養(yǎng)的發(fā)展，注重對(duì)“函數(shù)”這一核心概念的考查，強(qiáng)調(diào)學(xué)科內(nèi)、外的關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí). 試題在基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性上都得到了較好的體現(xiàn).

一、試題特點(diǎn)分析

1. 基于課程標(biāo)準(zhǔn)，注重對(duì)函數(shù)的概念和基本性質(zhì)的考查

函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界變量間關(guān)系的重要模型，對(duì)函數(shù)概念的深刻理解有助于用數(shù)學(xué)的眼光抽象出現(xiàn)實(shí)生活中的變量及變量之間的依賴(lài)關(guān)系. 在2022年全國(guó)各地區(qū)的中考“函數(shù)”試題中，對(duì)函數(shù)概念的理解和性質(zhì)的考查是基礎(chǔ)和核心. 此類(lèi)問(wèn)題的設(shè)計(jì)常以現(xiàn)實(shí)生活為背景，考查問(wèn)題中變量之間的關(guān)系是否滿(mǎn)足常見(jiàn)的三種函數(shù)模型（一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)）. 對(duì)函數(shù)性質(zhì)的常見(jiàn)考查方式：一是運(yùn)用方程思想求出解析式，側(cè)重于對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的考查；二是對(duì)對(duì)稱(chēng)性、增減性和最值等性質(zhì)的運(yùn)用. 此類(lèi)問(wèn)題主要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析并解答，注重對(duì)學(xué)生幾何直觀和抽象能力的考查.

例1 （北京卷）下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：

① 汽車(chē)從[A]地勻速行駛到[B]地，汽車(chē)的剩余路程[y]與行駛時(shí)間[x]；

② 將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量[y]與放水時(shí)間[x]；

③ 用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，矩形的面積[y]與一邊長(zhǎng)[x]．

其中，變量[y]與變量[x]之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖1所示的圖象表示的是（? ? ）.

（A）①② （B）①③

（C）②③ （D）①②③

答案：A.

該題的背景源于教材，將現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系抽象后與函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比，需要學(xué)生深刻理解“函數(shù)”這一基本概念，把握兩個(gè)變量關(guān)系“數(shù)”與“形”的一致性. 學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤：一是審題不仔細(xì)，容易將①中的路程隨時(shí)間變化的關(guān)系判斷為路程隨時(shí)間的增大而增大；二是建模出錯(cuò)，容易將③判斷為一次函數(shù)．在2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試卷中，廣東卷第10題、青海卷第8題、河北卷第12題、湖南益陽(yáng)卷第5題和遼寧大連卷第10題等都對(duì)函數(shù)的概念和性質(zhì)進(jìn)行了考查.

2. 綜合運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)函數(shù)與學(xué)科內(nèi)、外知識(shí)聯(lián)系的綜合考查

函數(shù)可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表達(dá)，也可以用圖象直觀表示，它具有“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面的性質(zhì). 因此常常將函數(shù)與其他知識(shí)結(jié)合進(jìn)行綜合考查. 2022年全國(guó)各地的中考“函數(shù)”試題大都涉及函數(shù)與學(xué)科內(nèi)、外聯(lián)系的綜合考查. 其中，常見(jiàn)的考查方式：一是三種函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）之間的結(jié)合；二是基本幾何圖形（如三角形和四邊形等）與函數(shù)圖象的結(jié)合，或再添加運(yùn)動(dòng)變化的條件. 此類(lèi)“函數(shù)”試題主要應(yīng)用函數(shù)與對(duì)應(yīng)方程和不等式的關(guān)系，以及圖形全等或相似等知識(shí)，求解點(diǎn)的坐標(biāo)、線(xiàn)段的長(zhǎng)度和圖形的面積等問(wèn)題，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生推理能力和幾何直觀素養(yǎng)的考查.

例2 （上海卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y =[12]x2 + bx + c經(jīng)過(guò)點(diǎn)[A-2，-1，B0，-3]．

（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）將這條拋物線(xiàn)平移，得到一條頂點(diǎn)為[Pm，n m>0]的新拋物線(xiàn).

① 當(dāng)S△OBP = 3時(shí)，如果這條拋物線(xiàn)在直線(xiàn)x = k的右側(cè)部分是上升的，求k的取值范圍；

② 點(diǎn)P在原拋物線(xiàn)上，新拋物線(xiàn)交y軸于點(diǎn)Q，如果∠BPQ = 120°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案：（1）y =[12]x2 - 3；

（2）① k ≥ 2；②[P23，3].

