陳力智 周立峰 王 東 馬 馳 于建華

（中國(guó)航發(fā)商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限責(zé)任公司，上海 200241）

五軸側(cè)銑加工通過(guò)刀具側(cè)刃移除工件表面材料，加工效率高、銑削質(zhì)量好，因而被廣泛用于渦輪和葉輪等非可展直紋面零件的加工[1]。由于非可展直紋曲面的扭曲特性，直母線刀具與曲面完全貼合十分困難，但合理規(guī)劃刀位可以減小刀具與曲面之間的偏差，為達(dá)此目的，研究人員提出了諸多側(cè)銑加工路徑的生成方法。

Liu X W[2]提出了刀具定位的雙點(diǎn)偏置法，Redonnet J等[3]發(fā)展了三點(diǎn)偏置法，嚴(yán)濤等[4]則考慮了刀具與曲面之間四點(diǎn)接觸的情形，并建立了描述模型，但這些方法僅適用于圓柱刀。圓柱刀與圓錐刀是兩種常見(jiàn)的直母線刀具，但后者可以在同樣尺寸下保持更高的剛度，因而避障性更好，更適用于葉輪等復(fù)雜結(jié)構(gòu)零件的加工。圓錐刀的幾何性質(zhì)較圓柱刀更為復(fù)雜，導(dǎo)致適用于圓柱刀的定位方法很難直接用于圓錐刀。常見(jiàn)的圓錐刀定位方法是兩點(diǎn)偏置法，盡管三點(diǎn)偏置法可以帶來(lái)更高的定位精度，但現(xiàn)有關(guān)于錐刀三點(diǎn)偏置定位的模型[5]形式復(fù)雜，求解困難，限制了其在加工中的應(yīng)用與集成。值得注意的是，多點(diǎn)偏置得到的刀位往往不能最小化刀具與曲面之間的加工偏差[6]，在使用多點(diǎn)偏置法確定刀位序列后，往往需要對(duì)刀軸進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。

宮虎等[7]分析了圓柱刀與非可展直紋面幾何偏差的性質(zhì)，給出了偏差極值最小條件下刀軸偏置點(diǎn)的確定方法，并采用最小二乘模型逼近這些散點(diǎn)以確定刀具軸跡面。劉紅軍等[8]在柱形刀三點(diǎn)偏置定位的基礎(chǔ)上，采用密切法進(jìn)一步優(yōu)化刀軸以提高加工精度。針對(duì)錐形刀五軸側(cè)銑加工，孔馬斌等[9]通過(guò)對(duì)圓柱刀施以旋轉(zhuǎn)確定圓錐刀的初始刀位，然后調(diào)整刀軸上的三點(diǎn)減小編程誤差。閻長(zhǎng)罡等[10]使用兩點(diǎn)偏置法確定初始刀位序列，在此基礎(chǔ)上提出了基于偏差補(bǔ)償?shù)牡毒咻S跡面擬合方法。然后，他們通過(guò)構(gòu)造設(shè)計(jì)曲面的相伴曲面，建立了基于響應(yīng)面法的圓錐刀側(cè)銑路徑優(yōu)化模型[11]。因?yàn)榈遁S與加工誤差存在高度非線性的關(guān)聯(lián)，部分學(xué)者研究了基于智能算法的側(cè)銑刀路優(yōu)化方法。Kuo C L等[12]提出了慮及插補(bǔ)誤差的側(cè)銑刀位優(yōu)化模型，并使用粒子群（PSO）法、類電場(chǎng)（EM）法等智能算法尋求最優(yōu)解。韓軍[13]等使用模擬退火算法和粒子群算法（SA-PSO）的混合算法提升了單一智能算法在側(cè)銑刀路優(yōu)化中的求解效果。

由以上方法可以看出，基于偏差補(bǔ)償策略的刀路優(yōu)化方法仍是提高五軸側(cè)銑加工精度的主流手段，但對(duì)于錐形銑刀初始定位，缺乏便捷的三點(diǎn)偏置模型；此外，最小二乘模型被廣泛用于刀具軸跡面對(duì)理想偏置點(diǎn)的逼近，該模型的求解只關(guān)注數(shù)學(xué)意義上的偏差最小，并不能真實(shí)反映求解所得路徑引起的誤差變化。針對(duì)以上問(wèn)題，首先建立解析的圓錐刀兩點(diǎn)偏置模型，通過(guò)引入滑移區(qū)間，搜索得到其三點(diǎn)偏置刀位。在此基礎(chǔ)上，分析刀軸偏置點(diǎn)的理想分布，并據(jù)此建立軸跡面擬合模型，通過(guò)奇異值分解（SVD）算法求解該模型，對(duì)比不同求解路徑對(duì)應(yīng)的加工誤差，選擇最小值得到最優(yōu)加工路徑。