該題第（1）小題可以用待定系數(shù)法求出. 第（2）小題以?huà)佄锞€(xiàn)平移到不同位置進(jìn)行設(shè)問(wèn). 第①問(wèn)是平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P與已知點(diǎn)B，O所確定的三角形的面積為定值，從而求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo). 平移不改變拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小，平移后新的拋物線(xiàn)和原來(lái)的拋物線(xiàn)的圖象都呈上升趨勢(shì)，可畫(huà)出如圖2所示的圖象，求得k的取值范圍，考查學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng). 第②問(wèn)是將拋物線(xiàn)平移后得到∠BPQ = 120°，對(duì)這一條件的運(yùn)用需要學(xué)生計(jì)算出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而發(fā)現(xiàn)BP = PQ，再運(yùn)用等腰三角形的“三線(xiàn)合一”得到一個(gè)含有60°角的直角三角形，從而解三角形求出點(diǎn)P的坐標(biāo). 此處考查學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力. 在求解第②問(wèn)時(shí)，學(xué)生求得P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，不通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)BP = PQ直接解△BPQ，所面臨的計(jì)算會(huì)較為煩瑣，也容易出錯(cuò). 建議學(xué)生在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要多思少算、先思考再計(jì)算、邊計(jì)算邊思考，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想減少運(yùn)算量.

綜觀2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題，函數(shù)與幾何綜合題常作為壓軸題出現(xiàn)，如河北卷第25題、河南卷第18題、安徽卷第23題、四川成都卷第25題和江蘇鎮(zhèn)江卷第27題等.

3. 應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)化應(yīng)用函數(shù)對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力的考查

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，要通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中變量的分析，建立兩個(gè)變量之間變化的依賴(lài)關(guān)系，讓學(xué)生理解用函數(shù)表達(dá)變化關(guān)系的實(shí)際意義，并運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題. 在2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題中，應(yīng)用函數(shù)模型解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題都有所涉及. 與2021年及以前相比，2022年中考中的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題更加注重與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)，試題背景更加豐富. 此類(lèi)試題較好地考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念和應(yīng)用意識(shí).

例3 （浙江·溫州卷）根據(jù)表1中的素材，探索完成任務(wù)．

答案：以拱頂為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可得拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為[y=-（1/20）^x2]，完成任務(wù)1；任務(wù)2，懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是-1.8，橫坐標(biāo)的取值范圍為[-6≤x≤6]；任務(wù)3，由拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性，可以從頂點(diǎn)處開(kāi)始懸掛燈籠，共掛7盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-4.8，也可以從對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)開(kāi)始懸掛燈籠，共掛8盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-5.6．

此題改編自北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“北師大版教材”）九年級(jí)下冊(cè)第二章“二次函數(shù)”習(xí)題2.8的第4題，以解決真實(shí)的生活問(wèn)題為背景，采用項(xiàng)目式問(wèn)題解決的方式設(shè)計(jì)，需要學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析和解答，重點(diǎn)考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí). 問(wèn)題的解決需要根據(jù)實(shí)際情況建立平面直角坐標(biāo)系，并且建立坐標(biāo)系的方式不唯一，體現(xiàn)了坐標(biāo)系的工具性作用. 解決此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)化表達(dá). 學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤：一是不能將題目中的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，如任務(wù)2中確定燈籠懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小值時(shí)容易有遺漏；二是容易忽略分類(lèi)討論，如對(duì)任務(wù)3的思考不考慮多種方案. 在2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題中，河南卷第21題、廣東廣州卷第20題、四川成都卷第24題、四川巴中卷第22題、甘肅蘭州卷第24題和浙江衢州卷第23題等都是設(shè)計(jì)方案解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.

4. 關(guān)注“四能”，注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查

創(chuàng)新意識(shí)主要是指主動(dòng)嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)或提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含大量與函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，有待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和解決. 在2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試卷中，注重以函數(shù)為載體考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 考查形式主要體現(xiàn)在：運(yùn)用歸納和類(lèi)比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系和規(guī)律，提出命題和猜想，并加以驗(yàn)證；探索開(kāi)放性、非常規(guī)性的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例4 （江蘇·鹽城卷）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小明在練習(xí)簿的橫線(xiàn)上取點(diǎn)[O]為圓心，相鄰橫線(xiàn)的間距為半徑畫(huà)圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫(huà)同心圓，描出了同心圓與橫線(xiàn)的一些交點(diǎn)，如圖6所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．

【提出問(wèn)題】小明通過(guò)觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫(huà)圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上．

【分析問(wèn)題】小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心[O]為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[O]的橫線(xiàn)所在直線(xiàn)為[x]軸，過(guò)點(diǎn)[O]且垂直于橫線(xiàn)的直線(xiàn)為[y]軸，相鄰橫線(xiàn)的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖7所示．當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為? ? ? ?．

【解決問(wèn)題】試幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．

【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)[P0，m]，[m]為正整數(shù)，以[OP]為直徑畫(huà)[⊙M]，是否存在所描的點(diǎn)在[⊙M]上. 若存在，求[m]的值；若不存在，說(shuō)明理由.

答案：當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為（-3，4）或（3，4）；猜想成立，驗(yàn)證過(guò)程略；存在唯一滿(mǎn)足要求的m，其值是4.

該題可以在教材中找到“影子”，如北師大版教材九年級(jí)下冊(cè)第三章“圓”習(xí)題3.7的第2題，以學(xué)生動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題為話(huà)題，采用分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、深度思考的方式設(shè)問(wèn)，五個(gè)環(huán)節(jié)形成一個(gè)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生思考，與“四能”相契合. 以相鄰橫線(xiàn)的間距為半徑畫(huà)圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫(huà)同心圓，描出了同心圓與橫線(xiàn)的一些交點(diǎn)，交點(diǎn)的分布剛好與某二次函數(shù)圖象吻合，具有數(shù)學(xué)的美感. 問(wèn)題設(shè)置從特殊到一般，為學(xué)生的探究指明了方向.“解決問(wèn)題”環(huán)節(jié)的代數(shù)證明對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，學(xué)生容易將圓心當(dāng)成二次函數(shù)的頂點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y = ax2，從而無(wú)法驗(yàn)證猜想正確；或者學(xué)生將（0，-1）當(dāng)成二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，而（0，-1）又不符合條件，從而無(wú)法驗(yàn)證猜想正確.“深度思考”環(huán)節(jié)實(shí)質(zhì)上是判斷以O(shè)P為直徑的圓（直徑為整數(shù)，圓心在y軸上）與二次函數(shù)[y=12x2-12]是否有交點(diǎn)，學(xué)生容易把該圓的圓心視為點(diǎn)O，無(wú)法列出等式. 建議學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)圖分析，厘清數(shù)量關(guān)系列出等式求解m的值. 在2022年全國(guó)各地的中考“函數(shù)”試題中，河南卷第10題、山東濰坊卷第6題、湖北恩施州卷第10題、江西卷第6題、湖北宜昌卷第5題、青海卷第14題、湖南郴州卷第15題、山東棗莊卷第22題和山東臨沂卷第20題等也都較好地體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查.

二、優(yōu)秀試題剖析

1. 關(guān)注最值問(wèn)題，重視函數(shù)與方程聯(lián)系的考查

例5 （浙江·嘉興卷）已知點(diǎn)[Aa，b]，[B4，c]在直線(xiàn)[y=kx+3]（k為常數(shù)，[k≠0]）上，若[ab]的最大值為9，則[c]的值為（? ? ）.

（A） [52]? ? ?（B）? 2? ? ?（C） [32]? ? ?（D）? 1

目標(biāo)解析：該題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有直線(xiàn)上的點(diǎn)的特征、二次函數(shù)的最值和配方法，主要考查運(yùn)用配方法求最值，需要學(xué)生根據(jù)題目中的條件建立二次函數(shù)模型并求最值，發(fā)展學(xué)生的模型觀念.

解法分析：由點(diǎn)[Aa，b]在直線(xiàn)[y=kx+3]上，得[ab=aak+3=ka2+3a]（k為常數(shù)），從而得到ab與a的二次函數(shù)關(guān)系，通過(guò)配方法求最值. 因?yàn)閇ab]的最大值為9，所以可以求出k的值.

解：因?yàn)辄c(diǎn)[Aa，b]， [B4，c]在直線(xiàn)[y=kx+3]上，

所以[ak+3=b，①4k+3=c.? ?②]

由①，得[ab=aak+3=ka+32k2-94k].

因?yàn)閇ab]的最大值為9，

解得[k=-14]，[c=2]．

試題分析：該題采用間接設(shè)問(wèn)的方式，以一次函數(shù)為背景對(duì)運(yùn)用配方法求二次函數(shù)的最值進(jìn)行了考查，需要學(xué)生認(rèn)真分析已知條件，厘清變量之間的關(guān)系，尋找解決問(wèn)題的突破口. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的增減性由系數(shù)可以確定，在自變量給定的取值范圍內(nèi)函數(shù)值存在最值；在自變量取值沒(méi)有限定的情況下，當(dāng)二次函數(shù)的自變量取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，二次函數(shù)有最值，用配方法將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式是求函數(shù)最值的一種基本方法. 如果二次函數(shù)的自變量取值在給定的范圍內(nèi)，求函數(shù)的最值需要分類(lèi)討論：當(dāng)二次函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)，最值在頂點(diǎn)處取得；當(dāng)二次函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)，需要結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)確定函數(shù)的最值. 在函數(shù)最值的考查中，能夠建立相應(yīng)的函數(shù)模型、畫(huà)出函數(shù)圖象、應(yīng)用配方法和運(yùn)用分類(lèi)討論思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．

類(lèi)題賞析：綜觀2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題，函數(shù)最值問(wèn)題是重點(diǎn)也是熱點(diǎn). 例如，山東濟(jì)寧卷第19題、浙江麗水卷第8題、山東棗莊卷第22題、廣東廣州卷第20題和湖北襄陽(yáng)卷第14題等．