1 直母線刀具的三點(diǎn)偏置方法

圓柱刀與圓錐刀均是直母線刀具，圓柱刀可視作圓錐刀錐角為零的特例，因而適用于圓錐刀的定位方法很容易拓展到圓柱刀，本節(jié)以圓錐刀為研究對(duì)象，提出了通用的刀具定位模型。

首先，非可展直紋面R(u,v)的表達(dá)形式如下：

式中：u為沿邊界線方向的參數(shù)，B1(u)是下邊界線，B2(u)是上邊界線；v是沿曲面直母線方向的參數(shù)。錐形刀的底圓半徑為r0，錐角為α，三點(diǎn)偏置條件下刀具與曲面的接觸位置分別位于上、下邊界線，以及曲面中間的u-曲線R(u,0.5)。假設(shè)刀具與曲面在下邊界線的接觸位置為R(u0,0)，根據(jù)錐刀的幾何性質(zhì)，可以計(jì)算R(u0,0)對(duì)應(yīng)刀軸上的一點(diǎn)為

式中：Q1為 下邊界線對(duì)應(yīng)刀軸上的偏置點(diǎn)，n(u0,0)是R(u0,0)處曲面的單位法矢，曲面上任意一點(diǎn)的單位法矢可由下式計(jì)算：

其中：Ru和Rv分別是R(u,v)沿u向與v向的一階切矢量。如果刀具與曲面的第二接觸位置位于曲面上邊界線的一點(diǎn)R(u1,1)，則R(u1,1)對(duì) 應(yīng)刀軸上的一點(diǎn)應(yīng)滿足如下方程：

其中：r是R(u1,1)與Q2的距離，其與底圓半徑的關(guān)系為

將r視作變量x，聯(lián)立方程（2）、（4）、（5）可得：

其中：

式（6）是一元二次方程，一般存在兩解，選大于r0的 正解作為最終解，代入方程（4）得到Q2，進(jìn)而可以確定當(dāng)前刀具的刀軸I為I=(Q1Q2)/∥Q1Q2∥，刀具底面圓的中心點(diǎn)O為O=Q1?Irtan(α)。

對(duì)于確定的兩點(diǎn)偏置刀位，在Q1和Q2限定的區(qū)間內(nèi)對(duì)刀軸進(jìn)行均勻采樣，采樣點(diǎn)集為計(jì)算Pi向設(shè)計(jì)曲面的投影，如圖1所示，所得投影點(diǎn)為Ri，PiRi與刀具靠近曲面一側(cè)的交點(diǎn)為Mi，由此可得與Pi對(duì)應(yīng)的曲面偏差為

圖1 刀具與曲面偏差計(jì)算示意圖

如果 εi為正，則該偏差表示為欠切；如果εi為負(fù)，則該偏差表示為過(guò)切；否則，表明刀具與曲面在Ri接觸。因此，找到R(u,0.5)在刀軸上的法向偏置點(diǎn)并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的偏差 εmid，可以判定二者的接觸狀態(tài)。

如果當(dāng)前刀位下的 εmid不為零，則保持刀具與曲面下邊界線的接觸位置不變，通過(guò)更改上邊界線的參數(shù)值重新指定刀具與上邊界線的接觸位置，并計(jì)算新刀位下的 εmid，直至搜索到 εmid=0的刀位。其中，改變上邊界線參數(shù)值的過(guò)程類似于刀具沿著上邊界線滑動(dòng)。事實(shí)上，當(dāng)錐角為零，即刀具變?yōu)閳A柱刀時(shí)，所述三點(diǎn)偏置刀位的搜索過(guò)程與文獻(xiàn)[7]中介紹的三點(diǎn)偏置方法類似，因此，可以應(yīng)用二分法加速三點(diǎn)刀位的搜索過(guò)程。如果在指定滑移范圍內(nèi)，沒(méi)有搜索到 εmid=0 的刀位，則返回 εmid最接近0時(shí)的偏置刀位。圖2總結(jié)了錐形刀初始刀位的搜索流程，需要注意的是，上邊界線的搜索范圍[ui,s,ui,e]應(yīng)保證刀具在ui,s和ui,e對(duì)應(yīng)兩 點(diǎn)偏置刀位的 εmid異號(hào)。