2. 關(guān)注變換問(wèn)題，重視對(duì)學(xué)生空間觀念的考查

例6 （四川·資陽(yáng)卷）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為[A1，4]，且與[x]軸交于點(diǎn)[B-1，0]．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）如圖8，將二次函數(shù)圖象繞[x]軸的正半軸上一點(diǎn)[Pm，0]旋轉(zhuǎn)[180°]，此時(shí)點(diǎn)[A]，[B]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)[C]，[D]．

① 連接[AB]，[BC]，[CD]，[DA]，當(dāng)四邊形[ABCD]為矩形時(shí)，求[m]的值；

② 在①的條件下，若點(diǎn)[M]是直線(xiàn)[x=m]上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)[Q]，使得以點(diǎn)[B]，[C]，[M]，[Q]為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形. 若存在，求出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

目標(biāo)解析：該題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、中心對(duì)稱(chēng)、平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)與幾何相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，需要學(xué)生從圖形的幾何性質(zhì)出發(fā)尋找等量關(guān)系，從數(shù)的角度對(duì)等量關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，從而發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、運(yùn)算能力和推理能力．

解法分析：二次函數(shù)圖象繞著x軸上的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所得到的圖象與原圖象成中心對(duì)稱(chēng)，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B和旋轉(zhuǎn)中心[Pm，0]的坐標(biāo)，則可以用m表示點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D）的坐標(biāo)，有了坐標(biāo)就可以用m表示線(xiàn)段的長(zhǎng). 由中心對(duì)稱(chēng)可知四邊形ABCD為平行四邊形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在不同的位置時(shí)平行四邊形的形狀會(huì)隨之改變. 特別地，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，△ABD為直角三角形，利用勾股定理可以建立關(guān)于m的方程，也可以作垂線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程. 當(dāng)m的值確定時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)和點(diǎn)M的橫坐標(biāo)已知，以點(diǎn)[B]，[C]，[M]，[Q]為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)求點(diǎn)Q的坐標(biāo). 頂點(diǎn)順序不確定，所對(duì)應(yīng)的平行四邊形有多種情況，需要分類(lèi)討論. 平行四邊形對(duì)邊平行且相等，一條邊可以視為由對(duì)邊平移得到，利用平移性質(zhì)可以表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)可以表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，點(diǎn)M又在二次函數(shù)的圖象上，從而可以得到點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的方程. 當(dāng)然，也可以利用平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，建立方程求解.

解：（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為[y=-x2+2x+3]. 具體求解過(guò)程略.

（2）① 因?yàn)辄c(diǎn)[P]在[x]軸的正半軸上，

所以[m>0].

所以[BP=m+1].

由旋轉(zhuǎn)，得[BD=2BP].

所以[BD=2m+1].

如圖9，過(guò)點(diǎn)[A1，4]作[AE]⊥[Ox]于點(diǎn)[E].

在[Rt△ABE]中，有[AB2=BE2+AE2=20].

當(dāng)四邊形[ABCD]為矩形時(shí)，[∠BAD=∠BEA=90°].

所以[△BAE]∽[△BDA].

所以[AB2=BE · BD]，即[4m+1=20].

解得[m=4].

② 由題意，得點(diǎn)[A1，4]與點(diǎn)[C]關(guān)于點(diǎn)[P4，0]成中心對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為[7，-4].

點(diǎn)[M]在直線(xiàn)[x=4]上，點(diǎn)[M]的橫坐標(biāo)為4，存在以點(diǎn)[B]，[C]，[M]，[Q]為頂點(diǎn)的平行四邊形.

當(dāng)以[BC]為邊時(shí)，可得平行四邊形[BCMQ]，此時(shí)[Q-4，-21]；

當(dāng)以[BC]為邊時(shí)，可得平行四邊形[BCQM]，此時(shí)[Q12，-117]；

當(dāng)以[BC]為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，可得平行四邊形[BQCM]，此時(shí)[Q2，3].

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)[Q]，其坐標(biāo)為[-4，-21]或[2，3]或[12，-117]．

試題分析：第（1）小題設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)潔明了，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)圖象上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求拋物線(xiàn)的解析式. 第（2）小題要求學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)函數(shù)圖象與平行四邊形相結(jié)合的綜合問(wèn)題進(jìn)行探究. 軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移是圖形的三種基本運(yùn)動(dòng)方式，在“函數(shù)”試題中融入圖形的運(yùn)動(dòng)屢見(jiàn)不鮮. 此類(lèi)試題是幾何與代數(shù)的綜合，需要學(xué)生把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)和變化的規(guī)律，會(huì)用數(shù)量關(guān)系對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行刻畫(huà)，突出考查學(xué)生的操作、探究、分析和推理能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念．

類(lèi)題賞析：綜觀2022年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題，函數(shù)與幾何變換相結(jié)合的試題較多，如江蘇鎮(zhèn)江卷第27題、廣西柳州卷第26題、遼寧沈陽(yáng)卷第25題、江蘇常州卷第27題、湖北恩施州卷第24題、河北卷第23題和重慶A卷第24題等．