圖2 初始刀位規(guī)劃流程圖

2 基于偏差補(bǔ)償?shù)牡堵穬?yōu)化

2.1 加工偏差的近似計(jì)算

根據(jù)規(guī)劃所得刀位序列，可構(gòu)建刀具路徑的描述方程。假設(shè)刀位個(gè)數(shù)為m，從規(guī)劃刀位中獲取兩組點(diǎn)列，一組是刀具底面圓心另一組是曲面上邊界線在刀軸上的法向偏置點(diǎn)使用三次B樣條曲線對(duì)點(diǎn)列進(jìn)行擬合，其中，樣條曲線控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)不超過(guò)規(guī)劃刀位個(gè)數(shù)的一半，節(jié)點(diǎn)矢量可選用均勻節(jié)點(diǎn)矢量。由擬合而來(lái)的曲線分別記為Cb(t)和Ct(t)，其表達(dá)式如下

式 中：Nl,3(t)和Ns,3(t)是 3次B樣條基函數(shù)，D1,i和D2,i是控制點(diǎn)，其個(gè)數(shù)分別為m1和m2。進(jìn)一步，得到刀路的連續(xù)表達(dá)式，即

軸跡面方程：

式中：參數(shù)a、t分別表示沿刀軸方向和進(jìn)給方向的參數(shù)，可見(jiàn)刀具軸跡面也是直紋面，每一個(gè)確定的t值都對(duì)應(yīng)一個(gè)刀位。

雖然加工偏差被定義為刀具運(yùn)動(dòng)包絡(luò)面與設(shè)計(jì)曲面之間的距離，但這種方式下定義的加工偏差計(jì)算較為復(fù)雜，而刀具與曲面之間的幾何偏差亦可精準(zhǔn)反映二者之間的貼合程度，因此采用刀具靜態(tài)輪廓到曲面的距離近似表示真實(shí)的加工偏差。與第一節(jié)所述的單刀位偏差計(jì)算類似，首先對(duì)軸跡面沿其t向和a向分別均勻離散，離散個(gè)數(shù)為n1和n2，其中第i行第j列對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)為D(ti,aj)；然后通過(guò)D(ti,aj)作垂直于設(shè)計(jì)曲面的法線，得到法線與刀具曲(面和) 設(shè)計(jì)曲面的交點(diǎn)，兩交點(diǎn)之間的距離表示Dti,aj對(duì)應(yīng)的法向偏差 εi,j。

2.2 偏差補(bǔ)償模型

如圖3所示，為減小D(ti,aj)對(duì)應(yīng)的法向偏差εi,j，可以將D(ti,aj)沿 -εi,jni,j的方向作移動(dòng)，其中ni,j表示設(shè)計(jì)曲面上指向外側(cè)的單位法矢量?？紤]到三點(diǎn)偏置定位下，刀具與曲面的偏差值屬于微小量，因此，只需對(duì)刀具施以微小移動(dòng)便可以補(bǔ)償原始偏差。軸跡面上一點(diǎn)的微小移動(dòng)可用下式描述：

圖3 加工偏差的補(bǔ)償示意圖

其中：?D1,i與?D2,i是控制點(diǎn)變化量，為未知量。D(ti,aj)微 小移動(dòng)引起的偏差變化為 ?D(ti,aj)·ni,j，位置更新后的D(ti,aj)對(duì)應(yīng)的幾何偏差值為

對(duì)軸跡面上的每一個(gè)采樣點(diǎn)，均可構(gòu)造形如式（11）的方程，而最優(yōu)的刀具路徑應(yīng)保證所有采樣點(diǎn)在位置更新后得到的偏差值平方和最小，所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化模型為

其中：n1、n2分別是刀軸面兩個(gè)方向采用點(diǎn)的總個(gè)數(shù)。

2.3 SVD求解

針對(duì)式（12）所述模型，其極值條件對(duì)應(yīng)的超定線性方程組為

該方程組包含 3(m1+m2)個(gè) 方程，式中：A是系數(shù)矩陣，b是常值列向量，x是未知變量組成的向量。式（13）的構(gòu)造方法在其他文獻(xiàn)中已有諸多討論，這里不再贅述。

式（13）的最小二乘解為 (ATA)?1(ATb)，當(dāng)前該解被廣泛視作最優(yōu)解，但該解僅能從數(shù)學(xué)意義上表征線性系統(tǒng)Ax對(duì)常數(shù)向量b的最佳逼近，并不能證明其對(duì)應(yīng)的精度提升效果最好。這里采用SVD對(duì)矩陣A進(jìn)行分解，并據(jù)此得到不同的控制點(diǎn)調(diào)整量，通過(guò)對(duì)比這些結(jié)果對(duì)應(yīng)的加工誤差，篩選出加工精度最優(yōu)的刀具路徑。

為方便敘述，假定A是n3×m3型矩陣，A的奇異值分解結(jié)果為其中 ?的維度是n3×m3，其主對(duì)角線上的非零元素代表奇異值，并由大到小順次排列。U和V分別是酉矩陣。?中奇異值對(duì)應(yīng)ATA中特征值的平方根。在多數(shù)情況下，奇異值隨著所處維度的增加而快速衰減，因此可以用最大的k個(gè)奇異值和其對(duì)應(yīng)的U、V矩陣部分來(lái)近似矩陣A，即通過(guò)改變k值，可以得到矩陣A不同的近似矩陣，在此基礎(chǔ)上，計(jì)算這些矩陣最小二乘解得到的控制點(diǎn)偏移量并用于路徑修正，校驗(yàn)路徑對(duì)應(yīng)的加工偏差，進(jìn)而確定其中的最優(yōu)解。

3 仿真與分析

仿真測(cè)試軟件為Matlab 2020b，編程計(jì)算機(jī)的基本配置為：CPU：i5-1240P，RAM：8 GB。測(cè)試的非可展直紋面如圖4所示。曲面來(lái)自于文獻(xiàn)[12]中的Surf.5和Surf.6，為避免歧義，本文將這兩張曲面記為曲面A和曲面B。曲面A和曲面B的上下邊界線均為3次貝塞爾曲線，表1列出了邊界線的控制點(diǎn)。因?yàn)樗岱椒ǖ倪m用對(duì)象包括圓柱刀，為更好展示所提方法的優(yōu)越性，采用半徑為2 mm的圓柱刀加工測(cè)試曲面，并將加工結(jié)果與文獻(xiàn)[12]的結(jié)果對(duì)比。其中，加工精度的表達(dá)方式為曲面上所有采樣點(diǎn)加工偏差絕對(duì)值之和。曲面上采樣點(diǎn)的分布與文獻(xiàn)[12]保持一致，即對(duì)曲面u、v向分別均勻采樣，采樣個(gè)數(shù)為。用于路徑優(yōu)化的初始刀位設(shè)定為50個(gè)，軸跡面上下引導(dǎo)線控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)為10。表2列出了優(yōu)化所得路徑和文獻(xiàn)[12]中方法在加工精度與生成路徑所需時(shí)間的對(duì)比，可見(jiàn)所提方法無(wú)論在精度，還是計(jì)算速度方面，都顯著優(yōu)于文獻(xiàn)[12]所提的基于智能算法的路徑優(yōu)化方法。

表1 測(cè)試曲面上下邊界線的控制點(diǎn)

表2 所提方法與文獻(xiàn)[12]方法的對(duì)比

圖4 測(cè)試曲面圖

圖5展示了采用不同k值的SVD分解所對(duì)應(yīng)路徑的加工精度，可見(jiàn)最優(yōu)的加工精度不一定對(duì)應(yīng)原始矩陣A的最小二乘解，而通過(guò)對(duì)比不同k值下的路徑精度，可以篩選得到加工精度提升效果最大的最優(yōu)路徑。

圖5 曲面A和曲面B的加工路徑在不同k值下的優(yōu)化效果

同樣以曲面A和曲面B為測(cè)試對(duì)象，當(dāng)選用刀具為錐形刀時(shí)，所提方法依舊有效。在此仿真中，測(cè)試參數(shù)與圓柱刀的測(cè)試保持一致。選用刀具為錐角 α=5，底圓半徑r0=1 mm的錐形刀，圖6展示了使用三點(diǎn)偏置刀位產(chǎn)生的加工偏差分布，其累積偏差值分別為17.832 mm和30.015 mm；圖7展示了在此基礎(chǔ)上優(yōu)化得到最優(yōu)刀具路徑產(chǎn)生的加工偏差分布，優(yōu)化后的累積偏差為9.651 mm和15.802 mm，可見(jiàn)所提方法能夠進(jìn)一步提升非可展直紋面的加工精度。

圖6 初始刀位下曲面 A和曲面 B的偏差分布

圖7 最優(yōu)路徑下曲面 A和曲面 B的偏差分布

4 結(jié)語(yǔ)

（1）提出了錐形刀兩點(diǎn)偏置定位的解析模型，通過(guò)二分法滑移尋優(yōu)，得到了錐刀三點(diǎn)偏置刀位。所提方法計(jì)算效率高，結(jié)果準(zhǔn)確，生成的三點(diǎn)偏置刀位有助于后續(xù)的路徑優(yōu)化。

（2）建立了基于偏差補(bǔ)償思想的刀軸面優(yōu)化模型，使用SVD篩選得到了加工偏差最小的刀具路徑。在不同測(cè)試曲面上與基于智能算法的路徑優(yōu)化方法對(duì)比結(jié)果表明，所提方法的加工精度提升為38%和92%，并且所需計(jì)算時(shí)間也大幅減少。