3. 關(guān)注存在性問(wèn)題，重視對(duì)學(xué)生推理能力的考查

例7 （四川·成都卷）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，一次函數(shù)[y=-2x+6]的圖象與反比例函數(shù)[y=kx]的圖象相交于[Aa，4]，[B]兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)[B]的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)[A]作直線(xiàn)[AC]，交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)[C]，連接[BC]，當(dāng)線(xiàn)段[AC]被[y]軸分成長(zhǎng)度比為1∶2的兩部分時(shí)，求[BC]的長(zhǎng)；

（3）我們把有兩個(gè)內(nèi)角是直角，且一條對(duì)角線(xiàn)垂直平分另一條對(duì)角線(xiàn)的四邊形稱(chēng)為“完美箏形”. 設(shè)[P]是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，[Q]是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形[ABPQ]是完美箏形時(shí)，求[P]，[Q]兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

目標(biāo)解析：該題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等，考查學(xué)生靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

解法分析：第（2）小題中，反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)C與定點(diǎn)A的連線(xiàn)與y軸相交，交點(diǎn)隨點(diǎn)C的變化而變化，交點(diǎn)將線(xiàn)段AC分得的線(xiàn)段比值也會(huì)隨之變化. 題目中已知分得的兩條線(xiàn)段之比為1∶2，不能確定交點(diǎn)靠近點(diǎn)A還是點(diǎn)C，需要進(jìn)行分類(lèi)討論. 而線(xiàn)段的比通過(guò)相似可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A和點(diǎn)C到坐標(biāo)軸的距離之比，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而求得線(xiàn)段BC的長(zhǎng). 第（3）小題探究“完美箏形”的存在性問(wèn)題，由“完美箏形”的定義可知：它有兩個(gè)內(nèi)角是直角，且一條對(duì)角線(xiàn)垂直平分另一條對(duì)角線(xiàn). 由這兩條性質(zhì)可以求得點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo). 此類(lèi)新定義的幾何圖形的存在性問(wèn)題，需要根據(jù)定義推導(dǎo)出它所具備的性質(zhì)，再借助平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)和線(xiàn)的數(shù)量化特征，將其性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)化表達(dá)，建立相應(yīng)的方程，從而求解問(wèn)題.

解：（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為[y=4x]， [B2，2]. 具體過(guò)程略.

（2）如圖11，過(guò)點(diǎn)[A]作[AE]⊥[Oy]于點(diǎn)[E]，過(guò)點(diǎn)C作[CF]⊥[Oy]于點(diǎn)F，設(shè)AC交y軸于點(diǎn)H，則有[△AEH]∽[△CFH]，可得[AECF=AHCH=EHFH].

當(dāng)[AHCH=12]時(shí)，可得[BC=42]；

當(dāng)[AHCH=2]時(shí)，可得[BC=][5172].

所以BC的長(zhǎng)為[42]或[5172].

（3）如圖12，當(dāng)[∠AQP=∠ABP=90°]時(shí)，設(shè)直線(xiàn)[AB]與[y]軸交于點(diǎn)[E]，過(guò)點(diǎn)[B]作[BF⊥Oy]于點(diǎn)[F]，設(shè)[BP]與[y]軸的交點(diǎn)為點(diǎn)[N]，連接[BQ]，[AP]，交于點(diǎn)[H].

由題意，得[E0，6]，[BF=OF=2]，得[EF=4].

由已知條件，可知[△EBF]∽[△BNF].

所以[BFEF=FNBF]. 得點(diǎn)[N0，1].

因此直線(xiàn)[BN]的解析式為[y=12x+1].

與[y=4x]聯(lián)立可得點(diǎn)[P-4，-1].

可求得直線(xiàn)[AP]的解析式為[y=x+3].

因?yàn)閇AP]垂直平分[BQ]，得直線(xiàn)[BQ]的解析式為[y=-x+4].

所以點(diǎn)[H12， 72].

因?yàn)辄c(diǎn)[H]是[BQ]的中點(diǎn)，點(diǎn)[B2，2]，

所以點(diǎn)[Q-1，5]．

試題分析：該題以一次函數(shù)和反比例函數(shù)為背景進(jìn)行命制. 第（1）小題求反比例函數(shù)的解析式和另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)問(wèn)方式直接，學(xué)生容易入手. 第（2）小題通過(guò)描述性語(yǔ)言交代了點(diǎn)C的位置，學(xué)生需要在圖中畫(huà)出點(diǎn)C，并根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，再根據(jù)題目中所給信息進(jìn)行分析和求解. 由于位置不確定，需要分類(lèi)討論. 補(bǔ)全圖形既能幫助學(xué)生審題，又可以考查學(xué)生的作圖能力. 第（3）小題給出新定義“完美箏形”，通過(guò)定義可以得出它所具有的性質(zhì)，設(shè)計(jì)新穎. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是理解概念，從概念出發(fā)進(jìn)行推理可以得出性質(zhì)和判斷，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一般路徑，能夠考查學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

函數(shù)圖象中以某些已知的點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖形會(huì)存在一些特殊情況，在某些特殊情況下可以確定動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo). 這類(lèi)試題在近年來(lái)的中考中較常見(jiàn). 解決此類(lèi)問(wèn)題需要學(xué)生根據(jù)特殊圖形所具備的幾何性質(zhì)進(jìn)行推理分析，得出已知量與未知量之間的關(guān)系，建立方程求解，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和空間觀念等．

類(lèi)題賞析：綜觀2022年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題，有關(guān)于特殊三角形、四邊形的存在性問(wèn)題，也有關(guān)于線(xiàn)段與線(xiàn)段之間、角與角之間的特殊數(shù)量關(guān)系的存在性問(wèn)題. 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要對(duì)特殊情況下圖形所具備的特殊性質(zhì)進(jìn)行推理分析，再利用相似、勾股定理和三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)建立方程求解問(wèn)題．例如，四川瀘州卷第25題、四川南充卷第25題、四川綿陽(yáng)卷第24題、遼寧阜新卷第24題和山東東營(yíng)卷第24題等．

4. 關(guān)注新定義問(wèn)題，重視對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查

例8 （山東·泰州卷）定義：對(duì)于一次函數(shù)[y1=][ax+b]，[y2=cx+d]，我們稱(chēng)函數(shù)[y=max+b+ncx+d][ma+nc≠0]為函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”．

（1）若[m=3]，[n=1]，試判斷函數(shù)[y=5x+2]是否為函數(shù)[y1=x+1]，[y2=2x-1]的“組合函數(shù)”，并說(shuō)明理由.

（2）設(shè)函數(shù)[y1=x-p-2]與[y2=-x+3p]的圖象相交于點(diǎn)[P]．

① 若[m+n>1]，點(diǎn)[P]在函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”圖象的上方，求[p]的取值范圍；

② 若[p≠1]，函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)[P]．是否存在大小確定的[m]值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)[p]，都有“組合函數(shù)”圖象與[x]軸交點(diǎn)[Q]的位置不變？若存在，求出[m]的值及此時(shí)點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

目標(biāo)解析：該題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、一次函數(shù)與一次方程的關(guān)系等，主要考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)分析和解決問(wèn)題的能力，需要學(xué)生理解“組合函數(shù)”的定義，結(jié)合所學(xué)的函數(shù)相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，考查學(xué)生的遷移、類(lèi)比能力，以及運(yùn)算能力和創(chuàng)新意識(shí)．

解法分析：第（1）小題根據(jù)定義即可判斷. 第（2）小題已知兩個(gè)函數(shù)的解析式可以求得函數(shù)圖象的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)P在組合函數(shù)圖象的上方，等價(jià)于組合函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同時(shí)縱坐標(biāo)卻小于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而得到一個(gè)關(guān)于p的不等式，求出p的取值范圍. 第（3）小題是對(duì)于任意的p ≠ 1，組合函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為定值，也就是說(shuō)組合函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與p無(wú)關(guān)，當(dāng)含有字母m，p的等式中p的系數(shù)為0時(shí)，可以得到一個(gè)關(guān)于m的方程，求得m的值．

解：（1）函數(shù)[y=5x+2]是函數(shù)[y1=x+1]，[y2=2x-1]的“組合函數(shù)”. 理由略.

（2）① 由[y=x-p-2，y=-x+3p，] 得[x=2p+1，y=p-1.]

所以[P2p+1，p-1].

因?yàn)閇y1]，[y2]的“組合函數(shù)”為[y=mx-p-2+][n-x+3p]，

所以當(dāng)[x=2p+1]時(shí)，

[y=m2p+1-p-2+n-2p-1+3p=p-1m+n.]

因?yàn)辄c(diǎn)[P]在函數(shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”圖象的上方，

所以[p-1>p-1m+n].

所以[p-11-m-n>0].

因?yàn)閇m+n>1]，所以[p<1].

② 存在[m=34]時(shí)，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)[p]，都有“組合函數(shù)”圖象與[x]軸交點(diǎn)[Q]的位置不變，坐標(biāo)為[Q3，0]，理由如下.

由①知，[P2p+1，p-1].

因?yàn)楹瘮?shù)[y1]，[y2]的“組合函數(shù)”[y=mx-p-2+][n-x+3p]的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)[P]，

所以[p-11-m-n=0].

因?yàn)閇p≠1]，所以[n=1-m].

所以[y=2m-1x+3p-4p+2m].

令[y=0]，得[2m-1x+3p-4p+2m=0].

則有[3-4mp+2m-1x-2m=0].

因?yàn)閷?duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)[p]，都有點(diǎn)[Q]的位置不變，

所以[3-4m=0，2m-1x-2m=0.] 解得[m=34，x=3.]

所以當(dāng)[x=3]，[m=34]時(shí)，“組合函數(shù)”圖象與[x]軸交點(diǎn)[Q]的位置不變，坐標(biāo)為[Q3，0]．

試題分析：初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，考查運(yùn)用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題的試題比較普遍，對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)過(guò)程中應(yīng)該積累的方法的考查也越來(lái)重視，突出對(duì)學(xué)生分析、概括和抽象等能力的考查. 解決此類(lèi)問(wèn)題，需要學(xué)生借助研究三種函數(shù)所積累的經(jīng)驗(yàn)，從新定義入手，從特殊到一般分析、歸納和總結(jié)新定義函數(shù)的性質(zhì)，再利用性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題. 該題是對(duì)兩個(gè)一次函數(shù)進(jìn)行線(xiàn)性組合，得到一個(gè)新的函數(shù). 第（1）小題運(yùn)用概念判斷，設(shè)問(wèn)自然，學(xué)生套用定義容易作答；第（2）小題是對(duì)新定義函數(shù)的特殊性質(zhì)進(jìn)行探究.

類(lèi)題賞析：綜觀2022年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題，以定義新函數(shù)側(cè)重考查函數(shù)研究方法的相關(guān)試題較多，如湖南常德卷第8題、湖北荊州卷第16題、貴州安順卷第24題、江蘇南通卷第26題和甘肅蘭州卷第27題等.

三、復(fù)習(xí)備考建議

綜觀2022年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷，可以發(fā)現(xiàn)大部分壓軸題都是以函數(shù)知識(shí)為載體進(jìn)行設(shè)計(jì)，命題形式多樣. 有的試題單純考查函數(shù)的概念、表示和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；有的試題考查函數(shù)與幾何圖形的綜合；有的試題考查跨學(xué)科知識(shí)之間的滲透，注重“形”與“數(shù)”的和諧統(tǒng)一，突出抽象、推理和模型這三個(gè)數(shù)學(xué)基本思想. 試題關(guān)注動(dòng)點(diǎn)、最值、存在性、新定義等熱點(diǎn)，重視數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化和方程等思想方法的運(yùn)用. 試題背景切合學(xué)生的生活實(shí)際，設(shè)問(wèn)方式具有開(kāi)放性、探究性和挑戰(zhàn)性等特點(diǎn)，全面考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.“函數(shù)”部分的復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)夯實(shí)基礎(chǔ)、提升能力、內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)．

1. 建構(gòu)知識(shí)體系，夯實(shí)基礎(chǔ)

夯實(shí)基礎(chǔ)是復(fù)習(xí)階段的首要任務(wù). 復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)不是簡(jiǎn)單地“溫故”而重在“知新”，借助思維導(dǎo)圖，按照知識(shí)體系對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深層次建構(gòu)，形成知識(shí)體系.

初中階段的函數(shù)內(nèi)容主要包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，從概念到圖象的性質(zhì)及其應(yīng)用，從思想方法到學(xué)習(xí)方式，都體現(xiàn)了學(xué)習(xí)和研究函數(shù)的一般方法. 因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要加強(qiáng)彼此間的聯(lián)系和對(duì)比，讓學(xué)生回顧的不僅是枯燥的知識(shí)，還要有靈動(dòng)的思想方法. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生一定要自己動(dòng)手，自主建構(gòu)，這樣才能對(duì)函數(shù)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)和清晰的認(rèn)識(shí)．

2. 關(guān)注核心思想，提升能力

數(shù)形結(jié)合思想和建模思想是學(xué)習(xí)“函數(shù)”內(nèi)容時(shí)最為重要的思想方法，直指幾何直觀和模型觀念素養(yǎng)的發(fā)展．

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題時(shí)，要找準(zhǔn)“數(shù)”與“形”的屬性，從而將數(shù)量關(guān)系用“形”有效地直觀表達(dá)，將幾何圖形用“數(shù)”準(zhǔn)確刻畫(huà). 例如，在本文例7以反比例函數(shù)為背景的幾何存在性問(wèn)題中，AP垂直平分BQ可以利用函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行表達(dá)，便于求點(diǎn)的坐標(biāo).

函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)生活的一個(gè)重要模型. 每年的中考“函數(shù)”試題都會(huì)選用與學(xué)生日常生活相關(guān)或社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題為背景呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí). 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)在于正確建立數(shù)學(xué)模型. 數(shù)學(xué)建模最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地描述實(shí)際背景中的條件和問(wèn)題，即將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化. 在這一過(guò)程中，需要學(xué)生從題目所提供的文字、圖和表中獲取有用信息，提取問(wèn)題本質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型. 例如，本文例3需要學(xué)生根據(jù)題目中提供的有關(guān)橋的相關(guān)數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將橋抽象成二次函數(shù)建立二次函數(shù)模型解決相關(guān)問(wèn)題．

3. 反思解題過(guò)程，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)

在復(fù)習(xí)過(guò)程中，做完一道題后要及時(shí)復(fù)盤(pán). 復(fù)盤(pán)是指對(duì)解題過(guò)程的反思. 通過(guò)反思不斷提煉、整合和內(nèi)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成優(yōu)化了的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，然后再將這種優(yōu)化了的經(jīng)驗(yàn)遷移到新的問(wèn)題情境中進(jìn)行實(shí)踐和應(yīng)用. 例如，在本文例6中，分析問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)有轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合；操作經(jīng)驗(yàn)有過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)；解題經(jīng)驗(yàn)有待定系數(shù)法、等積轉(zhuǎn)化法、規(guī)范書(shū)寫(xiě)與表達(dá)、認(rèn)真仔細(xì)；等等. 這些經(jīng)驗(yàn)的積累與優(yōu)化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)具有十分重要的意義. 當(dāng)然，解題結(jié)束并不意味著學(xué)習(xí)過(guò)程的終結(jié)，我們可以追求一題多解、多題一解，還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題：你能提出一個(gè)與該題有關(guān)的問(wèn)題嗎？如果學(xué)生能提出“當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)”“是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCD為正方形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由”之類(lèi)的問(wèn)題，那么這種對(duì)問(wèn)題的深入思考和多角度探究能夠發(fā)揮每一道習(xí)題的最大價(jià)值，這才是教師與學(xué)生應(yīng)該追求的. 在中考復(fù)習(xí)中，教師要經(jīng)常運(yùn)用典型例題和習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

四、典型模擬題

1. 若二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]（a ≠ 0）的圖象經(jīng)過(guò)[A-1，n]， [B0，y1]， [C4，n]， [D2，y2]， [E2，y3]五點(diǎn)，則[y1]，[y2]，[y3]的大小關(guān)系是（? ? ）.

（A）[y1

（C）[y2

答案：C.

2. 隨著“公園城市”建設(shè)的不斷推進(jìn)，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個(gè)超大型“體育場(chǎng)”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風(fēng)尚. 甲、乙兩人相約同時(shí)從綠道某地出發(fā)同向騎行，甲騎行的速度是[18 km / h]，乙騎行的路程[s]（km）與騎行的時(shí)間[t]（h）之間的關(guān)系如圖13所示．

（1）直接寫(xiě)出當(dāng)[0≤t≤0.2]和[t>0.2]時(shí)，[s]與[t]之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）何時(shí)乙騎行在甲的前面？

答案：（1）[s=15t? 0≤t≤0.2，20t-1 t>0.2.]

（2）0.5小時(shí)后乙騎行在甲的前面.

3. 在學(xué)習(xí)未知函數(shù)的時(shí)候，我們需要根據(jù)函數(shù)圖象研究其性質(zhì). 某班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組開(kāi)展了對(duì)函數(shù)[y=6xx2+1]的研究，列表如表2所示.

按要求回答以下四個(gè)問(wèn)題：

（1）求出m和n的值；

（2）根據(jù)列表畫(huà)出函數(shù)圖象；

（3）說(shuō)出該函數(shù)的性質(zhì)；

（4）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出方程[6xx2+1=3x]的根．

答案：（1）m = -3，[n=3].

（2）函數(shù)圖象如圖14所示.

（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；當(dāng)x = 1時(shí)，取得最大值3，當(dāng)x = -1時(shí)，取得最小值-3；當(dāng)-1 < x < 1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x < -1或x > 1時(shí)，y隨x的增大而減小.

（4）[-1]，0，1．

4. 如圖15，拋物線(xiàn)[y=x2+4x+m]與[x]軸交于[Ax1，0]，[Bx2，0]兩點(diǎn)，[x1

（1）若[AB=6]，求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)[C]的坐標(biāo)；

（2）若[Mx，y]為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若[-3≤x≤8]，且點(diǎn)[M]的坐標(biāo)[y]滿(mǎn)足[a≤y≤b]，求[b-a]的值；

（3）已知[P-4，-5]，[Q1，-5]為坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，連接[PQ]，若拋物線(xiàn)與線(xiàn)段[PQ]只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象直接寫(xiě)出[m]的取值范圍．

答案：（1）[y=x2+4x-5]，[C-2，-9]；

（2）100；

（3）[m=-1]或[-10≤m<-5]．

參考文獻(xiàn)：

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［2］張偉，宋先波，趙潔. 2018年中考“函數(shù)”專(zhuān)題解題分析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（1 / 2）：54-63.

［3］胡玲君. 2019年中考“函數(shù)”專(zhuān)題解題分析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（1 / 2）：63-71.

［4］孫鋒. 基于過(guò)程生長(zhǎng)與單元設(shè)計(jì)的概念教學(xué)：對(duì)“變量與函數(shù)”一課的點(diǎn)評(píng)［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（6）：25-26.

［5］吳增生. 初中數(shù)學(xué)畢業(yè)考試命題變革的思考與實(shí)踐［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（1）：41-51.

作者簡(jiǎn)介：孫鋒（1974— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程建設(shè)及課堂教學(xué)研究；

楊明（1988— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及解題研究.